x −∞ 0 2 4 +∞
−x + 0 − − −
x−4 − − − 0 +
x−2 − − 0 + +
−x(x−4)
x−2 + 0 − || + 0 −
Tập nghiệm của bất phương trình làS= (−∞; 0]∪(2; 4].
Bất phương trình|2x−2|+|3−x|>3
⇔
®x≤1
5−3x>3 hoặc
®1<x≤3 1+x>3 hoặc
®x>3 3x−5>3.
⇔
x≤1 x< 2 3
hoặc
®1<x≤3 x>2 hoặc
x>3 x> 8 3 .
⇔x< 2
3 hoặc2<x≤3hoặcx>3.
⇔
x< 2
3 x>2 .
Vậy tập nghiệm của bất phương trìnhS= Å
−∞;2 3
ã
∪(2;+∞).
Ví dụ 25. Giải bất phương trình|5−8x|<11.
Lời giải. Vì11>0nên|5−8x|<11⇔
®5−8x<11 5−8x>−11 ⇔
x>−3 4 x<2
⇔ −3
4 <x<2.
Vậy tập nghiệm của bất phương trìnhS= Å
−3 4; 2
ã . Ví dụ 26. Giải bất phương trình|2x−4| ≥2.
Lời giải. Vì2>0nên|2x−4| ≥2⇔
ñ2x−4≥2 2x−4≤ −2⇔
ñ2x≥6 2x≤2 ⇔
ñx≥3 x≤1. Vậy tập nghiệm của bất phương trìnhS= (−∞; 1]∪[3;+∞).
Ví dụ 27. Giải bất phương trình
x+3 2
<
6−2x 5
.
Lời giải. Bất phương trình
x+3 2
<
6−2x 5
⇔5|x+3|<2|6−2x|
⇔(5x+15)2<(12−4x)2
⇔(5x+15+12−4x)(5x+15−12+4x)<0
⇔(x+27)(9x+3)<0.
Lập bảng xét dấu của biểu thức f(x) = (x+27)(9x+3), ta được:
x x+27 9x+3 f(x)
−∞ −27 −1
3 +∞
− 0 + +
− − 0 +
+ − +
Do đó f(x) = (x+27)(9x+3)<0⇔ −27<x<−1 3. Vậy tập nghiệm của bất phương trìnhS=
Å
−27;−1 3
ã .
Ví dụ 28. Giải bất phương trình |x−1|
x2+3x−4 ≥2.
Lời giải. Điều kiện:x2+3x−46=0⇔
®x6=1 x6=−4.
Nếux−1≥0⇔x≥1thì|x−1|=x−1và bất phương trình trở thành:
x−1
(x−1)(x+4) ≥2⇔ 1
x+4 ≥2⇔ −2x−7
x+4 ≥0⇔ −4≤x≤ −7 2. Kết hợpx≥1, ta cóx∈∅.
Nếux−1<0⇔x<1thì|x−1|=1−xvà bất phương trình trở thành:
1−x
(x−1)(x+4)≥2⇔ − 1
x+4 ≥2⇔−2x−7
x+4 ≤0⇔x≥ −4hoặcx≤ −7 2. Kết hợpx<1, ta cóx≤ −4hoặc−7
2 ≤x<1.
Kết hợp với điều kiện, ta đượcx<−4hoặc−7
2≤x<1.
Vậy tập nghiệm của bất phương trìnhS= (−∞;−4)∪ ï
−7 2; 1
ã .
Ví dụ 29. Giải bất phương trình |x+3| −x x ≥1.
Lời giải. Điều kiện:x6=0.
Nếux+3≥0⇔x≥ −3thì bất phương trình trở thành:
(x+3)−x
x ≥1⇔ 3
x ≥1⇔ 3−x
x ≥0⇔0≤x≤3.
Kết hợp vớix≥ −3và điều kiệnx6=0, ta có0<x≤3.
Nếu Nếux+3<0⇔x<−3thì bất phương trình trở thành:
−(x+3)−x
x ≥1⇔−2x−3
x ≥1⇔−3x−3
x ≥0⇔ −1≤x≤0.
Kết hợp vớix<−3và điều kiệnx6=0, ta cóx∈∅. Vậy tập nghiệm của bất phương trình làS= (0; 3].
BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 23. Giải các bất phương trình sau.
a) |3x−5| ≤2.
b) |6−2x|>6.
c) |7x+10| −3≥0.
d)
8 x+1
<2.
Lời giải.
a) |3x−5| ≤2⇔
®3x−5≤2
3x−5≥ −2⇔1≤x≤ 7 3. b) |6−2x|>6⇔
ñ6−2x>6 6−2x<−6 ⇔
ñx<0 x>6.
c) |7x+10| −3≥0⇔ |7x+10| ≥3⇔
ñ7x+10≥3 7x+10<−3 ⇔
x≥ −1 x≤ −13
7 .
d)
8 x+1
<2⇔
®x6=−1
8<2|x+1| ⇔
®x6=−1
|x+1|>4 ⇔
x6=−1 ñx+1>4
x+1<−4
⇔
ñx>3 x<−5. Bài 24. Giải bất phương trình|2x−4|<x+1.
Lời giải.
|2x−4|<x+1⇔
®x≥2
2x−4<x+1
®x<2
4−2x<x+1
⇔
®x≥2 x<5
®x<2 x>1
⇔
ñ2≤x<5
1<x<2 ⇔1<x<5.
Bài 25. Giải bất phương trình|x+5|+9≥3x.
Lời giải.
|x+5|+9≥3x⇔
®x≥ −5 x+5+9≥3x
®x<−5
−x−5+9≥3x
⇔
®x≥ −5 x≤7
®x<−5 x≤1
⇔
ñ−5≤x≤7
x<−5 ⇔x≤7.
Bài 26. Giải bất phương trình|2x−9|>|7−8x|.
Lời giải.
|2x−9|>|7−8x| ⇔(2x−9)2>(7−8x)2⇔(−6x−2)(10x−16)>0.
Lập bảng xét dấu cho biểu thức f(x) = (−6x−2)(10x−16), ta được f(x)>0⇔ −1
3 <x<8 5. Bài 27. Giải bất phương trình|2x+6|+|5−5x|<2x+1.
Lời giải. Bỏ dấu giá trị tuyệt đối ở vế trái của phương trình ta có:
x
|2x+6|
|5−5x|
VT
−∞ −3 1 +∞
−2x−6 0 2x+6 2x+6 5−5x 5−5x 0 5x−5
−1−7x 11−3x 7x+1
Bất phương trình|2x+6|+|5−5x|<2x+1
⇔
®x≤ −3
−1−7x<2x+1 hoặc
®−3<x≤1
11−3x<2x+1 hoặc
®x>1
7x+1<2x+1.
⇔2<x≤1.
Bài 28. Giải bất phương trình2|x−4|+3|1+x| − |x| ≤3.
Lời giải. Bỏ dấu giá trị tuyệt đối ở vế trái của phương trình ta có:
x
|x−4|
|1+x|
|x|
VT
−∞ −1 0 4 +∞
4−x 4−x 4−x 0 x−4
−1−x 0 1+x 1+x 1+x
−x −x 0 x x
3−3x 5−x 5+x 3x−3
Bất phương trình2|x−4|+3|1+x| − |x| ≤3
⇔
®x≤ −1
3−3x≤3 hoặc
®−1<x≤0 5−x≤3 hoặc
®0<x≤4 5+x≤3 hoặc
®x>4 3x−3≤3.
⇔x∈∅.
Bài 29. Giải bất phương trình
x− |x−1|
<2.
Lời giải.
x− |x−1|
<2⇔
®x− |x−1|<2 x− |x−1|>−2
⇔
®|x−1|>x−2(đúng với mọix∈R)
|x−1|<x+2
⇔ |x−1|<x+2
⇔x>−1 2.
BÀI TẬP TỔNG HỢP Bài 30. Giải bất phương trình 1
x−1 > 1
x−2− 1 x+2. Lời giải. Ta có: 1
x−1> 1
x−2− 1
x+2 ⇔ x(x−4)
(x−1)(x+2)(x−2) >0.
Bảng xét dấu:
x −∞ −2 0 1 2 4 +∞
x − − 0 + + + +
x−4 − − − − − 0 +
x−1 − − − 0 + + +
x+2 − 0 + + + + +
x−2 − − − − 0 + +
x(x−4)
(x−1)(x+2)(x−2) − || + 0 − || + || − 0 +
Tập nghiệm của bất phương trìnhS= (−2; 0)∪(1; 2)∪(4;+∞).
Bài 31. Tìm nghiệm của bất phương trình(x−1)(4x−5)(2x−4)>0thỏa mãn|x|<1.
Lời giải. Giải bất phương trình(x−1)(4x−5)(2x−4)>0.
x −∞ 1 54 2 +∞
x−1 − 0 + + +
4x−5 − − 0 + +
2x−4 − − − 0 +
(x−1)(4x−5)(2x−4) − 0 + 0 − 0 + Suy ra tập nghiệm của bất phương trình làS=
Å 1;5
4 ã
∪(2;+∞).
Ta có|x|<1⇔ −1<x<1.
Do đó ta đượcS= /0.
Bài 32. Giải bất phương trình
2− |x|
1+x
<2.
Lời giải. Điều kiện:x6=−1.
Nếux≥0thì bất phương trình trở thành
2−x 1+x
<2⇔
2−x 1+x <2 2−x 1+x >−2
⇔
ñx<−1 x>0 . Kết hợp vớix≥0và điều kiệnx6=−1, ta đượcx>0.
Nếux<0thì bất phương trình trở thành
2+x 1+x
<2⇔
2+x 1+x <2 2+x 1+x >−2
⇔
ñx<−1 x>0
x>−1 x<−4 3
⇔
x>0 x<−4
3 .
Kết hợp vớix<0và điều kiệnx6=−1, ta đượcx<−4 3. Vậyx>0hoặcx<−4
3.
Bài 33. Giải bất phương trìnhp
x2− |x−2| ≤x.
Lời giải. Nếux−2≥0⇔x≥2thì bất phương trình trở thành:
(px2−x+2≤x x2−x+2≥0
⇔x2−x+2≤x2⇔x≥2.
Kết hợpx≥2ta đượcx≥2.
Nếux−2<0⇔x<2thì bất phương trình trở thành:
px2+x−2≤x⇔
x2+x−2≥0 x≥0
x2+x−2≤x2
⇔
(x−1)(x+2)≥0 x≥0
x≤2
⇔1≤x≤2.
Kết hợp vớix<2, ta được1≤x<2. Vậyx≥1.
Bài 34. Giải và biện luận bất phương trình sau:2(m+1)x≤(m+1)2(x−1) Lời giải. Bất phương trình đã cho tương đương với:
[(m+1)2−2(m+1)]x≥(m+1)2⇔(m−1)(m+1)x≥(m+1)2
TH1. Vớim=−1bất phương trình trở thành0≥0. Tập nghiệm của bất phương trình này làR. TH2. Vớim<−1hoặcm>1thì(m−1)(m+1)>0, do đó:x≥ m+1
m−1. VậyS=
Åm+1 m−1;+∞
ã .
TH3. Với−1<m<1thì(m−1)(m+1)<0, do đó:x≤ m+1
m−1. VậyS= Å
−∞;m+1 m−1
ã .
Bài 35. Giải và biện luận hệ bất phương trình sau
®(x−√
5)(1−2x)>0 (1) x−m≤0 (2). Lời giải. Tập nghiệm của bất phương trình(1)S=
Å1 2;√
5 ã
.
TH1. Nếum≤ 1
2⇔x≤m≤ 1
2. Hệ bất phương trình này vô nghiệm TH2. Nếu 1
2 <m<√
5, khi đóx≤m. Tập nghiệm của hệ làS= Å1
2;m ò
vớim<√ 5 TH3. Nếum≥√
5, bất phương trình(2)⇔x≤m.
Để hệ bất phương trình này có nghiệm thìx∈ Å1
2;√ 5
ã . Vậy tập nghiệm của hệ bất phương trìnhS=
Å1 2;√
5 ã
. Bài 36. Giải và biện luận các bất phương trình sau
a) (2x−4)(x−m)>0;
b)
√2−x
x−2m+1 ≤0;
Lời giải.
a) TXĐ:D=R.
Trường hợp 1. m=2, bất phương trình đã cho tương đương2(x−2)2>0⇔x6=2.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình làS=R\{2}.
Trường hợp 2. m<2. Ta có bảng xét dấu x
2x−4 x−m (2x−4)(x−m)
−∞ m 2 +∞
− − 0 +
− 0 + +
+ 0 − 0 +
Dựa vào bảng xét dấu(2x−4)(x−m)>0⇔x∈(−∞;m)∪(2;+∞).
Trường hợp 3. m>2. Ta có bảng xét dấu
x 2x−4
x−m (2x−4)(x−m)
−∞ 2 m +∞
− 0 + +
− − 0 +
+ 0 − 0 +
Dựa vào bảng xét dấu(2x−4)(x−m)⇔x∈(−∞; 2)∪(m;+∞).
Vậy bất phương trình đã cho luốn có vô số nghiệm, tập nghiệm là
• S=R\{2}vớim=2;
• S= (−∞;m)∪(2;+∞)nếum<2
• S= (−∞; 2)∪(m;∞)nếum>2.
b) TXĐ:D=R\{2m−1}.
Trường hợp 1. 2m−1=√
2⇔m=
√2+1
2 , bất phương trình đã cho tương đương
−1≤0, (luôn đúng với mọix∈R).
Trường hợp 2. 2m−1<√
2⇔m<
√ 2+1
2 . Ta có bảng xét dấu x
√2−x x−2m+1
√2−x x−2m+1
−∞ 2m−1 √
2 +∞
+ + 0 −
− 0 + +
− + 0 −
Dựa vào bảng xét dấu
√ 2−x
x−2m+1 ≤0khix∈(−∞; 2m−1)∪x∈[√
2;+∞).
Trường hợp 3. 2m−1>√
2⇔m>
√2+1
2 . Ta có bảng xét dấu x
√2−x x−2m+1
√2−x x−2m+1
−∞ √
2 2m−1 +∞
+ 0 − −
− − 0 +
− 0 + −
Dựa vào bảng xét dấu
√ 2−x
x−2m+1 ≤0khix∈(−∞;√
2]∪x∈(2m−1;+∞).
Vậy bất phương trình đã cho luôn có vô số nghiệm, tập nghiệm
• S=Rnếum=
√2+1 2 ;
• S= (−∞; 2m−1)∪[√
2;+∞)nếum<
√2+1 2 ;
• S= (−∞;√
2]∪(2m−1;+∞)nếum>
√ 2+1
2 .
Bài 37. Tìm các giá trị của tham sốmsao cho hệ bất phương trình sau có nghiệm
−2 3 x+7
2 > 1 3x+1
2 m2x+1 ≥m4−x.
Lời giải. TXĐ:D=R. Ta có
−2 3 x+7
2 > 1 3x+1
2 m2x+1 ≥m4−x
⇔
®x<3
(m2+1)x≥m4−1 ⇔
®x<3 x≥m2−1.
Do đó hệ bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi
m2−1<3⇔m2−4<0⇔(m−2)(m+2)<0.
Bảng xét dấu
m m−2 m+2 (m−2)(m+2)
−∞ −2 2 +∞
− − 0 +
+ 0 − −
− 0 + 0 −
Dựa vào bảng xét dấu ta cóm∈(−∞;−2)∪(2;+∞)là các giá trị cần tìm.
§4. BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
I. Tóm tắt lí thuyết
1. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn
Định nghĩa 1. Bất phương trình bậc nhất hai ẩnx,ycó dạng tổng quát là ax+by≤c (1)
(ax+by<c;ax+by≥c;ax+by>c)
trong đóa,b,clà những số thực đã cho,avàbkhông đồng thời bằng0,xvàylà các ẩn.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp các điểm có tọa độ là nghiệm bất phương trình (1) được gọi là miền nghiệmcủa nó.
4
! Trong mặt phẳng tọa độOxy, đường thẳngax+by=cchia mặt phẳng thành hai nửa mặt phẳng, một trong hai mặt phẳng đó là miền nghiệm của bất phương trình ax+by≤c, nửa mặt phẳng kia là miền nghiệm của bất phương trìnhax+by≥c.2. Hệ bất phương trình bậc nhất 2 ẩn
Định nghĩa 2. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩngồm một số bất phương trình bậc nhất 2 ẩnx,ymà ta phải tìm các nghiệm chung của chúng. Mỗi nghiệm chung đó được gọi là một nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
Cũng như bất phương trình bậc nhất hai ẩn, ta có thểbiểu diễn hình học tập nghiệmcủa hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.