HÌNH LĂNG TRỤ - HÌNH HỘP

Bi ên So ạn: LÊ MINH TÂM

 Gọi

 

^{K PMNR 1}

KI 2PN

 

 Mà a x.

PN SD

a

 

2 . KI a x SD

a

  

 Gọi G là trung điểm SD. Ta có IK OI a x GD OD a

  

  

 

 Mà IK// GD K GO .Vậy khi I di động trên DO thì K di động trên GO.

. Tính diện tích đa giác MNPQR theoa và x DI . Tính x để diện tích ấy lớn nhất.

 Ta có _{PR NM} ^x_{.a x}

  a  1 3 ² 3

2. . 2 4

PQR

x x

S x

  

 Ta có _PRMN . .a x. S NM PN x SD

a

   ^{x.a x.2OE x.a x. .2a 2}



^{a x x}



a a

 

   

 Vậy ²

 

^{2 3}

MNPQR 4

S  a x x x (đvdt)

Bi ên So ạn: LÊ MINH TÂM

 Do vậy I là giao điểm của A M' và



^{AB C' '}



^.

. Tìm giao tuyến d của



^{AB C' '}



^và



^{BA C' '}



^.

 Trong _{(ABB A' ')} có ^{ABBA}

 

^J

   

, ' ' ' '

J C AB C BA C

  



^{' '}

 

^{' '}



JC AB C BA C

  

. Tìm giao điểm G của dvới



^AMA'



. Chứng minh rằng G là trọng tâm AB C' '

 Trong



^{AB C' '}



^{có JC'IM'}

 

^{G  G JC'}



^{AMM A' '}



^.

 Xét AC B' 'có AM C J'; ' lần lượt là trung tuyến.

 Do vậy giao điểm G của chúng chính là trọng tâm AC B' '.

 Bài 02.

Cho hình hộp ABCD A B C. _{1 1 1}D₁. Gọi O₁ là tâm hình bình hành A B C D_{1 1 1 1}; K là trung điểm CD , E là trung điểm của BO₁.

. Chứng minh E



ACB1



.

. Xác định thiết diện của hình hộp với

 

^{P đi qua K} và song song với



^EAC



^.

Lời giải

. Chứng minh E



ACB1



.

 Gọi giao điểm của hai hình bình hành

1 1 , 1 1

A B BA B C BC làP Q,

 Ta có _{PE QE;} lần lượt đường trung bình của

1 1; 1 1

BO A BO C

 Nên ta có PE//A C ;A C //_{1 1 1 1} QE

 Do vậy E PQ  E



AB C1



. Trong



^ABCD



^{kẻ KI AC I//}



^AD



 Trong



A ADD1 1



kẻ

 

1 1 1 1

// ; //

IG A D G AA A D B C

 

1 1

// //

IG B C IG B AC

 

 Trong



ABA B1 1



kẻ GM AB M A B// '



 1 1



 Trong



A B C D1 1 1 1



kẻ HM A C H B C// 1 1



 1 1



 Trong



BB C C1 1



kẻ HN A C N CC// 1 1



 1



 Do vậy giao tuyến cần tìm là ngũ giác KIGMHN.

Bi ên So ạn: LÊ MINH TÂM

 Bài 03.

Cho lăng trụ tam giác ABC A B C . Trên đường thẳng BA lấy điểm . ' ' ' Msao cho A nằm giữa đoạn thẳng MBvà ¹

MA2AB.

. Xác định thiết diện của hình lăng trụ cắt bởi mặt

 

^{P đi qua M,B'} và trung điểm E của AC.

. Tính tỉ số ^BD

CD với ^{D BC }



^{MB E'}



Lời giải

 Do ^{D BC }



^{MB E}



^{; BC ME, }



^ABC



^{ D BCME.}

. Xác định thiết diện của hình lăng trụ cắt bởi mặt

 

^{P đi qua M,B'} và trung điểm E của AC.

 Trong (ABB'), gọi F MB 'AA'. Như vậy, ta có:



   

   

   

   

P ABB FB P BCC B B D P ABC DE P ACC A EF

    

     



 

    



 Vậy thiết diện của hình lăng trụ cắt bởi mặt phẳng ( )P là tứ giác B DEF' .

. Tính tỉ số ^BD

CD với ^{D BC }



^{MB E'}



Kẻ AI DE// với I BC .

 Mà E là trung điểm của AC,

DE là đường trung bình của ACI.

D là trung điểm của CIhay CD DI

 Do AI DM// nên BD BM BA AM ²AM AM 3

DI AM AM AM

 

    BD3DI. Vậy BD 3

CD  .

 Bài 04.

Cho lăng trụ tam giác ABC A B C. ' ' '. Gọi I, J, K lần lượt là tâm của các hình bình hành ACC A' ', ' '

BCC B , ABB A' '

. Chứng minh rằng: ^IJ//



^{ABB A }



^{;JK//(ACC A' ');IK//(BCC B' ').}

. Chứng minh rằng: Ba đường thẳng AJ, CK, BI đồng qui tại điểm O.

. Chứng minh rằng: _(IJK) song song với mặt đáy của lăng trụ.

. Gọi G, G' là trọng tâm của các tam giác ABC và A B C' ' '. Chứng minh G, O, G'thẳng hàng Lời giải

. Chứng minh rằng: ^IJ//



^{ABB A }



^{;JK//(ACC A' ');IK//(BCC B' ').}

 Ta có IJ là đường trung bình của C AB, '

 Nên IJ AB// . Mà ^AB



^{ABB A' '}



Bi ên So ạn: LÊ MINH TÂM

Vậy ^IJ//



^{ABB A' '}



^.

 Chứng minh tương tự, ta có:^JK//



^{ACC A' '}



^,

 

// ' '

IK BCC B .

. Chứng minh rằng: Ba đường thẳng AJ, CK, BI đồng qui tại điểm O.

 Xét ba mặt phẳng



^{C AB'}

 

^{, A BC'}

 

^{, B AC'}



^:



^{C AB}

 

^{ A BC}



^BI;



^{C AB}

 

^{ B AC}



^AJ;



^{B AC}

 

^{ A BC}



^CK;



^{C AB}

 

^{ A BC}



^BI;



^{C AB}

 

^{ B AC}



^AJ;



^{B AC}

 

^{ A BC}



^CK

 Suy ra, theo định lí giao tuyến: ba đường thẳng BI AJ CK, , đồng quy tại một điểm.

. Chứng minh rằng: (IJK) song song với mặt đáy của lăng trụ.

 Theo ý , ta có: ^{/ /}

  

^{/ /}



/ / IJ AB

IJK ABC JK AC



 .

. Chứng minh , ,G O Gthẳng hàng

 Dễ thấy O là trọng tâm C AB’ .

 Gọi MC O AB thì M là trung điểm của AB.

 Vậy ba điểm ,G M C, thẳng hàng.

 Vì O và G lần lượt là trọng tâm của hai C AB và CAB

Nên ta có: ¹

3 / /

MO MG

OG CC MC  MC   

 (1)

 Chứng minh tương tự OG' //CC'(2)

 Từ (1) và (2) suy ra ba điểm G O G, , thẳng hàng.

 Bài 05.

Cho hình hộp ABCD A B C D.    .

. Chứng minh



^BDA



song song với



^{B D C }



^.

. Chứng minh đường chéo AC đi qua trọng tâm G₁ , G₂ của hai BDA và B D C  .

. Chứng mình G₁ , G₂ chia đoạn AC thành ba phần bằng nhau.

. Gọi I , K lần lượt là tâm các hình bình hành ABCD, BCC B . Xác định thiết diện của



^{A IK}



với hình hộp.

Lời giải

. Chứng minh



^BDA



song song với



^{B D C }



^.

Bi ên So ạn: LÊ MINH TÂM

 Gọi _I, O lần lượt là tâm các hình bình hành ABCD , A B C D   .

 Ta có:

 

 

   

//

//

, , BD B D A I OC

BD A I BDA OC B D B D C BD A I I OC B D O

  

 

   

    

   

   





^BDA

 

^{// B D C }



 .

. Chứng minh đường chéo AC đi qua trọng tâm G₁ , G₂ của hai BDA và B D C  .

 Ta có:



^{ACC A}

 

^{ BDA}



^{A I và} ACA I G  1AC



BDA

  

 G1 .

 Ta có: AI A C//   ^{1 1}

1 1

1 2 G A AI G I G C A C G A

   

    ^G1 là trọng tâm tam giác BDA.

 Ta có:



^{ACC A}

 

^{ B D C }



^{CO và} AC CO G 2 AC



B D C 

  

 G2 .

 Ta có: OC AC// ^{2 2}

2 2

1 2 G O G C OC G C G A AC

 

    _G2 là trọng tâm tam giác B D C  .

. Chứng mình G₁ , G₂ chia đoạn AC thành ba phần bằng nhau.

 Theo ý  ta có: ₁ ¹ ₂ AG 3ACC G

_G1 , G₂ chia đoạn AC thành ba phần bằng nhau.

. Xác định thiết diện của



^{A IK}



với hình hộp.

 Ta có: A I CCP



^{A IK}

 

^{BCC B}



^KP

   ,

KP BC M  và KP B C  N.

 Suy ra:



^{A IK}

 

^{ A B C D   }



^{A N .}



^{A IK}

 

^{ ABCD}



^{IM và IMAD Q .}

 Suy ra:



^{A IK}

 

^{ ADA D }



^{A Q .}

 Vậy thiết diện của



^{A IK}



với hình hộp là tứ giác A NMQ .

Bi ên So ạn: LÊ MINH TÂM

 Bài 06.

Cho hình hộp ABCD A B C D.    . Gọi P Q R S, , , lần lượt là tâm các mặt ABB A  , BCC B  , CDD C  , _{DAA D} .

. Chứng minh rằng: ^RQ//



^ABCD



^;



^PQRS

 

^{// ABCD}



^.

. Xác định thiết diện của hình hộp khi cắt bởi



^AQR



^.

.Gọi M là giao điểm của cạnh CC với



^AQR



. Tính tỉ số ^MC MC

. Lời giải

. Chứng minh rằng: ^RQ//



^ABCD



^;



^PQRS

 

^{// ABCD}



^.



 

 

^//

 

// //

RQ ABCD

RQ ABCD RQ BD BD B D

 

 

  

 (1).



 

^//

 

//

PQ ABCD

PQ ABCD PQ AC

 

 

 (2).

 Từ (1) và (2) ^



^PQRS

 

^{// ABCD}



. Xác định thiết diện của hình hộp khi cắt bởi



^AQR



^.

 Gọi O là trung điểm _{B D} . CO RQE.

AE CC M. MQBBG. MR DD F.

 Vậy thiết diện của hình hộp khi cắt bởi



^AQR



là tứ giác AGMF

.Tính tỉ số ^MC MC

.

 Theo ý  E là trung điểm RQ và CO.

 Đặt ^{CMxCC x}



^0



AMAC CM ACxCC ^{AC x AC}



^AC



^{xACAC}

^

^1x

^

^.

1 1

2 2

AE AC AO ^1₂^AC1₂



^{ACC O }



^1₂^AC1₂^_^AC1₂^AC_ ^1₂^AC1₄^AC.

 Vì ,A M E thẳng hàng, AE, AM cùng phương ¹

1 1

2 4

x x

  ^{ x 2 1}

 

^{x 2}

x 3

  .

 Vậy ¹

2 MC

MC

 .

Bi ên So ạn: LÊ MINH TÂM

Trong tài liệu Chuyên đề quan hệ song song - Lê Minh Tâm - TOANMATH.com (Trang 83-89)