Dạng 2. Tìm điều kiện của tham số thỏa điều kiện cho trước
V. Hệ phương trình hai ẩn khác
• Xétx=0, hệ phương trình đã cho vô nghiệm.
• Xétx6=0. Chia hai vế(1)chox2ta được phương trình:
y x
2
−(m+1)y x
+m=0⇔
y x =m y x =1
⇔
ñy=mx y=x.
a) Vớiy=x,(2)⇔3x2=1(phương trình này có hai nghiệm).
b) Vớiy=mx,(2)⇔(1+m+m2)x2=1. Vì1+m+m2>0,∀mnên hệ có 4 nghiệm thì1+m+ m26=3⇔m6=1vàm6=−2.
• Vậy hệ phương trình đã cho có4nghiệm khim6=1vàm6=−2.
9y2−24xy−24y+9y2=0⇔18y2−24xy−24y=0⇔
y=0 y= 4x+4
3 .
+/ Vớiy=0thay vào(1)ta có(10x+4)(4−2x) =0⇔
x=2 x=−2
5 . +/ Vớiy= 4x+4
3 thay vào(1), rút gọn được phương trình36x2=0⇔x=0⇒y= 4 3. Vậy hệ có tập nghiệmS=
ßÅ
−2 5; 0
ã ,
Å 0;4
3 ã
,(2; 0)
™ .
•Cách 2: Coi(2)là phương trình bậc hai ẩny, tham sốx:
9y2−24(x+1)y−20x2+32x+16=0.
Ta có∆y= (18x)2. Suy ra(2)⇔
y=12(x+1) +18x
9 =10x+4 3 y=12(x+1)−18x
9 =−2x+4 3
.
+/ Vớiy= 10x+4
3 thế vào(1)được phương trình
(10x+4)2= (10x+4)(4−2x)⇔
x=0⇒y= 4 3 x=−2
5 ⇒y=0 .
+/ Vớiy= −2x+4
3 thế vào(1)được phương trình
(−2x+4)2= (10x+4)(4−2x)⇔
x=2⇒y=0 x=0⇒y=4 3 .
Vậy hệ có tập nghiệmS= ßÅ
−2 5; 0
ã ,
Å 0;4
3 ã
,(2; 0)
™ .
Ví dụ 19. Giải hệ phương trình
®x3+11x=y3+11y, x2+y2=2x+y−1.
Lời giải. Xét hệ
®x3+11x=y3+11y (1), x2+y2=2x+y−1 (2).
Ta có
(1)⇔x3−y3+11x−11y=0⇔(x−y)(x2+xy+y2) +11(x−y) =0
⇔(x−y)(x2+xy+y2+11) =0⇔
ñx−y=0
x2+xy+y2+11=0 (vô nghiệm). Vớix−y=0⇔y=xthế vào(2)ta có
2x2=3x−1⇔2x2−3x+1=0⇔
x=1⇒y=1 x=1
2 ⇒y= 1 2 .
Vậy hệ có tập nghiệmS= ß
(1; 1);
Å1 2;1
2 ã™
.
Ví dụ 20. Giải hệ phương trình
®(x+1)2(xy+2x) =12, xy+x=2.
Lời giải. Ta có
®(x+1)2(xy+2x) =12
xy+x=2 ⇔
®(x+1)2(xy+2x) =12, (xy+2x)ư(x+1) =1.
Đặtu=x+1,v=xy+2xta được hệ
®u2v=12 (∗), vưu=1.
Thếv=u+1vào(∗)ta được phương trìnhu3+u2ư12=0⇔u=2⇒v=3. Suy rax=1,y=1.
Vậy hệ có tập nghiệmS={(1; 1)}.
Ví dụ 21. Giải hệ phương trình
®p2x+3yư1ưp
x+6yư2+xư3y+1=0, x2+9y2ư6xy+4xư9y=0.
Lời giải. Xét hệ
®p2x+3yư1ưp
x+6yư2+xư3y+1=0 (1), x2+9y2ư6xy+4xư9y=0 (2).
Để ý thấy(2x+3yư1)ư(x+6yư2) =xư3y+1, nên ta sẽ sử dụng phương pháp nhân liên hợp:
•Điều kiện
®2x+3y≥1 x+6y≥2
•Trường hợp√
2x+3yư1+√
x+6yư2=0⇔
®2x+3yư1=0 x+6yư2=0 ⇔
x=0 y= 1 3
(loại).
•Trường hợp√
2x+3yư1+√
x+6yư26=0, ta có (1)⇔ xư3y+1
√2x+3yư1+√
x+6yư2+ (xư3y+1) =0
⇔(xư3y+1)
Å 1
√2x+3yư1+√
x+6yư2+1 ã
=0⇔x=3yư1.
Khi đó
(2)⇔(3yư1)2+9y2ư6(3yư1)y+4(3yư1)ư9y=0⇔3yư3=0⇔y=1⇒x=2 (thỏa mãn).
Vậy hệ có tập nghiệmS={(2; 1)}.
Ví dụ 22. Giải hệ phương trình
®27x3+8y3=35, 3x2y+2xy2=5.
Lời giải. Xét hệ
®27x3+8y3=35 (1), 3x2y+2xy2=5 (2).
Để ý thấy hệ là đẳng cấp bậc3, nhưng ở đây ta sẽ giải hệ bằng phương pháp cộng đại số để minh họa cho phương pháp này. Ta quan sát:(1)có27x3= (3x)3, 8y3= (2y)3. Mà(3x+2y)3=27x3+8y3+18(3x2y+ 2xy2). Vì vậy ta giải hệ như sau:
Lấy(1) +18×(2)ta được
27x3+8y3+18(3x2y+2xy2) =35+18×5
⇔(3x)3+3.(3x)2.2y+3.3x.(2y)2+ (2y)3=125
⇔(3x+2y)3=53⇔3x+2y=5⇔y=5ư3x 2 .
Thếy= 5ư3x
2 vào(1)ta có
27x3+8
Å5ư3x 2
ã3
=35⇔27x3+ (5ư3x)3=35
⇔27x2ư45x+18=0⇔
x=1⇒y=1 x=2
3 ⇒y= 3 2 .
Vậy hệ có tập nghiệmS= ß
(1; 1), Å2
3;3 2
ã™
.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 24. Giải hệ phương trình
®x2+4y2ư10x=0,
x2+4y2ư4xư4yư20=0.
Lời giải. Xét hệ
®x2+4y2ư10x=0 (1), x2+4y2ư4xư4yư20=0 (2).
(1)⇔10x=x2+4y2 thế vào (2) ta được y= 3xư10
2 . Thế trở lại vào (1) và giải ra tập nghiệm S= ß
(2;ư2);
Å 5;5
2 ã™
.
Bài 25. Giải hệ phương trình
®2xy+x+2y=x2ư8y2, x√
yưy√
xư1=xư2y.
Lời giải. Xét hệ
®2xy+x+2y=x2ư8y2 (1), x√
yưy√
xư1=xư2y (2).
+/ Điều kiện
®x≥1 y≥0
+/ Ta có(1)⇔x2ư(2y+1)xư8y2ư2y=0có∆x= (6y+1)2. Suy ra
ñx=4y+1
x=ư2y (loại). Thế vào(2), giải ra tập nghiệmS={(5; 1)}.
Bài 26. Giải hệ phương trình
®2xy+xư2=0,
2x3ư2x2y+x2+4y2ư4xyư2y=0.
Lời giải. Xét hệ
®2xy+xư2=0 (1), 2x3ư2x2y+x2+4y2ư4xyư2y=0 (2).
•Cách 1: Phân tích
(2)⇔x2(2xư2y+1)ư2y(2xư2y+1) =0⇔(x2ư2y)(2xư2y+1) =0.
•Cách 2: Sử dụng phương pháp∆chính phương:
(2)⇔4y2ư2(x2+2x+1)y+ (2x3+x2) =0có∆y= (ưx2+2x+1)2. Hệ có tập nghiệmS=
®Å 1;1
2 ã
,
Çư1+√ 5 2 ;
√5 2
å ,
Çư1ư√ 5 2 ;ư
√5 2
å´
. Bài 27. Giải hệ phương trình
®4x2+y2ư2xy+4y+1=0,
ưy3+4xy2ư4x2y+7y=2(4x2+1).
Lời giải. Xét hệ
®4x2+y2ư2xy+4y+1=0 (1), ưy3+4xy2ư4x2y+7y=2(4x2+1) (2).
Để ý thấy vế trái của(2) có nhân tử chung là y và vế phải của(2) xuất hiện trong (1): (1)⇔4x2+1= ưy2+2xyư4y (∗). Nên ta sẽ thế(∗)vào(2)được phương trình
−y3+4xy2−4x2y+7y=2(−y2+2xy−4y)
⇔
ñy=0
−y2+ (4x+2)y−4x2−4x+15=0 (3). (3)có∆
0
y=16, suy ra(3)⇔
ñy=2x−3 y=2x+5. Thay lại vào(1)giải ra tập nghiệmS=
ß
(−1;−5), Å1
2;−2 ã™
. Bài 28. Giải hệ phương trình
®x3−y3=4x+2y, x2+3y2=4.
Lời giải. Xét hệ
®x3−y3=4x+2y (1), x2+3y2=4 (2).
Ta có(1)⇔x3−y3=4x+1
2.4y. Thế4=x2+3y2ta được phương trình
x3−y3= (x2+3y2)x+1
2(x2+3y2)y⇔5y3+6y2x+x2y=0⇔
ñy=0
5y2+6yx+x2=0 ⇔
y=0 x=−y x=−5y
.
Thay vào(2), giải ra tập nghiệmS= ß
(±2; 0),(−1; 1),(1;−1), Å
− 5
√ 7; 1
√ 7
ã ,
Å 5
√ 7;− 1
√ 7
ã™
. Bài 29. Giải hệ phương trình
(
x2+4y2+2
»
2x2−6xy+8y2=x+2y+4xy, px+2y+p
x−2y=3x−8y+4.
Lời giải. Xét hệ
(x2+4y2+2»
2x2−6xy+8y2=x+2y+4xy (1), px+2y+p
x−2y=3x−8y+4 (2).
Để ý(1)có:
x2+4y2−4xy= (x−2y)2, (2»
2x2−6xy+8y2)2−(x+2y)2=7x2−28xy+28y2=7(x−2y)2, (1)⇔(x−2y)2+ (2»
2x2−6xy+8y2−(x+2y)) =0.
Vậy nên ta sử dụng phương pháp nhân liên hợp cho biểu thức 2p
2x2−6xy+8y2−(x+2y). Hệ có tập nghiệmS={(2; 1)}.
Bài 30. Giải hệ phương trình
4x2+y2+2xy=4y−1, 2x+y= y
4x2+1+2.
Lời giải. Xét hệ
4x2+y2+2xy=4y−1 (1), 2x+y= y
4x2+1+2 (2).
+/ Trường hợpy=0không thỏa mãn.
+/ Trường hợpy6=0, chia hai vế của(1)choyta được(1)⇔4x2+1
y +2x+y=4.
Đặtu= 4x2+1
y ,v=2x+yđưa về giải hệ
u+v=4, v= 1
u+2.
Tập nghiệm của hệ ban đầuS= ß
(−1; 5), Å1
2; 2 ã™
.
Bài 31. Giải hệ phương trình
®x3+9x2y=108, xy2+y3=4.
Lời giải. Xét hệ
®x3+9x2y=108 (1), xy2+y3=4 (2).
Lấy(1) +27×(2)ta được phương trình:
x3+9x2y+27xy2+27y3=216⇔(x+3y)3=63⇔x+3y=6⇔x=6ư3y.
Thế vào(2)và giải ra tập nghiệmS={(3ư3√
3; 1+√
3),(3+3√
3; 1ư√
3),(3; 1)}.
Bài 32. Giải hệ phương trình
®x3+y3ư9=0, x2+2y2ưxư4y=0.
Lời giải. Xét hệ
®x3+y3ư9=0 (1), x2+2y2ưxư4y=0 (2).
Lấy(1)ư3×(2), nhóm các số hạng để có hằng đẳng thức bậc 3, ta được phương trình:
(xư1)3+ (yư2)3=0⇔(xư1)3= (2ưy)3⇔xư1=2ưy⇔x=3ưy.
Thế vào(2)và giải ra tập nghiệmS={(1; 2),(2; 1)}.
Bài 33. Giải hệ phương trình
x2+4y2+ 16xy
x+2y=16, px+2y=x2ư2y.
Lời giải. Xét hệ
x2+4y2+ 16xy
x+2y =16 (1), px+2y=x2ư2y (2).
Đặtu=x+2y>0,v=2xy, biến đổi(1)trở thành
u3ư2uv+8vư16u=0⇔u(u2ư16) +2v(4ưu) =0⇔(uư4)(u2+4uư2v) =0.
Suy ra(1)⇔(x+2yư4)(x2+4y2+4(x+2y)) =0⇔x+2yư4=0.
Thế vào(2), giải ra tập nghiệmS= ßÅ
ư3;7 2
ã ,(2; 1)
™ .
BÀI TẬP TỔNG HỢP Bài 34. Giải hệ phương trình sau:
®x(yư3)ư9y=1, (xư1)2y2+2y=ư1.
Lời giải. Xét hệ
®x(yư3)ư9y=1 (1), (xư1)2y2+2y=ư1 (2).
Dễ thấyy=0không thỏa mãn hệ phương trình. Chia hai vế của phương trình(1)choy, hai vế của phương trình(2)choy2và đặtt=ư1
y ta được hệ phương trình:
®x+t+3xt=9,
x2+t2ư2(x+t) =ư1.
Đặtx+t=S;xt=P(S2≥4P). Khi đó ta đưa về hệ mới của 2 ẩnS,P:
®S+3P=9
S2ư2Sư2P=ư1 ⇔
S=3,P=2 S=ư5
3,P= 32
9 (loại). Giải tiếp ta được tập nghiệm của hệ phương trình là:S=
ßÅ 1;ư1
2 ã
;(2;ư1)
™ .
Bài 35. Tìm tập giá trị thực của tham sốmđể hệ phương trình sau có nghiệm:
®√
x+1+p
y+1=m, x+y=3m.
Lời giải. Điều kiệnx≥ ư1;y≥ ư1.
Đặt√
x+1=u;√
y+1=v. Khi đó hệ phương trình được viết lại là:
®u+v=m
u2+v2ư2=3m ⇔
®u+v=m
m2ư2uvư2ư3m=0 ⇔
u+v=m
uv=m2ư3mư2 2
(∗).
Để hệ ban đầu có nghiệm thì hệ(∗)phải có nghiệm thỏa mãnu≥0;v≥0. Tức là phương trình:2v2ư2mv+ m2ư3mư2=0có 2 nghiệm không âm. Giải ra ta được 3+√
17
2 ≤m≤3+√ 13.
Bài 36. Giải phương trình:x2+3xư1=4√
x3ưx2+2xư2.
Lời giải. x2+3xư1=4√
x3ưx2+2xư2(∗).
• Nhận xét:x3ưx2+2xư2= (xư1)(x2+2),điều kiện:x≥1.
• Phân tích:x2+3xư1=a(xư1) +b(x2+2)⇒a=3vàb=1.
• Đặtu=√
xư1vàv=√ x2+2.
(∗)⇔3u2+v2=4uv⇔
ñv=u v=3u.
a) Vớiv=u⇔x2ưx+3=0(vô nghiệm).
b) Vớiv=3u⇔x2ư9x+11=0⇔x= 9±√ 37
2 (thỏa điều kiện).
• Vậy phương trình có nghiệmx= 9±√ 37 2 . Bài 37. Cho hệ phương trình:
®mx3ưmx2y+7xy2ư3y3=4 2xy2ưy3=1.
Tìmmđể hệ phương trình đã cho có đúng hai nghiệm.
Lời giải.
®mx3ưmx2y+7xy2ư3y3=4 (1) 2xy2ưy3=1 (2)
• Xétx=0, hệ phương trình đã cho vô nghiệm.
• Xétx6=0, lấy(2)nhân(ư4)rồi cộng(1)ta được phương trình:
mx3ưmx2yưxy2+y3=0⇔y x
3
ưy x
2
ưm y
x
+m=0
⇔(tư1)(t2ưm) =0⇔
ñt =1
t2=m(∗), vớit=y x
.
a) Vớit=1⇒y=x,(2)⇔x3=1⇔x=1. Hệ có một nghiệm(1; 1).
b) Vớit2=m.
(a) m<0. Hệ có đúng 1 nghiệm.
(b) m=0. Hệ có đúng 1 nghiệm.
(c) m>0.(∗)⇔
ñt=√ m t=ư√
m ⇔
ñ(2mưm√
m)x3=1 (2m+m√
m)x3=1.(I)
Hệ đã cho có đúng 2 nghiệm khi(I)có đúng 1 nghiệm khác 1 hoặc có 2 nghiệm, trong đó
có một nghiệm bằng 1.
⇔
2m+m√
m=0(vô nghiệm) 2m+m√
m=1 2mưm√
m=0 2mưm√
m=1.
⇔
m=3ư√ 5 2 m=4
m=1hoặcm= 3+√ 5 2 .
• Vậym∈
®
1; 4;3ư√ 5
2 ;3+√ 5 2
´ .
Bài 38. Giải hệ phương trình
®x3(2+3y) =8, x(y3ư2) =6.
Lời giải. Xét hệ
®x3(2+3y) =8 (1), x(y3ư2) =6 (2).
+/ Trường hợpx=0không thỏa mãn.
+/ Trường hợpx6=0, hệ đã cho tương đương với
2+3y= Å2
x ã3
, y3ư2= 6
x. Đặtu= 2
x, ta được hệ:
®2+3y=u3 (3), y3ư2=3u (4).
Lấy(3) + (4)ta được phương trìnhy3+3y=u3+3u⇔(yưu)(y2+yu+u2+3) =0⇔y=u.
Giải ra tập nghiệmS={(ư2;ư1),(1; 2)}.
Bài 39. Giải hệ phương trình
®10x2yư16xy2+24y3ư2(x+2y) =0, 2xy(x2+4y2) +2= (x+2y)2.
Lời giải. Xét hệ
®10x2yư16xy2+24y3ư2(x+2y) =0 (1), 2xy(x2+4y2) +2= (x+2y)2 (2).
Ta có
(2)⇔2x3y+8xy3+2=x2+4xy+4y2⇔2xy(x2+4y2ư2)ư(x2+4y2ư2) =0
⇔(2xyư1)(x2+4y2ư2) =0⇔
ñ2xy=1 x2+4y2=2. +/ Với2xy(∗)=1⇔2=4xythế vào(1)được phương trình
10x2yư16xy2+24y3ư4xy(x+2y) =0⇔
ñy=0 (loại) x=2y . Thếx=2yvào(∗)tìm được nghiệm
Å 1;1
2 ã
, Å
ư1;ư1 2
ã . +/ Vớix2+4y2(∗∗)= 2thế vào(1)được phương trình
10x2yư16xy2+24y3ư(x2+4y2)(x+2y) =0⇔(xư2y)2(xư4y) =0⇔
ñx=2y x=4y. Thế vào(∗∗)tìm được nghiệm
Å 4
√10; 1
√10 ã
, Å
ư 4
√10;ư 1
√10 ã
. Vậy hệ có tập nghiệmS=
Ꮰ1;1
2 ã
, Å
ư1;ư1 2
ã ,
Å 4
√ 10; 1
√ 10
ã ,
Å ư 4
√
10;ư 1
√ 10
ã™
.
Bài 40. Giải phương trình7x2+7x=
…4x+9 28 .
Lời giải. •Bài này có thể sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn để đưa về hệ phương trình.
Cách xây dựng ẩn phụ như sau: Quan sát vế trái có bậc hai nên ta sẽ đặtαt+β =
…4x+9
28 (∗), sao cho sau khi bình phương, rút gọn thu được phương trình dạng:
7t2+7t=αx+β (∗∗).
Từ(∗),(∗∗)ta được hệ
x=7α2t2+14α βt+7β2ư9 4 x= 7
αt2+ 7 αtưβ
α
.
Suy ra
7α2t2+14α βt+7β2ư9 4 = 7
α t2+ 7
α tưβ
α. Đồng nhất hệ số hai vế ta cóα =1,β = 1
2.
•Cách giải: Xét phương trình7x2+7x=
…4x+9 28 (1).
Đặtt+1 2 =
…4x+9
28 (2),t ≥ ư1
2. Suy ra7t2+7t=x+1
2 (3). Từ(1),(2),(3)ta có hệ đối xứng loại 2 với điều kiệnt≥ ư1
2:
7x2+7x=t+1 2, 7t2+7t=x+1
2.
Giải hệ này ta được hai nghiệm
x=ư6+5√ 2 14 t= ư6+5√
2 14
và
x= ư8ư√ 46 14 t= ư8+√
46 14
. Vậy phương trình ban đầu có tập
nghiệmS=
®ư8ư√ 46
14 ;ư6+5√ 2 14
´ .