Lập các phương trình bậc hai có các nghiệm là các cặp số sau:

a) 3 và 4 b) 5 và –8 c) 3 và 1

4 d) 3

4 và 2

3 e) 2 3 và 2 3 Dạng 3: Tính giá trị biểu thức theo hai nghiệm

Bài 3. Giả sử x , x_{1 2} là các nghiệm của phương trình: x²2x 3 0  Tính giá trị của các biểu thức:

2 2

1 2

Ax x ; B x ₁³x³₂;

1 2

1 1

C x  x ; ^{1 2}

2 1

x x Dx  x Dạng 4: Tìm m để PT có hai nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước

 Tìm ĐK để PT có nghiệm:  0

 Sử dụng hệ thức Vi – ét tính tổng và tích các nghiệm theo m.

 Thay tổng và tích các nghiệm vào hệ thức ban đầu để tìm m.

Bài 4: Cho phương trình x² – 2mx – 1 = 0 (m là tham số)

a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình trên. Tìm m để x + x₁^{2 2}₂x x_{1 2} 7. Bài 5: Cho phương trình: x²5x m 0  (m là tham số).

a) Giải phương trình trên khi m = 6.

b) Tìm m để phương trình trên có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: x₁x₂ 3. Bài 6: Cho phương trình: x²2mx 4 0  (1)

a) Giải phương trình đã cho khi m = 3.

b) Tìm giá trị của m để PT (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn:



x11

 

² x21



² 2 Bài 7: Cho phương trình: x²2mx 1 0  (1)

a) Chứng minh rằng phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt x1 và x2. b) Tìm các giá trị của m để: x₁²x₂²x x_{1 2} 7.

Bài 8: Cho phương trình: x²   x m 1 0 (1) a) Giải phương trình đã cho với m = 0.

b) Tìm m để PT (1) có hai nghiệm x ; x_{1 2} thỏa mãn: x x (x x_{1 2 1 2} 2) 3(x₁x )₂ Bài 9: Cho phương trình x²6x m 0  .

1) Với giá trị nào của m thì phương trình có 2 nghiệm trái dấu.

2) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x ; x_{1 2} thoả mãn điều kiện x₁x₂ 4. Bài 10: Cho phương trình: x²2(m 1) m 3 0    (1)

1) Giải phương trình với m = –3

2) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm thoả mãn hệ thức x + x₁^{2 2}₂ 10. 3) Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc giá trị của m.

   

HƯỚNG DẪN Dạng 1: Nhẩm nghiệm của PT bậc hai

Bài 1. Không giải phương trình, hãy nhẩm nghiệm các phương trình sau:

a) x²2x 3 0  b) x²  x 2 0 c) x²6x 5 0  d) 3x²7x 10 0  e) x²  3x 4 0 f) x²4x 3 0  g) x²5x 6 0  h) 3x²5x 8 0  i) 5x²  x 6 0 Lời giải:

a) x²2x 3 0 

PT đã cho có a b c 1 2 3 0      nên có hai nghiệm phân biệt x₁1; x₂ 3. b) x²  x 2 0

PT đã cho có a b c 1 1 2 0      nên có hai nghiệm phân biệt x₁ 1; x₂2. (Làm tương tự cho các phần còn lại)

Dạng 2: Lập PT bậc hai có hai nghiệm cho trước

Bài 2. Lập các phương trình bậc hai có các nghiệm là các cặp số sau:

a) 3 và 4 b) 5 và –8 c) 3 và 1

4 d) 3

4 và 2

3 e) 2 3 và 2 3 Lời giải:

a) Ta có 3 4 7 3.4 12

  

 

 nên 3 và 4 là hai nghiệm của PT: x²7x 12 0  . b) Ta có 5 ( 8) 3

5.( 8) 40

   

   

 nên 5 và –8 là hai nghiệm của PT: x²3x 40 0  . (Làm tương tự cho các phần còn lại)

Dạng 3: Tính giá trị biểu thức theo hai nghiệm

Bài 3. Giả sử x , x_{1 2} là các nghiệm của phương trình: x²2x 3 0  Tính giá trị của các biểu thức:

2 2

1 2

Ax x ; Bx₁³x³₂;

1 2

1 1

C x x ; ^{1 2}

2 1

x x D x x

Hướng dẫn:

PT đã cho có ac 1.( 3)    3 0 nên luôn có hai nghiệm phân biệt x , x_{1 2}. Theo ĐL Viét ta có: ^{1 2}

1 2

x x 2

x x 3

  

  



   

Khi đó:

 Ax1²x²2(x1x )2 ²2x x1 2 

 

2 ²2

 

 3 10

 ^{B x 13x32 }



^x1x2

 

^{x12x22x x1 2}



^{ }

^{ }

^{2 10 3}

^

^{ 26}

(Làm tương tự cho các phần còn lại)

Dạng 4: Tìm m để PT có hai nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước Bài 4: Cho phương trình x² – 2mx – 1 = 0 (m là tham số)

a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình trên. Tìm m để x + x₁^{2 2}₂x x_{1 2} 7. Lời giải:

a) Ta thấy: a = 1; b = – 2m; c = – 1, rõ ràng: a.c = 1.(–1) = –1 < 0

 phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

b) Vì phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt nên theo hệ thức Vi – ét, ta có: ^{1 2}

1 2

x x 2m x x 1

 

  



Khi đó: x1²x²2x x1 2 7



x1 x2



²3x x1 27

 (2m)² – 3.(–1) = 7  4m² = 4  m² = 1  m =  1.

Bài 5: Cho phương trình: x² – 5x + m = 0 (m là tham số).

a) Giải phương trình trên khi m = 6.

b) Tìm m để phương trình trên có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: x₁x₂ 3. Lời giải:

a) Với m = 6, ta có phương trình: x² – 5x + 6 = 0

∆ = 25 – 4.6 = 1. Suy ra phương trình có hai nghiệm: x1 = 3; x2 = 2.

b) Ta có: ∆ = 25 – 4m.

Phương trình đã cho có nghiệm   0 m 25

  4 (*) Theo hệ thức Vi-ét, ta có x1 + x2 = 5 (1); x1x2 = m (2).

Khi đó: x1x2  3



x1x2



²9 



x1x2



²4x x1 2 9 5²4m 9 m 4 . Bài 6: Cho phương trình: x² – 2mx + 4 = 0 (1)

a) Giải phương trình đã cho khi m = 3.

b) Tìm giá trị của m để PT (1) có hai nghiệm x¹, x² thỏa mãn: (x¹ + 1)² + (x² + 1)² = 2.

Lời giải:

a) Với m = 3 ta có phương trình: x² – 6x + 4 = 0.

Giải ra ta được hai nghiệm: x1 = 3 5; x₂  3 5.

   

b) Ta có: ∆^/ = m² – 4

Phương trình (1) có nghiệm  ^/ 0 ^{m 2}

m 2

 

      (*).

Theo hệ thức Vi – ét ta có: x1 + x2 = 2m và x1x2 = 4.

Suy ra: (x1 + 1)² + (x2 + 1)² = 2

x12 + 2x1 + x22 + 2x2 = 0(x1 + x2)² – 2x1x2 + 2(x1 + x2) = 0 4m² – 8 + 4m = 0

m² + m – 2 = 0  ¹

2

m 1

m 2

 

  

 .

Đối chiếu với điều kiện (*) ta thấy chỉ có giá trị m2 = – 2 thỏa mãn.

Vậy m = – 2 là giá trị cần tìm.

Bài 7: Cho phương trình: x² – 2mx – 1 = 0 (1)

a) Chứng minh rằng phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt x¹ và x². b) Tìm các giá trị của m để: x12 + x22 – x1x2 = 7.

Lời giải:

a) Ta có ∆^/ = m² + 1 > 0, m  R. Do đó phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt.

b) Theo định lí Vi – ét thì: x¹ + x² = 2m và x¹.x² = – 1.

Ta có: x12 + x22 – x1x2 = 7(x1 + x2)² – 3x1.x2 = 7 4m² + 3 = 7m² = 1 m = ± 1.

Bài 8: Cho phương trình: x² – x + 1 + m = 0 (1) a) Giải phương trình đã cho với m = 0.

b) Tìm m để PT (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: x1x2(x1x2 – 2) = 3(x1 + x2).

Lời giải:

a) Với m = 0 ta có phương trình x² – x + 1 = 0.

Vì ∆ = – 3 < 0 nên phương trình trên vô nghiệm.

b) Ta có: ∆ = 1 – 4(1 + m) = –3 – 4m.

Phương trình có nghiệm  ∆0 – 3 – 4m0 4m 3 m 3

    4 (*).

Theo hệ thức Vi – ét ta có: x1 + x2 = 1 và x1.x2 = 1 + m Thay vào đẳng thức: x¹x²(x¹x² – 2) = 3(x¹ + x²), ta được:

(1 + m)(1 + m – 2) = 3m² = 4 m = ± 2.

Đối chiếu với điều kiện (*) suy ra chỉ có m = –2 thỏa mãn.

Bài 9: Cho phương trình x² – 6x + m = 0.

1) Với giá trị nào của m thì phương trình có 2 nghiệm trái dấu.

2) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn điều kiện x1 – x2 = 4.

Lời giải:

   

1) Phương trình có 2 nghiệm trái dấu khi: m < 0

2) Phương trình có 2 nghiệm x1, x2    ' 9 m 0  m 9. Theo hệ thứcViét ta có ^{1 2}

1 2

x x 6 (1) x .x m (2)

 

 



Theo yêu cầu của bài ra x1 – x2 = 4 (3) Từ (1) và (3)  x1 = 5, thay vào (1)  x2 = 1 Suy ra m = x1.x2 = 5 (thoả mãn)

Vậy m = 5 là giá trị cần tìm.

Bài 10: Cho phương trình: x² – 2 (m – 1)x – m – 3 = 0 (1) 1) Giải phương trình với m = –3

2) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm thoả mãn hệ thức x + x₁^{2 2}₂ = 10.

3) Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc giá trị của m.

Lời giải:

1) Với m = – 3 ta có phương trình: x² + 8x = 0  x(x + 8) = 0  ^{x 0}

x 8

 

  

 2) Phương trình (1) có 2 nghiệm khi:

∆’  0 (m – 1)² + (m + 3) ≥ 0 m² – 2m + 1 + m + 3 ≥ 0

m² – m + 4 > 0  (m ¹)^{2 15} 0

2 4

   đúng m

Chứng tỏ phương trình có 2 nghiệm phân biệt m Theo hệ thức Vi ét ta có: ^{1 2}

1 2

x x 2(m 1) (1) x x m 3 (2)

  

    



Ta có x + x₁^{2 2}₂ = 10  (x1 + x2)² – 2x1x2 = 10 4 (m – 1)² + 2 (m + 3) = 10

 4m² – 6m + 10 = 10

m 0 2m(2m 3) 0 m 3 2

 

   

  3) Từ (2) ta có m = –x1x2 – 3 thế vào (1) ta có:

x1 + x2 = 2 (– x1x2 – 3 – 1) = – 2x1x2 – 8

 x¹ + x² + 2x¹x² + 8 = 0

Đây là hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc m.

PHIẾU SỐ 2 Dạng 1: nhẩm nghiệm

Bài 1: Tính nhẩm nghiệm của mỗi phương trình sau:

   

a) 4x²3x 1 0  b) ^{x2 }



^{1 3 x}



^{ 3 0 c) x27x 10 0 }

Dạng 2: tìm hai số biết tổng và tích của chúng Bài 2: Tìm hai số x và y biết:

a) x y 29 và x.y 198   b) x y 5 và x.y 9   c) x²y² 13 và x.y 6 d) x y 7 và x.y 120  

Dạng 3: tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc tham số

Bài 3: Cho phương trình x²mx 2m 4 0   . Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm x , x_{1 2} không phụ thuộc tham số m.

Bài 4: Cho phương trình: x² - 2 (m - 1)x - m - 3 = 0 (1) a) Giải phương trình với m = -3

b) Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc giá trị của m.

Dạng 4 : tính giá trị biểu thức đối xứng giữa các nghiệm

Bài 5: Cho phương trình x²3x 1 0  . Không giải phương trình, gọi x , x_{1 2} là hai nghiệm của phương trình. Hãy tính giá trị của biểu thức :

2 2

1 1 2 2

2 2

1 2 1 2

x 5x x x A 4x x 4x x

 

 

Bài 6: Cho phương trình 2x²3x 1 0  . Không giải phương trình, gọi x , x_{1 2} là hai nghiệm của phương trình. Hãy tính giá trị của các biểu thức sau:

a)

1 2

1 1

A x x b) ^{1 2}

1 2

1 x 1 x

B x x

 

 

c) C x ₁²x²₂ d) ^{1 2}

2 1

x x

D x 1 x 1

 

Dạng 5: tìm điều kiện tham số thỏa mãn điều kiện cho trước

Bài 7: Cho phương trình ^{x22 m 3 x m}



^



^{ 2 3 0}.Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt

1 2

x , x thỏa mãn (2x₁1)(2x₂ 1) 9

Bài 8: Cho phương trình ^x22 m 3 x 2(m 1) 0







   .Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt

1 2

x , x sao cho biểu thức T x ₁²x²₂ đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài 9: Cho phương trình x²mx 3 0  .

Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x , x_{1 2} sao cho biểu thức x₁  x₂ 4 Bài 10: Cho phương trình x²4x m ² 1 0

Tìm m để phương trình có hai nghiệm x , x_{1 2} sao cho biểu thức x₂ 5x₁

   

Bài 11: Cho phương tình x²2mx m ² 4 0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x , x_{1 2} thỏa mãn

1 2

1 3 1.

x x 

Dạng 6: xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai

Bài 12: Cho phương trình: ^{x22 m 1}



^{ }



^{m24m 3 0 } (với m là tham số) a) Tìm m để phương trình đã cho có nghiệm.

b) Tìm m để phương trình đã cho có hai nghiệm cùng dấu.

c) Tìm m để phương trình đã cho có hai nghiệm khác dấu.

d) Tìm m để phương trình đã cho có hai nghiệm dương.

e) Tìm m để phương trình đã cho có hai nghiệm âm.

   

HƯỚNG DẪN Dạng 1: nhẩm nghiệm

Bài 1: Tính nhẩm nghiệm của mỗi phương trình sau:

a) 4x²3x 1 0  b) ^{x2 }



^{1 3 x}



^{ 3 0 c) x27x 10 0 }

Lời giải:

a) Ta thấy a b c      4 3 1 0

Suy ra phương trình có hai nghiệm _{1 2} 1 x 1; x

  4 b) Ta thấy ^{a b c 1 1    }



³



^{ 3 0}

Suy ra phương trình có hai nghiệm x₁ 1; x₂   3 c) Ta có   9 0 , theo hệ thức V-ét: ^{1 2}

1 2

x x 7 2 5 x .x 10 2.5

   

  



Suy ra phương trình có hai nghiệm x₁2; x₂ 5 Dạng 2: tìm hai số biết tổng và tích của chúng Bài 2: Tìm hai số x và y biết:

a) x y 29 và x.y 198   b) x y 5 và x.y 9   c) x²y² 13 và x.y 6 d) x y 7 và x.y 120   Lời giải:

a) Ta có: S²4P 29 ²4.198 49 0  nên x, y là nghiệm của phương trình : X²29X 198 0  Giải ra ta có X₁11, X₂18

Vậy ta có hai số x, y là x 11 x 18 y 18 y 11;

 

 

   

 

b) Ta có: S²4P 5 ² 4.9  11 0 nên không tồn tại hai số x, y thỏa mãn.

c) Ta có:



^{x y}



^{2 x2 y2} 2xy 13 2.6 25 ^{x y 5} x y 5

  

            +) Với x y 5  ta có x, y là hai nghiệm của phương trình sau:

2 X 2

X 5X 6 0

X 3

 

     

+) Với x y  5 ta có x, y là hai nghiệm của phương trình sau:

2 X 2

X 5X 6 0

X 3

  

      

Vậy ^{(x; y)}

     

2;3 , 3; 2 , 2; 3 , 3; 2 

 

 

 

   

d) Đặt t y , ta có: x t 7 và x.t   120

2 2

S 4P 7 4.( 120) 529 0   nên x, tlà nghiệm của phương trình : X²7X 120 0  Giải ra ta có X₁15, X₂ 8

Vậy ta có hai số x, t là x 15 x 8 x 15 x 8

; ;

t 8 t 15 y 8 y 15

     

   

         

   

Dạng 3: tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc tham số

Bài 3: Cho phương trình x²mx 2m 4 0   . Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm x , x_{1 2} không phụ thuộc tham số m.

Lời giải:

-Xét  m²4(2 m 4) (m 4)   ²0 , phương trình luôn có nghiệm.

Theo hệ thức Vi-ét :

 

^{1 2}

1 2

x x m (1)

* x .x 2m 4 (2)

 

  



Cách khử 1: Thế (1) vào (2), ta có hệ thức cần tìm x .x_{1 2}2(x₁x ) 4₂ 

Cách khử 2: ^{1 2} _{1 2 1 2}

1 2

2x 2x 2m

(*) 2x 2x x .x 4

x .x 2m 4

 

       là hệ thức cần tìm.

Cách khử 3: ¹_{1 2}² _{1 2} ^{1 2}

m x x

x .x 4

(*) m x .x 4 x x 2

2

 

 

      .Hay 2(x₁x ) x .x₂  _{1 2}4là hệ thức cần tìm.

Bài 4: Cho phương trình: x² - 2 (m - 1)x - m - 3 = 0 (1) a) Giải phương trình với m = -3

b) Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc giá trị của m.

Lời giải:

a) Với m = - 3 ta có phương trình: x² + 8x = 0  x (x + 8) = 0  x = 0 x = - 8



 b) Phương trình (1) có 2 nghiệm khi:

∆’  0 (m - 1)² + (m + 3) ≥ 0 m² - 2m + 1 + m + 3 ≥ 0

m² - m + 4 > 0  1 ² 15

(m ) 0

2 4

   đúng m

Chứng tỏ phương trình có 2 nghiệm phân biệt m Theo hệ thức Vi ét ta có: ^{1 2}

1 2

x + x = 2(m - 1) (1) x - x = - m - 3 (2)





Từ (2) ta có m = -x1x2 - 3 thế vào (1) ta có:

x1 + x2 = 2 (- x1x2 - 3 - 1) = - 2x1x2 - 8

   

 x1 + x2 + 2x1x2 + 8 = 0

Đây là hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc m.

Dạng 4 : tính giá trị biểu thức đối xứng giữa các nghiệm

Bài 5: Cho phương trình x²3x 1 0  . Không giải phương trình, gọi x , x_{1 2} là hai nghiệm của phương trình. Hãy tính giá trị của biểu thức : ¹² ₂ ^{1 2} ₂²²

1 2 1 2

x 5x x x A 4x x 4x x

 

 

Lời giải:

Xét   9 4.1.1 5 0   phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Theo hệ thức Vi-ét : ^{1 2}

1 2

S x x 3

P x .x 1

   

  



 

   

2

1 2 1 2

1 2 1 2

x x 3x x 9 3.1

A 1

4x x x x 4.1. 3

  

   

 

Bài 6: Cho phương trình 2x²3x 1 0  . Không giải phương trình, gọi x , x_{1 2} là hai nghiệm của phương trình. Hãy tính giá trị của các biểu thức sau:

a)

1 2

1 1

A x x b) ^{1 2}

1 2

1 x 1 x

B x x

 

 

c) C x ₁²x²₂ d) ^{1 2}

2 1

x x

D x 1 x 1

  Lời giải:

Ta có :     9 8 1 0, phương trình có hai nghiệm phân biệt, hơn nữa x₁0 x, ₂ 0. Theo hệ thức

Vi-ét, ta có : ^{1 2}

1 2

x x 3 2 x x 1

2

  



 



a) ^{1 2}

1 2 1 2

x x

1 1 3 1

A : 3

x x x x. 2 2

     

b) ^{1 2 2 1 2 1 1 2}

1 2 1 2

1 x 1 x x x x x x x

B x x x x

    

  



1 2



1 2

1 2

3 2 1

x x 2x x 2 2 1

x x 1

2

 .

 

  

c) 1^{2 2}2



1 2



² 1 2 ²

3 1 1

C x x x x 2x x 2. 1

2 2 4

          

d)

2 2

1 2 1 1 2 2

2 1 1 2 1 2

x x x x x x

D x 1 x 1 x x (x x ) 1

  

  

    

   

   

 

2

13 2 1 2 1 2

1 2 1 2

9 3

x x 2x x x x 4 1 2 11: 3 11

x x x x 1 1 3 1 4 12

2 2

     

   

    

Dạng 5: tìm điều kiện tham số thỏa mãn điều kiện cho trước Bài 7: Cho phương trình ^{x22 m 3 x m}



^



^{ 2 3 0}

Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x , x_{1 2} thỏa mãn (2x₁1)(2x₂ 1) 9 Lời giải:

Có ^{  ' }



^{m 3}



^^{21. m}



^23



^

^

^{m 3}

^

^{2m2 3 6m 6}

Phương trình có hai nghiệm phân biệt x , x_{1 2} khi   ' 0 6m 6 0  m 1 Theo định lí Vi ét, ta có: x₁ x₂ b 2(m 3); x .x_{1 2} c m² 3

a a

       

Ta có: (2x₁1)(2x₂  1) 9 4x x_{1 2}2(x₁x ) 1 9₂   (*)

2 2

4(m 3) 4(m 3) 1 9 (2m 1) 9

2m 1 3 2m 1 3

     

  

  

    

 m = -1 ( loại) , m = 2 ( thỏa mãn) Vậy m = 2 là giá trị cần tìm.

Bài 8: Cho phương trình ^x22 m 3 x 2(m 1) 0







  

Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x , x_{1 2} sao cho biểu thức T x ₁²x²₂ đạt giá trị nhỏ nhất.

Lời giải:

Có ^{  ' }_



^{m 3}



^_^{21. 2 m 1}_^



^

 

^_^{ m 3}



^{22m 2}

 

²

' m2 4m 7 m 2 3 0 m

        

Do đó phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt x , x_{1 2}

Theo định lí Vi ét, ta có: 1 2 1 2

 

b c

x x 2(m 3); x .x 2 m 1

a a

        

Ta có: T x 1²x²2



x1x2



²2x x1 2

   

 

2

2 2

T 2 m 3 2 2 m 1

T 4m 20m 32 2m 5 7 7

       

      

   

MinT 7

  khi 5

m2

Vậy 5

m 2 là giá trị cần tìm.

Bài 9: Cho phương trình x²mx 3 0  .

Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x , x_{1 2} sao cho biểu thức x₁  x₂ 4 Lời giải:

Có a.c   3 0 m nên a và c trái dấu

Do đó phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt x , x_{1 2} Theo định lí Vi ét, ta có: _{1 2} b _{1 2} c

x x m; x .x 3

a a

        Ta có:

 

   

2 2 2 2 2

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

2 2

1 2 1 2 1 2 1 2

x x x x 2 x x x x 2x x 2x x 2 x x

x x x x 2x x 2 x x

        

    



x1  x2



²

 

m ²2.( 3) 2 3   m²12 Do đó: x₁  x₂  4 m²12 16 m 2 Vậy m2 là giá trị cần tìm.

Bài 10: Cho phương trình x²4x m ² 1 0

Tìm m để phương trình có hai nghiệm x , x_{1 2} sao cho biểu thức x₂ 5x₁ Lời giải:

Có ^{  }

 

^{2 21. m}



^{ 2 1}



^{m2  5 0 m}

Do đó phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt x , x_{1 2} Theo định lí Vi ét, ta có: _{1 2} b _{1 2} c ²

x x 4, x .x m 1

a a

       

Giải hệ ^{2 1} _{1 1 1 2}

1 2

x 5x

5x x 4 x 1 x 5

x x 4

  

        

  



Thay x₁ 1; x₂ 5 vào _{1 2} c ²

x .x m 1

  a  , ta được m²   4 m 2 Vậy m 2 là giá trị cần tìm.

Bài 11: Cho phương tình x²2mx m ² 4 0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x , x_{1 2} thỏa mãn

1 2

1 3 x x 1.

   

Lời giải:

Có ^{  '}

 

^{m 2}



^m24



^{m2m2   4 4 0, m.}

Do đó phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt là x m 2.  Điều kiện: x₁0, x₂     0 m 2 0 m 2.

Trường hợp 1: Xét x₁ m 2, x₂  m 2 thay vào

1 2

1 3

x x 1 ta được:

 

  

²

2 2 2

m 2 3 m 2

1 3 1 1 4m 4 1

m 2 m 2 m 2 m 2 m 4

4m 4 m 4 m 4m 8 0 m 4m 4 12 0

   

     

    

            



^{m 2}



^{2 12 m 2 2 3 m 2 2 3}

          (thỏa mãn) Trường hợp 2: Xét x₁ m 2, x₂ m 2 thay vào

1 2

1 3

x x 1 ta được:

 

  

²

m 2 3 m 2

1 3 4m 4

1 1 1

m 2 m 2 m 2 m 2 m 4

   

     

    

2 2

4m 4 m 4 m 4m 0 m 0; m 4

          (thỏa mãn).

Vậy ^m



0; 4; 2 2 3



là giá trị cần tìm.

Dạng 6: xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai

Bài 12: Cho phương trình: ^{x22 m 1}



^{ }



^{m24m 3 0 } (với m là tham số) a) Tìm m để phương trình đã cho có nghiệm.

b) Tìm m để phương trình đã cho có hai nghiệm cùng dấu.

c) Tìm m để phương trình đã cho có hai nghiệm khác dấu.

d) Tìm m để phương trình đã cho có hai nghiệm dương.

e) Tìm m để phương trình đã cho có hai nghiệm âm.

Lời giải:

 

^{2 2}

' m 1 (m 4m 3) 6m 2

       

S 2(m 1)  ; P m ²4m 3

a) Để phương trình đã cho có nghiệm thì: ^{' 0}



^{m 1}



^{2 (m2 4m 3) 0 6m 2 0 m 1.}

            3 Vậy khi 1

m3thì phương trình đã cho có nghiệm.

a) Phương trình đã cho có hai nghiệm cùng dấu khi và chỉ khi:

Trong tài liệu Chuyên đề hệ thức Vi-ét và ứng dụng - THCS.TOANMATH.com (Trang 43-57)