HAI MẶT PHẲNG SONG SONG - Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian, quan hệ song song

A TÓM TẮT LÍ THUYẾT

1 ĐỊNH NGHĨA

Định nghĩa 1. Hai mặt phẳng(α) và(β)gọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm chung, kí hiệu(α)k(β).

Hệ quả 1.

Cho hai mặt phẳng song song (α) và (β). Nếu đường thẳng d nằm trong(α)thì dk(β).

2 TÍNH CHẤT

Định lí 1.

Nếu mặt phẳng (α) chứa hai đường thẳng cắt nhau a và b cùng song song với mặt phẳng(β) thì (α)k(β).

a M b

Định lí 2.

Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng cho trước, có một và chỉ một mặt phẳng song song với mặt phẳng đã cho.

Hệ quả 2. Nếu đường thẳngdsong song với mặt phẳng (α) thì qua dcó duy nhất một mặt phẳng song song với(α).

Hệ quả 3. Hai mặt phẳng phân biệt cùng song với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau.

Hệ quả 4. Cho điểmA không nằm trên mặt phẳng(α). Mọi đường thẳng đi quaA và song song với (α)đều nằm trong mặt phẳng quaA và song song với(α).

Định lí 3.

Cho hai mặt phẳng song song. Nếu một mặt phẳng cắt mặt phẳng này thì cũng cắt mặt phẳng kia và hai giao tuyến song song với nhau.

a b

β α

Hệ quả 5.

Hai mặt phẳng song song chắn trên hai cát tuyến song song những đoạn thẳng bằng nhau.

A⁰

B⁰ a

β α

3 ĐỊNH LÝ TA-LÉT (THALÈS)

Định lí 4.

Ba mặt phẳng đôi một song song chắn trên hai cát tuyến bất kì những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.

C C⁰

B⁰ d

A A⁰

d⁰

R Q

4

^! Nếu hai cát tuyến dvà d⁰ cắt 3 mặt phẳng song song(P) k(Q)k(R) lần lượt tại các giao điểm A, B, C và A⁰, B⁰, C⁰ thì AB

A⁰B⁰ = BC

B⁰C⁰ = CA C⁰A⁰.

4 HÌNH LĂNG TRỤ VÀ HÌNH HỘP

Định nghĩa 2.

Cho hai mặt phẳng (α) k (α⁰). Trong (α) cho đa giác lồi A₁A₂. . . A_n. Qua các điểm A₁, A₂, . . . , A_n ta dựng các đường song song với nhau và cắt(α⁰) tại A⁰₁, A⁰₂, . . . , A⁰_n. Hình tạo thành bởi hai đa giác A1A2. . . An, A⁰₁A⁰₂. . . A⁰_n cùng với các hình bình hànhA₁A₂A⁰₂A⁰₁,A₂A₃A⁰₃A⁰₂, . . . , A_nA₁A⁰₁A⁰_n được gọi là hình lăng trụ và được ký hiệu bởi A1A2. . . An.A⁰₁A⁰₂. . . A⁰_n.

Hai đa giácA₁A₂. . . A_n,A⁰₁A⁰₂. . . A⁰_n được gọi là hai mặt đáy (bằng nhau) của hình lăng trụ.

Các đoạn thẳng A₁A⁰₁, A₂A⁰₂,. . . , A_nA⁰_n gọi là các cạnh bên của hình lăng trụ.

Các hình bình hành A₁A₂A⁰₂A⁰₁, A₂A₃A⁰₃A⁰₃,. . . , AnA1A⁰₁A⁰_n gọi là các mặt bên của hình lăng trụ.

Các đỉnh của hai đa giác đáy gọi là cácđỉnh của hình lăng trụ.

A⁰1

A2 A3

A⁰2 A⁰3

A⁰4

A⁰5

α α⁰

Tính chất 1.

Các cạnh bên của hình lăng trụ thì song song và bằng nhau.

Các mặt bên của hình lăng trụ đều là hình bình hành.

Hai đáy của hình lăng trụ là hai đa giác bằng nhau.

Người ta gọi tên hình lăng trụ theo đáy của nó như sau:

Lăng trụ tam giác Lăng trụ tứ giác

Hình hộp Lăng trụ ngũ giác Hình lăng trụ có đáy là tam giác gọi làhình lăng trụ tam giác.

Hình lăng trụ có đáy là hình bình hành gọi làhình hộp.

5 HÌNH CHÓP CỤT

Định nghĩa 3. Cho hình chóp S.A₁A₂. . . A_n. Một mặt phẳng(P) song song với mặt đáy của hình chóp và không đi qua đỉnh lần lượt cắt các cạnh SA1, SA2, . . . , SAn tại A⁰₁, A⁰₂, . . . , A⁰_n. Hình tạo thành bởi hai đa giácA⁰₁A⁰₂. . . A⁰_n,A₁A₂. . . A_nvà các tứ giác A₁A₂A⁰₂A⁰₁,A₂A₃A⁰₃A⁰₃,. . . ,A_nA₁A⁰₁A⁰_n gọi làhình chóp cụt.

ĐáyA₁A₂. . . A_n của hình chóp gọi là đáy lớn của hình chóp cụt.

Thiết diệnA⁰₁A⁰₂. . . A⁰_n của hình chóp và(P) gọi là đáy nhỏ của hình chóp cụt.

Ta gọi tên hình chóp cụt theo đa giác đáy của nó (chóp cụt tam giác, tứ giác,. . . ).

A⁰₁

A⁰₂ A⁰₃ A⁰₄ A⁰₅

Tính chất 2.

Hai đáy của hình chóp cụt là hai đa giác có các cạnh tương ứng song song và tỉ lệ giữa các cặp cạnh tương tứng bằng nhau.

Các mặt bên là hình thang.

Các đường thẳng chứa các cạnh bên đồng quy tại1 điểm.

B CÁC DẠNG TOÁN

Dạng 1. Chứng minh hai mặt phẳng song song Phương pháp giải:

Để chứng minh hai mặt phẳng song song, ta chứng minh:

Phương pháp 1.

Trên mặt phẳng này có hai đường thẳng cắt nhau cùng song song với mặt phẳng còn lại.







a⊂(α), b⊂(α) a∩b=M ak(β), bk(β)

⇒(α)k(β).

a b

β α

Phương pháp 2.

Hai mặt phẳng cùng song song với mặt phẳng thứ 3.

®(α)6= (β)

(α)k(γ),(β)k(γ) ⇒(α)k(β).

β α

γ 1 CÁC VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O, gọi M, N lần lượt là trung điểm củaSA,SD. Chứng minh(OM N)k(SBC).

-Lời giải.

Ta cóM, O lần lượt là trung điểm của SA,AC nên OM là đường trung bình của tam giácSAC ứng với cạnh SC, do đóOM kSC.

Vậy

®OM kSC

SC⊂(SBC) ⇒OM k(SBC) (1)

Tương tự, ta cóN,O lần lượt là trung điểm củaSD,BD nên N O là đường trung bình của tam giác SBD ứng với cạnhSB do đóON kSB.

Vậy

®ON kSB

SB ⊂(SBC ⇒ON k(SBC) (2)

Từ (1) và (2) ta có







OM k(SBC) ON k(SBC) OM ∩ON =O

⇒(OM N)k(SBC).

B C

O A D

M N

Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCDcó đáy là một hình bình hành. GọiA⁰,B⁰,C⁰,D⁰ lần lượt là trung điểm của các cạnhSA, SB, SC, SD.Chứng minh rằng (A⁰C⁰D⁰)k(ABCD).

-Lời giải.

Để chứng minh hai mặt phẳng song song, ta sẽ tìm trên mặt phẳng này 2 đường thẳng cắt nhau và cùng song song với mặt phẳng còn lại.

Dễ thấy

®A⁰C⁰ kAC A⁰D⁰ kAD ⇒

®A⁰C⁰ k(ABCD)

A⁰D⁰ k(ABCD) ⇒(A⁰C⁰D⁰)k(ABCD).

B A⁰

D C⁰

D⁰ S

Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M,N lần lượt là trung điểm củaSA vàCD.

Chứng minh hai mặt phẳng(M N O) và(SBC) song song.

-Lời giải.

Ta cóM là trung điểm SA,O là trung điểm AC

⇒M O là đường trung bình4SAC

⇒M OkSC.

Tương tựON kBC.

Do đó (OM N)k(SBC).

B C

D N A

Dạng 2. Tìm giao tuyến của mặt phẳng(α) với mặt phẳng(β) biết(α) qua điểm A; song song với mặt phẳng (γ)

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất







(α)k(β) (γ)∩(α) =a (γ)∩(β) =b

⇒akb

1 CÁC VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình bình hành tâmH. Mặt phẳng (P) đi quaH và song song với(SAB). Tìm giao tuyến của

1 Mặt phẳng(P) và mặt phẳng(ABCD).

2 Mặt phẳng(P) và mặt phẳng(SBC).

-Lời giải.

A S

B E

D H

1 Giao tuyến của mặt phẳng(P) và mặt phẳng(ABCD).







(P)k(SAB)

(ABCD)∩(SAB) =AB (P)∩(ABCD) =H

⇔(P)∩(ABCD) =EF với







EF qua H EF kAB

E ∈BC, F ∈AD .

2 Giao tuyến của mặt phẳng(P) và mặt phẳng(SBC).







(P)k(SAB)

(SBC)∩(SAB) =SB (P)∩(SBC) =E

⇔(P)∩(ABCD) =EK với

®EK∩SC=K EKkSB .

Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCDcó đáyABCDlà hình bình hành. GọiM là điểm bất kỳ trênAB.

Gọi(α) là măt phẳng quaM và song song với (SBC). Tìm giao tuyến của(α) với cắt mặt của hình chóp.

-Lời giải.

M Q

A S

B C

D N

Ta có:







(α)k(SBC)

(SBC)∩(ABCD) =BC (α)∩(ABCD) =M

⇔(α)∩(ABCD) =M N với

®M N∩CD =N M N kBC .







(α)k(SBC)

(SBC)∩(SCD) =SC (α)∩(SCD) =N

⇔(α)∩(SCD) =N P với

®N P ∩SD=P N P kSC .







(α)k(SBC)

(SBC)∩(SAB) =SB (α)∩(SAB) =M

⇔(α)∩(SAB) =M Qvới

®M Q∩SA=Q M QkBC .

Suy ra, (P)∩(SAD) =P Q.

Ví dụ 3. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A⁰B⁰C⁰D⁰. Gọi M,N, P lần lượt là trung điểm các cạnh AB,AD,A⁰D⁰. Xác định giao tuyến của (M N P) và các mặt(A⁰B⁰C⁰D⁰),(AA⁰B⁰B).

-Lời giải.

B⁰

A⁰ M

D⁰ N

C⁰ P

Ta có:

M,N,P lần lượt là trung điểm các cạnhAB,AD,A⁰D⁰. Suy ra

®M N kBDkB⁰D⁰

N P kAA⁰ kDD⁰ ⇒(M N P)k(BDD⁰B⁰).

Khi đó







(M N P)k(BDD⁰B⁰)

(BDD⁰B⁰)∩(A⁰B⁰C⁰D⁰) =B⁰D⁰ (M N P)∩(A⁰B⁰C⁰D) =P

⇔(M N P)∩(A⁰B⁰C⁰D⁰) =P Qvới

®P Q∩A⁰B⁰=Q P QkB⁰D⁰ .

Suy ra(M N P)∩(ABB⁰A⁰) =M Q.

Ví dụ 4. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A⁰B⁰C⁰. Xác định giao tuyến của mặt phẳng (H, d) và mặt phẳng (ABC) trong đó H là trung điểm A⁰B⁰, d là giao tuyến của hai mặt phẳng(AB⁰C⁰) và mặt phẳng(A⁰BC).

-Lời giải.

A F C

B⁰

A⁰ H

C⁰

Ta cóAB⁰∩A⁰B =M,AC⁰∩A⁰C=N. Khi đó (AB⁰C⁰)∩(A⁰BC) =M N =d.

Vậy(H, d) = (HM N).

Ta có

®HM kBB⁰

M N kB⁰C⁰ ⇒(HN M)k(BB⁰C⁰C).

KẻHM cắt ABtại E. Khi đó:







(HM N)k(BB⁰C⁰C) (BB⁰C⁰C)∩(ABC) =BC (HM N)∩(ABC) =E

⇔(HM N)∩(ABC) =EF với

®EF ∩AC =F

EF kB⁰C⁰ kBC. Dạng 3. Xác định thiết diện cắt bởi mặt phẳng song song với một mặt phẳng cho trước

Phương pháp giải:

Trong không gian cho hình chóp hoặc lăng trụ S. Xác định thiết diện của chóp cắt bởi mặt phẳng(α) đi qua điểm I cho trước và song song với một mặt phẳng (β) cho trước.

Ta đi xác định đường thẳng d⊂(β).

Vì (α)k(β) nên (α)kd. Do đó (α) giao với mặt phẳng chứad theo giao tuyếnakd.

Suy ra (α) = (I, a)

Ta tìm các đoạn giao tuyến của mặt phẳng (I, a) với các mặt của chóp hoặc lăng trụ S.

1 CÁC VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành tâm O có AC = a, BD = b. Tam giác SBD là tam giác đều. Một mặt phẳng(α) di động song song với mặt phẳng(SBD) và đi qua điểm I trên đoạnAC.

1 Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (α).

2 Tính diện tích thiết diện theoa, b vàx=AI. -Lời giải.

M K

H P

L N

B C

A D I

1 Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (α).

TH1:I ∈OA. Ta có







(α)k(SBD)

(ABD)∩(SBD) =BD I ∈(α)∩(ABD)

⇒(α)∩(ABD) =M N .

vớiM N quaI và M N kBD.

Tương tự (α) cắt (SAB) theo đoạn giao tuyến M P song song với SB, cắt (SAD) theo đoạn giao tuyếnN P kSD.

Thiết diện là tam giác đềuM N P (vì đồng dạng với tam giác đềuSBD)

TH2:I ∈OC. Ta có thiết diện là tam giác đều HKLcó các cạnh tương ứng song song với cạnh tam giácSBD.

TH3:I =O, thiết diện là tam giác SBD 2 Tính diện tích thiết diện theoa, b vàx=AI.

Ta cóS4BCD = b²√ 3 4 . TH1:I ∈OA ⇔0< x < a

S4M N P

S4BCD

= ÅM N

BD ã2

. DoM N kBD, ta có M N BD = AI

AO = 2x a . Suy raS4M N P = b²x²√

3 a² TH2:I ∈OC ⇔ a

2 < x < a S4HKL

S4BCD

= ÅHL

BD ã2

. Do HLkBD, ta có HL BD = CI

CO = 2(a−x) a . Suy raS4M N P = b²(a−x)²√

3 a²

TH3:I =O, thiết diện là tam giác SBD có S= b²√ 3 4

Ví dụ 2. Cho hình hộp ABCD.A⁰B⁰C⁰D⁰. Hai điểm M, N lần lượt nằm trên hai cạnhAD, CC⁰ sao cho AM

M D = CN

N C⁰. Xác định thiết diện của hình hộp cắt bởi mặt phẳng qua M N và song song với (ACB⁰)

-Lời giải.

Gọi I là điểm trên AA⁰ sao cho AI

IA⁰ = AM

M D suy ra IM k A⁰D suy ra IM kCB⁰

Ta lại có AI

IA⁰ = CN

N C⁰ suy ra IN kAC suy ra (M N I)k (ACB⁰), do đó M N k(ACB⁰)

QuaM kẻ M E kAC; qua N kẻ N F kB⁰C⁰, qua F kẻ F K kA⁰C⁰. Đa giácM EN F KI là thiết diện cần tìm.

A⁰ I A

D⁰ M

D E C

K B⁰

C⁰ F

N B

C BÀI TẬP RÈN LUYỆN

Bài 1. Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình bình hành. GọiG1,G2,G3lần lượt là trọng tâm các tam giácSAB,ABC,SBD. GọiM là một điểm thuộc đường thẳng G₂G₃. Chứng minhG₁M k(SBC).

-Lời giải.

B C

D S

O G₁

G₃

N M

GọiO là tâm hình bình hànhABCD và N là trung điểm AB, suy ra G1∈SN,G2∈CM,G3 ∈SO.

DoG1,G2 lần lượt là trọng tâm tam giácSAB,ABC nên ta có:









 N G1

M S = 1 3 N G₂

M C = 1 3

⇒ G1G2 kSC (Định lý Ta-lét trong∆N SC)

⇒ G₁G₂k(SBC).

DoG2,G3 lần lượt là trọng tâm tam giácABC,SBDnên ta có:









 OG₂

OB = 1 3 OG3

OS = 1 3

⇒ G2G3 kSB (Định lý Ta-lét trong ∆SOB).

⇒ G2G3k(SBC).

Ta đã có:

®G1G2k(SBC)

G2G3k(SBC) ⇒ (G1G2G3)k(SBC)

Mà G₁M ⊂(G₁G₂G₃)⇒ G₁M k(SBC).

Bài 2. Cho hình chópS.ABCDcó đáy là hình bình hành tâmO. GọiM,N lần lượt là trung điểm củaSA vàCD.

1 Chứng minh hai mặt phẳng(OM N) và(SBC) song song với nhau.

2 GọiI là trung điểm củaSD,J là một điểm trên(ABCD)và cách đềuAB,CD. Chứng minhIJ song song với(SAB).

3 Giả sử hai tam giácSAD,ABC cân tại A. Gọi AE và AF lần lượt là các đường phân giác trong của tam giácACD vàSAB. Chứng minh EF song song với(SAD).

-Lời giải.

1 Chứng minh(OM N)k(SBC).

DoON,OM theo thứ tự là đường trung bình của các tam giácBCDvà SAC nên OM kBC,ON kSC.

Hơn nữa, ON,OM không chứa trong (SBC). Do đó ON k(SBC),OM k(SBC).

Mặt khác,OM∩ON =O nên (OM N)k(SBC).

2 Chứng minhIJ k(SAB).

Trong mặt phẳng(ABCD),OvàJcách đều hai đường thẳng song song AB và CD nên OJ k AB k CD.

Hơn nữa,OJ không chứa trong(SAB). Do đó, OJ k (SAB).

D N J

C A

Mặt khác,OI là đường trung bình trong tam giácSBDnên OI kSB. Do đó, OJ k(SAB).

Mặt phẳng(OIJ) chứa hai đường thẳng cắt nhau và cùng song song với(SAB) nên(OIJ)k(SAB).

Hơn nữa,IJ ⊂(OIJ). Vì vậy,IJk(SAB).

3 Chứng minh EF k (SAD). Theo tính chất đường phân giác ta có

EB =−AS

AB và F D

F C =−AD

AC. (?)

Mặt khác, các tam giácSAD vàABC cân tại Anên

AS =AD và AB=AC. (??) Từ (?) và (??) suy ra

EB = F D F C.

Suy raEF,SD,BC cùng song song với một mặt phẳng.

DoSD⊂(SAD),BCkAD nên BCk(SAD).

VậyEF k(SAD).

D F O

C A

Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình thang có AB k CD và AB = 2CD, I là giao điểm củaAC vàBD. GọiM là trung điểm củaSD,E là trung điểm đoạnCM vàGlà điểm đối xứng củaE qua M,SE cắtCD tại K. Chứng minh (IKE)k(ADG).

-Lời giải.

DoCE=M E=M Gnên CE= 1

3CG. (1)

Mặt khác (

BAI‘ =’DCI, (so le trong), AIB‘ =’CID, (đối đỉnh).

Do đó 4ABI v4CDI, (g-g). Khi đó CI

IA = CD AB = 1

2 hay CI CA = 1

3. (2)

Từ (1) và (2) suy ra

EI kGA. (?)

C K D

A S

Hơn nữa, tứ giác SGDE có SM =M D vàEM =M G, nên tứ giác SGDE là hình bình hành. Do đó

SEkGD hay EK kGD. (??)

Từ (?) và (??) suy ra(IEK)k(ADG).

Bài 4. Cho hình chópS.ABCDcó đáy là hình bình hành tâmO. Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của SA,SDvà SB.

1 Chứng minh rằng (M N P)k(ABCD).

2 Chứng minh rằng (OM N)k(SBC).

-Lời giải.

B C

P D

O S

1 Chứng minh(M N P)k(ABCD).

Ta có

®M N kAD, (do M N là đường trung bình của4SAD) AD⊂(ABCD).

Suy raM N k(ABCD).

Ta lại có

®N P kAB, (do N P là đường trung bình của4SAB) AB⊂(ABCD).

Suy raN P k(ABCD).

Mặt khác,M N, N P ⊂(ABCD).

Vậy(M N P)k(ABCD).

2 Chứng minh(OM N)k(SBC).

Ta cóM N kAD, (M N là đường trung bình của∆SAD) vàADkBC, (doABCDlà hình bình hành) nên M N kBC.

MàBC ⊂(SBC)nên M N k(SBC).

Ta lại cóOM kSC, (doOM là đường trung bình của∆SAC).

MàSC ⊂(SBC) nên OM k(SBC).

Mặt khác(M N, OM ⊂(OM N).

Vậy(OM N)k(SBC).

Bài 5. Cho tứ diệnABCD gọi M,N lần lượt là trung điểm cạnh AB vàCD, E là điểm chia BC theo tỉ số BE

BC = 2

1. Trên đoạn thẳngAM lấy điểmH. Tìm giao tuyến của mặt phẳng(P) đi quaH và song song với mặt phẳng(M N E). Tìm giao tuyến của

1 Mặt phẳng(P) và mặt phẳng(BCD).

2 Mặt phẳng(P) và mặt phẳng(ABD).

-Lời giải.

B M

D F

C E

N L

1 Giao tuyến của mặt phẳng(P) và mặt phẳng(BCD).

Ta có:







(P)k(M N E)

(M N E)∩(ABC) =M E (P)∩(ABC) =H

⇔(P)∩(ABC) =HK với

®HK∩BC=K HK kM E .

Khi đó:







(P)k(M N E)

(M N E)∩(BCD) =EN (P)∩(BCD) =K

⇔(P)∩(BCD) =KL với

®KL∩CD=L KLkEN . 2 Giao tuyến của mặt phẳng(P) và mặt phẳng(ABD).

Ta có :

®EN kBD

M ∈(M N E)∩(SBD) ⇒(M N E)∩(SBD) =M F với

®M F ∩AD=F M F kBD Khi đó:







(P)k(M N E)

(M N E)∩(ABD) =M F (P)∩(ABD) =H

⇔(P)∩(ABD) =HG với

®HG∩AD=G HGkM F .

Bài 6. Cho hình chópS.ABC, lấy điểm O thuộc miền trong tam giác ABC, điểm I thuộc đoạn SO. Gọi (α)là mặt phẳng qua I và song song với(SBC). Tìm giao tuyến của

1 Mặt phẳng(α)và mặt phẳng (ABC).

2 Mặt phẳng(α)và mặt phẳng (SAC).

-Lời giải.

O A I

E M

F C

B J

1 Tìm giao tuyến của mặt phẳng(IEF) và mặt phẳng(ABC).

GọiM F =AO∩BC.

Ta có:







(α)k(SBC)

(SAM)∩(SBC) =SM (α)∩(SAM) =I

⇔(α)∩(SAM) =Ix với

®Ix∩SA=G

Ix∩AM =J IxkSM. Do đó,







(α)k(SBC)

(ABC)∩(SBC) =SM (α)∩(ABC) =J

⇔(α)∩(ABC) =EF với







EF quaJ

E∈AB, F ∈AC EF kSM

2 Tìm giao tuyến của mặt phẳng(IEF) và mặt phẳng(SAC).

Ta có:







(α)k(SBC)

(SAB)∩(SBC) =SB (α)∩(SAB) =E

⇔(α)∩(SAB) =EG với

®G∈SA EGkSB.

Bài 7. Cho hình chópS.ABCDcó đáy là hình bình hànhABCD. GọiM,N,E lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,AD, SC. Trên đoạn AM lấy điểm K. Mặt phẳng qua K song song với M N E cắt SB, AD lần lượt tạiP,Q. Tìm giao tuyến của mặt phẳng(KP Q) và mặt phẳng(SAD).

-Lời giải.

K x

D J

B P N F

Q I

R GọiO là tâm hình bình hànhABCD.

Suy ra(SBD)∩(SAC) =SO.

GọiI =M N∩AC;J =AI ∩SO.











(M N E)∩(SBD) =I M N kBD

M N ⊂(M N E) BD⊂(SBD)

⇒

®(M N E)∩(SBD) =J x

J xkBD .

GọiF =J x∩SB,(α) là mặt phẳng quaK và song song với (M N E).







(α)∩(SAB) =K (α)k(M N E)

(M N E)∩(SAB) =M F

⇒(α)∩(SAB) =KP kM F vớiP ∈SB.

Tương tự ta có(α)∩(ABCD) =KQkM N vớiQ∈AD.

Ta có:KQ∩SA=R⇒(KP Q)∩(SAD) =QR.

Bài 8. Cho hình chópS.ABCDđáy là hình bình hành tâm O có AC=a,BD=b. Tam giác SBDlà tam giác đều. Một mặt phẳng (α) song song với mặt phẳng (SBD)và qua điểm I trên đoạn AO.

1 Tìm giao tuyến của mặt phẳng(α) với các mặt phẳng(SAB),(SAD),(ABCD).

2 Tính diện tích hình phẳng được tạo bởi các giao tuyến đó.

-Lời giải.

A P

C M I

1 Tìm giao tuyến của mặt phẳng(α) với các mặt phẳng(SAB),(SAD),(ABCD).

Ta cóI ∈OA thì:







(α)k(SBD)

(ABCD)∩(SBD) =BD I ∈(α)∩(ABCD)

⇔(α)∩(ABCD) =M N với

®M N quaI

M N kBD vớiM ∈AB,N ∈AD.

Tương tựα cắtSAB theo giao tuyếnM P kSB và cắt(SAD)theo giao tuyếnN P kSDvớiP ∈SA.

2 Tính diện tích hình phẳng được tạo bởi các giao tuyến đó.

Ta có tam giácM N P là tam giác đều vì đồng dạng với tam giác đềuSBD.

Ta cóS_SBD= BD²√ 3

4 = b²√ 3

4 I ∈OA⇔0< x < a 2. Khi đó SM N P

S_BCD = ÅM N

BD ã2

. DoM N kBD, ta có:

M N BD = AI

AO = 2x

a ⇒SM N P = b²√ 3 4

Å2x a

ã2

= b²x²√ 3 a² .

Bài 9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD có AD k BC, AD = 2BC. Gọi E là trung điểmADvàO giao điểm củaAC vàBE;I là một điểm di động trên cạnhAC khác Acà C. QuaI vẽ mặt phẳng(α) song song với(SBE). Tìm thiết diện tạo bởi(α) và hình chópS.ABCD.

-Lời giải.

HD: TH1: I ∈ OA, (α) k (SBE) nên (α) k BE và (α) k SO, suy ra (α) cắt (ABE) theo giao tuyến M N k BE, M N qua I, và (α) cắt (SAC) theo giao tuyến EI k SO, EI qua I. Thiết diện là tam giác EM N.

TH2:I ∈OC, thiết diện là hình thang HKLP(HKkLP kBE kCD)

TH3:I =O thiết diện là tam giácSBE.

Bài 10. Cho hình hộpABCD.A⁰B⁰C⁰D⁰. GọiO là tâm hình bình hànhABCD;K là trung điểm C⁰D⁰;E là trung điểm của B⁰O. Xác định thiết diện của hình hộp khi cắt bởi mặt phẳng (P) qua điểm K và song song mặt phẳng(EA⁰C⁰).

-Lời giải.

HD: Ta có BOO⁰B⁰ là hình bình hành, do đóE =BO⁰∩B⁰O, suy ra (EA⁰C⁰) = (BA⁰C⁰). Mặt phẳng (P) qua K song song với BA⁰C⁰. Từ K kẻ đường thẳng song song với A⁰C⁰ cắt A⁰D⁰, C⁰B⁰, A⁰B⁰ lần lượt tại M, N, P. Từ P kẻ đường thẳng song song A⁰B cắt AA⁰, AB, BB⁰ lần lượt tại I, J, Q. Nối Q vàN cắt BC tạiS, cắt CC⁰ tạiR. Thiết diện là lục giácKM IJ SR có các cạnh đối song song với nhau.

Bài 11. Cho hình chópS.ABCD có đáy là hình thang, đáy lớnAB= 3a,AD=CD =a. Mặt bên(SAB) là tam giác cân đỉnhS vớiSA= 2a, gọiM là điểm thuộc cạnh AD. Mặt phẳng(α) đi quaM và song song với(SAB). Xác định thiết diện của chóp với mặt phẳng (α). Thiết diện là hình gì?

-Lời giải.

HD: QuaM kẻ M N kAB, từN kẻ N P kSB, từM kẻ M QkSA. Thiết diện là hình thang cânM N P Q.

Bài 12. Cho tứ diện ABCD có G là trọng tâm của tam giácBCD. Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng AG. Thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng đi qua O và song song với mặt phẳng (ABC) là tam giác M N P. GọiS1,S2 lần lượt là diện tích của hai tam giácM N P vàABC. Tính tỉ số S1

S₂. -Lời giải.

HD: Ta có M N = 5

6BC nên S1

S₂ = 25

36. A

G O

I J

N M

Bài 13. Cho hình chópS.ABC cóM là điểm di động trên cạnhSAsao cho SM

SA =k, với0< k <1, k∈R. Gọi(α) là mặt phẳng đi quaM và song song với mặt phẳng(ABC). Tìmk để mặt phẳng(α)cắt cắt hình chóp theo một thiết diện có diện tích bằng nửa diện tích của tam giácABC.

-Lời giải.

Thiết diện là tam giácM N P. Ta có: S_{M N P}

SABC

= M N AB

M P

AC =k² = 1 2. Vậyk=

√2 2 .

C M

D CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

Câu 1. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. Hai mặt phẳng không cắt nhau thì song song.

B. Hai mặt phẳng cùng song song với một đường thẳng thì cắt nhau.

C. Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng cho trước có duy nhất một mặt phẳng song song với mặt phẳng đó.

D. Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng cho trước có vô số mặt phẳng song song với mặt phẳng đó.

-Lời giải.

Trong không gian, hai mặt phẳng có3vị trí tương đối: trùng nhau, cắt nhau, song song với nhau. Vì vậy,2mặt phẳng không cắt nhau thì có thể song song hoặc trùng nhau⇒A là mệnh đề sai.

Hai mặt phẳng cùng song song với một đường thẳng thì chúng có thể song song với nhau (hình vẽ)⇒ B là mệnh đề sai.

Ta có:ak(P), ak(Q) nhưng(P) và(Q)vẫn có thể song song với nhau.

Mệnh đề C là tính chất nên C đúng.

Chọn đáp án C

Câu 2. Trong các điều kiện sau, điều kiện nào kết luậnmp(α)kmp(β)?

A. (α)k(γ) và(β)k(γ) ((γ) là mặt phẳng nào đó).

B. (α)kavà (α)kb vớia, b là hai đường thẳng phân biệt thuộc(β).

C. (α)kavà (α)kb vớia, b là hai đường thẳng phân biệt cùng song song với(β).

D. (α)kavà (α)kb vớia, b là hai đường thẳng cắt nhau thuộc(β).

-Lời giải.

a b α

Hình 1.

a b

α β

Hình 2.

Trong trường hợp: (α) k (γ) và (β) k (γ) ((γ) là mặt phẳng nào đó) thì (α) và (β) có thể trùng nhau ⇒ Loại A.

(α)kavà(α)kb với a, blà hai đường thẳng phân biệt thuộc (β) thì (α) và(β) vẫn có thể cắt nhau (hình 1)⇒ Loại B.

(α)kavà(α)kbvớia, blà hai đường thẳng phân biệt cùng song song với(β) thì(α) và(β) vẫn có thể cắt nhau (hình 2)⇒ Loại C.

Chọn đáp án D

Câu 3. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. Nếu hai mặt phẳng(α) và(β)song song với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong (α) đều song song với(β).

B. Nếu hai mặt phẳng (α) và (β) song song với nhau thì bất kì đường thẳng nào nằm trong (α) cũng song song với bất kì đường thẳng nào nằm trong(β).

C. Nếu hai đường thẳng phân biệt avà bsong song lần lượt nằm trong hai mặt phẳng (α) và (β) phân biệt thìak(β).

D. Nếu đường thẳngdsong song vớimp(α)thì nó song song với mọi đường thẳng nằm trong mp(α).

-Lời giải.

b α

Hình 1.

b a

Hình 2.

Hình 3.

Nếu hai mặt phẳng (α) và(β) song song với nhau thì hai đường thẳng bất kì lần lượt thuộc (α) và(β) có thể chéo nhau (Hình 1)⇒Loại B. Nếu hai đường thẳng phân biệt avàbsong song lần lượt nằm trong hai mặt phẳng (α) và (β) phân biệt thì hai mặt phẳng (α) và (β) có thể cắt nhau (Hình 2) ⇒ Loại C. Nếu đường thẳng dsong song với mp(α) thì nó có thể chéo nhau với một đường thẳng nào đó nằm trong (α). (Hình 3).

Chọn đáp án A

Câu 4. Cho hai mặt phẳng song song (α) và (β), đường thẳng ak (α). Có mấy vị trí tương đối của avà (β)?

A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.

-Lời giải.

Trong không gian, giữa đường thẳng và mặt phẳng có3vị trí tương đối: đường thẳng cắt mặt phẳng, đường thẳng song song với mặt phẳng, đường thẳng nằm trên mặt phẳng.ak(α) mà(α)k(β)⇒avà(α) không thể cắt nhau. Vậy còn2 vị trí tương đối.

Chọn đáp án B

Câu 5. Cho hai mặt phẳng song song(P)và(Q). Hai điểmM, N lần lượt thay đổi trên (P) và(Q).GọiI là trung điểm của M N.Chọn khẳng định đúng.

A. Tập hợp các điểm I là đường thẳng song song và cách đều(P) và (Q).

B. Tập hợp các điểm I là mặt phẳng song song và cách đều (P)và (Q).

C. Tập hợp các điểm I là một mặt phẳng cắt (P).

D. Tập hợp các điểm I là một đường thẳng cắt(P).

-Lời giải.

Ta có:I là trung điểm củaM N ⇒Khoảng cách từIđến(P)bằng khoảng cách từI đến (Q)⇒ Tập hợp các điểmI là mặt phẳng song song và cách đều (P) và(Q).

Q P

Chọn đáp án B

Câu 6. Trong các điều kiện sau, điều kiện nào kết luận đường thẳngasong song với mặt phẳng(P)?

A. akb vàb⊂(P). B. akb vàbk(P).

C. ak(Q) và (Q)k(P). D. a⊂(Q) vàb⊂(P).

-Lời giải.

Ta có: a k b và b ⊂ (P) suy ra a k (P) hoặc a ⊂ (P) ⇒ Loại A. a k b và b k (P) suy ra a k (P) hoặc a⊂(P)⇒ Loại B.ak(Q)và (Q)k(P) suy raak(P) hoặca⊂(P)⇒ Loại C.

Chọn đáp án D

Câu 7. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. Nếu (α)k(β) vàa⊂(α), b⊂(β)thì akb.

B. Nếu (α)k(β) vàa⊂(α), b⊂(β)thì avàb chéo nhau.

C. Nếu akbvà a⊂(α), b⊂(β) thì(α)k(β).

D. Nếu (γ)∩(α) =a, (γ)∩(β) =bvà(α)k(β) thì akb.

-Lời giải.

Nếu(α) k(β) và a⊂(α), b⊂(β) thì akb hoặc a chéo b⇒ A, B sai. Nếu akb và a⊂(α), b⊂(β) thì (α)k(β) hoặc(α)và (β) cắt nhau theo giao tuyến song song với avàb.

Chọn đáp án D

Câu 8. Cho đường thẳnga⊂(P)và đường thẳng b⊂(Q).Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. (P)k(Q)⇒akb. B. akb⇒(P)k(Q).

C. (P)k(Q)⇒ak(Q) vàbk(P). D. a vàbchéo nhau.

-Lời giải.

Với đường thẳnga⊂(P) và đường thẳng b⊂(Q).

Khi (P)k(Q)⇒akb hoặca, bchéo nhau ⇒ A sai.

Khi akb⇒(P)k(Q) hoặc(P),(Q) cắt nhau theo giao tuyến song song với avàb⇒B sai.

avàb có thể chéo nhau, song song hoặc cắt nhau⇒ D sai.

Chọn đáp án C

Câu 9. Hai đường thẳnga vàb nằm trongmp(α).Hai đường thẳng a⁰ và b⁰ nằm trong mp(β).Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Nếuaka⁰ và bkb⁰ thì(α)k(β). B. Nếu (α)k(β)thì aka⁰ vàbkb⁰.

C. Nếu akb vàa⁰kb⁰ thì(α)k(β). D. Nếuacắtbvà aka⁰, bkb⁰ thì (α)k(β).

-Lời giải.

a⁰ b a

b⁰

∆ α

Hình 1.

a⁰ α

Hình 2.

Nếuaka⁰ vàbkb⁰ thì(α)k(β) hoặc(α) cắt(β)(Hình 1) ⇒A sai. Nếu (α)k(β)thì aka⁰ hoặca, a⁰ chéo nhau (Hình 2)⇒ B sai.

Nếuakbvà a⁰ kb⁰ thì (α)k(β) hoặc(α) cắtCC⁰.(Hình 1) ⇒C sai.

Chọn đáp án D

Câu 10. Cho hai mặt phẳng(P) và(Q) cắt nhau theo giao tuyến∆.Hai đường thẳngpvàq lần lượt nằm trong(P)và (Q).Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. p vàq cắt nhau. B. p và q chéo nhau.

C. p vàq song song. D. Cả ba mệnh đề trên đều sai.

-Lời giải.

Ta cópvà q có thể cắt nhau, song song, chéo nhau (hình vẽ).

q p

∆

q p

∆ q

∆

Chọn đáp án D

Câu 11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, I theo thứ tự là trung điểm củaSA, SD và AB.Khẳng định nào sau đây đúng?

A. (N OM) cắt(OP M). B. (M ON)k(SBC).

C. (P ON)∩(M N P) =N P. D. (N M P)k(SBD).

-Lời giải.

Ta cóM N là đường trung bình của tam giácSADsuy raM N kAD (1).

VàOP là đường trung bình của tam giácBAD suy raOP kAD (2).

Từ(1),(2) suy raM N kOP kAD⇒M, N, O, P đồng phẳng.

Lại cóM P kSB, OP kBC suy ra(M N OP)k(SBC)hay(M ON)k (SBC).

D C

B M

P N

Chọn đáp án B

Câu 12. Cho hình chópS.ABCD có đáyABCD là hình bình hành tâmO. Tam giácSBD đều. Một mặt phẳng(P)song song với(SBD) và qua điểmI thuộc cạnhAC (không trùng vớiAhoặcC). Thiết diện của (P) và hình chóp là hình gì?

A. Hình hình hành. B. Tam giác cân. C. Tam giác vuông. D. Tam giác đều.

-Lời giải.

Trong tài liệu Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian, quan hệ song song - Nguyễn Chín Em - TOANMATH.com (Trang 150-200)