7. GIỚI THIỆU MỘT SỐ BÀI TẬP ĐỊNH DẠNG TRẮC NGHIỆM
7.2. Tìm nguyên hàm cụ thể
*Dạng này các bạn chỉ cần vận dụng cách giải tự luận để đưa ra phương án chính xác.
Có 2 cách xác định phương án chính xác:
Cách 1: tính trực tiếp nguyên hàm bằng những phương pháp, công thức đã học
Cách 2: tính gián tiếp thông qua tính đạo hàm các phương án dựa theo định nghĩa nguyên hàm:
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥) + 𝐶 ⇔ 𝐹′(𝑥) = 𝑓(𝑥)
Mỗi phương án sẽ cho một hàm F(x), ta sẽ tính đạo hàm ở mỗi phương án để tìm phương án chính xác. Nên chọn phương án dễ tính đạo hàm nhất để kiểm tra trước. Đây cũng là nguyên lí để ta sử dụng máy tính xác định phương án chính xác.
*Ta cũng có thể vận dụng tính tích phân bằng máy tính để tìm phương án chính xác. Tôi không đưa ra cách giải bằng máy tính trong tài liệu này. Xin các bạn truy cập kênh youtube của tôi tại địa chỉ:
youtube.com/c/TonLai để xem hướng dẫn chi tiết cách giải bằng máy tính. Tuy nhiên theo hướng ra đề mới thì việc vận dụng máy tính trực tiếp tìm nguyên hàm đã bị hạn chế rất nhiều, rất ít câu có thể
làm trực tiếp bằng máy tính. Hãy trang bị cho mình một kiến thức tự luận thật tốt để không phụ thuộc máy tính quá nhiều.
Tôi chỉ xin đưa ra những ví dụ cần phải trình bày, những ví dụ mức độ thấp tôi xin không đưa ra mà các bạn sẽ tự làm trong các tài liệu khác, các đề thi thử.
Câu 1. Tìm nguyên hàm của hàm số 𝑓(𝑥) = 1
5𝑥−2
A. 5 ln|5𝑥 − 2| + 𝐶 B. 1
5ln|5𝑥 − 2| + 𝐶 C. ln|5𝑥 − 2| + 𝐶 D. −1
2ln|5𝑥 − 2| + 𝐶 Giải
∫5𝑥−21 𝑑𝑥 = 1
5ln|5𝑥 − 2| + 𝐶. Chọn B
Câu 2. Cho 𝐹(𝑥) = (𝑥 − 1)𝑒𝑥 là một nguyên hàm của hàm số 𝑓(𝑥)𝑒2𝑥. Tìm nguyên hàm của hàm số 𝑓′(𝑥)𝑒2𝑥
A. ∫ 𝑓′(𝑥)𝑒2𝑥𝑑𝑥 = (𝑥 − 2)𝑒𝑥+ 𝐶 B. ∫ 𝑓′(𝑥)𝑒2𝑥𝑑𝑥 =2−𝑥
2 𝑒𝑥+ 𝐶 C. ∫ 𝑓′(𝑥)𝑒2𝑥𝑑𝑥 = (2 − 𝑥)𝑒𝑥+ 𝐶 D. ∫ 𝑓′(𝑥)𝑒2𝑥𝑑𝑥 = (4 − 2𝑥)𝑒𝑥+ 𝐶 Giải
Xét 𝐹 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑒2𝑥𝑑𝑥 = (𝑥 − 1)𝑒𝑥+ 𝐶 Đặt { 𝑢 = 𝑓(𝑥)
𝑑𝑣 = 𝑒2𝑥𝑑𝑥⇒ {
𝑑𝑢 = 𝑓′(𝑥)𝑑𝑥 𝑣 =𝑒2𝑥
2
𝐹 = 𝑓(𝑥).𝑒2𝑥
2 − ∫𝑒22𝑥𝑓′(𝑥)𝑑𝑥 = (𝑥 − 1)𝑒𝑥+ 𝐶 ⇒𝑓(𝑥)𝑒2𝑥
2 −∫ 𝑓′(𝑥)𝑒2𝑥𝑑𝑥
2 = (𝑥 − 1)𝑒𝑥+ 𝐶
⇔ ∫ 𝑓′(𝑥)𝑒2𝑥𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥)𝑒2𝑥− 2(𝑥 − 1)𝑒𝑥+ 𝐶 (1)
Mặt khác: 𝐹(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑥)𝑒2𝑥𝑑𝑥 ⇒ 𝑓(𝑥)𝑒2𝑥 = 𝐹′(𝑥) = [(𝑥 − 1)𝑒𝑥]′= 𝑒𝑥+ (𝑥 − 1)𝑒𝑥 = 𝑥𝑒𝑥 (1)⇔ ∫ 𝑓′(𝑥)𝑒2𝑥𝑑𝑥 = 𝑥𝑒𝑥− 2(𝑥 − 1)𝑒𝑥+ 𝐶 = (2 − 𝑥)𝑒𝑥+ 𝐶.
Chọn đáp án C
*cần lưu ý rằng C là hằng số nên để đơn giản khi tính toán luôn để hệ số C là 1 Câu 3. Cho hàm số 𝐹(𝑥) = 1
2𝑥2 là một nguyên hàm của hàm số 𝑓(𝑥)
𝑥 . Tìm nguyên hàm của hàm số 𝑓′(𝑥) ln 𝑥.
A. ∫ 𝑓′(𝑥) ln 𝑥 𝑑𝑥 = − (ln 𝑥𝑥2 + 1
2𝑥2) + 𝐶 B. ∫ 𝑓′(𝑥) ln 𝑥 𝑑𝑥 =ln 𝑥𝑥2 + 1
𝑥2+ 𝐶 C. ∫ 𝑓′(𝑥) ln 𝑥 𝑑𝑥 = − (ln 𝑥𝑥2 + 1
𝑥2) + 𝐶 D. ∫ 𝑓′(𝑥) ln 𝑥 𝑑𝑥 =ln 𝑥𝑥2 + 1
2𝑥2+ 𝐶 Các bạn hãy áp dụng cách làm câu 2 để tìm.
Đáp án: A
Câu 4. Cho hàm số 𝐹(𝑥) = − 1
3𝑥3 là một nguyên hàm của hàm số 𝑓(𝑥)
𝑥 . Tìm nguyên hàm của hàm số 𝑓′(𝑥) ln 𝑥.
A. ∫ 𝑓′(𝑥) ln 𝑥 𝑑𝑥 = ln 𝑥𝑥3 + 1
5𝑥5+ 𝐶 B. ∫ 𝑓′(𝑥) ln 𝑥 𝑑𝑥 =ln 𝑥𝑥3 − 1
5𝑥5+ 𝐶 C. ∫ 𝑓′(𝑥) ln 𝑥 𝑑𝑥 = ln 𝑥𝑥3 + 1
3𝑥3+ 𝐶 D. ∫ 𝑓′(𝑥) ln 𝑥 𝑑𝑥 = −ln 𝑥𝑥3 + 1
3𝑥3+ 𝐶 Đáp án: B
Câu 5. Xét 𝐼 = ∫ 𝑥3(4𝑥4− 3)5𝑑𝑥. Bằng cách đặt 𝑢 = 4𝑥4− 3, khẳng định nào sau đây là đúng?
A. 𝐼 =1
4∫ 𝑢5𝑑𝑢 B. 𝐼 = 1
12∫ 𝑢5𝑑𝑢 C. 𝐼 = 1
16∫ 𝑢5𝑑𝑢 D. 𝐼 = ∫ 𝑢5𝑑𝑢 Giải
Đặt 𝑢 = 4𝑥4 − 3; 𝑑𝑢 = 16𝑥3𝑑𝑥 ⇒ 𝑥3𝑑𝑥 =𝑑𝑢
16
𝐼 = ∫(4𝑥4 − 5)5𝑥3𝑑𝑥 = ∫ 𝑢5.𝑑𝑢
16 = 1
16∫ 𝑢5𝑑𝑢 Đáp án C
*Đây là câu hỏi chỉ hỏi kết qua sau đổi biến, chúng ta cần đọc ký đề bài tránh làm “thừa” không cần thiết.
Câu 6. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥(1 − 3𝑒−2𝑥)
A. 𝐹(𝑥) = 𝑒𝑥− 3𝑒−3𝑥+ 𝐶 B. 𝐹(𝑥) = 𝑒𝑥+ 3𝑒−𝑥+ 𝐶 C. 𝐹(𝑥) = 𝑒𝑥− 3𝑥−𝑥+ 𝐶 D. 𝐹(𝑥) = 𝑒𝑥+ 3𝑒−2𝑥+ 𝐶 Giải
Đây là dạng đơn thuần hàm mũ, ta chỉ cần nhân khai triển để tính.
𝐹(𝑥) = ∫(𝑒𝑥− 3𝑒𝑥. 𝑒−2𝑥)𝑑𝑥 = ∫(𝑒𝑥− 3𝑒−𝑥)𝑑𝑥 = 𝑒𝑥+ 3𝑒−𝑥+ 𝐶 Đáp án B
Câu 7. Gọi 𝐹(𝑥) = (𝑎𝑥3 + 𝑏𝑥2+ 𝑐𝑥 + 𝑑)𝑒𝑥 là một nguyên hàm của hàm số 𝑓(𝑥) = (2𝑥3+ 9𝑥2 − 2𝑥 + 5)𝑒𝑥
Tính 𝑎2+ 𝑏2+ 𝑐2+ 𝑑2.
A. 244 B. 247 C. 245 D. 246
Giải
Nhắc lại: 𝐹′(𝑥) = 𝑓(𝑥)
⇒ (3𝑎𝑥2+ 2𝑏𝑥 + 𝑐)𝑒𝑥+ (𝑎𝑥3+ 𝑏𝑥2+ 𝑐𝑥 + 𝑑)𝑒𝑥= (2𝑥3+ 9𝑥2− 2𝑥 + 5)𝑒𝑥
⇔ (𝑎𝑥3+ (3𝑎 + 𝑏)𝑥2+ (2𝑏 + 𝑐)𝑥 + (𝑐 + 𝑑))𝑒𝑥 = (2𝑥3+ 9𝑥2− 2𝑥 + 5)𝑒𝑥 Đồng nhất hệ số: {
𝑎 = 2 3𝑎 + 𝑏 = 9 2𝑏 + 𝑐 = −2
𝑐 + 𝑑 = 5
⇔ { 𝑎 = 2 𝑏 = 3 𝑐 = −8 𝑑 = 13
Vậy 𝑎2+ 𝑏2+ 𝑐2+ 𝑑2 = 22+ 32+ (−8)2+ 132 = 246 Đáp án D
Câu 8. Xác định các hệ số a, b, c để hàm số 𝐹(𝑥) = (𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥 + 𝑐)𝑒−𝑥 là một nguyên hàm của 𝑓(𝑥) = (𝑥2− 3𝑥 + 2)𝑒−𝑥
A. a=-1; b=1; c=1 B. a=-1; b=-5; c=-7 C. a=1; b=-3; c=2 D. a=1; b=-1; c=1 Đáp án: A
Câu 9. Họ các nguyên hàm của 𝑓(𝑥) = 𝑥. ln 𝑥 là:
A. 𝑥2
2 ln 𝑥 +1
4𝑥2+ 𝐶 B. 𝑥2ln 𝑥 −1
2𝑥2 + 𝐶 C. 𝑥2
2 ln 𝑥 −1
4𝑥2+ 𝐶 D. 𝑥. ln 𝑥 +1
2𝑥 + 𝐶 Giải
𝐹 = ∫ 𝑥. ln 𝑥 𝑑𝑥. Đặt { 𝑢 = ln 𝑥
𝑑𝑣 = 𝑥𝑑𝑥 ⇒ {𝑑𝑢 =𝑑𝑥
𝑥
𝑣 =𝑥2
2
𝐹 =𝑥2
2 ln 𝑥 − ∫𝑥22.𝑑𝑥
𝑥 =𝑥2
2 ln 𝑥 −1
2∫ 𝑥𝑑𝑥 =𝑥
2
2 ln 𝑥 −1
2.𝑥2
2 + 𝐶 = 𝑥2
2 ln 𝑥 −1
4𝑥2+ 𝐶 Đáp án C
Câu 10. Tìm nguyên hàm của hàm số 𝑓(𝑥) = 1
2(𝑥 + sin𝑥
2).
A. ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 =14𝑥2− cos𝑥
2+ 𝐶 B. ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 =14𝑥2 −1
4cos𝑥
2+ 𝐶 C. ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑥2+1
2cos𝑥
2+ 𝐶 D. ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 =14𝑥2 −1
2cos𝑥
2+ 𝐶 Giải
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫1
2(𝑥 + sin𝑥
2) 𝑑𝑥 =1 2(𝑥2
2 − 1 1 2
cos𝑥
2) + 𝐶 =𝑥2
4 − cos𝑥 2+ 𝐶 Đáp án A
Câu 11. Tìm nguyên hàm của hàm số 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑒𝑥
A. (𝑥 + 1)𝑒𝑥+ 𝐶 B. (𝑥 − 1)𝑒𝑥+ 𝐶 C. 𝑥𝑒𝑥+ 𝐶 D. −𝑥𝑒𝑥+ 𝐶 Giải
Tôi sẽ trình bày bằng cách xác định nguyên hàm bằng cách tính đạo hàm từ những phương án cho sẵn.
Ta có thể loại ngay phương án C và D
Kiểm tra phương án A ta có: [(𝑥 + 1)𝑒𝑥+ 𝐶]′ = 𝑒𝑥+ (𝑥 + 1)𝑒𝑥 = (2 + 𝑥) ≠ 𝑓(𝑥) vậy A sai.
Đến đây ta có thể chọn ngay phương án B.
Ta có thể kiểm tra lại: [(𝑥 − 1)𝑒𝑥+ 𝐶]′= 𝑒𝑥+ (𝑥 − 1)𝑒𝑥 = 𝑥𝑒𝑥 = 𝑓(𝑥) Câu 12. Họ nguyên hàm của hàm số 𝑓(𝑥) = 1
√𝑥(2√𝑥+1)2, 𝑥 > 0 là:
A. − 1
2(2√𝑥+1)+ 𝐶 B. √𝑥
2√𝑥+1+ 𝐶 C. 1
2√𝑥+1+ 𝐶 D. − 1
2√𝑥+1+ 𝐶 Giải
𝐹 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 1
√𝑥(2√𝑥+1)2𝑑𝑥 đặt 𝑢 = 2√𝑥 + 1, √𝑥 = 𝑢−12 ⇒ 𝑥 =(𝑢−1)
4
2 ⇒ 𝑑𝑥 =𝑢−1
2 𝑑𝑢 𝐹 = ∫𝑢−11
2 .𝑢2.𝑢−1
2 𝑑𝑢 = ∫𝑢12𝑑𝑢 = −1
𝑢+ 𝐶 = − 1
2√𝑥+1+ 𝐶 Đáp án D
*Ở đây do tính đọa hàm các phương án là phức tạp nên tôi tìm trực tiếp bằng phương pháp đổi biến.
Câu 13. Tìm nguyên hàm của hàm số 𝑓(𝑥) = 2
√𝑥+1. A. 𝐹(𝑥) = 1
√𝑥+1 B. 𝐹(𝑥) = √𝑥 + 1 C. 𝐹(𝑥) = 4√𝑥 + 1 D. 𝐹(𝑥) = 2√𝑥 + 1 Giải
𝐹 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 2
√𝑥+1𝑑𝑥
Đặt 𝑢 = √𝑥 + 1 ⇒ 𝑥 = 𝑢2 − 1; 𝑑𝑥 = 2𝑢𝑑𝑢
𝐹 = ∫2𝑢. 2𝑢𝑑𝑢 = ∫ 4𝑑𝑢 = 4𝑢 + 𝐶 = 4√𝑥 + 1 + 𝐶 Đáp án C
Câu 14. Tìm họ nguyên hàm của hàm số 𝑓(𝑥) = cos2𝑥.
A. 𝑥
2−sin 2𝑥
4 + 𝐶 B. 𝑥
2−cos 2𝑥
4 + 𝐶 C. 𝑥
2+cos 2𝑥
4 + 𝐶 D. 𝑥
2+sin 2𝑥
4 + 𝐶 Giải
𝐹 = ∫ cos2𝑥 𝑑𝑥 = ∫1+cos 2𝑥2 𝑑𝑥 =1
2∫(1 + cos 2𝑥)𝑑𝑥 =12(𝑥 +1
2sin 2𝑥) + 𝐶 =𝑥
2+sin 2𝑥
4 + 𝐶 Đáp án D
Câu 15. Biết 𝐹(𝑥) = (𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝐶)𝑒𝑥 là một nguyên hàm của hàm số 𝑓(𝑥) = 𝑥2𝑒𝑥. Tính a, b, c.
A. a=1; b=2; c=-2 B. a=2; b=1; c=-2 C. a=-2; b=2; c=1 D. a=1; b=-2; c=2 Giải (xem câu 7)
Đáp án D
Câu 16. Tìm nguyên hàm của hàm số 𝑓(𝑥) = 1
3√2𝑥.
A. ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 =323√4𝑥2+ 𝐶 B. ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 =343√4𝑥2+ 𝐶 C. ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 3
4 √16𝑥3 4+ 𝐶 D. ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = − 3
8 √16𝑥3 4+ 𝐶 Giải
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 1
3√2𝑥𝑑𝑥 = ∫ 1
3√2
. √𝑥3 𝑑𝑥 = ∫ 1
3√2. 𝑥−13𝑑𝑥 = 1
3√2.𝑥
−1 3+1
−13+1 + 𝐶 = 3
2 √23 . 𝑥23+ 𝐶
= 3
2 √23 . √𝑥3 2 + 𝐶 =3
4√4𝑥3 2+ 𝐶
Đáp án B
Câu 17. Giả sử một nguyên hàm của hàm số 𝑓(𝑥) = 𝑥2
√1−𝑥3+ 1
√𝑥(1+√𝑥)2 có dạng 𝐴√1 − 𝑥3 + 𝐵
1+√𝑥. Hãy tính A+B.
A. A+B=-2 B. 𝐴 + 𝐵 =8
3 C. A+B=2 D. 𝐴 + 𝐵 = −8
3
Giải
Cách 1: tính trực tiếp ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 tìm A, B rồi tính A+B Xin các bạn tự giải bằng phương pháp đổi biến.
Cách 2: giải bằng cách tính đạo hàm: F(x)’=f(x) [𝐴√1 − 𝑥3+ 𝐵
1+√𝑥]′= 𝑥2
√1−𝑥3+ 1
√𝑥(1+√𝑥)2 ⇔ 𝐴. −3𝑥2
2√1−𝑥3+. −𝐵.
1 2√𝑥
(1+√𝑥)2= 𝑥2
√1−𝑥3+ 1
√𝑥(1+√𝑥)2 ⇔ −3𝐴
2 . 𝑥2
√1−𝑥3+−𝐵
2 . 1
√𝑥(1+√𝑥)2= 𝑥2
√1−𝑥3+ 1
√𝑥(1+√𝑥)2. Đồng nguyên nhất hệ số: {−3𝐴
2 = 1
−𝐵
2 = 1 ⇒ {𝐴 = −2
3
𝐵 = −2 𝐴 + 𝐵 = −2
3+ (−2) = −8
3 Đáp án D
*Tuy từng bài toán mà các bạn chọn cách giải cho phù hợp. Với bài này ta thấy cách 2 sẽ nhanh hơn.
Câu 18. Phát biểu nào sau đây đúng?
A. ∫ (sin𝑥2− cos𝑥
2)2𝑑𝑥 = 𝑥 + cos 𝑥 + 𝐶 B. ∫ (sin𝑥2− cos𝑥
2)2𝑑𝑥 = 𝑥 − cos 𝑥 + 𝐶 C. ∫ (sin𝑥2− cos𝑥
2)2𝑑𝑥 = 𝑥 + 2 cos 𝑥 + 𝐶 D. ∫ (sin𝑥2− cos𝑥
2)2𝑑𝑥 =1
3(sin𝑥
2− cos𝑥
2)3+ 𝐶 Giải
Thực chất là chúng ta tính nguyên hàm 𝐹 = ∫ (sin𝑥2− cos𝑥
2)2𝑑𝑥 𝐹 = ∫ (sin2 𝑥2+ cos2 𝑥
2− 2 sin𝑥
2cos𝑥
2) 𝑑𝑥 = ∫(1 − sin 𝑥)𝑑𝑥 = 𝑥 + cos 𝑥 + 𝐶 Đáp án A
Câu 19. Tính ∫ ln 𝑥 𝑑𝑥
Cách 1: tính trực tiếp bằng nguyên hàm từng phần Cách 2: tính đạo hàm F(x) từ các phương án.
𝐹𝐴′= (𝑥. ln 𝑥)′= ln 𝑥 + 𝑥.1
𝑥= ln 𝑥 + 1 ≠ 𝑓(𝑥) 𝐹𝐶′ = (𝑥. ln 𝑥 + 𝑥)′= ln 𝑥 + 1 + 1 = ln 𝑥 + 2 ≠ 𝑓(𝑥) 𝐹𝐷′ = (𝑥. ln 𝑥 − 𝑥)′= ln 𝑥 + 1 − 1 = 𝑥. ln 𝑥 = 𝑓(𝑥) Đáp án D
Câu 20. Tìm nguyên hàm ∫2𝑥√𝑥22+1+1𝑑𝑥 A. √1+𝑥2
𝑥 + 𝐶 B. 𝑥√1 + 𝑥2+ 𝐶 C. 𝑥2√1 + 𝑥2+ 𝐶 D. √1+𝑥2
𝑥2 + 𝐶 Giải
Cách 1: tìm trực tiếp bằng đổi biến 𝑥 = tan 𝑡 Cách 2: tính đạo hàm F’(x) ở các phương án Chọn phương án dễ tính tính trước.
𝐹𝐵′ = (𝑥√𝑥2+ 1)′ = √𝑥2 + 1 + 𝑥. 𝑥
√𝑥2+1= 𝑥2+1+𝑥2
√𝑥2+1 = 2𝑥2+1
√𝑥2+1= 𝑓(𝑥) Đáp án B
Câu 21. Nguyên hàm ∫(𝑥−2)(𝑥+1)1012𝑑𝑥 bằng?
A. − 1
11(𝑥−2
𝑥+1)11+ 𝐶 B. 1
3(𝑥−2
𝑥+1)11+ 𝐶 C. 1
11(𝑥−2
𝑥+1)11+ 𝐶 D. 1
33(𝑥−2
𝑥+1)11+ 𝐶 Giải
Nhắc lại: (𝑎𝑥+𝑏
𝑐𝑥+𝑑)′= 𝑎𝑑−𝑏𝑐
(𝑐𝑥+𝑑)2
𝐹𝐴′= [− 1
11(𝑥−2
𝑥+1)11]
′
= − 1
11. 11. (𝑥−2
𝑥+1)′(𝑥−2
𝑥+1)10= − 3
(𝑥+1)2. (𝑥−2
𝑥+1)10= −3(𝑥−2)10
(𝑥+1)12 ≠ 𝑓(𝑥) Loại A, từ đó loại luôn C
FB′ = [1
3(𝑥−2
𝑥+1)11]
′
= 1
3. 11.3.(𝑥−2)10
(𝑥+1)12≠ 𝑓(𝑥) Đáp án D
FD′ = [1
33(𝑥−2
𝑥+1)11]
′
= 1
33. 11.3.(𝑥−2)10
(𝑥+1)12= (𝑥−2)10
(𝑥+1)12= 𝑓(𝑥) Câu 22. Nguyên hàm ∫ sin 4𝑥
sin 𝑥+cos 𝑥𝑑𝑥 bằng?
A. −√2
3 cos (3𝑥 +3𝜋
4) − √2 cos (𝑥 +𝜋4) + 𝐶 B. −√2
3 sin (3𝑥 +3𝜋
4) − √2 sin (𝑥 +𝜋4) + 𝐶 C. −√2
3 sin (3𝑥 +3𝜋
4) + √2 sin (𝑥 +𝜋4) + 𝐶 D. −√2
3 sin (3𝑥 +3𝜋
4) + √2 cos (𝑥 +𝜋4) + 𝐶 Giải
Câu này tính đạo hàm các phương án là đơn giản nhưng cần kỹ thuật biến đổi đưa về dạng f(x),, nhìn chung cách này không khả quan cho các bạn học cơ bản.
Ta sẽ tìm trực tiếp.
Ta có : sin 4𝑥
sin 𝑥+cos 𝑥 =2 sin 2𝑥 cos 2𝑥
sin 𝑥+cos 𝑥 =2 sin 2𝑥(cos2𝑥−sin2𝑥)
sin 𝑥+cos 𝑥 =2 sin 2𝑥(cos 𝑥+sin 𝑥)(cos 𝑥−sin 𝑥) sin 𝑥+cos 𝑥
= 2 sin 2𝑥 (cos 𝑥 − sin 𝑥) = 2 sin 2𝑥 . cos 𝑥 − 2 sin 2𝑥 sin 𝑥 = 2.1
2(sin 3𝑥 + sin 𝑥) − 2.−1
2 . (cos 3𝑥 − cos 𝑥) = sin 3𝑥 + sin 𝑥 + cos 3𝑥 − cos 𝑥 𝐹 = ∫sin 𝑥+cos 𝑥sin 4𝑥 𝑑𝑥 = ∫(sin 3𝑥 + cos 3𝑥 + sin 𝑥 − cos 𝑥)𝑑𝑥
= −1
3cos 3𝑥 +1
3sin 3𝑥 − cos 𝑥 − sin 𝑥 + 𝐶 = 1
3(sin 3𝑥 − cos 3𝑥) − (sin 𝑥 + cos 𝑥) + 𝐶 = −1
3. √2. sin(3𝑥 −3𝜋4) − √2 sin (𝑥 +𝜋4) + 𝐶 Đáp án B
*Cái khó ở bài toán này là chúng ta phải có kỹ năng phân tích lượng giác.
Câu 23. Nguyên hàm ∫2 tan 𝑥+1𝑑𝑥 bằng ? A. 𝑥
5+2
5ln|2 sin 𝑥 + cos 𝑥| + 𝐶 B. 2𝑥
5 −1
5ln|2 sin 𝑥 + cos 𝑥| + 𝐶 C. 𝑥
5−1
5ln|2 sin 𝑥 + cos 𝑥| + 𝐶 D. 𝑥
5+1
5ln|2 sin 𝑥 + cos 𝑥| + 𝐶 Giải
𝐹 ∫ 𝑑𝑥
2.cos 𝑥sin 𝑥+1= ∫2 sin 𝑥+cos 𝑥cos 𝑥 𝑑𝑥 Cách 1 : tính trưc tiếp
Cách 2 : tính F’(x) 𝐹𝐴′= (𝑥
5+2
5ln|2 sin 𝑥 + cos 𝑥|)′ =1
5+2
5.2 cos 𝑥−sin 𝑥
2 sin 𝑥+cos 𝑥= 2 sin 𝑥+cos 𝑥+4 cos 𝑥−2 sin 𝑥
5(2 sin 𝑥+cos 𝑥) = cos 𝑥
2 sin 𝑥+cos 𝑥= 𝑓(𝑥) Đáp án A
Câu 24. Cho hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) thỏa mãn 𝑓′(𝑥) = (𝑥 + 1)𝑒𝑥 và ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = (𝑎𝑥 + 𝑏)𝑒𝑥+ 𝐶. Khi đó :
A. a+b=0 B. a+b=3 C. a+b=2 D. a+b=1
Giải
𝐹 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = (𝑎𝑥 + 𝑏)𝑒𝑥+ 𝐶
*tìm f(x)
Ta có: 𝑓(𝑥) + 𝐶 = ∫ 𝑓′(𝑥)𝑑𝑥 = ∫(𝑥 + 1)𝑒𝑥 = (𝑢𝑥 + 𝑣)𝑒𝑥+ 𝐶
⇒ [(𝑢𝑥 + 𝑣)𝑒𝑥]′ = (𝑢𝑥 + 𝑢 + 𝑣)𝑒𝑥= (𝑥 + 1)𝑒𝑥 { 𝑢 = 1
𝑢 + 𝑣 = 1⇒ {𝑢 = 1 𝑣 = 0
⇒ 𝑓(𝑥) + 𝐶 = 𝑥𝑒𝑥. Cho C=0 ⇒ 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑒𝑥
*tính ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑥𝑒𝑥𝑑𝑥 = (𝑎𝑥 + 𝑏)𝑒𝑥
[(𝑎𝑥 + 𝑏)𝑒𝑥 ]′= 𝑥𝑒𝑥 ⇔ (𝑎𝑥 + 𝑎 + 𝑏)𝑒𝑥 = 𝑥𝑒𝑥 { 𝑎 = 1
𝑎 + 𝑏 = 0⇒ 𝑎 = 1; 𝑏 = −1. Vậy a+b=0 Đáp án A
Câu 25. Tính ∫𝑥(𝑥2𝑥33+1−1)𝑑𝑥 A. ln |𝑥2−1
𝑥| + 𝐶 B. ln |𝑥2+1
𝑥| + 𝐶 C. ln |𝑥 − 1
𝑥2| + 𝐶 D. ln |𝑥 + 1
𝑥2| + 𝐶 Giải
𝐹𝐴′= (𝑥
2−𝑥1)′ (𝑥2−1
𝑥) = 2𝑥+
1 𝑥2 𝑥2−1
𝑥
=
2𝑥3+1 𝑥2 𝑥3−1
𝑥
= 2𝑥3+1
𝑥(𝑥3−1)= 𝑓(𝑥) Đáp án A
Câu 26. Tính ∫𝑥(𝑥𝑥22−1+1)𝑑𝑥 bằng?
A. ln |𝑥 − 1
𝑥2| + 𝐶 B. ln |𝑥 −1
𝑥| + 𝐶 C. ln |𝑥 +1
𝑥| + 𝐶 D. ln |𝑥2−1
𝑥| + 𝐶 Đáp án C
Câu 27. Cho hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) thỏa mãn hệ thức ∫ 𝑓(𝑥) sin 𝑥 𝑑𝑥 = −𝑓(𝑥) cos 𝑥 + ∫ 𝜋𝑥cos 𝑥 𝑑𝑥. Hỏi 𝑦 = 𝑓(𝑥) là hàm số nào trong các phương án dưới đâu:
A. 𝑓(𝑥) = − 𝜋𝑥
ln 𝜋 B. 𝑓(𝑥) = 𝜋𝑥
ln 𝜋 C. 𝑓(𝑥) = 𝜋𝑥. ln 𝜋 D. 𝑓(𝑥) = −𝜋𝑥ln 𝜋 Giải
Ta thấy dạng tích phân của đề bài là dạng tính tích phân từng phần.
F = ∫ 𝑓(𝑥) sin 𝑥 𝑑𝑥 = −𝑓(𝑥) cos 𝑥 + ∫ 𝜋𝑥cos 𝑥 𝑑𝑥 { 𝑢 = 𝑓(𝑥)
𝑑𝑣 = sin 𝑥 𝑑𝑥⇒ {𝑑𝑢 = 𝑓′(𝑥)𝑑𝑥 𝑣 = − cos 𝑥 .
𝐹 = −𝑓(𝑥) cos 𝑥 + ∫ 𝑓′(𝑥) cos 𝑥 𝑑𝑥 = −𝑓(𝑥) cos 𝑥 + ∫ 𝜋𝑥cos 𝑥 𝑑𝑥
⇒ 𝑓′(𝑥) = 𝜋𝑥 ⇒ ∫ 𝑓′(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝜋𝑥𝑑𝑥 = 𝜋𝑥
ln 𝜋+ 𝐶 = 𝑓(𝑥) + 𝐶 Vậy 𝑓(𝑥) = 𝜋𝑥
ln 𝜋
Đáp án B
Câu 28. Tìm nguyên hàm của hàm số 𝑓(𝑥) = cos5𝑥 sin 𝑥?
A. ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 =16cos6𝑥 + 𝐶 B. ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = −16cos6𝑥 + 𝐶 C. ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = −16sin6𝑥 + 𝐶 D. ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 =16sin6𝑥 + 𝐶 Giải
Cách 1: 𝐹 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ cos5𝑥 sin 𝑥 𝑑𝑥, đặt 𝑢 = cos 𝑥 ; 𝑑𝑢 = − sin 𝑥 𝑑𝑥 𝐹 = ∫ 𝑢5(−𝑑𝑢) = − ∫ 𝑢5𝑑𝑢 = −𝑢6
6 + 𝐶 = −cos6𝑥 6 + 𝐶
Đáp án B
Cách 2: tính thông qua đạo hàm các phương án.
Câu 29. Tìm nguyên hàm của hàm số 𝑓(𝑥) = (tan 𝑥 + cot 𝑥)2
A. ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = −2 cot(2𝑥 + 2018𝜋) + 𝐶 B. ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = tan 𝑥 − cot 𝑥 + 2𝑥 + 𝐶 C. ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = tan 𝑥 + cot 𝑥 + 2𝑥 + 𝐶 D. ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = −12cot 2𝑥 + 𝐶
Giải
𝐹 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫(tan2𝑥 + cot2𝑥 + 2)𝑑𝑥 = ∫ (cos12𝑥− 1 + 1
sin2𝑥− 1 + 2) 𝑑𝑥 = ∫ (cos12𝑥+ 1
sin2𝑥) 𝑑𝑥 = tan 𝑥 − cot 𝑥 + 𝐶
Đến đây ta loại ngay B và C.
*ta có thể biến đổi tiếp: = sin 𝑥
cos 𝑥−cos 𝑥
sin 𝑥+ 𝐶 =sin2𝑥−cos2𝑥
sin 𝑥 cos 𝑥 + 𝐶 = −1cos 2𝑥
2sin 2𝑥+ 𝐶 = −2 cot 2𝑥 + 𝐶 Loại D.
Đáp án A. (do cot tuần hoàn chu kì π nên −2 cot(2𝑥 + 2018𝜋) = −2 cot 2𝑥)
*Để kiểm tra bằng máy tính. Ta cho x là một giá trị bất kì (không nên đặc biệt), tính các giá trị F(x).
Cho 𝑥 = 100 ta có: 𝐹(10) = tan 100− cot 100 = −5.49495 … 𝐹𝐷(100) = −1
2cot(2.100) = −1.37373 … loại.
𝐹𝐴(100) = −2 cot(2.100+ 2017.180) = −5.49495 … = 𝐹(10) Đáp án A
Câu 30. Tìm nguyên hàm ∫(𝑥+1)𝑥2 2𝑑𝑥 A. 𝑥 + 2 ln|𝑥| +1
𝑥+ 𝐶 B. 𝑥 − 2 ln|𝑥| −1
𝑥+ 𝐶 C. 𝑥 − 2 ln|𝑥| +1
𝑥+ 𝐶 D. 𝑥 + 2 ln|𝑥| −1
𝑥+ 𝐶 Giải
𝐹 = ∫𝑥2+2𝑥+1𝑥2 𝑑𝑥 = ∫ (1 +2𝑥+ 𝑥−2) 𝑑𝑥 = 𝑥 + 2 ln|𝑥| +𝑥−1
−1 + 𝐶 = 𝑥 + 2 ln|𝑥| −1
𝑥+ 𝐶 Đáp án D
*các bạn hãy tìm thêm theo cách 2: tính F’(x)
Câu 31. Biết ∫(𝑥−1)(2−𝑥)𝑥+1 𝑑𝑥 = 𝑎. ln|𝑥 − 1| + 𝑏. ln|𝑥 − 2| + 𝐶, với 𝑎; 𝑏 ∈ ℤ. Tính a+b.
A. 𝑎 + 𝑏 = 1 B. 𝑎 + 𝑏 = 5 C. 𝑎 + 𝑏 = −1 D. 𝑎 + 𝑏 = −5 Giải
Phân tích: 𝐹 = ∫(𝑥−1)(2−𝑥)𝑥+1 𝑑𝑥 = ∫(𝑥−1𝑎 + 𝑏
𝑥−2)𝑑𝑥
Ta có: 𝑥 + 1 = 𝑎(𝑥 − 2) + 𝑏(𝑥 − 1) ⇔ 𝑥 + 1 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 − 2𝑎 − 𝑏 Đồng nhất hệ số: { 𝑎 + 𝑏 = 1
−2𝑎 − 𝑏 = 1⇒ 𝑎 = −2; 𝑏 = 3 Do đó 𝑎 + 𝑏 = −2 + 3 = 1
Đáp án C
Câu 32. Giá trị m để hàm số 𝐹(𝑥) = 𝑚𝑥3+ (3𝑚 + 2)𝑥2− 4𝑥 + 3 là một nguyên hàm của hàm số 𝑓(𝑥) = 3𝑥2 + 10𝑥 − 4 là:
A. m=0 B. m=2 C. m=3 D. m=1
Giải
Cách 1: ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥) + 𝐶
⇒ ∫(3𝑥2+ 10𝑥 − 4)𝑑𝑥 = 𝑥3+ 5𝑥2 − 4𝑥 + 𝐶 = 𝑚𝑥3 + (3𝑚 + 2)𝑥2− 4𝑥 + 3
⇒ 𝑚 = 1 (hệ số 𝑥3) Đáp án D
Cách 2: 𝐹′(𝑥) = 𝑓(𝑥)
⇒ 3𝑚𝑥2 + 2(3𝑚 + 2)𝑥 − 4 = 3𝑥2 + 10𝑥 − 4
⇒ 3𝑚 = 3 ⇔ 𝑚 = 1 (hệ số 𝑥2)
*ta thấy làm theo cách 2 sẽ ít sai sót hơn do dễ tính toán hơn.
Câu 33. Hàm số nào dưới đây không là nguyên hàm của hàm số 𝑓(𝑥) = ∫𝑥(𝑥+2)(𝑥+1)2𝑑𝑥?
A. 𝑥2−𝑥−1
𝑥+1 B. 𝑥2
𝑥+1 C. 𝑥2+𝑥+1
𝑥+1 D. 𝑥2+𝑥−1
𝑥+1
Giải
𝑓(𝑥) = 𝑥2+2𝑥
(𝑥+1)2
Cách nhanh nhất để xác định đáp án trong trường hợp này là sử dụng công thức: 𝐹′(𝑥) = 𝑓(𝑥) 𝐹𝐴′= (2𝑥−1)(𝑥+1)−(𝑥2−𝑥−1)
(𝑥+1)2 = 𝑥2+2𝑥
(𝑥+1)2= 𝑓(𝑥) 𝐹𝐵′ =2𝑥(𝑥+1)−𝑥2
(𝑥+1)2 = 𝑥2+2𝑥
(𝑥+1)2 = 𝑓(𝑥) 𝐹𝐶′ = (2𝑥+1)(𝑥+1)−(𝑥2+𝑥+1)
(𝑥+1)2 = 𝑥2+2𝑥
(𝑥+1)2 = 𝑓(𝑥) Đáp án D
(𝐹𝐷′ =(2𝑥+1)(𝑥+1)−(𝑥2+𝑥−1)
(𝑥+1)2 = 𝑥2+2𝑥+2
(𝑥+1)2 ≠ 𝑓(𝑥)) Câu 34. Tìm các hàm số f(x) biết 𝑓′(𝑥) = cos 𝑥
(2+sin 𝑥)2
A. 𝑓(𝑥) = sin 𝑥
(2+sin 𝑥)2+ 𝐶 B. 𝑓(𝑥) = 1
2+cos 𝑥+ 𝐶 C. 𝑓(𝑥) = − 1
2+sin 𝑥+ 𝐶 D. 𝑓(𝑥) = sin 𝑥
2+sin 𝑥+ 𝐶 Giải
𝑓(𝑥) = ∫ 𝑓′(𝑥)𝑑𝑥 = ∫(2+sin 𝑥)cos 𝑥 2𝑑𝑥
Đổi biến 𝑢 = (2 + sin 𝑥) ⇒ 𝑑𝑢 = cos 𝑥 𝑑𝑥 𝑓(𝑥) = ∫𝑑𝑢𝑢2 = −1
𝑢+ 𝐶 = − 1
2+sin 𝑥+ 𝐶 Đáp án C
Câu 35. Biết ∫ 𝑥𝑒2𝑥𝑑𝑥 = 𝑎𝑥𝑒2𝑥+ 𝑏𝑒2𝑥+ 𝐶, 𝑎, 𝑏 ∈ ℚ. Tính a.b A. 𝑎𝑏 = −1
4 B. 𝑎𝑏 =1
4 C. 𝑎𝑏 = −1
8 D. 𝑎𝑏 =1
8
Giải
Sư dụng công thức: 𝐹′(𝑥) = 𝑓(𝑥)
⇒ 𝑎𝑒2𝑥+ 2𝑎𝑥𝑒2𝑥+ 2𝑏𝑒2𝑥 = 𝑥𝑒2𝑥 ⇔ 𝑎 + 2𝑎𝑥 + 2𝑏 = 𝑥. Đồng nhất hệ số: { 2𝑎 = 1
𝑎 + 2𝑏 = 0⇒ { 𝑎 =1
2
𝑏 = −1
4
Vậy 𝑎𝑏 =1
2. (−1
4) = −1
8
Đáp án C
Câu 36. Cho 𝐼 = ∫ 𝑥(1 − 𝑥2)10𝑑𝑥. Đặt 𝑢 = 1 − 𝑥2, khi đó viết I theo u và du ta được:
A. 𝐼 = ∫ 2𝑢10𝑑𝑢 B. 𝐼 = −2 ∫ 𝑢10𝑑𝑢 C. 𝐼 = −1
2∫ 𝑢10𝑑𝑢 D. 𝐼 =1
2∫ 𝑢10𝑑𝑢 Giải
Đặt 𝑢 = 1 − 𝑥2; 𝑑𝑢 = −2𝑥𝑑𝑥 ⇒ 𝑥𝑑𝑥 =𝑑𝑢
−2
𝐼 = ∫ 𝑢10.𝑑𝑢
−2= −1
2∫ 𝑢10𝑑𝑢 Đáp án C
Câu 37. Biết ∫(𝑥 + 3)𝑒−2𝑥𝑑𝑥 = − 1
𝑚𝑒−2𝑥(2𝑥 + 𝑛) + 𝐶, với 𝑚, 𝑛 ∈ ℚ. Tổng 𝑆 = 𝑚2+ 𝑛2 bằng:
A. 10 B. 5 C. 65 D. 41
Đáp án C
Câu 38. Cho hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) liên tục trên ℝ và thỏa mãn ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 4𝑥3− 3𝑥2+ 2𝑥 + 𝐶. Hàm số f(x) là:
A. 𝑓(𝑥) = 𝑥4− 𝑥3+ 𝑥2+ 𝐶𝑥 B. 𝑓(𝑥) = 12𝑥2− 6𝑥 + 2 + 𝐶 C. 𝑓(𝑥) = 𝑥4+ 𝑥3+ 𝑥2+ 𝐶𝑥 + 𝐶′ D. 𝑓(𝑥) = 12𝑥2− 6𝑥 + 2 Giải
𝑓(𝑥) = 𝐹′(𝑥) = 12𝑥2− 6𝑥 + 2 Đáp án D
Câu 39. Tìm nguyên hàm 𝐼 = ∫(𝑥 − 1) sin 2𝑥 𝑑𝑥 A. 𝐼 =(1−2𝑥) cos 2𝑥+sin 2𝑥
2 + 𝐶 B. 𝐼 =(2−2𝑥) cos 2𝑥+sin 2𝑥
2 + 𝐶
C. 𝐼 =(1−2𝑥) cos 2𝑥+sin 2𝑥
4 + 𝐶 D. 𝐼 =(2−2𝑥) cos 2𝑥+sin 2𝑥
4 + 𝐶
Giải
Nhìn vào nguyên hàm ta thấy ngay đây là dạng tính nguyên hàm từng phần.
Cách 1: tính trực tiếp Đặt { 𝑢 = 𝑥 − 1
𝑑𝑣 = sin 2𝑥 𝑑𝑥⇒ { 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 𝑣 = −1
2cos 2𝑥 𝐼 = −1
2(𝑥 − 1) cos 2𝑥 + ∫12cos 2𝑥 𝑑𝑥 = −1
2(𝑥 − 1) cos 2𝑥 +1
4sin 2𝑥 + 𝐶
=−2(𝑥−1) cos 2𝑥+sin 2𝑥
4 + 𝐶
Đáp án D
Cách 2: tính F’(x)
𝐹𝐴′= −2 cos 2𝑥−(1−2𝑥).2 sin 2𝑥+2 cos 2𝑥
2 = −(1 − 2𝑥) sin 2𝑥 ≠ 𝑓(𝑥) Loại luôn C do 𝐹𝐶′ = 𝐹𝐴′
2 = −(1−2𝑥) sin 2𝑥
2 ≠ 𝑓(𝑥)
𝐹𝐵′ =−2 cos 2𝑥−2(2−2𝑥) sin 2𝑥+2 cos 2𝑥
2 = −(2 − 2𝑥) sin 2𝑥 ≠ 𝑓(𝑥) Đáp án D
𝐹𝐷′ = 𝐹𝐵′
2 = −2(1−𝑥) sin 2𝑥
2 = (𝑥 − 1) sin 2𝑥 = 𝑓(𝑥)
Câu 40. Tìm nguyên hàm của hàm số 𝑦 = (𝑥 + 1) cos 𝑥
A. 𝐹(𝑥) = (𝑥 + 1) sin 𝑥 − cos 𝑥 + 𝐶 B. 𝐹(𝑥) = (𝑥 + 1) sin 𝑥 + cos 𝑥 + 𝐶 C. 𝐹(𝑥) = −(𝑥 + 1) sin 𝑥 − cos 𝑥 + 𝐶 D. 𝐹(𝑥) = −(𝑥 + 1) sin 𝑥 + cos 𝑥 + 𝐶 Đáp án B
Câu 41. (Phú Xuyên A – Lần 1 – 2017) nguyên hàm của hàm số 𝑓(𝑥) = (2 + 𝑒3𝑥)2 là A. 4𝑥 +4
3𝑒3𝑥+1
6𝑒6𝑥+ 𝐶 B. 3𝑥 +4
3𝑒3𝑥+1
6𝑒6𝑥+ 𝐶 C. 4𝑥 +4
3𝑒3𝑥−1
6𝑒6𝑥+ 𝐶 D. 3𝑧 +4
3𝑒3𝑥+5
6𝑒6𝑥+ 𝐶 Đáp án A
Câu 42. (Phú Xuyên A – Lần 1 – 2017) nguyên hàm của hàm số 𝑓(𝑥) = 𝑥√1 + 𝑥2 là:
A. 1
2(𝑥2√1 + 𝑥2) + 𝐶 B. 1
3(𝑥2√𝑥 + 𝑥2)3 C. 1
3(√1 + 𝑥2)3+ 𝐶 D. 1
3(𝑥2√1 + 𝑥2) + 𝐶 Đáp án C
Câu 43. (Phú Xuyên A – Lần 1 – 2017) nguyên hàm của hàm số 𝑓(𝑥) = 1
2𝑥2+3𝑥+1 là A. ln |2𝑥+1
𝑥+1| + 𝐶 B. ln |𝑥+1
2𝑥+1| + 𝐶 C. ln |2𝑥−1
𝑥−1| + 𝐶 D. 1
2ln |2𝑥+1
𝑥+1| + 𝐶 Giải
𝑓(𝑥) = 1
2𝑥2+3𝑥+1= 1
2(𝑥+12)(𝑥+1)= 1
(2𝑥+1)(𝑥+1)= 2
2𝑥+1− 1
𝑥+1 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ (2𝑥+12 − 1
𝑥+1) 𝑑𝑥 =2
2ln|2𝑥 + 1| − ln|𝑥 + 1| + 𝐶 = ln |2𝑥+1
𝑥+1| + 𝐶 Đáp án A
Câu 44. (Phú Xuyên A – Lần 1 – 2017) Hàm số 𝐹(𝑥) =1
2𝑥 −1
8sin 4𝑥 + 𝐶 là nguyên hàm của hàm số nào sau đây:
A. 1
2sin 2𝑥 B. cos22𝑥 C. 1
2cos 2𝑥 D. sin22𝑥 Giải
𝐹′(𝑥) =1
2− 4.1
8cos 4𝑥 =1
2−1
2cos 4𝑥 =1−cos 4𝑥
2 = cos22𝑥 (công thức hạ bậc cos) Đáp án B
Hoặc các bạn có thể tính nguyên hàm từng phương án để so sánh F(x) Câu 45. Nếu ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑒𝑥+ sin 𝑥 + 𝐶 thì f(x) là hàm số nào?
A. 𝑒𝑥+ sin 𝑥 B. 𝑒𝑥− sin 𝑥 C. 𝑒𝑥− cos 𝑥 D. 𝑒𝑥+ cos 𝑥 Đáp án D
Câu 46. Tìm nguyên hàm ∫𝑥2+3𝑥+2𝑥+3 𝑑𝑥
A. 2 ln|𝑥 + 2| − ln|𝑥 + 1| + 𝐶 B. 2 ln|𝑥 + 1| − ln|𝑥 + 2| + 𝐶 C. 2 ln|𝑥 + 1| + ln|𝑥 + 2| + 𝐶 D. ln|𝑥 + 1| + 2 ln|𝑥 + 2| + 𝐶 Giải
∫𝑥2+3𝑥+2𝑥+3 𝑑𝑥 = ∫(𝑥+1)(𝑥+2)𝑥+3 𝑑𝑥 = ∫(𝑥+12 − 1
𝑥+2)𝑑𝑥 = 2 ln|𝑥 + 1| − ln|𝑥 + 2| + 𝐶
Đáp án B
Câu 47. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. ∫𝑑𝑥
√𝑥= 2√𝑥 + 𝐶 B. ∫ 2𝑥𝑑𝑥 = 2𝑥+ 𝐶 C. ∫𝑑𝑥𝑥2 = 1
𝑥+ 𝐶 D. ∫𝑥+1𝑑𝑥 = ln|𝑥| + 𝐶 Giải
∫𝑑𝑥
√𝑥 = ∫ 𝑥−12𝑑𝑥 = 𝑥
1 2 1 2
+ 𝐶 = 2√𝑥 + 𝐶 vậy A đúng
Các bạn hãy tìm chỗ sai ở các câu B, C, D và sửa lại cho đúng.
Câu 48. Phát biểu nào sau đây là đúng
A. ∫ 𝑒𝑥sin 𝑥 𝑑𝑥 = −𝑒𝑥cos 𝑥 + ∫ 𝑒𝑥cos 𝑥 𝑑𝑥 B. ∫ 𝑒𝑥sin 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒𝑥cos 𝑥 − ∫ 𝑒𝑥cos 𝑥 𝑑𝑥 C. ∫ 𝑒𝑥sin 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒𝑥cos 𝑥 + ∫ 𝑒𝑥cos 𝑥 𝑑𝑥 D. ∫ 𝑒𝑥sin 𝑥 𝑑𝑥 = −𝑒𝑥cos 𝑥 − ∫ 𝑒𝑥cos 𝑥 𝑑𝑥 Giải
Nhìn vào các phương án ta thấy đề bài đang muốn tính nguyên hàm ∫ 𝑒𝑥sin 𝑥 𝑑𝑥 theo phương pháp nguyên hàm từng phần.
Đặt { 𝑢 = 𝑒𝑥
𝑑𝑣 = sin 𝑥 𝑑𝑥⇒ {𝑑𝑢 = 𝑒𝑥𝑑𝑥 𝑣 = − cos 𝑥
Do đó: ∫ 𝑒𝑥sin 𝑥 𝑑𝑥 = −𝑒𝑥cos 𝑥 + ∫ 𝑒𝑥cos 𝑥 𝑑𝑥 Đáp án A
Câu 49. Cho 𝑓(𝑥) = 3√𝑥.ln 3
√𝑥. hàm số nào dưới đây không phải là nguyên hàm của f(x)
A. 𝐹(𝑥) = 2(3√𝑥+ 1) + 𝐶 B. 𝐹(𝑥) = 2.3√𝑥+ 𝐶 C. 𝐹(𝑥) = 2(3√𝑥 − 1) + 𝐶 D. 𝐹(𝑥) = 3√𝑥 Giải
Ta se giải theo công thức: 𝐹′(𝑥) = 𝑓(𝑥) 𝐹𝐴′= 2. (√𝑥)′. 3√𝑥. ln 3 = 3√𝑥.ln 3
√𝑥 = 𝑓(𝑥)
Suy ra 𝐹𝐵′ = 𝐹𝐶′ = 𝑓(𝑥) do A, B, C chỉ khác nhau hằng số Đáp án D là sai.
Ta có thể nhìn nhanh 4 đáp án thấy các đáp án A, B, C đều có dạng 2.3√𝑥+ 𝐶 Chỉ có đáp án D là khác.
Câu 50. Trong các hàm số sau, hàm số nào có một nguyên hàm là hàm số 𝑔(𝑥) = tan 𝑥 (i) 𝑓(𝑥) = tan2𝑥 + 2 (ii) 𝑓(𝑥) = 2
cos2𝑥
(iii) 𝑓(𝑥) = tan2𝑥 + 1
A. (i), (ii), (iii) B. Chỉ (ii), (iii) C. Chỉ (iii) D. Chỉ (ii) Giải
+, ∫(tan2𝑥 + 2)𝑑𝑥 = ∫(tan2𝑥 + 1 + 1)𝑑𝑥 = ∫ (cos12𝑥+ 1) 𝑑𝑥 = tan 𝑥 + 𝑥 + 𝐶. Loại (i) +, ∫(tan2𝑥 + 1)𝑑𝑥 = ∫cos12𝑥𝑑𝑥 = tan 𝑥 + 𝐶. Vậy (iii) thỏa mãn
+, ∫cos22𝑥𝑑𝑥 = 2 tan 𝑥 + 𝐶. Loại (ii) Đáp án C