Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, gọi A, B là các giao điểm của đường thẳng (d):

2 –x y– 5=0 và đường tròn (C’): x²+y²−20x+50=0. Hãy viết phương trình đường tròn (C) đi qua ba điểm A, B, C(1; 1).

HD Giải

Tài liệu học tập Toán 10 GV. Lư Sĩ Pháp Giải hệ

2 2

2 5 0

20 50 0

x y

x y x

− − =



+ − + =

 . Tìm được A(3; 1), B(5; 5)

Viết phương trình đường tròn (C) qua ba điểm A, B, C. Vậy (C): x²+y²−4x−8y+10=0 Bài 2.12. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho ba đường thẳng: d₁: 2x y+ − =3 0,

2: 3 4 5 0

d x+ y+ = , d₃: 4x+3y+ =2 0. Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc d₁ và tiếp xúc với d2 và d₃.

HD Giải Gọi tâm đường tròn là I t( ;3 2 )− t ∈d₁.

Khi đó: d I d( , ₂)₌d I d( , )_{3 ⇔} 3 4(3 2 ) 5 5

4 3(3 2 ) 2 5

t_{+ −} t _{+ =} t+ − t +

⇔ 2

4 t t





=

= Vậy có 2 đường tròn thoả mãn:

( x − 2) (

²

+ + y 1)

² = ⁴⁹₂₅ và ( −4) (²+ +5)²= 9

x y 25.

Bài 2.13. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng∆:x+3y+ =8 0, ∆' :3x−4y+10 0= và điểm A(–2; 1). Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc đường thẳng ∆, đi qua điểm A và tiếp xúc với đường thẳng ∆′.

HD Giải Gọi tâm đường tròn là: I( 3 8; )− −t t ∈ ∆. Ta có: d I( , )∆ =′ IA

⇔ ^{2 2}

2 2

3( 3 8) 4 10

( 3 8 2) ( 1) 3 4

t t

t t

− − − +

= − − + + −

+ ⇔ t= −3 ⇒ I(1; 3),− R=5

Vậy đường tròn cần tìm: (x−1)²+ (y+3)² =25.

Bài 2.14. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình đường tròn đi qua A(2; 1)− và tiếp xúc với các trục toạ độ.

at Giải

Gọi phương trình đường tròn (C) cần tìm có dạng:

(

^x−a

) (

^{2 + −y b}

)

^{2 =R2}

Ta có (C) tiếp xúc với Ox và Oy nên: a = b = R

Nên phương trình đường tròn (C) có dạng:  − + + =

 − + − =



2 2 2

2 2 2

( ) ( ) (1)

( ) ( ) (2)

x a y a a

x a y a a và (C) qua A(2; 1)− Ta có: 1) a=1;a=5 2) ⇒ vô nghiệm.

Vậy có hai đường tròn thỏa mãn đề bài: (x−1)²+ +(y 1)² =1 và (x−5)²+ +(y 5)² =25.

Bài 2.15. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: 2x− − =y 4 0. Lập phương trình đường tròn tiếp xúc với các trục tọa độ và có tâm ở trên đường thẳng d.

HD Giải

Gọi I a a( ;2 − ∈4) ( )d là tâm đường tròn (C) cần tìm. Ta có đường tròn tiếp xúc với các trục tọa độ nên:

= 2 − ⇔ =4 4, = 4

a a a a 3.

4

m= 3 thì phương trình đường tròn (C) là:

2 2

4 4 16

3 3 9

x y

   

− + + =

   

    .

4

m= thì phương trình đường tròn là (C): (x−4)²+ −(y 4)² =16.

Bài 2.16. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(–1;1) và B(3;3), đường thẳng (∆):

3 –4x y+ =8 0. Lập phương trình đường tròn qua A, B và tiếp xúc với đường thẳng (∆).

HD Giải Tâm I của đường tròn nằm trên đường trung trực d của đoạn AB

Tài liệu học tập Toán 10 GV. Lư Sĩ Pháp d qua M(1; 2) có VTPT là AB=(4;2)⇒ d: 2x y+ –4 0= ⇒ Tâm ^{I a}

(

^{;4 –2a}

)

Ta có IA = d(I,d) ⇔ 11a− =8 5 5a² −10a+10 ⇔2a² −37a+93 0= ⇔ 3

31 2 a a

 =



 =



Với a = 3 ⇒ I(3;–2), R = 5 ⇒ (C):

( ^{x − 3} ) (

²

^{+ y + 2} )

²

^{= 25}

Với a = 31

2 ⇒ 31; 27 I 2 

 − 

 , R = 65

2 ⇒ (C): ^_^x−31₂ ^_^{2 +}

(

^y+27

)

^{2 = 4225}₄

Bài 2.17. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): x²+ −y² 2x 4− y− =5 0 và A(0; –1) ∈ (C). Tìm toạ độ các điểm B, C thuộc đường tròn (C) sao cho ∆ABC đều.

HD Giải

Ta có: (C) có tâm I(1;2) và R= 10. Gọi H là trung điểm BC. Suy ra AI=2.IH 3 7; H2 2

⇔  

 

∆ABC đều ⇒ I là trọng tâm. Phương trình (BC): x+3y−12 0= Vì B, C ∈ (C) nên tọa độ của B, C là các nghiệm của hệ phương trình:

2 2 2 4 5 0 2 2 2 4 5 0

3 12 0 12 3

x y x y x y x y

x y x y

 + − − − =  + − − − =

 

⇔

 

+ − = = −

 

 

Giải hệ PT trên ta được: 7 3 3 3 3; ; 7 3 3 3 3;

2 2 2 2

B + −  C − + 

    hoặc

C 7 3 3 3 3; ;B 7 3 3 3 3;

2 2 2 2

 + −   − + 

   

   

Bài 2.18. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn ( ) :C x²+y² =1, đường thẳng ( ) :d x y m+ + =0. Tìm m để ( )C cắt ( )d tại A và B sao cho diện tích tam giác ABO lớn nhất.

HD Giải

Ta có: (C) có tâm O(0; 0) , bán kính R = 1. (d) cắt (C) tại A, B ⇔d O d( ; ) 1<

Khi đó: 1 . .sin 1.sin 1

2 2 2

SOAB = OA OB AOB= AOB≤ . Dấu "=" xảy ra ⇔ AOB=90⁰. Vậy S_AOB lón nhất ⇔ AOB=90⁰. Khi đó ( ; ) 1

d I d = 2 ⇔ = ±m 1.

Bài 2.19. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường thẳng ( )d : 2x my+ + −1 2 0= và đường tròn có phương trình ( ) :C x²+ −y² 2x+4y− =4 0. Gọi I là tâm đường tròn ( )C . Tìm m sao cho ( )d cắt

( )C tại hai điểm phân biệt A và B. Với giá trị nào của m thì diện tích tam giác IAB lớn nhất và tính giá trị đó.

HD Giải Ta có: ( )C có tâm I(1; –2) và bán kính R = 3.

(d) cắt ( )C tại 2 điểm phân biệt A, B ⇔d I d( , )<R ⇔ 2 2− m+ −1 2 3 2< +m2

⇔ −1 4m+4m2 <18 9+ m2 ⇔5m2+4m+17 0> ⇔ ∈m ℝ

Ta có: 1 . sin 1 . 9

2 2 2

S IA IB AIB IA IB

IAB = ≤ =

Vậy: S

IAB lớn nhất là 9

2 khi AIB=90⁰ ⇔ AB =R 2 3 2= ⇔ ( , ) 3 2 d I d = 2 ⇔ 1 2 3 2 2 2

m 2 m

− = + ⇔2m2+16m+32 0= ⇔ = −m 4

Tài liệu học tập Toán 10 GV. Lư Sĩ Pháp Bài 2.20. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độOxy, cho đường tròn ( ) :(C x+4)²+ −(y 3)² =25 và đường thẳng ∆: 3x−4y+10 0= . Lập phương trình đường thẳng d biết d ⊥ ∆( ) và d cắt (C) tại A, B sao cho AB = 6.

HD Giải

Ta có: (C) có tâm I(– 4; 3) và có bán kính R = 5. Gọi H là trung điểm AB, AH = 3. Do d⊥ ∆ nên PT của d có dạng: 4x+3y m+ =0.

Ta có: d I( ,( ))∆₁ = IH = AI²−AH² = 5 3²− ² =4 ⇔

2 2

16 9 4 27 4 3 13

m m

m

 =

− + + = ⇔  +  = − Vậy d: 4x+3y+27 0= hoặc d: 4x+3y− =13 0.

Bài 2.21. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d1: x+ + =y 5 0, d2:

x+2 – 7 0y = và tam giác ABC có A(2; 3), trọng tâm là điểm G(2; 0), điểm B thuộc d1 vàđiểm C thuộc d2

. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

HD Giải Do B ∈ d1 nên B(m; – m – 5), C ∈ d2 nên C(7 – 2n; n) Do G là trọng tâm ∆ABC nên m n

m n

2 7 2 3.2

3 5 3.0

 + + − =

 − − + =



m n

1 1

 = −

⇔ = ⇒ B(–1; –4), C(5; 1) Vậy phương trình đường tròn ngoại tiếp ∆ABC: x² y² 83x 17y 338 0

27 9 27

+ − + − =

Bài 2.22. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có A(4;6), phương trình các đường thẳng chứađường cao và trung tuyến kẻ từ đỉnh C lần lượt là d₁: 2x y− +13 0= và

d₂: 6x−13y+29 0= . Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. HD Giải

Đường cao CH : 2x− +y 13 0= , trung tuyến CM : 6x−13y+29 0= ⇒C( 7; 1)− − PT đường thẳng AB: x+2y−16 0= . M=CM∩AB ⇒ M(6;5) ⇒ B(8;4). Giả sử phương trình đường tròn (C) ngoại tiếp ∆ABC x: ² +y² −2ax−2by c+ =0.

Vì A, B, C ∈ (C) nên

a b c a

a b c b

a b c c

52 8 12 0 4

80 16 8 0 6

50 14 2 0 72

 − − + =  = −

 

− − + = ⇔ =

 

 + + + =  = −

 

. Vậy phương trình đường tròn: x²+y²−4x+6y−72 0= .

Bài 2.23. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC, có điểm A(2; 3), trọng tâm G(2; 0). Hai đỉnh B và C lần lượt nằm trên hai đường thẳng d₁:x y+ + =5 0  và d₂:x+2 – 7 0y = . Viết phương trình đường tròn có tâm C và tiếp xúc với đường thẳng BG.

HD Giải Giả sử B( 5− −b b; )∈d C₁; (7 2 ; )− c c ∈d₂.

Vì G là trọng tâm ∆ABC nên ta có hệ: ^{B C}

B C

x x y y

2 6 3 0

 + + =

 + + =

 ⇒ B(–1;–4) , C(5; 1).

Phương trình BG: 4 –3 –8 0x y = . Bán kính R d C BG( , ) 9

= = 5

Vậy phương trình đường tròn: ( –5)x ² ( –1)y ² 81 + =25

Bài 2.24. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A( 1; 3)− − , trọng tâm G(4; 2)− , trung trực của AB là d: 3x+2y− =4 0. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

HD Giải Gọi M là trung điểm của BC ⇒ AM 3AG

=2 ⇒ M 13 3;

2 2

 

−

 

 .

Tài liệu học tập Toán 10 GV. Lư Sĩ Pháp AB⊥d ⇒ AB nhận u_d =(2; 3)− làm VTPT ⇒ Phương trình AB: 2x−3y− =7 0.

Gọi N là trung điểm của AB ⇒ N = AB ∩ d ⇒ N(2; 1)− ⇒ B(5;1) ⇒ C(8; 4)− .

Gọi đường tròn (C) ngoại tiếp ∆ABC có dạng: x²+y²+2ax+2by c+ =0 (a²+b²− >c 0).

Khi đó ta có hệ:

a b c a b c a b c

2 6 10

10 2 26

16 8 80

 + − =

 + + = −

 − + = −



⇔ a

b c

74

2123; 8

7 3

 =



 = − =



. Vậy: ( ) :C x² y² 148x 46y 8 0

21 7 3

+ − + + =

Bài 2.25. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho ∆ ABC có phương trình cạnh AB: x+y–3 0= , phương trình cạnh AC: 3x+y– 7 0 = và trọng tâm G 2;1

3

 

 

 . Viết phương trình đường tròn đi qua trực tâm H và hai đỉnh B, C của tam giác ABC.

HD Giải A=AB∩AC⇒A(2;1). Giả sử B m( ;3 – ), ( ;7 –3 )m C n n . G 2;1

3

 

 

  là trọng tâm ∆ABC nên: m n m

m n n

2 6 1

1 3 7 3 1 3

 + + = ⇔ =

 

+ − + − = =

  ⇒ B(1; 2), C(3; –2)

H là trực tâm ∆ABC ⇔ AH BC BH AC

 ⊥

 ⊥

 ⇔ H(10;5).

Gọi đường tròn (C) qua B, C, H có dạng: x²+y²+2ax+2by c+ =0 (a²+b²− >c 0)

Do B, C, H ∈ (C) ⇔ a b c a

a b c b

a b c c

2 4 5 6

6 4 13 2

20 10 125 15

 + + = −  = −

 

− + = − ⇔ = −

 

 + + = −  =

 

. Vậy (C): x²+y²–12 – 4x y+15 0= .

Bài 2.26. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A. Đỉnh B(1; 1). Đường thẳng AC có phương trình: 4x+3y−32 0= . Trên tia BC lấy điểm M sao cho BC BM. =75. Tìm đỉnh C biết bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác AMC bằng 5 5

2 . HD Giải

Đường thẳng (AB) qua B và vuông góc với (AC) ⇒ (AB) : 3x−4y+ =1 0 ⇒ A(5;4). Gọi E là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp của tam giác AMC với BA thì ta có:

BA BE BM BC. = . =75 ( vì M nằm trên tia BC ) ⇒ E(13;10).

Vì ∆AEC vuông tại A nên CE là đường kính của đường tròn ngoại tiếp ∆AMC ⇒ EC=5 5. Do đó C là giao của đường tròn tâm E bán kính r = 5 5 với đường thẳng AC.

Toạ độ của C thỏa mãn hệ x y

x ² y ²

4 3 32 0

( 13) ( 10) 125

 + − =

 − + − =

 ⇔ x y

x y

2; 8 8; 0

 = =

 = =

 .

Vậy: C(2;8) hoặc C(8;0).

Bài 2.27. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường thẳng d x: –3 –4 0y = và đường tròn

2 2

( ) :C x +y –4y=0. Tìm M thuộc d và N thuộc (C) sao cho chúng đối xứng qua điểm A(3; 1).

HD Giải

Ta có: ^M∈d⇒M

(

^3b+4;b

)

. N đối xứng với M qua A nên ^N

(

^{2 3 ;2− b −b}

)

Do N∈( )C ^nên

(

^{2 3− b}

) (

^{2+ −2 b}

) (

^{2–4 2− = ⇔ =b}

)

^{0 b 0 hoặc b=6}₅

Vậy M(4;0) và N(2;2) hoặc 38 6; , 8 4;

5 5 5 5

M  N 

−

   

   

Tài liệu học tập Toán 10 GV. Lư Sĩ Pháp

Trong tài liệu PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ (Trang 31-36)