DIỆN TÍCH HÌNH CHIẾU CỦA ĐA GIÁC

Phương pháp: Gọi S là diện tích của đa giác (H) trong (P), S là diện tích của hình chiếu (H) của (H) trên (Q), 

=



^{( ),( )P Q}



^{. Khi đó:} S = S.cos

1. Cho hình thoi ABCD có đỉnh A ở trong mặt phẳng (P), các đỉnh khác không ở trong (P), BD = a, AC = a 2. Chiếu vuông góc hình thoi lên mặt phẳng (P) ta được hình vuông ABCD.

a) Tính diện tích của ABCD và ABCD. Suy ra góc giữa (ABCD) và (P).

b) Gọi E và F lần lượt là giao điểm của CB, CD với (P). Tính diện tích của tứ giác EFDB và EFDB.

10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm I cạnh a và có góc A bằng 60⁰, cạnh SC = và SC  (ABCD).

a) Chứng minh (SBD)  (SAC).

b) Trong tam giác SCA kẻ IK  SA tại K. Tính độ dài IK.

ĐS: a) 450 b) SEFDB =

3 2 2 4

a ; SEFDB = 3 2

4 a

2. Cho tam giác cân ABC có đường cao AH = a 3, đáy BC = 3a; BC (P). Gọi Alà hình chiếu của A trên (P). Khi ABC vuông tại A, tính góc giữa (P) và (ABC).

ĐS: 30⁰

3. Cho tam giác đều ABC cạnh a, nằm trong mặt phẳng (P). Trên các đường thẳng vuông góc với (P) vẽ từ B và C lấy các đoạn BD = 2

2

a , CE = a 2 nằm cùng một bên đối với (P).

a) Chứng minh tam giác ADE vuông. Tính diện tích của tam giác ADE.

b) Tính góc giữa hai mặt phẳng (ADE) và (P).

ĐS: a) 3 2

4

a b) arccos 3

3

4. Cho hình chóp SABC có các mặt bên hợp với đáy một góc .

a) Chứng minh hình chiếu của S trên mp(ABC) là tâm của đường tròn nội tiếp ABC.

b) Chứng minh: SSAB + SSBC + SSCA =

cos^ABC S



này vuông tại A.

c) Cho x = 4a. Vẽ đường cao OC của OAB. Chứng minh rằng CA  AB. Tính góc giữa hai mặt phẳng (OAB) và (P).

ĐS: a) x = 0 b) x = 4a c) arccos 39

26

5. Cho tứ diện SABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc. Gọi H là trực tâm của ABC. Chứng minh rằng:

a) SH  (ABC).

b) (SSBC)² = SABC.SHBC. Từ đó suy ra: (SABC)² = (SSAB)² + (SSBC)² +(SSCA)².

6. Trong mặt phẳng (P) cho OAB vuông tại O, AB = 2a, OB = a. Trên các tia vuông góc với (P) vẽ từ A và B và ở về cùng một bên đối với (P), lấy AA = a, BB = x.

a) Định x để tam giác OAB vuông tại O.

b) Tính AB, OA, OB theo a và x. Chứng tỏ tam giác OAB không thể vuông tại B. Định x để tam giác

B. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

[1] Trong các mệnh đề sau, hãy tìm mệnh đề đúng.

A. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thứ ba thì song song nhau.

B. Nếu hai mặt phẳng vuông góc nhau thì mọi đường trong mặt phẳng này sẽ vuông góc với mặt phẳng kia.

C. Nếu hai mặt phẳng phân biệt

   

^{ , } cùng vuông góc với mặt phẳng

 

^ thì giao tuyến d của

   

^{ ,  sẽ}

vuông góc với mp

 

^{ .}

D. Hai mặt phẳng phân biệt

   

^{ , } cắt nhau theo giao tuyến d, với mỗi điểm A thuộc

 

^ và B thuộc

 

^{ thì}

AB vuông góc d.

[2] Chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:

A. Qua một đường thẳng d cho trước xác định được duy nhất một mặt phẳng (P) chứa d và vuông góc mp (Q) cho trước.

B. Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với hai mặt phẳng cắt nhau cho trước.

C. Các mặt phẳng cùng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước thì luôn đi qua một đường thẳng cố định.

D. Hai mặt phẳng vuông góc nhau thì đường thẳng nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến sẽ vuông góc với mặt phẳng còn lại.

[3] Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là sai?

A. Hình lăng trụ đứng có các mặt bên là hình chữ nhật.

B. Hình lăng trụ có hai mặt bên là hình chữ nhật là hình lăng trụ đứng.

C. Hình lăng trụ đứng có các cạnh bên vuông góc với mặt đáy.

D. Hình lăng trụ có các cạnh bên vuông góc với mặt đáy là hình lăng trụ đứng.

[4] Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có AB = a, BC = b, CC’ = c. Để ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp chữ nhật thì:

A. A C' AC' a²b²c². B. A C' BD' a²b²  a²c²  b²c². C. A C' AC' a²b²  a²c²  b²c². D. A C' BD' a²b²c².

[5] Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song nhau.

B. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song nhau.

C. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thì song song nhau.

D. Hai mặt phẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song nhau.

[6] Chọn câu đúng. Dữ kiện nào dưới đây không thể kết luận ^{mp P}

 

^{mp Q}

 

^?

A.

 

 

^.

d P

d Q

 

 

 B. ((𝑃), (𝑄))̂ = 90⁰. C.

 

1 2

 

1 2

, ,

. ,

d Q d d P

d d d d

  



 

 D.A,B,C đều đúng.

[7] Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.

A. Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì song song nhau.

B. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì cắt nhau.

C. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì vuông góc với nhau.

D. Đường thẳng d không thuộc mặt phẳng

 

^{ , d và}

 

^ cùng vuông góc với đường thẳng d’ thì d //

 

^{ .}

[8] Độ dài đường chéo của một hình lập phương cạnh a là:

A. a 2. B. a 3. C.2a. D.3a.

[9] Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Kết luận nào dưới đây là sai:

A. ^AC'



^{A BD'}



^{. B. AC'}



^{B CD' ' .}



C.



^{A BD'}

 

^{/ / B CD' ' .}



^{D.(𝐴′𝐵, (𝐴𝐵̂′𝐶′𝐷)) = 450.}

[10] Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Mặt phẳng trung trực của AC’ cắt hình lập phương theo thiết diện là hình:

A. Tam giác đều. B.Tứ giác đều. C.Ngũ giác đều. D.Lục giác đều.

[11] Cho hai mặt phẳng

   

^{ , } cắt nhau, điểm M nằm ngoài hai mặt phẳng đó. Qua M dựng được bao nhiêu mp vuông góc với cả

   

^{ ,  :}

A.0. B.1. C.2. D.vô số.

[12] Cho hai mặt phẳng

   

^{ , } song song nhau, điểm M nằm ngoài hai mặt phẳng đó. Qua M dựng được bao nhiêu mp vuông góc với cả

   

^{ ,  :}

A.0. B.1. C.2. D.vô số.

[13] Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có các cạnh bên và cạnh đáy đều bằng a. Gọi O là tâm hình vuông ABCD. Độ dài SO bằng:

A. a 2. B. 2

2 .

a C. 3

2 .

a D. a 3.

[14] Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau.

   

^{P  Q  }, lấy A,B thuộc  sao cho AB = 8cm, C thuộc mp (P), D thuộc mp (Q) và AC = 6cm, BD = 24cm và AC,BD cùng vuông góc AB. Độ dài CD là:

A. 6 17cm. B. 612cm.

C.26cm. D.38cm.

[15] Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Mặt phẳng trung trực của AC’ cắt hình lập phương theo thiết diện H, diện tích thiết diện này là:

A.

3 2 3 4 .

a B.

2 3

4 . a

C.

3 2 2 4 .

a D.

2 2

4 . a

[16] Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có các cạnh bên và cạnh đáy đều bằng a. Gọi O là tâm hình vuông ABCD. Gọi M là trung điểm của SC, góc giữa (MBD) và (SAC) bằng:

A. 30 .⁰ B. 45 .⁰ C. 60 .⁰ D. 90 .⁰

[17] Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có các cạnh bên và cạnh đáy đều bằng a. Gọi O là tâm hình vuông ABCD, M là trung điểm SC.Độ dài MO bằng:

A. a 2. B. 2

2 .

a C. .

2

a D. a.

[18] Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có các cạnh bên và cạnh đáy đều bằng a. Gọi O là tâm hình vuông ABCD, M là trung điểm SC. Góc giữa (MBD) và (ABCD) bằng

A. 30 . ⁰ B. 45 . ⁰ C. 60 . ⁰ D. 90 .⁰

[19] Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O, cạnh a và ^{ˆ 60 ,0 6,}

 

2

A SC a SC ABCD . Trong

SAC dựng OK vuông góc SA tại K. Số đo 𝐵𝐾𝐷̂ bằng:

A.30⁰. B.45⁰. C.60⁰. D.90⁰.

[20] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và SA vuông góc (ABCD), SA = x. Với giá trị nào của x thì góc giữa 2 mp (SBC) và (SCD) là 60⁰?

A. .

2

x a B. xa.

C. x2 .a D. 3

2 . x a

[21] Cho mp(P) vuông góc mp(Q),

   

^{P  Q  }. A,B thuộc , ^C

 

^{P D, }

 

^Q sao cho AB AC AB BD

 

 

 và

AB = AC = BD. Gọi

 

^ là mp đi qua A và vuông góc với CD. Thiết diện tạo bởi

 

^ và tứ diện A.BCD là hình:

A.Tam giác vuông. B.Tam giác cân.

C.Tam giác đều. D.Hình vuông.

[22] Cho mp(P) vuông góc mp(Q),

   

^{P  Q  }. A,B thuộc , ^C

 

^{P D, }

 

^{Q sao cho AB AC}

AB BD

 

 

 và AB = AC = BD = a. Gọi

 

^ là mp đi qua A và vuông góc với CD. Thiết diện tạo bởi

 

^ và tứ diện A.BCD có diện tích là:

A.

2 3

4 .

a B.

2 3

6 . a

C.

2 3

8 .

a D.

2 3

12 . a

[23] Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Mệnh đề nào dưới đây là sai.

A. Tứ diện A.B’C’D’ có các cạnh đối bằng nhau ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp chữ nhật.

B. Tứ diện A.B’C’D’ có các cạnh đối vuông góc ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp có các mặt bên là hình thoi.

C. Tứ diện A.B’C’D’ đềuABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương.

D. Cả 3 câu A,B,C đều sai.

[24] Cho hai ACD và BCD nằm trên hai mp vuông góc nhau, AC = AD = BC = BD = a, CD = 2x. Độ dài AB bằng:

A. AB a²x². B. AB a²x². C. ^{AB 2}



^a2x2



^{. D. AB 2}



^a2x2



^.

[25] Cho hai ACD và BCD nằm trên hai mp vuông góc nhau, AC = AD = BC = BD = a, CD = 2x. Gọi I, J lần lượt là trung điểm AB, CD. Độ dài IJ bằng:

A. ²



^{2 2}



2 . a x

AB 

 B. AB2 a²x².

C. ^{AB2 2}



^a2x2



^{. D. 2}



^{2 2}



2 . a x

AB 



[26] Cho hai ACD và BCD nằm trên hai mp vuông góc nhau, AC = AD = BC = BD = a, CD = 2x. Với giá trị nào của x thì (ABC) và (ABD) vuông góc nhau?

A. 5 3 .

a B. 3

3 . a

C. 5 6 .

a D. 3

6 . a

[27] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, SA = SB = SC = a. Góc giữa (ABCD) và (SBD) bằng:

A.30⁰. B.45⁰.

C.60⁰. D.90⁰.

[28] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, SA = SB = SC = a. Khi đó SBD là:

A.Tam giác vuông tại S. B.Tam giác vuông tại B.

C.Tam giác vuông tại D. D.Tam giác cân tại B.

[29] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, SA = SB = SC = a. Đường cao đỉnh S của hình chóp S.ABCD là:

A.SO, với O là giao điểm AC, BD.

B. SB.

C. SG’, G’ là trọng tâm ABC.

D. SG, G là trọng tâm ACD.

[30] Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O, cạnh a và ^{ˆ 60 ,0 6,}

 

2

A SCa SC ABCD . Góc giữa hai mp (SBD) và (SAC) bằng:

A.30⁰. B.45⁰.

C.60⁰. D.90⁰.

[31] Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O, cạnh a và ^{ˆ 60 ,0 6,}

 

2

A SC a SC ABCD . Trong

SAC dựng OK vuông góc SA tại K. Độ dài OK bằng:

A. . 2

a B. 3

2 . a

C. 2 .a D. 2a 3.

[32] Cho tứ diện A.BCD có ABC vuông cân tại A, BC = a. Góc giữa 2mp (ABC) và (BCD) là 60⁰ và AD vuông góc (BCD) tại D. Diện tích BCDbằng:

A. 2a². B.

2

8 .

a C.

2

2 .

a D.

2

4 . a

V. KHOẢNG CÁCH

1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, đến một mặt phẳng ( , )

( ,( )) d M a MH d M P MH

 trong đó H là hình chiếu của M trên a hoặc (P).

2. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, giữa hai mặt phẳng song song d(a,(P)) = d(M,(P)) trong đó M là điểm bất kì nằm trên a.

d((P),(Q) = d(M,(Q)) trong đó M là điểm bất kì nằm trên (P).

mặt phẳng chứa đường thẳng kia và song song với nó.

 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó.

A. PHÂN DẠNG BÀI TẬP

Trong tài liệu Bài tập trắc nghiệm Toán 11 (HK2) – Huỳnh Chí Dũng - Học Tập Trực Tuyến Cấp 1,2,3 - Hoc Online 247 (Trang 91-98)