Khối chóp đều

Trong đề thi nếu gặp khối chóp đều thì chỉ có thể là khối chóp tứ giác đều hoặc khối chóp tam giác đều thôi. Các Em xem lại tính chất của hình chóp đều ở chương 1 nhé!

a. Bài tập mẫu

Ví dụ 41. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và mặt bên hợp với đáy một góc bằng 60 . Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC).

Giải

B

60°

G E

A C

S

F G

E C

A B

ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường! 54 + TínhV_{S ABC.} .

Gọi E là trung điểm của BC và G là trọng tâm của tam giác ABC. Do S.ABC là hình chóp đều nên

 

SG ABC . Tam giác ABC đều canh a nên AE BC và  3;  3

2 6

a a

AE GE . Ta có SEG

chính là góc giữa mặt phẳng (SBC) và mặt phẳng (ABC) nên SEG60 và

 .tan60  3. 3

6 2

a a

SG GE .

Vậy _. 1. . _ 1. . ² 3 ³ 3

3 3 2 4 24

S ABC ABC a a a

V SG S .

+ Tính ^{d A SBC}



^;

  

^.

Ta có :

   

 



^;_;



^{  3}



^;

  

^3



^;

  

d A SBC AE d A SBC d G SBC

d G SBC GE .

Kẻ GK SE , khi đó ^{GK d G SBC}



^;

  

^{. Ta có:}

      

2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 4 12

4a GK SG GE GK a a GK .

Vậy ^{d A SBC}



^;

  

^3GK3₄^{a2 .}

Ví dụ 42. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a. Gọi M là trung điểm của BC. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và SB.

Giải

d

E G

M C

B A

B d E

G M

A C

S

K

ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường! 55 + TínhV_{S ABC.} .

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Do S.ABC là hình chóp đều nên^SG



^ABC



^.

Tam giác ABC đều canh a nên AM BC và  3;  3

2 3

a a

AM AG . Xét tam giác SAG vuông tại G, ta có:

 

^{ }

     

2 2

2 2 2 3 33

3 3

a a

SG SA AG a .

Vậy _. 1. . _ 1. 33. ² 3  ³ 11

3 3 3 4 12

S ABC ABC a a a

V SG S .

+ Tính ^{d AM SB}



^;



^.

Kẻ đường thẳng d đi qua B và song song với AM. Kẻ GE d tại E, GK SE tại K.

Ta có ^ ^ ^{ }

 

^{ }

BE GE

BE SGE BE GK

BE SG . Mà GK SE , do đó

     

   ;

GK SBE GK d G SBE .

Ta có AM // BE AM // (SBE) ^{d AM SB}



^;



^{d G SBE}



^;

  

^{. Ta có GE MB }₂^{a và}

      

2 2 2 2 32 2 517

1 1 1 1 4

11 GK a 47

GK SG GE GK a a .Vậy ^{d AM SB}



^;



^{ a} ₄₇^{517 .}

Ví dụ 43. (Trích KB -2012) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC với SA2 ;a AB a . Gọi H là hình chiếu vuông góc của SA trên cạnh SC. Chứng minh SC vuông góc mặt phẳng (ABH). Tính thể tích của khối chóp S.ABH theo a.

Phân tích:Trong bài này để tính V_{S ABH.} ta có thể tính trực tiếp, tuy nhiên ở đây Thầy đưa ra một hướng khác cho các Em đó là sữ dụng tỷ số thể tích. Tỷ số thể tích sẽ được tìm hiểu kỉ hơn ở phần sau.

Giải

B I G

A C

S

H

60°

I C

A B

ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường! 56 + Chứng minh ^SC



^ABH



^.

Gọi I là trung điểm của AB; G là trọng tâm của ABC. Ta có^SG



^ABC



^{vàCI AB CI;  a}₂^3;GCa₃^{3 .}

Ta có : ^ ^{  }

 

^{ }

 

AB CI

AB SCI AB SC

AB SG , thêm nữa là ^{AH SC SC}



^ABH



^.

+ TínhV_{S ABH.} . Ta có ^. 

. S ABH S ABC

V SH

V SC . Do SGC vuông tai G, nên  ² ²  33 a 3

SG SC GC .

Đặt ^{SH x x ,}



^0



^{HC2a x} . Khi đó ta có phương trình:

   ²  ³

. 1. . 1. 33. 3 11

3 3 3 4 12

S ABC ABC a a a

V SG S .

Đặt ^{SH x x ,}



^0



^{HC2a x} . Khi đó ta có phương trình:

 

        ²   

2 2 2 2 4 2 2 2 2 7 7

4a 4a

SA SH AC HC a x a a x x SH .

Vậy ^.     _.  _.  ³  ³

.

7 : 2 7 7. 7. 11 7 11

4 8 8 8 12 96

S ABH

S ABH S ABC

S ABC

V SH a a a V V a a

V SC .

Ví dụ 44. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 3

2a. Gọi M,K lần lượt là trung điểm của BC và SD. Tính theo a thể tích của khôi chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng MK và SB.

Giải

E

N K

M I

D

B

A

C S

H E I ^a

M N

C B

A

D

ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường! 57 + TínhV_{S ABCD.} .

Gọi I là tâm của hình vuông. Do S.ABCD là hình chóp đều nên^{SI }



^ABCD



^{và AI  a}₂^{2 .}

Xét tam giác SAI vuông tại I, có        

   

2 2

2 2 3 2

2a a2 2a

SI SA AI .

Vậy _. 1. .  1. . ²  ³

3 3 2 6

S ABCD ABCD a a

V SI S a .

+ Tính^{d MK SB}



^;



^.

Gọi N là trung điểm của AD, khi đó NK // SA và MN // AB suy ra:



^MKN

 

^SAB



^{d MK SB}



^;



^{d I SAB}



^;

  

^.

Kẻ IEAB tại E, IH SE tại H.Ta có ^ ^{  }

 

^{ }

 

IE AB

AB SIE AB IH

SI AB .

Mà IH SE , do đó ^IH



^SAB



^{IH d I SAB}



^;

  

^{. Ta có:}

      

2 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 4 4

a4

IH SI IE IH a a IH .Vậy ^{d MK SB}



^;



^{ a}₄^{2 .}

Ví dụ 45. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và cạnh bên hợp với đáy một góc 60 . Gọi K là trung điểm của SD. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và cosin của góc hợp bởi hai đường thẳng CK và SB.

Giải

+ TínhV_{S ABCD.} .

Gọi I là giao điểm của AC và BD. Do S.ABCD là hình chóp đều nên ^{SI }



^ABCD



^{và ID a}₂^{2 .}

a 2 2

a

I

C B

A

D

a 60°

K

I

D

B

A

C S

ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường! 58 Ta cóSDI là góc giữa SD và mặt phẳng (ABCD)SDI 60 .

Xét tam giác SID vuông tại I, ta có:  .tan60  2. 3 6

2 2

a a

SI ID .

Vậy _. 1. . 1. 6. ² ³ 6

3 3 2 6

S ABCD ABCD a a

V SI S a .

+ Tính^cos



^{CK SB;}



^.

Ta có IK // SB^



^{CK SB;}

 

^{ CK KI;}



^{CIK . Ta có } ^{  }

 

^{ }

 

IC BD

IC SBD IC IK

IC SI hay

tam giác IKC vuông tại I. Xét tam giác SID vuông tại I, ta có:

 ² ²  2  2 a2 SD SI CD a IK .

Do   2  

a2

IC IK CIK vuông cân tại Icos cos45  2 CIK 2 . Vậy ^cos



^{CK SB;}



^ ₂^{2 .}

Ví dụ 46. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có I là tâm của đa giác đáy và cạnh đáy bằng a . Mặt bên hợp với đáy một góc 60 . Gọi E là trung điểm của SB. Chứng minh IE vuông góc với SC và tính theo a thể tích của khối chóp S.EICB.

Giải + Chứng minh SE CD .

Do S.ABCD là hình chóp đều nên ^{SI }



^ABCD



^{. Ta có } ^{  }

 

^{ }

 

CD IE CD SEI CD SE

CD SI .

+ TínhV_{S EICB.} .

a

I E

C B

A

D

E 60°

I

D

B

A

C S

ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường! 59 Ta cóSEI là góc giữa mặt phẳng (SAB) và mặt phẳng (ABCD)SEI 60 và

 .tan60  . 3 3

2 2

a a

SI IE .

Diện tíchSEICB^{ 1}₂EB IE BC



^



^3₈a² . Vậy _. 1. . 1. 3 3. ²  ³ 3

3 3 2 8 16

S ABCD EICB a a

V SI S a .

b. Bài tập rèn luyện

Bài 41. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và cạnh bên hợp với đáy một góc 45 . Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC).

Bài 42. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh bênSA a 3 và SA hợp với đáy một góc 60 . Gọi K là trung điểm của SB.Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC và cosin của góc hợp bởi hai đường thẳng CK và SA.

Bài 43. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và mặt bên hợp với mặt đáy một góc 45 . Gọi H là hình chiếu vuông góc của C trên cạnh SB. Chứng minh rằng SB vuông góc với mặt phẳng (AHC) và tính theo a thể tích của khối chóp S.AHC.

Bài 44. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và mặt bên hợp với mặt đáy một góc 45 . Gọi K là trung điểm của SD. Tính theo a thể tích của khối chóp S.AKC và khoảng cách giữa hai đường thẳng BK và CD.

Bài 45. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bên a và cạnh bên hợp với mặt đáy một góc

Trong tài liệu Phương pháp giải nhanh hình không gian - Trần Duy Thúc (Trang 53-59)