hệ phương trình

Xét y 0 , đặt ≠ x ty khi đó hệ phương trình trở thành: =

( ) ^{( )}

( ) ^{( )}

 − = − +



+ = − +



2 2

2 2

y 14t 21 y 22t 39 y 35t 28 y 111t 10 . Suy ra:

(

⁻111t 10 14t⁺

) (

²⁻21

)

^{= −}

⁽

22t 39 35t⁺

⁾ (

²⁺28 .

)

( ) ( )

⇔112t³+175t²−421t 186 0+ = ⇔ +t 3 112t²−162t 62+ = ⇔ = −0 t 3.

Khi đó:

( ) ^{( )}

 − = − +

  = −

 = − ⇔

  =

 = −



2 2

y 14t 21 y 22t 39

x 3

x 3y t 3 y 1

.

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là

( ) ( ) ( )

^{x;y =} 0;0 ; 3;1 . ⁻ Bài 2. Giải hệ phương trình  − =

 − − =



2

2 2

3x 2xy 16 x 3xy 2y 8.

Lời giải Nhận chéo hai phương trình của hệ ta được:

(

²⁻

) (

^{= 2− − 2}

)

^⇔

⁽

⁺

⁾

^{2= ⇔ = −}

8 3x 2xy 16 x 3xy 2y x 2y 0 x 2y .

Thay vào phương trình của hệ ta được:  = −  = = −

= ⇔ = ⇒ = − =

2 y 1 x 2,y 1

16y 16

y 1 x 2,y 1. Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là

( ) ( ) (

^{x;y = −2;1 ; 2; 1−}

)

^.

Bài 3. Giải hệ phương trình  − + =

 − + =



2 2

2 2

x 2xy 3y 9 2x 13xy 15y 18.

Lời giải Nhận chéo hai phương trình của hệ ta được:

(

^{2− + 2}

) (

^{= 2− + 2}

)

^{⇔  =}_^{y 0}₌

2 x 2xy 3y 1 2x 13xy 15y

x y. TH1: Nếuy 0 thay vào phương trình đầu của hệ ta được: = x= ±3 . TH2: Nếu y x thay vào phương trình đầu của hệ ta được: =

= ⇔ = ± ⇒ = ±

2 3 3

2x 9 x y

2 2 .

Vậy hệ phương trình có bốn nghiệm là:

( ) (

^{= −}

) ( )

^^{− −  }  ^

   

3 3 3 3

x;y 3;0 ; 3;0 ; ; ; ;

2 2 2 2 .

Bài 4. Giải hệ phương trình  − + = −

 + − =



2 2

2 2

x 3xy y 1

x 2xy 2y 1. Lời giải

Nhân chéo theo vế hai phương trình của hệ ta được:

(

^{2− + 2}

) (

^{= − 2+ − 2}

)

^{⇔ 2− − 2 = ⇔  =}_^{x y}_{= −}

1 x 3xy y 1 x 2xy 2y 2x xy y 0

y 2x. Xét trường hợp thay ngược lại hệ phương trình tìm được các nghiệm:

( ) (

^{x;y = − −1; 1 ; 1;1}

) ( )

^.

Bài 5. Giải hệ phương trình

( ) ( )

( ) ( )

 − + =



+ − =



2 2

2 2

x y x y 13

x y x y 25. Lời giải

Nhận chéo hai phương trình của hệ ta được:

^{25 x y x}

(

⁻

) (

^2+y2

)

^{=13 x y x}

⁽

⁺

⁾ (

^{2−y . 2}

)

( )( )( )

^{ =}

⇔ − − − = ⇔ =

 =

 x y x y 2x 3y 3x 2y 0 2x 3y

3x 2y .

Xét trường hợp thay ngược lại hệ tìm được các nghiệm

( ) (

^{x;y = − −}2; 3 ; 3;2 .

) ( )

Bài 6. Giải hệ phương trình

( )

 + =



− + − + =



2 2

2 2 3

x y 2

5x y 4xy 3y 2 x y 0. Lời giải

Hệ phương trình đã cho tương đương với:

^ ^{+ − = + −}

(

⁺

) ⁽

⁺

⁾

^{= ⇔} ^{+− = + − =}

2 2 2 2

2 2 3 2 2 3 2 2 3

x y 2 x y 2

5x y 4xy 3y x y x y 0 2y 5xy 4x y x 0.

( ) ( )

 = − = −

 = =

 + = 

 + =  

⇔ ⇔ = ⇔  = − = −

− − =  

 

  = 

 = =



2 2

2 2

2

x 1,y 1

x 1,y 1

x y 2

x y 2 x y x 2 2,y 2

5 5

y x 2y x 0 x 2y

2 2

x 2 ,y

5 5

.

Vậy hệ phương trình có bốn nghiệm:

( ) (

^{= − −}

) ( )

^_^{ −   }_{ } ^_

   

2 2 2 2

x;y 1; 1 ; 1;1 ; 2 ; ; 2 ;

5 5 5 5 .

Bài 7. Giải hệ phương trình

( )

( )

 + − + = −



+ + = −



2 2 2

2 2

x xy 3y 1 x 48

y xy 1 y 12 .

Lời giải Nhận chéo hai phương trình của hệ ta được:

^{x x2}

(

^{2+xy 3y− 2+ =1 4y y}

)

²

(

^{2+xy 1+ ⇔}

) (

^x2−4y2

)(

^{x2+xy y+ 2+ =1 0 .}

)

⇔ − = ⇔  = = −

2 2 x 2y

x 4y 0

x 2y.

TH1: Nếu x 2y thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được: =

(

^{3y2+1 y}

)

^{2 = −}12 vô nghiệm.

TH2: Nếu x= −2y thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được:

( )

1 y y^{− 2 2 = − ⇔}2 y⁴⁻y²⁻12 0= ⇔ = ± ⇒ =y 2 x 4 .

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là

( ) (

^{x;y = −2;4 ; 2; 4}

) (

⁻

)

^.

Bài 8. Giải hệ phương trình

( ) ( )

( ) ( )

 − + = +



− + = −



2 2

2 2

6 x x y 6x 8y

3 y x y 8x 6y. Lời giải

Nếu

( ) ( )

^{x;y = 0;0} là một nghiệm của hệ.

Xét x²+y²>0 nhân chéo hai phương trình của hệ và lược đi x²+y hai vế ² ta được:

(

^{6 x 8x 6y−}

)(

⁻

) (

^{= 3 y 6x 8y−}

)(

⁺

) (

^⇔ x 2y 4x 2y 15⁻

)(

^{+ −}

)

⁼0

⇔  = + − = x 2y

4x 2y 15 0.

Xét trường hợp thay ngược lại một trong hai phương trình của hệ tìm được các nghiệm là

( ) ( ) ( ) ( )

^{= } ^{− }

 

x;y 0;0 ; 2;1 ; 4;2 ; 6; 9 2 . Bài 9. Giải hệ phương trình

( ) ( )

( ) ( )

 − − = +



− − = −



2 2

2 2

6 x x y 6x 8y

3 y x y 8x 6y. Lời giải

Nếu x²−y² = ⇒ = =0 x y 0 .

Xét x²−y² ≠0 nhân chéo hai phương trình của hệ ta được:

(

^{6 x 8x 6y−}

)(

⁻

) (

^{= 3 y 6x 8y−}

)(

⁺

) (

^⇔ x 2y 4x 2y 15⁻

)(

^{+ −}

)

⁼0

⇔  = + − = x 2y

4x 2y 15 0.

Bài 10. Giải hệ phương trình

( ) ^{( )}

( ) ^{( )}

 − + − + =



 − + − − − =



2 2

2 2 2

2x 7 x y 1 0

3x 4xy 4y 7 x y 1 0. Lời giải

Nhận thấy x y không thỏa mãn hệ phương trình. = Xét x y khi đó hệ phương trình trở thành: ≠

( )

( )

( )

( ) ^{( )}

− + = −

 − − + = − − + −

 ⇔

 

 − + − =  − + − + =

 −



2

2 2 2

2

2 2

2 2

2

2x 7 1

2x 7 3x 4xy 4y 7

x y

1 2x 7 x y 1 0

3x 4xy 4y 7

x y

.

( )

( ) ^{( )} ( )

 − =  =  = =

  

⇔ − + − + = ⇔ − + + = ⇔ = − = −

2

2 2

2 2

x 2y x 2

x 2y 0 y 1

8y 7 y 1 0 x 2

2x 7 x y 1 0

y 1

.

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là

( ) (

^{x;y = − −}2; 1 ; 2;1 .

) ( )

Bài 11. Giải hệ phương trình  + − =

 + − − =



3 3 2

4 4

x 8y 4xy 1

2x 8y 2x y 0.

Lời giải Hệ phương trình đã cho tương đương với:

^{ +}_ ^{+ −−}

(

⁺⁼

) (

^{+ −}

)

⁼

3 3 2

4 4 3 3 2

x 8y 4xy 1

2x 8y 2x y x 8y 4xy 0.

( )( )

 + − =  + − =

 

⇔ ⇔

− − =

− + =

 

 

3 3 2

3 3 2

4 2 2 3

x 8y 4xy 1

x 8y 4xy 1

2x x 2y x 6y 0

2x 8x y 12xy 0 .

 = =

 + − = 

 

 = 

⇔ = ⇔ = =

 =  = =

 

3 3 2

3 3

x 0,y 1

x 8y 4xy 1 2

x 0 x 1,y 1

x 2y 2

3 1

x 6y x ,y

25 2 25

.

Vậy hệ phương trình có ba nghiệm là:

( )

^= ^{ }  ^ ^ ^

    ^{3 3} 

1 1 3 1

x;y 0; ; 1; ; ;

2 2 25 2 25 .

Bài 12.Giải hệ phương trình  − = −

 + + − =



3 2

4 4

x 2xy 1

x y x 3y 0. Lời giải

Hệ phương trình đã cho tương đương với:

^{ −}_ ^{+ +}

(

^{= −−}

) (

^{− +}

)

⁼

3 2

4 4 3 2

x 2xy 1

x y x 3y x 2xy 0

 − = −

⇔ 

+ − + =



3 2

3 2 2 3

x 2xy 1

3x 2x y 6xy y 0.

( ) ( )

 − = −

 − = − 

 

⇔ ⇔  =

− + − = 

 

  + − =

3 2

3 2

2 2

2 2

x 2xy 1

x 2xy 1

x y 3x 5xy y 0 x y

3x 5xy y 0 .

Xét trường hợp tìm ra nghiệm của hệ phương trình là:

( ) (

^{= −}

) ( )

^_ ^{− + − }_

 

 − − + − 

− 

 

 

3 3

3 3

37 6 5 37 37 6

x;y 1;0 ; 1;1 ; ; . ;

5 2 5

37 6 5; 37. 37 6

5 2 5

.

Bài 13. Giải hệ phương trình  − = −

 + − = −



2 2 2

16x y 17y 1 4xy 2x 7y 1 .

Lời giải Phương trình thứ hai của hệ tương đương với : 4xy 1 7y 2x^{+ = − ⇒}

(

4xy 1⁺

) (

^{2 =} 7y 2x . ⁻

)

²

⇔16x y^{2 2}+8xy 1 4x+ = ²−28xy 49y+ ² ⇔17y²+8xy 4x= ²−28xy 49y . + ²

⇔ − + = ⇔  = =

2 2 x y

x 9xy 8y 0

x 8y.

TH1: Nếu x y thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được : =

 =  = =

 

+ − = − ⇔ − + = ⇔ = ⇒ = =

2 2 x 1 x 1,y 1

4x 2x 7x 1 4x 5x 1 0 x 1 x 1,y 1

4 4 4

(thử lại thấy thỏa mãn).

TH2: Nếu x 8y thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được : =

− + =

32y2 9y 1 0 (vô nghiệm).

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là

( ) ( )

^{= } ^

  x;y 1;1 ; 1 1;

4 4 . Bài 14. Giải hệ phương trình  + = +

 − = −



3 3

3 3

x y 7x 7y

x y 19x 19y. Lời giải

Nhân chéo hai phương trình của hệ ta được:

^{19 x y x}

(

⁻

) (

^3+y3

)

^{=7 x y x}

⁽

⁺

⁾ (

^3−y3

)

4 3 3 4

6x 13x y 13xy 6y 0

⇔ − + − = .

( )( )( )( )

 = = −



⇔ − + − − = ⇔ =



 = y x

y x

x y x y 2x 3y 3x 2y 0 y 3x 2 y 2x

3 .

Xét trường hợp thay vào phương trình đầu của hệ tìm được các nghiệm:

( ) (

^{x;y = − −}3; 2 ; 3;2 ; 2; 3 ; 2;3 ; 0;0

) ( ) (

^{− −}

) ( ) ( )

. Bài 15. Giải hệ phương trình  + = +

 − = −



3 3 2 2

3 3 2 2

x y 4x 4y

x y 6x 6y . Lời giải

Nhân chéo hai phương trình của hệ ta được:

^{6 x}

(

^2−y2

)(

^x3+y3

) (

^{=4 x2+y2}

)(

^{x3−y . 3}

)

( ) ( )

^{ =}

⇔ − + + = ⇔ 

+ + =



3 2 2

2 2

x y x 3xy y 0 y x

x 3xy y 0.

TH1 : Nếu y x thay vào phương trình thứ nhất của hệ ta được : =

 =  = =

= ⇔ = ⇒ = =

3 2 x 0 x 0,y 0

2x 8x

x 4 x 4,y 4.

TH2 : Nếu x²+3xy y+ ²=0 kết hợp với phương trình thứ hai của hệ ta được :

( ) ^{( )} ( )

 + + =  + + =

 ⇔

 

− = − − + + − − =

 

 

2 2 2 2

3 3 2 2 2 2

x 3xy y 0 x 3xy y 0

x y 6 x y x y x xy y 6x 6y 0.

 =  = =

 + + 

  − +

⇔ ++ ++ − − = ⇔ == + == −

2 2

2 2

2 2

x y x 0,y 0

x 3xy y x 3 5,y 3 5

2 2

x 3xy y

3 5 3 5

x xy y 6x 6y 0 x ,y

2 2

.

Vậy hệ phương trình có bốn nghiệm:

( ) ( ) ( )

^{= }_ ^{+ −   }_{ } ^{− + }_

   

3 5 3 5 3 5 3 5

x;y 0;0 ; 4;4 ; ; ; ;

2 2 2 2 .

Bài 16. Giải hệ phương trình  + + = +

 − =



2 2

2 2

x xy y x 4y

x 4y 1 .

Lời giải

Từ hệ phương trình suy ra:

(

^{x2+xy y+ 2}

)

²⁼

⁽

^{x 4y+}

⁾

²

(

^x2−4y2

)

^.

( ) ( )

^{ =}

⇔ − + + = ⇔ 

+ + =



2 2

2 2

2x 5y 2x 5y 3x 12xy 13y 0

3x 12xy 13y 0. TH1: Nếu 2x 5y thay vào phương trình thứ hai của hệ suy ra: =

− = ⇔ = ± ⇒ = ±

2 2

25y 4y 1 y 2 x 5

4 3 3.

TH2: Nếu ^{3x2+12xy 13y+ 2 = ⇔0 3 x 2y}

(

⁺

)

^2+y2=0

 + =  =

⇔ ⇔

= =

 

x 2y 0 x 0

y 0 y 0 (thử lại thấy không thỏa mãn).

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là

( )

^{= − −} ^{ }  ^

   

5 2 5 2

x;y ; ; ;

3 3 3 3 . Bài 17. Giải hệ phương trình

( )

( )

 + = +



− = −



4 4

4 4

x y 17 x y x y 45 x y .

Lời giải Nhân chéo hai phương trình của hệ ta được : ^{45 x y x}

(

⁻

) (

^4+y4

)

^{=17 x y x}

⁽

⁺

⁾ (

^{4−y 4}

)

( )( )( ) ( )

 = =

⇔ − − − + + = ⇔

 =

 = =

2 2

x y x 2y x y 2x y 7x 9xy 7y 0 x 2y

y 2x x y 0

.

Xét trường hợp và thay vào phương trình đầu của hệ ta được:

( ) ( )

^{x;y = 0;0 ;}

(

³3;2 3 ; 2 3; 3 ; 17; 17 . ³

) (

^{3 3}

) (

^{3 3}

)

Vậy hệ phương trình có bốn nghiệm:

( ) ( )

^{x;y = 0;0 ;}

(

³3;2 3 ; 2 3; 3 ; 17; 17 . ³

) (

^{3 3}

) (

^{3 3}

)

Chủ đề 5. KỸ THUẬT SỬ DỤNG PHÉP THẾ

A. NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP

Hệ gồm hai phương trình trong đó có thể rút được một biến theo biến còn lại và theo suy nghĩ đơn giản thế vào phương trình còn lại của hệ ta được một phương trình đa thức bậc cao giải được. Đôi khi ta cũng thực hiện phép thế hằng số hoặc thế một biểu thức vào phương trình còn lại.

Dấu hiệu nhận biết

- Hệ gồm một phương trình là phương trình bậc nhất đối với x,y . - Có thể rút một biến theo biến còn lại từ một phương trình của hệ.

Các dạng hệ đã gặp

Hệ phương trình cơ bản gồm một phương trình bậc nhất và một phương trình bậc hai hai ẩn.

B. BÀI TẬP MẪU

Bài 1. Giải hệ phương trình

( ) ( )

3 2 2 2

x y 1 0 (1)

3x x 7y 3 x 2y 7y 2y (2)

 + − =

 + − + − =



Lời giải Phân tích tìm lời giải:

Nhận thấy từ (1) ta có thể rút y 1 x hoặc = − x 1 y để thế vào phương trình = − (2) và để ý sẽ đưa về phương trình bậc ba với ẩn x hoặc ẩn y . ở đây ta lựa chọn phép thế y 1 x vào (2) vì bậc của . y .ở (2) cao nhất là 2nên việc = − tính các biểu thức

(

1 x , 1 x đơn giản hơn việc tính các biểu thức ⁻

) (

⁻

)

²

(

^{1 y . −}

)

³

Rút y 1 x từ (1) thế vào (2) ta được: = −

( )

^

( ) ( )

^

( )

 

+  − − +  − − − = −

2 2

3 2

3x x 7 1 x 3 x 2 1 x 7 1 x 2 1 x .

( ) ( )

^{= − }^{− }

( )

⁻

 

x;y 1; 2 ; 1 1; ; 2;1

2 2 .

Suy ra

( )

^{= −} ^

( ) (

⁻

)

 

x;y 1 3; ; 1;0 ; 2; 1

2 2 .

Vậy hệ phương trình có ba nghiệm là

( )

^{= −} ^

( ) (

⁻

)

 

x;y 1 3; ; 1;0 ; 2; 1

2 2 .

Bài 2. Giải hệ phương trình  = + +

 = −

 ^{2 2 2} xy x 7y 1 x y 10y 1. Phân tích lời giải:

Ta rút được y theo x từ phương trình đầu của hệ thế vào phương trình thứ hai của hệ đưa về một phương trình bậc 4 với x .

Lời giải

Nhận thấy y 1 không thỏa mãn hệ phương trình. =

Xét với y 0 từ phương trình đầu của hệ ta có ≠ = +

− x 7y 1

y 1 thế vào phương trình thứ hai của hệ ta được:

 +  = − ⇔ + − − + =

 − 

 

2 2 2 4 3 2

7y 1 y 10y 1 39y 34y 8y 2y 1 0

y 1 .

( ) ( ) ^{( )( )} ( )

⇔ y 1 39y+ ³−5y²−3y 1+ = ⇔0 y 1 3y 1 13y+ + ²−6y 1+ =0

 = −

⇔  = −



y 1

y 1 3

.

Với y= −1 suy ra x 3. = Với y= −1

3 suy ra x 1. =

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là

( )

^= ^{− }

( )

⁻

 

x;y 1; 1 ; 3; 1

3 .

Bài 3. Giải hệ phương trình . Phân tích lời giải:

Cả hai phương trình của hệ đều có thể rút được biến y theo biến x nhưng việc rút từ phương trình thứ hai đơn giản hơn.

Lời giải Hệ phương trình đã cho tương đương với

( ) ( )

 − + =  − − + + + − + + =

 ⇔

 

= − + +

 

  = − + +

3 2 2

3

2 2

x 2x 3x 2x 3 5 3x 2x 3 7

x 2xy 5y 7

y 3x 2x 3 y 3x 2x 3 .

( ) ( )

 − + + =  − − − =

 

⇔ ⇔

= − + +

 

  = − + +

3 2 2

2 2

x 1 7x 12x 8 0 7x 19x 4x 8 0

y 3x 2x 3 y 3x 2x 3 .

 = −  = +

 

 =  

⇔ = ∨ =− + ∨ =− −

6 2 33 6 2 33

x x

x 1 7 7

y 2 y 153 44 23 y 153 44 23

49 49

.

Vậy hệ phương trình có ba nghiệm là:

( ) ( )

^{= }_ ^{− − +   }_{ }^{= + − − }_

   

6 2 33 153 44 23 6 2 33 153 44 23

x;y 1;2 ; ; ; ;

7 49 7 49 .

Bài 4. Giải hệ phương trình ^ ⁺

(

^{+ =}

)

 − =



3 2

4 6 2

2x y x 1 4x

5x 4x y .

Phân tích lời giải:

Phương trình đầu của hệ chỉ chứa y tự do nên ta rút y theo x và thế vào phương trình thứ hai của hệ và hy vọng đưa về một phương trình bậc cao đối với x phân tích được nghiệm.

Lời giải

Nhận thấy x= −1 không thỏa mãn hệ phương trình.

Xét với x≠ −1 khi đó hệ phương trình tương đương với

 −

 =

 = −  +

 + ⇔

   − 

 − =  − =  

   + 

2 3

2 3

2 3 2

4 6 2 4 6

4x 2x

4x 2x y x 1

y x 1

4x 2x

5x 4x y 5x 4x

x 1

( ) ₍ ⁽ ₎ ⁾

 = −

 +

⇔   − − +− =

2 3

2

4 2

2

4x 2x

y x 1

4 2 x

x 5 4x 0

x 1

( ) ^{( ) ( )}

 −

 =

 =  +

⇔ ∨

 =  − + − − =

2 3

2 2

2

4x 2x

x 0 y x 1

y 0 5 4x x 1 4 2 x 0

 −

 =  =

⇔ ∨ +

 =  + + − + =

2 3

4 3 2

4x 2x

x 0 y

y 0 x 1

4x 8x 3x 26x 11 0

( )( ) ( )

 = −

 =  +

⇔ ∨

 =  − − + + =

2 3

2

4x 2x

x 0 y x 1

y 0 x 1 2x 1 2x 7x 11 0

 =

 =  = 

⇔ ∨ ∨

= =

   =



x 1

x 0 x 1 2

y 0 y 1 y 1

2 .

Vậy hệ phương trình có ba nghiệm là

( ) ( ) ( )

^{= } ^

  x;y 0;0 ; 1;1 ; 1 1;

2 2 .

Bài 5. Giải hệ phương trình

( )

 − + =



 + − + = −



x y 1 5 2 y 2 x 3 x 1 3

4 .

Phân tích lời giải:

Phương trình đầu của hệ nếu bình phương khử căn thức ta rút được y theo x do vậy ta thực hiện phép thế.

Lời giải Điều kiện  ≥ −

 ≥ −



x 1

y 1 khi đó hệ phương trình đã cho tương đương với:

( ) ( )

 ≥ 

  ≥

 

  

 = − − ⇔ = − +

   

 

 

  − + − + + =

+ − + = −

 

 

2 2

2

5 5

x 2 x 2

5 21

y x 1 y x 5x

2 4

x 5x 2 x 3 x 1 6 0 y 2 x 3 x 1 3

4

.

( )

 ≥

  =

 

⇔ = − + ⇔

  = −

 −  − + + =



2

x 5

2 21 x 3

y x 5x 4 y 3

x 3 x 2 2 x 1 0 4

.

Vậy hệ có nghiệm duy nhất

( )

^= ^{− }

 

x;y 3; 3 4 .

Bài 6. (TSĐH Khối B 2008) Giải hệ phương trình  + + = +

 + = +



4 3 2 2

2

x 2x y x y 2x 9

x 2xy 6x 6 .

Phân tích lời giải:

Cả hai phương trình của hệ có điểm chung là có chứa nhân tử chung

2+

x xy do vậy ta sẽ thế xy=6x 6 x+ − ²

2 từ phương trình thứ hai của hệ vào phương trình đầu đưa về phương trình bậc 4 với ẩn x .

Lời giải Hệ phương trình đã cho tương đương với:

( )

^{ }

 + = +  + + −  = +

  

 ⇔  

 

 = + −  + −

  =

 

2 2

2 2

2

2 2

6x 6 x

x 2x 9

x xy 2x 9

2

6x 6 x 6x 6 x

xy 2 xy 2

.

( )

 + + + =  + =  = −

  

⇔ = + − ⇔ = + − ⇔ =

4 3 2 3

2 2

x 12x 48x 64x 0 x x 4 0 x 4

6x 6 x 6x 6 x y 17

xy 2 xy 2 4

.

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất

( )

^{= −} ^

 

x;y 4;17 4 .

Bài 7. (TSĐH Khối B 2006) Giải hệ phương trình

( )

( ) ^{( )}

 + + + =



+ + − =



2 2

x 1 y y x 4y x 1 y x 2 y. Phân tích lời giải:

Cả hai phương trình có nhân tử chung x²+1 nếu rút từ phương trình đầu thế vào phương trình thứ hai ta có nhân tử chung y .

Lời giải Hệ phương trình đã cho tương đương với:

( )

( ) ^{( ) ( ( )( ) )}

 + = − −  + = − −

 ⇔

 

+ + − = − − + − =

 



2 2

2

x 1 y 4 y x x 1 y 4 y x

x 1 y x 2 y y 4 x y y x 2 y.

( )

( )( )

 + = − −

 + = 

⇔ ∨

= − − + − =

 

 

2 x2 1 y 4 y x

x 1 0

y 0 4 x y y x 2 1

( )

( ) ( )

( )

( )

 + = − −  + = − −  + =

  

⇔ ⇔ ⇔

 + =

− + + + − =  + − = 

 

2 2

2 2 2

x 1 y 4 y x x 1 y 4 x y x y 3

x 1 y

x y 6 x y 9 0 x y 3 0

 = −   =  = −

  + − =

⇔ + = − ⇔ = − ⇔ = ∨ =

2 2

y 3 x x x 2 0 x 1 x 2

y 3 y 5

x 1 3 x y 3 x .

Hệ phương trình có hai nghiệm là

( ) ( ) (

^{x;y =} 1;3 ; 2;5 . ⁻

)

Nhận xét: Ngoài ra có thể đưa về hệ

( )

 + + + =



 +

 + − =



2

2

x 1 x y 4

y

x 1. y x 2 1 y

.

Đặt ẩn phụ u=x²+1;v x y 2= + −

y (xem thêm phương pháp đặt ẩn phụ).

Bài 8. (TSĐH Khối D 2009) Giải hệ phương trình

( )

( )

 + + − =



+ − + =



2 2

x x y 1 3 0

x y 5 1 0

x

.

Lời giải

Điều kiện x 0 khi đó hệ phương trình đã cho tương đương với ≠

 + = −  + = −

 

 ⇔

 

 

 −  − + =  − + =

  



2 2 2

3 3

x y x 1 x y x 1

4 6

3 1 5 1 0 x 2 0

x x x

.

( )( )

 = − −  =  =

 

⇔ ⇔ ∨

= = −

 − − =  



3 x 2

yx 1 2x 4x x 1 0 x 1y 1 y 23 .

Hệ phương trình có hai nghiệm là

( ) ( )

^{= } ^{− }

 

x;y 1;1 ; 2; 3 2 . Bài 9. Giải hệ phương trình  + = −

 − = −

 ^{3 3}

x y 1

x 3x y 3y. Lời giải Hệ phương trình đã cho tương đương với

( ) ( )

 = − −

 = − −

 ⇔

 

− = − − = − − − − −

 

 ^{3 3}  ^{3 3}

y 1 x

y 1 x

x 3x y 3y x 3x 1 x 3 1 x

( )( )( )

 = − −  − + + =

 

⇔ ⇔

+ − − = = − −

 

 ^{3 2} 

y 1 x x 1 2x 1 x 2 0

2x 3x 3x 2 0 y 1 x

 = −

 =   = −

⇔ ∨ ∨

= − =

  = 



x 1

x 1 2 x 2

y 2 y 1 y 1

2

.

Vậy hệ phương trình có ba nghiệm là

( ) ( )

^{= − }^{− }

( )

⁻

 

x;y 1; 2 ; 1 1; ; 2;1

2 2 .

Nhận xét: Qua các ví dụ trên nhận thấy phương pháp thế hết sức đơn giản mà bất kỳ học sinh nào cũng nghĩ đến đầu tiên khi giải hệ. Thông thường các hệ có nghiệm đẹp khi đưa về phương trình bậc cao ta sẽ giải được nhờ phân tích thành nhân tử. Hạn chế của phương pháp này là đôi khi tính toán cồng kềnh dễ dẫn đến sai sót và một điểm nữa là nếu hệ có nghiệm lẻ việc giải phương trình bậc cao sẽ hết sức khó khăn. Lúc này thử nghĩ đến các phương pháp khác chẳng hạn như đặt ẩn phụ. Một lưu ý của phương pháp này là ta có thể thế một biểu thức, một hằng số từ một phương trình vào phương trình còn lại.

Bài 10. Giải hệ phương trình  − + =

 + + + + =



2

2 2

y xy 1 0

x y 2x 2y 1 0. Phân tích lời giải:

Rút y² =xy 1− từ phương trình đầu thế vào phương trình thứ hai của hệ ta được phương trình đưa được về phương trình tích nên ta sử dụng phương pháp thế.

^{x2+xy 2x 2y 0+ + = ⇔x x y}

(

⁺

) (

^{+2 x y+}

)

⁼⁰

(

^{x 2 x y}

)( )

^{0  = −x}_x ²_y

⇔ + + = ⇔  = − .

Lời giải Hệ phương trình đã cho tương đương với:

( )( )

2 2

2

y xy 1 y xy 1

x 2 x y 0 x xy 2x 2y 0

 = −  = −

 ⇔

 

+ + =

+ + + =

 

 

2 2 2

x 2 x y x 2

y 1

y 2y 1 y y 1

 = −  = −  = −

 

⇔ ∨ ⇔

= − − = − − = −

  

  .

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất

( ) (

^{x;y = − −2; 1}

)

^.

Bài 11. Giải hệ phương trình

( ) ^{( ) ( )}

( )

2x2 y x y x 2x 1 7 2y x 4x 1 7 3y

 + + + + = −



+ = −

 .

Phân tích lời giải.

Nếu thực hiện phép thế biến thông thường trong trường hợp này không thực hiện được để ý đến số 7 tự do ở hai phương trình thử thế từ phương trình dưới lên phương trình trên xem ta được gì? Hy vọng đưa về được một phương trinh tích.

Lời giải Hệ phương trình đã cho tương đương với

(

²

) ^{( ) ( )}

2

2x y x y x 2x 1 7 2y 7 4x x 3y

 + + + + = −



 = + +



.

(

²

) ^{( ) ( )}

²

2

2x y x y x 2x 1 4x x 3y 2y 7 4x x 3y

 + + + + = + + −

⇔ 

 = + +



.

(

²

) ^{( )}

²

(

²

) ^{( )}

2 2

2x y x y 2x y 2x y x y 1 0

7 4x x 3y 7 4x x 3y

 + + = +  + + − =

 

⇔ ⇔

 = + +  = + +

 

.

2 2 2

y 1 x y 2x

7 4x x 3y 7 4x x 3y

 = −  = −

 

⇔ ∨

= + +



= + +

 



.

2 2 2

1 17

y 1 x x

y 1 x

y 2x 4

1 17

2x x 2 0 x

2x x 7 0 4 y 3 17

4

 ±

 = −  =

 = −  = −

   

⇔ − + = ∨ − − = ⇔ = ± ⇔ =  .

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là

( )

^{x;y = }_^1±₄^{17 3;} ₄^17_

 

 .

Bài 12. Giải hệ phương trình ³

( )

^{2 2}

2 2

x 7y x y x y 7x 4

3x y 8y 4 8x

 + = + + + +



 + + + =



.

Phân tích lời giải. Bài toán này ta thực hiện tương tự bài toán trên rút 4 tự do từ phương trình hai thế vào phương trình đầu của hệ.

Lời giải Hệ phương trình đã cho tương đương với:

( )

²

3 2 2 2

2 2

x 7y x y x y 7x 8x 8y 3x y 4 8x 8y 3x y

 + = + + + + − − −



 = − − −



.

( ) (

²

)

3 2 2

2 2 2 2

x y x 2x 15 0 x 2x x y 2xy 15x 15y 0

4 8x 8y 3x y 4 8x 8y 3x y

 + − − − + =  − + − =

 

⇔ ⇔

= − − −

 

  = − − −

.

2

2 2 2 2

x y x 2x 15 0

4 8x 8y 3x y 4 8x 8y 3x y

 =  + − =

 

⇔ ∨

= − − −

  = − − −

 

.

2 2 2

x y x 5 x 3 x 3 x 3

y 1 y 7

2y 4 0 y 8y 119 0 y 8y 7 0

 =  = −  =  =  =

  

⇔ ∨ ∨ ⇔ ∨

= − = −

+ = + + = + + =

    

  

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là

( ) ( ) (

^x;y = 3; 1 ; 3; 7− −

)

. Bài 13. Giải hệ phương trình

( )

( )

2

4 2 2 2 2 2

x y 1 6y 2

x y 2x y y x 1 12y 1

 + = −



+ + + = −

 .

Phân tích lời giải. Cả hai phương trình có nhân tử chung x từ phương trình ² của hệ rút được x² 6y 2

y 1

= −

+ tới đây thế vào phương trình thứ hai của hệ đưa về phương trình đa thức bậc bốn với ẩn y . Nhưng trước tiên phải xét xem

y= −1 có là nghiệm của hệ hay không?

Lời giải

Nhận thấy y= −1 không thỏa mãn hệ phương trình.

Xét y≠ −1 khi đó hệ phương trình đã cho tương đương với

2 2

2 2 2

x 6y 2 y 1

6y 2 y 2y 6y 2 y 6y 2 1 12y 1

y 1 y 1 y 1

 −

 = +



 −   −   − 

  +  +  + = −

 +   +   + 



.

( )( )

( ) ( ) ( )

2

2 2

2 2 2

2

x4 y 1 9y 1 y6y 2y 1 x 6y 2y 1 x 6y 2y 1

y 1 y 1 4 9y 1 y y 1

y 1

 = −  −

 +  = −  =

   +

⇔ − + + = − ⇔ = + ∨ + = + .

3 2 2

36y 3y 2y 1 0

x 2

x 6y 2

y 1 y 1

 + − − =

 = ± 

⇔ ∨ −

= =

 

  +

.

( ) (

²

)

2

3y 1 12y 5y 1 0 x 0

x 2 x 2

6y 2 y 1

y 1 x y 1 y 1 3

 − + + =  =



 

 = ±   = ± 

⇔ = ∨ = +− ⇔ = ∨ = .

Vậy hệ phương trình có ba nghiệm là

( )

^{x;y = ±}

(

^{2;1 ; 0;}

)

^_ ¹₃^_^.

Trong tài liệu Kỹ thuật giải nhanh hệ phương trình – Đặng Thành Nam - Học Tập Trực Tuyến Cấp 1,2,3 - Hoc Online 247 (Trang 150-168)