15n nhan

St-bs: FB: Duong Hung - Zalo: 0774860155 - Word xinh 2021 46 Nếu bộ ba số

123

đứng đầu thì số có dạng

123abcd

.

Có A₇⁴ 840 cách chọn bốn số a, b, c, d nên có A₇⁴ 840 số.

Nếu bộ ba số

123

không đứng đầu thì số có 4 vị trí đặt bộ ba số

123

. Có

6

cách chọn số đứng đầu và có A₆³ 120 cách chọn ba số b, c, d. Theo quy tắc nhân có 6.4.A₆³2880 số

Theo quy tắc cộng có

840 2880 3720

  số.

TH2: Số cần lập có bộ ba số

321

.

Do vai trò của bộ ba số

123

và

321

như nhau nên có

^{2 840 2880} 

^



^

⁷⁴⁴⁰

^.

Câu 11.

Lời giải Chọn C

Một tam giác được tạo bởi ba điểm phân biệt nên ta xét:

TH1. Chọn 1 điểm thuộc d₁ và 2 điểm thuộc d₂ có C C₁₀¹. _n² tam giác.

TH2. Chọn 2 điểm thuộc d₁ và 1 điểm thuộc d₂ có C C₁₀². ¹_n tam giác.

Như vậy, ta có C C₁₀¹. _n²C C₁₀². ¹_n2800

     

2

! !

10. 45. 2800 5 1 45 2800

2! 2 ! 1! 1 !

20 ( )

5 40 2800 0

28 ( )

n n

n n n

n n

n tm

n n

n l

      

 

 

        Vậy n

20

^.

Câu 12.

Lời giải Chọn D

+ Tìm công thức tính số đường chéo: Số đoạn thẳng tạo bởi n đỉnh là C_n², trong đó có n cạnh, suy ra số đường chéo là C_n²n.

+ Đa giác đã cho có 135 đường chéo nên C_n² n 135. + Giải PT : ^! 135 ,



, 2



2 !2!

n n n n

n    

  _



_n

₁ 

_n

₂

_n

₂₇₀

_n²_{3n270 0}

 

 

18

15

St-bs: FB: Duong Hung - Zalo: 0774860155 - Word xinh 2021 47

 2018 1 2017! 2017 1 2016! ...     3 1 2! 2 1 1!   

2017!

P        

 



2018! 2017!

 

2017! 2016!



...



3! 2!

 

2! 1!



2018! 1! 1

2017! 2017! 2018 2017!

P          P

      .

Câu 14.

Lời giải Chọn C

* PP tự luận:

+ PT  

 

 

! 2 !

3. 42 0

2 ! 2 2 !

   

 

n n

n n ^,



n^^,n^2



_

₃

_{n n}



_{ }

₁  _{2 . 2}

_n



_{n }

₁  _{42 0}

_

2 42 0

n n

      

 

6

7

     n nhan

n loai ^{ n 6.}

* PP trắc nghiệm:

+ Nhập vào máy tính PT 3A_n²A₂²_n42 0 .

+ Tính (CALC) lần lượt với X 9 (không thoả); với X 8 (không thoả), với X 6 (thoả), với X 10 (không thoả).

Câu 15.

Lời giải Chọn C

PP sử dụng máy tính để chọn đáp số đúng (PP trắc nghiệm):

+ Nhập PT vào máy tính: C_n⁶3C_n⁷3C_n⁸C_n⁹2C_n⁸_2 0

+ Tính (CALC) lần lượt với X 18 (không thoả); với X 16 (không thoả); với X 15 (thoả), với X 

14

(không thoả)

St-bs: FB: Duong Hung - Zalo: 0774860155 - Word xinh 2021 48

①.Dạng 1: Khai triển một nhị thức Newton

. Bài tập minh họa:

Câu 1: Viết khai triển theo công thức nhị thức Newton (x y )⁵.

Ⓐ. x⁵5x y⁴ 10x y^{3 2}10x y^{2 3}5xy⁴y⁵. Ⓑ. x⁵5x y⁴ 10x y^{3 2}10x y^{2 3}5xy⁴y⁵.

Ⓒ. x⁵5x y⁴ 10x y^{3 2}10x y^{2 3}5xy⁴ y⁵. Ⓓ. x⁵5x y⁴ 10x y^{3 2}10x y^{2 3}5xy⁴y⁵. Lời giải

Ta có (x y )⁵=x⁵5x y⁴ 10x y^{3 2}10x y^{2 3}5xy⁴y⁵

Câu 2: Trong khai triển nhị thức Niu-tơn của

(3 2 )

 x ²⁰¹⁹ có bao nhiêu số hạng?

^{Chương ⓶} § ➌ . NHỊ THỨC NEWTON

GT ⓫

Tóm tắt lý thuyết

Ⓐ

➊.

Công thức nhị thức Newton

Định lý:

    



 



 ⁰  ^{1 1}  ^{2 2 2}  ^{1 1}

0

( )^{n n} _n^{k n k k} _n ⁿ _n ⁿ _n ⁿ ... _n^{n n} _n^{n n}

k

a b C a b C a C a b C a b C ab C b (1)

Hệ quả:

 a = b = 1: 2ⁿ C C_n⁰ ¹_n ... C_nⁿ

 a =1; b = –1: 0C_n⁰C_n¹  ... ( 1)^{n n}C_n

Ta có: (1 x) ⁿC⁰_nxC¹_nx C^{2 2}_n ... x C^{n n}_n

 C⁰_nC¹_n ... Cⁿ_n2ⁿ

 C⁰_nC¹_nC²_n  ... ( 1) C^{n n}_n0

Chú ý: Trong công thức khai triển nhị thức Newton:

 Số các hạng tử là n + 1.

 Các hạng tử có số mũ của a giảm dần, số mũ của b tăng dần, nhưng tổng các số mũ bằng n.

 Các hệ số của các hạng tử cách đều hai hạng tử đầu và cuối thì bằng nhau.

 Hạng tử thứ k + 1: C a_n^{k n k k} b

➋.

Tam giác Pascal

 Trong công thức nhị thức Newton cho n = 0, 1, 2, … và xếp các hệ số thành dòng ta nhận được tam giác sau đây, gọi là tam giác Pascal.

Nhận xét:

 Từ công thức C_n^k_^₁¹C_n^k_1C_n^k suy ra cách tính các số ở mỗi dòng dựa vào các số ở dòng trước nó.

Phân dạng bài tập

Ⓑ

St-bs: FB: Duong Hung - Zalo: 0774860155 - Word xinh 2021 49

Ⓐ. 2019. Ⓑ. 2018. Ⓒ. 2020. Ⓓ. 2021. Lời giải

Ta có: Khai triển nhị thức Niu-tơn

(

a b

)

ⁿ có n1 số hạng.

Vậy trong khai triển nhị thức Niu-tơn của

(3 2 )

 x ²⁰¹⁹ có 2020 số hạng.

Câu 3: Từ khai triển biểu thức



^x1



¹⁰ thành đa thức. Tổng các hệ số của đa thức là

Ⓐ. 1023. Ⓑ. 512. Ⓒ. 1024. Ⓓ. 2048.

Lời giải Xét khai triển

 

^{10 10} 10

0

( ) 1 ^k. ^k

k

f x x C x



  



^.

Gọi S là tổng các hệ số trong khai triển thì ta có S  f(1) 



1 1



¹⁰2¹⁰ 1024.

②.Dạng 2: Tìm hệ số, số hạng trong khai triển nhị thức Newton . Bài tập minh họa:

Câu 1: Hệ số của x² trong khai triển của biểu thức

10

2 2

x x

  

 

  bằng

Ⓐ.

3124

. Ⓑ.

2268

. Ⓒ.

13440

. Ⓓ.

210

.

Lời giải Số hạng tổng quát của khai triển:

 

^{2 10 20 3}

^{ }

1 10 10

2 2 0 10,

k k

k k k k

Tk C x C x k k

x

 

           .

Số hạng chứa x² ứng với:

20 3

 k  

2

k

6

. Hệ số cần tìm là:

2

⁶C₁₀⁶ 

13440

.

Câu 2: Số hạng không chứa x trong khai triển

2

10

x x

  

 

  ^là

Ⓐ. C₁₀⁵ . Ⓑ. C₁₀⁵.2⁵. Ⓒ. C₁₀⁵. Ⓓ. C₁₀⁵.2⁵. Lời giải

Số hạng tổng quát trong khai triển

2

10

x x

  

 

  ^là:

10 10 2

1 10 10

. 2 .2

k

k k k k k

Tk C x C x

x

 

      

Số hạng không chứa x trong khai triển tương ứng với

10 2

 k  

0

k

5

. Vậy số hạng không chứa x trong khai triển là: C₁₀⁵.2⁵.

Câu 3: Số hạng độc lập với x trong khai triển

12

1 2

x 2x

  

 

  là

Ⓐ. 2 .C⁸ ₁₂⁴. Ⓑ. 2 .C⁶ ₁₂⁶. Ⓒ. 2 .C⁴ ₁₂⁴. Ⓓ. 2 .C⁴ ₁₂⁴.

St-bs: FB: Duong Hung - Zalo: 0774860155 - Word xinh 2021 50 Lời giải

Ta có: ^{2 12 12} 12 ¹²



²



¹² 12

^{ }

^{3 12}

0 0

1 1

2 2 2

k k k

k k k

k k

x C x C x

x x





 

        

   

 



 



Số hạng độc lập với x khi 3k12 0  k 4 Vậy số hạng độc lập với x là: 2 .C⁴ ₁₂⁴ => chọn C

③.Dạng 3: Chứng minh, tính giá trị của biểu thức đại số tổ hợp có sử dụng nhị

thức Newton . Bài tập minh họa:

Câu 1: Cho n là số nguyên dương. Khi đó tổng SC_n⁰C¹_nC_n² ... C_nⁿ là

Ⓐ. 3ⁿ. Ⓑ. 2ⁿ. Ⓒ. 1. Ⓓ.

0

.

Lời giải Xét:



^1x



^nC xn^{0 n}C x¹n ^n1C xn^{2 n2 ...} C xn^{n 0}. Chọn x

1

ta được: 2ⁿC_n⁰C_n¹C_n² ... C_nⁿ. Vậy S 2ⁿ.

Câu 2: Cho S C₁₅⁸ C₁₅⁹ C₁₅¹⁰ ... C₁₅¹⁵. Tính S.

Ⓐ. S2¹⁴. Ⓑ. S 2¹⁵. Ⓒ. S 2¹³. Ⓓ. S 2¹². Lời giải

Khai triển nhị thức



1x



¹⁵C15⁰ C x C x15¹  15^{2 2} ... C x15^{7 7}C x15^{8 8} ... C x15^{15 15}. Thay x

1

ta được: 2¹⁵ C₁₅⁰ C₁₅¹ C₁₅²  ... C₁₅⁷ C₁₅⁸  ... C₁₅¹⁵.

Mà C_n^{n k} C_n^k C₁₅¹⁵C C₁₅⁰, ₁₅¹⁴ C C₁₅¹, ₁₅¹³C₁₅²,...,C₁₅⁸ C₁₅⁷.

 

15 8 9 10 15

15 15 15 15

15 14

2 2 ...

2 2

2 .

C C C C

S S

     

 

 

. Câu 3: Tổng C₂₀₁₈¹ C₂₀₁₈²  ... C₂₀₁₈²⁰¹⁸ bằng

Ⓐ. 2²⁰¹⁸. Ⓑ. 2²⁰¹⁸1. Ⓒ. 2²⁰¹⁸1. Ⓓ. 4²⁰¹⁶. Lời giải

Ta có

 

^{2018 2018} 2018 2018^{0 1}2018 2018² 2018²⁰¹⁸ 0

1 1 ⁱ ...

i

C C C C C



 



    

Suy ra C¹₂₀₁₈C₂₀₁₈²  ... C₂₀₁₈²⁰¹⁸ 2²⁰¹⁸1.

Câu 4: Cho một tập hợp có n phần tử (n là số tự nhiên). Số tập con khác rỗng của nó là:

Ⓐ. 2n. Ⓑ. 2ⁿ1. Ⓒ. 2ⁿ1. Ⓓ. 2n1 Lời giải

Gọi X là tập hợp có n n

(



)

^{phần tử.}

+ Số tập con có

1

phần tử của X là C_n¹. + Số tập con có

2

phần tử của X là C_n².

…

+ Số tập con có n phần tử của X là C_nⁿ.

St-bs: FB: Duong Hung - Zalo: 0774860155 - Word xinh 2021 51 Suy ra số tập con khác rỗng của X là T C¹_nC_n² ... C_nⁿ.

Xét nhị thức



¹x



ⁿ Cn⁰C x C x¹n  n^{2 2} ^... C xn^{n n (*)}.

Thay x1 vào ta được:



^{1 1}



ⁿCn⁰Cn¹Cn² ^... Cnⁿ T ²ⁿ¹. Câu 5: Tính tổng tất cả các số nguyên dương n thỏa mãn A_n²3C_n²15 5 n.

Ⓐ. 13. Ⓑ. 10. Ⓒ.

12

. Ⓓ.

11

.

Lời giải

. Điều kiện: n, n2.

Ta có: ^{2 2}

( 1)

²

5

3 15 5 ( 1) 3. 5 15 0 11 30 0

2 6

n n

n n n

A C n n n n n n

n

 

                 ^. Hai nghiệm đều thỏa mãn điều kiện, chúng có tổng bằng

11

Câu 1:Trong khai triển



^2a1



⁶, tổng ba số hạng đầu là:

Ⓐ. 2a⁶6a⁵15a⁴.

Ⓑ. 2a⁶15a⁵30a⁴.

Ⓒ. 64a⁶192a⁵480a⁴.

Ⓓ. 64a⁶192a⁵240a⁴.

Lời giải :...

...

...

Câu 2:Ba số hạng đầu tiên theo lũy thừa tăng dần của x trong khai triển của ¹⁰ là

Ⓐ.

1, 45 , 120

x x².

Ⓑ.

1, 4 , 4

x x².

Ⓒ.

1, 20 ,180

x x².

Ⓓ.

10, 45 , 120

x x².

Lời giải :...

...

...

Câu 3:Ba số hạng đầu tiên theo lũy thừa tăng dần của x trong khai triển của ¹⁰ là:

Ⓐ.

1, 45 , 120 . x x

²

Ⓑ.

1, 4 , 4 . x x

²

Ⓒ. 1, 20x, 180x².

Ⓓ.

10, 45 , 120 . x x

²

Lời giải :...

...

...

Câu 4:Trong khai triển



^{x y}



¹⁶, tổng hai số hạng cuối là

Ⓐ. 16x y¹⁵ y⁸.

Ⓑ. 16x y¹⁵ y⁴.

Ⓒ.

16xy

¹⁵y⁴.

Ⓓ.

16xy

¹⁵y⁸.

Lời giải :...

...

...

Câu 5:Trong khai triển nhị thức:

 ^{2 a  1} 

⁶. Ba số hạng đầu là:

Ⓐ.

2 a

⁶

 6 a

⁵

 15 a

^4.

Ⓑ.

2 a

⁶

 12 a

⁵

 30 a

^4.

Ⓒ.

64 a

⁶

 192 a

⁵

 480 a

^4.

Ⓓ.

64 a

⁶

 192 a

⁵

 240 . a

⁴

Lời giải :...

...

...

Bài tập rèn luyện

Ⓒ

St-bs: FB: Duong Hung - Zalo: 0774860155 - Word xinh 2021 52 Câu 6:Sau khi khai triển và rút gọn biểu thức ^{f x}

 

^{x2 3 2x3 1}₂

x x

   

      ^{thì f x}

 

có bao nhiêu số hạng?

Ⓐ.

30

. Ⓑ.

32

.

Ⓒ.

29

. Ⓓ.

35

_. ^{Lời giải} :...

...

...

Câu 7:Biểu thức ^{10 9}

_.  ¹ 

⁸

_.  ¹ 

²

_...  ¹ 

¹⁰

10! 9! 1! 8! 2! 10!

x x x

x x  x  

    bằng

Ⓐ.

10!

. Ⓑ.

20!

. Ⓒ. 1

10!^{. Ⓓ.}

1 100!^.

Lời giải :...

...

...

Câu 8:Cho khai triển



1 2 x



²⁰a0a x a x1  2 ²  a x20 20. Giá trị của a₀   a₁ a₂  a₂₀ ^bằng:

Ⓐ. 1. Ⓑ. 3²⁰.

Ⓒ.

0

. Ⓓ. 1. Lời giải :...

...

...

Câu 9:Trong khai triển



^{x y}



¹¹, hệ số của số hạng chứa x y⁸

.

³ _là

Ⓐ.

C

³₁₁. Ⓑ. C₁₁³ .

Ⓒ. 

C

⁵₁₁. Ⓓ.

C

⁸₁₁.

Lời giải :...

...

...

Câu 10:Trong khai triển



^2x1



¹⁰, hệ số của số hạng chứa x⁸ là:

Ⓐ. 

11520

. Ⓑ.

45

.

Ⓒ.

256

. Ⓓ.

11520

. Lời giải :...

...

...

Câu 11:Trong khai triển



^{3x y}



⁷, số hạng chứa x y^{4 3}là:

Ⓐ. 2835x y^{4 3}. Ⓑ. 2835x y^{4 3}.

Ⓒ. 945x y^{4 3}. Ⓓ. 945x y^{4 3}. Lời giải :...

...

...

Câu 12:Nếu khai triển nhị thức Niutơn:

 

5 ⁵ 4 ⁴ 3 ³ 2 ² 1 5

1 a x a x a x a x a x a0

x       .

thì tổng a₅    a₄ a₃ a₂ a₁ a₀ bằng Ⓐ.

 32.

^Ⓑ.

0.

Ⓒ.

1.

^Ⓓ.

32

. Lời giải :...

...

...

Câu 13:Hệ số của x³ trong khai triển



^x2



^{8 bằng}

Ⓐ. C₈⁵.2⁵. Ⓑ. C₈⁵.2⁵.

Ⓒ. C₈³.2³. Ⓓ. C₈³.2³. Lời giải :...

...

St-bs: FB: Duong Hung - Zalo: 0774860155 - Word xinh 2021 53 ...

Câu 14:Tìm hệ số của số hạng chứa x⁸ trong khai triển 1₃ ^{5 n} x x

  

 

  ^biết n là số nguyên dương thỏa mãn

 

1

4 3

7 3

n n

n n

C _^ C _  n .

Ⓐ.

495

. Ⓑ.

313

. Ⓒ.

1303

. Ⓓ.

13129

. Lời giải :...

...

...

Câu 15:Tìm hệ số của

x

¹⁶ trong khai triển ^{P x}

 

^



^x2

²

^x



¹⁰

Ⓐ.

3630.

^Ⓑ.

3360.

Ⓒ.

3330.

Ⓓ.

3260.

^{Lời giải} :...

...

...

Câu 16:Trong khai triển,



^a2b



⁸ hệ số của số hạng chứa a b^{4 4} là Ⓐ. 1120. Ⓑ. 560.

Ⓒ. 140. Ⓓ. 70. Lời giải :...

...

...

Câu 17:Tính số hạng không chứa x trong khai triển

1 15

x 2 x

  

 

 

Ⓐ. 3300

64 ^{. Ⓑ.} -3300

64 ^. Ⓒ. 3003

 32 . Ⓓ. 3003 32 ^.

Lời giải :...

...

...

Câu 18:Số hạng của x⁴ trong khai triển

8

3 1

x x

 

 

   là Ⓐ. C x₈^{5 4}. Ⓑ. C x₈^{4 4}.

Ⓒ. C x₈^{5 4}. Ⓓ. C x₈^{3 4}. Lời giải :...

...

...

Câu 19:Tìm hệ số của x⁴ trong khai triển 1 10

x x

  

 

  ^, x

0

.

Ⓐ.

120

. Ⓑ. 

120

. Ⓒ.

210

. Ⓓ.



210

. Lời giải :...

...

...

Câu 20:Hệ số của x⁷trong khai triển



^x2



^10là

Ⓐ. C₁₀³

2

⁷. Ⓑ. C₁₀³ . Ⓒ. C₁₀³

2

³. Ⓓ.

7 3 10

2

C . Lời giải :...

...

...

St-bs: FB: Duong Hung - Zalo: 0774860155 - Word xinh 2021 54 Câu 21:Hệ số của x³ trong khai triển 2₂

x x

  

 

  ^là Ⓐ. 1. Ⓑ. 

18

.

Ⓒ. 144. Ⓓ. 

672

. Lời giải :...

...

...

Câu 22:Cho số nguyên dương n thỏa mãn

²

Cn¹

³

Cn²  

^... 

n

¹ 

Cnⁿ 

^2621439

. Số hạng không chứa x trong khai triển của biểu thức ² 1 ⁿ

x x

  

 

  ^bằng

Ⓐ.

43758

. Ⓑ.

31824

.

Ⓒ.

18564

. Ⓓ. 1. Lời giải :...

...

...

Câu 23:Hệ số của x⁶ trong khai triển

10

1 x3

x

  

 

  ^bằng

Ⓐ. 792. Ⓑ. 252. Ⓒ. 165. Ⓓ.

210. Lời giải :...

...

...

Câu 24:Số hạng thứ

3

của khai triển 1₂ 2

n

x x

  

 

  không chứa x. Tìm x biết rằng số hạng này bằng số hạng thứ hai của khai triển

 ¹

^x3



^30.

Ⓐ.

 2

. Ⓑ.

1

. Ⓒ.

 1

. Ⓓ.

2

.

Lời giải :...

...

...

Câu 25:Trong khai triển



^{2a b}



⁵, hệ số của số hạng thứ

3

bằng:

Ⓐ. 

80

. Ⓑ.

80

.

Ⓒ. 

10

. Ⓓ.

10

. Lời giải :...

...

...

Câu 26:Giả sử (1 2 ) x ⁿ a⁰a x a x¹  ^{2 2} ... a x_n ⁿ, biết rằng a⁰  a¹

...

a_n

729

_{. Tìm n} và số lớn nhất trong các số a a⁰

, ,...,

¹ a_n.

Ⓐ. n=6,

max  

a_k a4

240

. Ⓑ. n=6,

max  

a_k a6

240

. Ⓒ. n=4,

max  

a_k a4

240

. Ⓓ. n=4,

max  

a_k a6

240

Lời giải :...

...

...

Câu 27:Cho



1 2 x



ⁿ a0a x1 ¹ ... a x_n ⁿ, n^{*. Biết} 0 ^{1 2}2 ... 4096

2 2 2

n n

a a a

a      . Số lớn nhất trong các số

0

, , ,...,

1 2 _n

a a a a có giá trị bằng Ⓐ.

126720

Ⓑ.

924

.

Ⓒ.

972

Ⓓ.

1293600

^{Lời giải} :...

St-bs: FB: Duong Hung - Zalo: 0774860155 - Word xinh 2021 55 ...

...

Câu 28:Cho khai triển



1 2 x



ⁿ a0a x a x1  2 ² ... a x_n ⁿ, trong đó n^* và các hệ số thỏa mãn hệ thức

1

0 ... 4096

2 2

n n

a

a a    . Tìm hệ số lớn nhất?

Ⓐ.

1293600

. Ⓑ.

126720

.

Ⓒ.

924

. Ⓓ.

792

. Lời giải :...

...

...

Câu 29:Tổng T C _n⁰C¹_nC_n²C_n³ 

...

C_nⁿ bằng Ⓐ. T 2ⁿ. Ⓑ. T 4ⁿ.

Ⓒ. T 2ⁿ1. Ⓓ. T 2ⁿ1. Lời giải :...

...

...

Câu 30:Trong khai triển nhị thức

 ^{3 0,02}

^



⁷, tìm tổng số ba số hạng đầu tiên Ⓐ. 2289, 3283. Ⓑ. 2291,1012.

Ⓒ. 2275, 93801. Ⓓ. 2291,1141. Lời giải :...

...

...

Câu 31:Nếu khai triển nhị thức Niutơn

 

5 ⁵ 4 ⁴ 3 ³ 2 ² 1 5

1

a x a x a x a x a x a0

x      

thì tổng a₅    a₄ a₃ a₂ a₁ a₀ bằng:

Ⓐ. 32. Ⓑ. 0.

Ⓒ. 1. Ⓓ. 32. Lời giải :...

...

...

Câu 32:Khai triển



^{x y}



^{5 rồi thay x, y} bởi các giá trị thích hợp. Tính tổng SC₅⁰C¹₅ 

...

C₅⁵. Ⓐ.  32. Ⓑ. 64.

Ⓒ. 1. Ⓓ. 12. Lời giải :...

...

...

Câu 33:Tính giá trị của tổng S C₆⁰C₆¹ 

..

C₆⁶ bằng Ⓐ. 64. Ⓑ. 48.

Ⓒ. 72. Ⓓ. 100. Lời giải :...

...

...

Câu 34:Giả sử



1x

 

1 x x²

 

... 1 x x² ... xⁿ



a0a x a x1  2 ² ... a x_m ^m. Tính

0 m

r r

a





Ⓐ. 1 Ⓑ. n.

Ⓒ.



^n

^{1 !} 

^{Ⓓ. n}

^!

^{Lời giải} :...

...

...

Câu 35:Nếu khai triển nhị thức Niutơn:

 

5 ⁵ 4 ⁴ 3 ³ 2 ² 1 5

1 a x a x a x a x a x a0

x       .

St-bs: FB: Duong Hung - Zalo: 0774860155 - Word xinh 2021 56 thì tổng a₅    a₄ a₃ a₂ a₁ a₀ bằng

Ⓐ. 

32.

Ⓑ.

0.

Ⓒ.

1.

Ⓓ.

32

.

Lời giải :...

...

...

Câu 36:Tính các tổng sau: ₁ ⁰ 1 ¹ 1 ² ... 1

2 3 1

    



n

n n n n

S C C C C

n Ⓐ.

2 1 1 1

 



n

n ^{. Ⓑ.}

2 1 1 1

 



n

n ^. Ⓒ.

2 1 1 1 1

  



n

n ^{. Ⓓ.}

2 1 1 1 1

  



n

n

Lời giải :...

...

...

Câu 37:Tính các tổng sau:S₃ 2.1.C_n²3.2C_n³4.3C_n⁴ ... n n( 1)C_nⁿ. Ⓐ. n n

(



1)2

^n2. Ⓑ. n n

(



2)2

^n2.

Ⓒ. n n

(



1)2

^n3. Ⓓ. n n

(



1)2

^{n2 Lời giải} :...

...

...

Câu 38:Tính tổng

     

Cn^{0 2} C¹n ² Cn^{2 2} 

^...  

Cn^{n 2}

Ⓐ. C₂ⁿ_n. Ⓑ. C₂ⁿ_n^1.

Ⓒ. 2C₂ⁿ_n. Ⓓ. C₂ⁿ_n^_¹₁ Lời giải :...

...

...

Câu 39:Số tự nhiên n thỏa 1.C¹_n2.C²_n ... n.Cⁿ_n 1024 thì Ⓐ. n

7.

Ⓑ. n

8.

Ⓒ. n

9.

Ⓓ. n

10.

^{Lời giải} :...

...

...

Câu 40:Tìm số nguyên dương n thỏa mãn

²

Cn⁰

⁵

C¹n

⁸

Cn² 

^...  ³

n

² 

Cnⁿ 

¹⁶⁰⁰

.

Ⓐ. n

5

. Ⓑ. n

7

.

Ⓒ. n

10

. Ⓓ. n

8

. Lời giải :...

...

...

Câu 41:Cho số nguyên dương n thỏa mãn C¹_2nC₂³_nC₂²_n^n1512. Tính tổng

 

2 2 2 3 2

2 _n 3 _n 1 . .ⁿ _nⁿ S C  C    n C ^. Ⓐ. S

4

. Ⓑ. S

5

.

Ⓒ. S

6

. Ⓓ. S

7

. Lời giải :...

...

...

Câu 42:Tính tổng sau:

1

⁰

1

¹

1

³

1

⁴

( 1)

2 4 6 8 ... 2( 1)

      



n n

n n n n n

S C C C C C

n Ⓐ. 1

2(n1)^{. Ⓑ. 1.}

Ⓒ. 2. Ⓓ. 1

(n1)

Lời giải :...

...

...

St-bs: FB: Duong Hung - Zalo: 0774860155 - Word xinh 2021 57 Câu 43:Trong các câu sau câu nào sai?

Ⓐ. C₁₄³ C₁₄¹¹. Ⓑ. C₁₀³ C₁₀⁴ C₁₁⁴.

Ⓒ. C₄⁰C₄¹C₄²C₄³C₄⁴ 16. Ⓓ. C₁₀⁴ C₁₁⁴ C₁₁⁵.

Lời giải :...

...

...

Câu 44:Biết hệ số của x² trong khai triển của



^{1 3 x}



^{n là}

⁹⁰

^{. Tìm n.}

Ⓐ. n

5

. Ⓑ. n

8

.

Ⓒ. n

6

. Ⓓ. n

7

. Lời giải :...

...

...

Câu 45:Biết rằng hệ số của x⁴ trong khai triển nhị thức Newton

 ²

^x



^n,



^n^*



^bằng

280

, tìm n ? Ⓐ. n

8

. Ⓑ. n

6

.

Ⓒ. n

7

^{. Ⓓ.} n

5

^{. Lời giải} :...

...

...

Câu 46:Biết ²ⁿ



Cn⁰iC¹nCn²iCn³  i C^k n^k  i Cⁿ nⁿ



³²⁷⁶⁸i^{, với} Cn^k là các số tổ hợp chập k của n và

2 1

i   . Đặt T_k1i C^k _n^k, giá trị của T₈ bằng Ⓐ. 

330i

. Ⓑ. 

8i

.

Ⓒ. 

36i

. Ⓓ. 

120i

. Lời giải :...

...

...

Câu 47:Giá trị của 1 1 1 ... 1 1

1!2018! 2!2017! 3!2016! 1008!1011! 1009!1010!

A      bằng

Ⓐ.

22017 1 2018!

 . Ⓑ.

22018

2019!^. Ⓒ.

22018 1 2019!

 . Ⓓ.

22017

2018!^.

Lời giải :...

...

...

Câu 48:Số tự nhiên n thỏa C_n¹2.C_n² ... n C. _nⁿ 112641 thì Ⓐ. n

10

. Ⓑ. n

11

.

Ⓒ. n

12

. Ⓓ. n

9

. Lời giải :...

...

...

Câu 49:Tìm số tự nhiên n thỏa mãn C_nⁿ_5

5

A_n³_3.

Ⓐ. n

14

. Ⓑ. n

17

.

Ⓒ. n

20

. Ⓓ. n

15

. Lời giải :...

...

...

Câu 50:Tìm số tự nhiên n thỏa mãn

     

0 1 2 ... 2100 3

1.2 2.3 3.4 1 2 1 2

n

n n n n

C C C C n

n n n n

      

    ^.

Ⓐ. n

101

. Ⓑ. n

98

.

Ⓒ. n

99

. Ⓓ. n

100

. Lời giải :...

...

...

St-bs: FB: Duong Hung - Zalo: 0774860155 - Word xinh 2021 58 ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM

Dạng toán 01: Khai triển một nhị thức Newton cụ thể

1 2 3 4 5 6 7

D C C A D D C

Dạng toán 02: Tìm hệ số và số hạng trong khai triển

8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

A B D A B B A B A C A B C C C D D

Dạng toán 03: Hệ số lớn nhất, nhỏ nhất trong khai triển

25 26 27 28

B A A B

Dạng toán 04: Tính tổng hữu hạn các C (không đạo hàm, tích phân)

29 30 31 32 33 34 35 36 37 38

A B B A A C B B A A

Dạng toán 05: Tính tổng hữu hạn các C (Newton và đạo hàm)

39 40 41

B B B

Dạng toán 06: Tính tổng hữu hạn các C (Newton và tích phân) 42

A

Dạng toán 07: Toán về đẳng thức có dùng nhị thức Newton

43 44 45 46 47

D A C B C

Dạng toán 08: PT, BPT, HPT có dùng nhị thức Newton

St-bs: FB: Duong Hung - Zalo: 0774860155 - Word xinh 2021 59

48 49 50

B C B

HƯỚNG DẪN GIẢI - ĐÁP ÁN CHI TIẾT Câu 1.

Lời giải Chọn D

Ta có:



2a1



⁶C6⁰.2⁶a⁶C6¹.2⁵a⁵C6².2⁴a⁴...

Vậy tổng 3 số hạng đầu là 64a⁶192a⁵240a⁴. Câu 2.

Lời giải

Chọn C

Ta có

 

¹⁰ 20 ¹⁰ 10⁰ 10¹ 10^{2 2}

0

10 (2 ) (2 )

1 2 ^{k k k}

k

x C x ^ y C C x C x



      





 

1 20x 180x2 ...

   

Vậy 3 số hạng đầu tiên theo lũy thừa tăng dần của x là:

1, 20 , 180

x x² Câu 3.

Lời giải Chọn C

Ta có

 

^{10 20 10 100 101 102 2}

0

10

(2 ) (2 )

1 2

^{k k k}

k

x C x

^

y C C x C x





     

  

1 20 x 180 x

2

...

   

Vậy 3 số hạng đầu tiên theo lũy thừa tăng dần của x là:

1, 20 , 180 x x

²

Câu 4.

Lời giải Chọn A

Ta có:



^{x y}



^{16 C x160 16C x161 15. y ... C x1615}

 

^{y 15C1616}

 

^{y 16}

Câu 5.

Lời giải Chọn D

Ta có

 

^{6 6 6 6 60 6 16 5 62 4 2}

0

(2 ) ( 1) .(2 ) (2 ) ( 1) (2 )

2 1

^{k k k}

( 1) ...

k

C a C a C

a

^

C a a





      

 

St-bs: FB: Duong Hung - Zalo: 0774860155 - Word xinh 2021 60

6

.2

6

2

6

2 ... 64 192 240 ...

C a C a C a a a a

       

Ba số hạng đầu là:

64 a

⁶

 192 a

⁵

 240 . a

⁴

Câu 6.

Lời giải Chọn D

12

2 3

x x

  

 

  ¹² 12

 

^{2 12}

0

3 ^k

k k k

C x

x









    ^{12 12 24 3}

0

k3k k

k

C x ^







21 3

2

2x 1 x

  

 

  ²¹ 21

 

^{3 21} 2 0

2 1

k k k

k

C x

x





 





  ^{21 21 21 63 5}

0

k 2 k k

k

C ^ x ^







Ta cho k chạy từ

0

đến 12 thì các số mũ của x không bằng nhau.

Với khai triển

12

2 3

x x

  

 

  ta có

13

số hạng; Với khai triển

21 3

2

2x 1 x

  

 

  ta có 22 số hạng. Vậy tổng số hạng là:

35

.

Câu 7.

Lời giải Chọn C

Ta có

 

 

1 10

! 10. !

k x k

x

k k

 



¹ .  ^10!  . . 1  

¹⁰

10! ! 10 !

k k

x x

k k

  

 10

 

¹⁰

1 . . . 1 10!

k k k

C x x ^

  với

0

 k

10

.

   

²

 

¹⁰

10 9

1

8

1 1

. . ...

10! 9! 1! 8! 2! 10!

x x x

x x  x  

    ¹⁰ 10

 

¹⁰

0

1 . . 1

10!

k k k k

C x x ^







 ^_10!¹

^

^{x 1 x}

^

^{10 }_10!^{1 .} Câu 8.

Lời giải Chọn A



1 2x



²⁰ a0a x a x1  2 ²  a x20 20

  ¹

^.

Thay x

1

vào

  ¹

^{ta có:} a0 a1 a2  a20  

 

1 ²⁰1. Câu 9.

Lời giải Chọn B

Số hạng tổng quát trong khai triển trên là T_k1C x11^k. ^11k. 1 .

 

 ^k y^k Yêu cầu bài toán xảy ra khi k 3.

Khi đó hệ số của số hạng chứa x y⁸

.

³ là:C₁₁³.

St-bs: FB: Duong Hung - Zalo: 0774860155 - Word xinh 2021 61 Câu 10.

Lời giải Chọn D

Số hạng tổng quát trong khai triển trên là T_k1C10^k.2^10k.x^10k. 1

 

 ^k Yêu cầu bài toán xảy ra khi 10   k 8 k 2.

Khi đó hệ số của số hạng chứa x⁸ là:C₁₀².2⁸ 11520. Câu 11.

Lời giải Chọn A

Số hạng tổng quát trong khai triển trên là T_k1C7^k.3^7kx^7k. 1 .

 

 ^k y^k Yêu cầu bài toán xảy ra khi k 3.

Khi đó hệ số của số hạng chứa x y⁴

.

³ là:C₇³.3 . .⁴x y^{4 3}  2835. .x y⁴ . Câu 12.

Lời giải Chọn B

Ta có

 ^{x  1} 

⁵

^{ C x}

⁵⁰

^{.( )}

⁵

^{ C x}

⁵¹

^{( ) ( 1)}

⁴

^{  C x}

⁵²

^{( ) ( 1)}

³

^{  }

²

^{... C x}

⁵⁵

^{( ) ( 1)}

⁰

^

⁵

0 5 1 4 2 3 3 2 4 1 5 0

5

.

5

.

5

.

5

.

5

.

5

.

C x C x C x C x C x C x

     

Khi đó tổng a₅    a₄ a₃ a₂ a₁ a₀ bằng:

C

₅⁰

      C

¹₅

C

₅²

C

₅³

C

₅⁴

C

₅⁵

0

Câu 13.

Lời giải Chọn B

Số hạng tổng quát của khai triển: C x8^{k 8k}. 2

 

 ^k. Số hạng chứa x³ ứng với

8

   k

3

k

5

. Vậy hệ số của x³ là C₈⁵.2⁵.

Câu 14.

Lời giải Chọn A

Ta có

   

1 3 3

4 3

7 3

4 3

7 3

n n

n n n n

C _^ C _  n C _ C _  n



⁴



³



²

 

³



²



¹



⁷



³



3! 3!

n n n n n n

      n

   

St-bs: FB: Duong Hung - Zalo: 0774860155 - Word xinh 2021 62



ⁿ

⁴ 

ⁿ

²  

ⁿ

² 

ⁿ

¹  ⁴²

        n

12

.

Số hạng thứ k

1

trong khai triển

12 5 3

1 x

x

  

 

  là ^{Tk1C12k }_x^13_^12k.

 

^{x5 k C x12k  36 112k.}

Ta cần tìm k sao cho 11

36 8 8

2 k k

     . Do đó hệ số của số hạng chứa x⁸ là C₁₂⁸ 495. Câu 15.

Lời giải

Chọn B

Ta có

  

²



^{10 10} 10 ^{2 10 10} 10 ²⁰

0 0

2 ^k( ) ^k.( 2 )^{k k}( 2)^{k k}

k k

P x x x C x ^ x C x ^

 

  



 





Số hạng tổng quát là

T

_k1

 C

₁₀^k

( 2) 

^k

x

^20k

Để số hạng chứa

x

¹⁶ ta chọn k sao cho:

20     k 16 k 4

Hệ số của

x

¹⁶ trong khai triển ^{P x}

 

^



^x2

²

^x



^{10là:C104( 2) 4 3360}

Câu 16.

Lời giải Chọn A.

Số hạng tổng quát trong khai triển trên là T_k1C a8^k. ^8k. 2 .

 

 ^k b^k Yêu cầu bài toán xảy ra khi k4.

Khi đó hệ số của số hạng chứa a b⁴

.

⁴ là:C₈⁴.2⁴1120. Câu 17.

Lời giải Chọn C

Ta có:

15 15 15

15 15 3

15 15

2 2

0 0

1 1 1

( ) .( ) ( )

2 2 2

k k k k k k

k k

x C x C x

x x

 

 

      

 

 

 

Số hạng tổng quát là _{1 15}

1

^{15 3}

( )

2

k k k

T

k_

 C  x

^

Để số hạng không chứa

x

ta chọn k sao cho:

15 3     k 0 k 5

Vậy số hạng không chứa x trong khai triển

15 2

1 x 2

x

  

 

  là: ₁₅⁵( 1)⁵ 3003

2 32

C    Câu 18.

St-bs: FB: Duong Hung - Zalo: 0774860155 - Word xinh 2021 63 Lời giải

Chọn A

Số hạng tổng quát trong khai triển là ^{Tk1C8k.}

 

^{x3 8k. }  ¹_x ^{k C x8k. 24 4 k}. Ta cần tìm k sao cho:

24 4

 k 

4 4

k

20

 k

5

.

Vậy số hạng của x⁴ trong khai triển là C x₈⁵

.

^{24 4.5} C x₈⁵

.

⁴. Câu 19.

Lời giải Chọn B

Số hạng tổng quát của khai triển là 10 ¹⁰

 

10 ^{10 2}

1 1

k

k k k k k

C x C x

x

      . Số mũ

10 2

 k  

4

k

3

. Vậy hệ số cần tìm là:

 

1³C10³  120. Câu 20.

Lời giải Chọn C

Công thức tổng quát của khai triển là: C₁₀^k

2

^kx^10k. Số hạng chứa x⁷ khi 10  k 7 k3, hệ số là: C₁₀³

2

³. Câu 21.

Lời giải Chọn C

Số hạng tổng quát trong khai triển 9 ⁹ 2 9

 

^{9 3}

2 2

k

k k k k k

Tk C x C x

x

   

     . Tk chứa x³ khi và chỉ khi

9 3

 k  

3

k

2

.

Suy ra hệ số của x³ trong khai triển là C9²

 

2 ²144. Câu 22.

Lời giải Chọn C

Ta có:



¹



ⁿ n⁰ n^{1 2} n^{2 3 ...} n^{n n 1}

x x C x C x C x  C x ^ . Lấy đạo hàm hai vế ta được:



x¹



ⁿnx x



¹



^n1Cn⁰²C x¹n ³C xn^{2 2} ^...



n¹



C xn^{n n}. Cho x

1

, ta có

 

0

2

1

3

2

... 1

ⁿ

2

ⁿ

2

ⁿ1

n n n n

C  C  C   n C  n ^{ }

²

^n1

 ²

^n



^.

 

2

^n1

2

n

1 2621439

    ^

²

^n1

 ²

^n



^

^2621440

^{2 2621440.2}

2

n

  n

 . (*) Xét ^{f n}

 

^

²

ⁿ là hàm số đồng biến trên

 ^0;

^



^và

 

^2.2621440

g n 2

 n

 là hàm số nghịch biến trên

 ^0;

^



St-bs: FB: Duong Hung - Zalo: 0774860155 - Word xinh 2021 64 .

Ta có ^f

  ¹⁸

^g

  ¹⁸

^{ n}

¹⁸

là nghiệm duy nhất của (*).

Khi đó số hạng tổng quát của khai triển

18

2 1

x x

  

 

  là: C x₁₈^{k 36 3 k}với k, 0 k 18. Vậy số hạng không chứa x là C₁₈¹²18564.

Câu 23.

Lời giải Chọn D

SHTQ: C₁₀^kx^4k10, cho

4 k      10 6 k 4

hệ số của x⁶là C₁₀⁴ 210. Câu 24.

Lời giải. Chọn D

2 2

0

1 1

2 .(2 ) .

n n k

k n k

n k

x C x

x x





     

   

 



  ^.

Vì số hạng thứ ba của khai triển trên ứng với k

2

nên số hạng thứ ba của khai triển là C_n²

.2 .

^n2x^n6. Mà số hạng thứ ba của khai triển không chứa x nên n   

6 0

n

6

.

Số hạng thứ 2 của khai triển

 ¹

^x3



^{30 là} C x¹30

.

³

30

x³. Khi đó ta có C₆²

.2

⁴

30.

x³ x

2

.

Câu 25.

Lời giải Chọn B

Ta có:



2a b



⁵ C5⁰

 

2a ⁵C5¹

 

2a b C⁴  5²

 

2a b^{3 2}...

Do đó hệ số của số hạng thứ

3

bằngC₅².8 80 . Câu 26.

Lời giải.

Chọn A

Ta có: a₀  a₁ ... a_n  (1 2.1)ⁿ3ⁿ 729 n 6

62

 ^{k k}

ak C suy ra

max  

a_k a4

240

. Câu 27.

Lời giải Chọn A

 

0

1 2 ^{n n} _n^k.2 .^{k k}

k

x C x



 



^{Cn0.20x0C1n.21 1x Cn2.22x2 ... Cnn.2nxn a0a x1 1 ... a xn n.}

St-bs: FB: Duong Hung - Zalo: 0774860155 - Word xinh 2021 65 Ta có: ₀ ^{1 2}₂ ... 4096

2 2 2

n n

a a a

a       C_n⁰C¹_nC_n² ... C_nⁿ40962ⁿ 4096  n

12

. Ta có: a_k a_k1 C₁₂^k.2^k C₁₂^k1.2^k1  C₁₂^k 2C₁₂^k1. Suy ra: a₀  a₁ a₂  

...

a₈.

Mặt khác: a_k a_k1 C₁₂^k.2^k C₁₂^k1.2^k1  C₁₂^k 2C₁₂^k1. Suy ra: a₈a₉a₁₀  

...

a₁₂. Vậy số lớn nhất trong các sốa a a₀

, , ,...,

_{1 2} a_nlà a₈ C₁₂⁸.2⁸ 126720.

Câu 28.

Lời giải. Chọn B

Số hạng tổng quát trong khai triển



^{1 2 x}



^{n là} Cn^{k.2 .k}x^k,

0

 k n, k. Vậy hệ số của số hạng chứa xk là C_n^k.2^k a_k C_n^k.2^k.

Khi đó, ta có

 

0 1 2

0 1

... 4096 ... 4096

2 2

1 1 4096 12

n n

n n n n

n

n

a

a a C C C C

n

         

    

Dễ thấy a₀ và a_n không phải hệ số lớn nhất. Giả sử a_k

 ⁰

^{ k n}



là hệ số lớn nhất trong các hệ số

0

, , ,...,

1 2 _n

a a a a . Khi đó ta có

     

     

1 1

1 12 12

1 1

1 12 12

12! 12!.2

!. 12 ! 1 !. 12 1 !

.2 .2

12! 12! 1

.2 .2 .

!. 12 ! 1 !. 12 1 ! 2

k k k k

k k

k k k k

k k

k k k k

a a C C

a a C C

k k k k

 



 



 

    

  

  

    

       

 

1 2 23

1 2 12 0 23 26

12 1 3

2 1 26 3 0 26 3 3

13 3

k k k

k k k

k k

k k

   

      

    

     

 

    

  

 

.

Do k   k

8

^.

Vậy hệ số lớn nhất là a₈C₁₂⁸.2⁸126720. Câu 29.

Lời giải

Chọn A

Xét khai triển ^{0 1 1 1}

0

( 1)^{n n} _kⁿ. ^{n k} _n. ⁿ _n. ⁿ ... _nⁿ . _nⁿ.

k

x C x ^ C x C x ^ C ^ x C



 



    

Thay x1 vào khai triển trên ta được

0 1 1 0 1 1

(1 1)

 ⁿ C_n C_n 

...

C_n^n C_nⁿC_n C_n 

...

C_n^n C_nⁿ

2 .

ⁿ

St-bs: FB: Duong Hung - Zalo: 0774860155 - Word xinh 2021 66 Câu 30.

Lời giải Chọn B

Ta có

 3 0



,02 

⁷C7⁰

.(3)

⁷C7¹

(3) (0,02)

⁶ C7²

( 3) (0,

⁵

02)

²

...

Tổng ba số hạng đầu tiên là:C₇⁰

.(3)

⁷C₇¹

(3) (0,02)

⁶ C₇²

(3) (0,02)

^{5 2} 

2291,1012

Câu 31.

Lời giải Chọn B

Ta có



x

1 

⁵C x5⁰

.( )

⁵C x5¹

( ) ( 1)

⁴  C x5²

( ) ( 1)

³  ² 

...

C x5⁵

( ) ( 1)

⁰  ⁵

0 5 1 4 2 3 3 2 4 1 5 0

5

.

5

.

5

.

5

.

5

.

5

.

C x C x C x C x C x C x

     

Khi đó tổng a₅    a₄ a₃ a₂ a₁ a₀ bằng:C₅⁰C¹₅C₅²C₅³C₅⁴C₅⁵

0

. Câu 32.

Lời giải Chọn A

Với x1,y1 ta có S=C +C +...+C⁰₅ ¹₅ ⁵₅ (1 1)⁵32. Câu 33.

Lời giải Chọn A

0 1 6 6

6 6 6

C +C +..

S = .+C



2



64

Trong tài liệu Lời giải  Số cách lấy ra 1 cây bút là màu đỏ có 3 cách (Trang 46-66)