2. Phương pháp tính tích phân
2.2 Phương pháp tích phân từng phần
b
Z
a
u dv = uv
ba−
b
Z
a
v du.
B. CÁC DẠNG TOÁN BÀ BÀI TẬP
p Dạng 2.4. Tích phân cơ bản và tính chất tính phân Dùng định nghĩa tích phân và các tính chất để giải bài toán.
Ví dụ 1
d Tính các tích phân sau Tính
3
Z
1
(3x
2− 4x + 5) dx.
a) Tính
1
Z
0
dx (1 + x)
3. b)
| Lời giải.
a)
3
Z
1
(3x
2− 4x + 5) dx = x
3− 2x
2+ 5x
3
1
= 24 − 4 = 20.
b)
1
Z
0
dx (1 + x)
3=
1
Z
0
(1 + x)
−3dx = − (1 + x)
−22
1
0
= − 1 8 + 1
2 = 3 8 .
Ví dụ 2
d Tìm số thực m thỏa mãn
m
Z
−1
e
x+1dx = e
2− 1.
a)
m
Z
0
(2x + 5) dx = 6.
b)
| Lời giải.
a)
m
Z
−1
e
x+1dx = e
x+1m
−1
= e
m+1− 1.
Theo đề bài ta suy ra
e
2− 1 = e
m+1− 1 ⇔ m = 1.
Vậy m = 1.
b)
Zm
0
(2x + 5) dx = x
2+ 5x
m
0
= m
2+ 5m.
Theo đề bài ta suy ra
m
2+ 5m = 6 ⇔ m = 1 hoặc m = −6.
Vậy m = 1 hoặc m = −6.
Bài 1. Tính các tích phân sau
a)
π
Z2
π 3
sin x dx.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . .
b)
π
Z3
π 4
dx cos
2x .
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . .
Bài 2. Tính các tính phân a)
−5
Z
−2
√ dx
1 − 3x .
| Lời giải.
. . . . . . . .
b)
7
Z
2
√ 4 dx
x + 1 + √ x − 1 .
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bài 3. Tính các tích phân sau a) Tính
3
Z
−2
(4x
3− 3x
2+ 10) dx =
| Lời giải.
. . . . . . . .
b) Tính
4
Z
1
(x
2+ 3 √
x) dx =
| Lời giải.
. . . . . . . .
c) Tính
2
Z
0
x(x + 1)
2dx =
| Lời giải.
. . . .
. . . .
d) Tính
4
Z
2
Å x + 1
x ã
dx =
| Lời giải.
. . . . . . . .
e) Tính
3
Z
1
Å 3 x − 1
x
2ã
dx =
| Lời giải.
. . . . . . . .
f) Tính
1
Z
0
e
3xdx =
| Lời giải.
. . . . . . . .
g) Tính
2018Z
0
7
xdx =
| Lời giải.
. . . . . . . .
h) Tính
6
Z
0
dx x + 6 =
| Lời giải.
. . . . . . . .
i) Tính
3
Z
1
dx 1 − 3x =
| Lời giải.
. . . . . . . .
j) Tính
2
Z
1
dx (4x − 1)
2=
| Lời giải.
. . . . . . . .
k) Tính
4
Z
1
4
(1 − 2x)
2dx =
| Lời giải.
. . . . . . . .
Bài 4. Tìm các số thực m thỏa mãn a)
Z5
2
m
2(5 − x
3) dx = −549.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
b)
2
Z
m
(3 − 2x)
4dx = 122 5 .
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c)
m
Z
0
(3x
2− 12x + 11) dx = 6.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
d)
2
Z
1
m
2+ (4 − 4m)x + 4x
3dx =
4
Z
2
2x dx.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bài 5. Tính các tính phân sau a) Tính
2π
Z3
π 3
cos Å
3x − 2π 3
ã dx =
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . .
b) Tính
π
Z4
π 6
tan
2x dx =
| Lời giải.
. . . . . . . .
. . . .
c) Tính
π
Z3
π 4
cot
2x dx =
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . .
d) Tính
π
Z4
0
sin 5x sin x dx =
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . .
e) Tính
π
Z6
0
sin 4x cos x dx =
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . .
f) Tính
π
Z4
0
sin 6x cos 2x dx =
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . .
g) Tính
π
Z6
0
cos 3x cos x dx =
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . .
h) Tính
π
Z6
0
cos 6x cos 2x dx =
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . .
i) Tính
π
Z4
0
sin
4x dx =
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bài 6. a) Biết
a
Z
0
sin x cos x dx = 1
4 . Tìm a.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
b) Có bao nhiêu số nguyên m ∈ (0; 2018) thỏa
m
Z
0
cos 2x dx = 0?
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c) Biết
π
Z4
0
sin 5x dx = a + b
√ 2
2 với a, b ∈ Q . Tính giá trị P = ab + b − a.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
d) Biết
π
Z4
π 6
1 − sin
3x sin
2x dx =
√ a + √ b − c
2 với a, b, c là các số nguyên dương. Tính giá trị P = a
2+ b
2+ abc.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e) Biết
π
Z4
0
dx
cos
2x sin
2x = a + b √
3 với a, b ∈ Q . Tính giá trị P = ab − a + b.
| Lời giải.
. . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
f) Biết
π
Z4
0
sin 3x sin 2x dx = a + b √ 2
10 với a, b ∈ Z . Tính a + b.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bài 7. Tính các tích phân sau a) Tính
1
Z
0
√
35 + 3x dx =
| Lời giải.
. . . . . . . .
b) Tính
5
Z
3
4x dx
√ 5x + 1 − √
3x + 1 =
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c) Tính
5
Z
1
5x dx
√ 8x + 1 + √
3x + 1 =
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
d) Tính
6
Z
1
dx (x + 3) √
x − x √
x + 3 =
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e) Tính
Z3
2
dx (x + 2) √
x + 1 + (x + 1) √
x + 2 =
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bài 8. a) Biết
2
Z
1
√ 2x − 1 dx =
√ a − 1
b với a, b là số nguyên dương. Tính a − b
3.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . .
b) Biết
Z3
1
√ 8 − 2x dx =
√ a − √ b
3 với a, b là số nguyên dương. Tính P = ab + a + b.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . .
c) Biết
3
Z
2
√
33x − 5 dx = √
3a − 1
b với a, b là các số nguyên. Tính P = ab + a − b.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . .
d) Biết
Z6
2
√ 2 dx
2x − 1 = √ a − √
b với a, b là các số nguyên dương. Tính P = ab + a + b.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . .
e) Biết
2
Z
1
dx (x + 1) √
x + x √
x + 1 = √ a − √
b − c với a, b, c là các số nguyên dương. Tính P = a + b + c.
| Lời giải.
. . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
p Dạng 2.5. Tích phân hàm số phân thức hữu tỉ Phương pháp giải:
Chú ý nguyên hàm của một số hàm phân thức hữu tỉ thường gặp.
a)
Z
1
ax + b dx = 1
a ln |ax + b| + C, với a 6= 0.
b)
Z
1
(ax + b)
ndx = 1
a · −1
(n − 1)(ax + b)
n−1+ C, với a 6= 0, n ∈ N , n ≥ 2.
c)
Z
1
(x + a)(x + b) dx = 1 b − a ln
x + a x + b
+ C, với a 6= b.
Ví dụ 1
d Tính các tích phân sau Tính
1
Z
0
x
(x + 1)
2dx.
a)
1
Z
0
x
(x + 2)
3dx.
b)
| Lời giải.
a) Ta có
1
Z
0
x
(x + 1)
2dx =
1
Z
0
x + 1 − 1 (x + 1)
2dx =
1
Z
0
ï 1
x + 1 − 1 (x + 1)
2ò dx =
ï
ln |x + 1| + 1 x + 1
ò
1
0
= ln 2− 1
2 .
b) Ta có
Z1
0
x
(x + 2)
3dx =
Z1
0
x + 2 − 2 (x + 2)
3dx =
Z1
0
ï 1
x + 2 − 2 (x + 2)
3ò dx =
ï
ln |x + 2| + 1 (x + 2)
2ò
1
0
= ln 3 2 − 5
36 . Ví dụ 2
d Tính các tích phân sau a) Biết
2
Z
1
dx 3x − 1 = 1
a ln b với b > 0. Tính S = a
2+ b.
b) Biết
2
Z
0
x
2x + 1 dx = a + ln b với a, b ∈ Q . Tính S = 2a + b + 2
b.
| Lời giải.
a) Ta có
2
Z
1
dx 3x − 1 = 1
3
2
Z
1
d(3x − 1) 3x − 1 = 1
3 ln |3x − 1||
21= 1
3 (ln 5 − ln 2) = 1 3 ln 5
2 . Suy ra a = 3, b = 5
2 . Do đó S = 1 9 + 5
2 = 47 18 . b) Ta có
Z2
0
x
2x + 1 dx =
Z2
0
Å
x − 1 + 1 x + 1
ã dx =
ï x
22 − x + ln |x + 1|
ò
2
0
= ln 3 = 0 + ln 3.
Suy ra a = 0, b = 3 nên S = 2 · 0 + 3 + 2
3= 11.
Bài 1. Tính các tích phân sau
a) Biết
Z1
0
2x + 3
2 − x dx = a ln 2 + b với a, b ∈ Q . Tính P = a + 2b + 2
a− 2
b.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
b) Biết
1
Z
0
2x − 1
x + 1 dx = a + b ln 2 với a, b ∈ Q . Tính P = ab − a + b.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . .
Bài 2. Tính các tích phân sau a) Tính
Z1
0
3x − 1
x
2+ 6x + 9 dx = 3 ln a b − 5
6 với a, b ∈ Z
+và a
b là phân số tối giản. Tính giá trị của biểu thức P = 2
a+ 2
b− ab.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
b) Biết
1
Z
0
Å 1
x + 1 − 1 x + 2
ã
dx = a ln 2 + b ln 3 với a, b ∈ Z . Tính S = a + b − ab
2.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bài 3. Tính các tích phân sau a) Biết
Z1
0
x
3x + 2 dx = a
3 + b ln 3 + c ln 2, với a, b, c ∈ Q . Tính S = 2a + 4b
2+ 3c
3.
| Lời giải.
. . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
b) Biết
0
Z
−1
3x
2+ 5x − 1
x − 2 dx = a ln 2
3 + b với a, b ∈ Q . Tính giá trị của S = a + 4b.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c) Biết
5
Z
3
dx
x
2− x = a ln 5 + b ln 3 + c ln 2 với a, b, c ∈ Q . Tính S = −2a + b + 3c
2.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
d) Tính
5
Z
1
3
x
2+ 3x dx = a ln 5 + b ln 2 với a, b ∈ Z . Tính S = a + b − ab.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e) Biết
2
Z
1
x
(x + 1)(2x + 1) dx = a ln 2 + b ln 3 + c ln 5 với a, b, c ∈ Q . Tính S = a + b + c.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
f) Biết
1
Z
0
dx
x
2− 5x + 6 = a ln 2 + b ln 3 với a, b ∈ Z . Tính S = a + b.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
g) Tính
3
Z
2
dx
−2x
2+ 3x − 1 = a ln 2 + b ln 3 + c ln 5 với a, b, c ∈ Z . Tính S = 2a + b
2+ 2
c.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
h) Tính
1
Z
0
5 − 2x
x
2+ 3x + 2 dx = a ln 2 + b ln 3 với a, b ∈ Z . Tính S = 2
a− 3ab.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
i) Tính
2
Z
0
x − 1
x
2+ 4x + 3 dx = a ln 5 + b ln 3 với a, b ∈ Q . Tính S = ab + 3
a− a.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
j) Biết
2
Z
1
1
x
2(x + 1) dx = 1
2 + ln a
b với a, b ∈ Z
+và a
b là phân số tối giản. Tính S = a + 2
b.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
p Dạng 2.6. Tính chất của tích phân
a)
b
Z
a
f (x) dx =
c
Z
a
f (x) dx +
b
Z
c
f (x) dx,
b
Z
a
f(x) dx = −
a
Z
b
f (x) dx.
b)
b
Z
a
f (x) dx = f (x)|
ba= f(b) − f (a),
b
Z
a
f
00(x) dx = f
0(x)|
ba= f(b) − f (a),.. . .
Ví dụ 1
d Tính các tích phân sau:
a) Cho hàm số f (x) liên tục trên đoạn [0; 10] thỏa mãn
10
Z
0
f(x) dx = 7 và
6
Z
2
f (x) dx = 3.
Tính
Z2
0
f(x) dx +
Z10
6
f (x) dx.
b) Cho hàm số y = f (x) liên tục trên R thỏa mãn
b
Z
a
f (x) dx = 2 và
b
Z
c
f (x) dx = 3 với a < b < c. Tính
Zc
a
f(x) dx
c) Cho hàm số y = f (x) liên tục trên R thỏa mãn
3
Z
1
f (x) dx = 2017 và
3
Z
4
f (x) dx = 2018.
Tính
Z4
1
f(x) dx.
| Lời giải.
a) Ta có
7 =
10
Z
0
f (x) dx =
2
Z
0
f (x) dx +
6
Z
2
f(x) dx +
10
Z
6
f (x) dx.
Hay là
7 =
10
Z
0
f(x) dx =
2
Z
0
f (x) dx + 3 +
10
Z
6
f (x) dx ⇒ P =
2
Z
0
f (x) dx +
10
Z
6
f(x) dx = 7 − 3 = 4.
b) Ta có
c
Z
a
f(x) dx =
b
Z
a
f (x) dx +
c
Z
b
f(x) dx =
b
Z
a
f (x) dx −
b
Z
c
f(x) dx = 2 − 3 = −1.
c) Ta có
4
Z
1
f (x) dx =
3
Z
1
f(x) dx +
4
Z
3
f (x) dx =
3
Z
1
f(x) dx −
3
Z
4
f(x) dx = 2017 − 2018 = −1.
Ví dụ 2
d Tính các tích phân sau:
a) Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R thỏa mãn
Z5
2
f(x) dx = 3 và
Z7
5
f (x) dx = 9. Tính
7
Z
2
f(x) dx.
b) Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R thỏa mãn
6
Z
0
f(x) dx = 4 và
6
Z
2
f (t) dt = −3. Tính
2
Z
0
[f(v) − 3] dv.
| Lời giải.
a) Ta có
Z7
2
f (x) dx =
Z5
2
f (x) dx +
Z7
5
f (x) dx = 3 + 9 = 12.
b) Ta có
2
Z
0
f (v) dv =
6
Z
0
f (v ) dv −
6
Z
2
f (v ) dv =
6
Z
0
f(x) dx −
6
Z
2
f(x) dx = 4 − (−3) = 7.
Hay là
2
Z
0
f(v) dv = 7 ⇒
2
Z
0
[f (v) − 3] dv =
2
Z
0
f(v) dv −
2
Z
0
3 dv = 7 − 3v |
20= 1.
Ví dụ 3
d Tính các tích phân sau:
a) Cho hàm số f (x) có đạo hàm trên đoạn [1; 2], f
0(1) = 1 và f (2) = 2. Tính
2
Z
1
f
0(x) dx.
b) Cho hàm số f (x) có đạo hàm trên đoạn [1; 4], f (1) = 1 và
4
Z
1
f
0(x) dx = 2. Tính f (4).
c) Cho hàm số f (x) có đạo hàm trên đoạn [1; 3], f (3) = 5 và
Z3
1
f
0(x) dx = 6. Tính f (1).
| Lời giải.
a) Ta có
2
Z
1
f
0(x) dx = f (x)|
21= f (2) − f (1) = 2 − 1 = 1.
b) Ta có 2 =
4
Z
1
f
0(x) dx = f(x)|
41= f(4) − f(1) = f (4) − 1 ⇒ f(4) = 3.
c) Ta có 6 =
3
Z
1
f
0(x) dx = f(x)|
31= f(3) − f(1) = 5 − f (1) ⇒ f(1) = −1.
Bài 1. Bài toán sử dụng tính chất
Zb
a
f(x) dx =
Zc
a
f (x) dx+
Zb
c
f (x) dx,
Zb
a
f (x) dx = −
Za
b
f (x) dx a) Cho
Z4
2
f (x) dx = 10 và
Z4
2
g(x) dx = 5. Tính tích phân
Z4
2
[3f (x) − 5g(x)] dx.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . .
b) Cho
5
Z
−1
f(x) dx = 5,
5
Z
4
f(t) dt = −2 và
4
Z
−1
g(u) du = 1
3 . Tính I =
4
Z
−1
[f(x) + g(x)] dx.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .
c) Cho
π
Z4
0
f (x) dx = a. Tính tích phân I =
π
Z4
0
f(x) cos
2x − 5
cos
2x dx theo a.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . .
d) Cho
π
Z2
0
f (x) dx = 5. Tính tích phân I =
π
Z2
0
[f(x) + 2 sin x] dx.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . .
Bài 2. Bài toán sử dụng tính chất
b
Z
a
f (x) dx = f (x)|
ba= f (b) − f (a),
b
Z
a
f
00(x) dx = f
0(x)|
ba= f(b) − f (a),.. . .
a) Cho hàm số f (x) liên tục, có đạo hàm cấp hai trên đoạn [1; 3], f
0(1) = 1 và f
0(3) = m.
Tìm m để
3
Z
1
f
00(x) dx = 5.
| Lời giải.
. . . . . . . .
b) Biết f (1) = 12, f
0(x) là hàm số liên tục trên [1; 4] và
4
Z
1
f
0(x) dx = 17. Tính f(4).
| Lời giải.
. . . . . . . .
Bài 3. Bài toán sử dụng tính chất
b
Z
a
f(x) dx =
c
Z
a
f (x) dx+
b
Z
c
f (x) dx,
b
Z
a
f (x) dx = −
a
Z
b
f (x) dx a) Cho
Z2
−1
f(x) dx = 5 và
Z2
−1
g(x) dx = −2. Tính tích phân I =
Z2
−1
[x + 2f (x) − 3g(x)] dx.
| Lời giải.
. . . . . . . .
. . . . . . . .
b) Cho
4
Z
−1
f(x) dx = 10 và
6
Z
4
f(x) dx = 2. Tính tích phân I =
−1
Z
6
f (x) dx.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . .
c) Cho
Z6
3
f (x) dx = 7. Tính tích phân I =
Z6
3
[x
2− f(x)] dx.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . .
d) Cho
2
Z
0
f (x) dx = 1 và
2
Z
0
[e
x− f (x)] dx = e
a− b. Tìm a, b.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . .
Bài 4. Bài toán sử dụng tính chất
b
Z
a
f (x) dx = f (x)|
ba= f (b) − f (a),
b
Z
a
f
00(x) dx = f
0(x)|
ba= f(b) − f (a),.. . .
a) Cho hàm số f (x) có đạo hàm trên [−3; 5], f(−3) = 1 và f(5) = 9. Tính
5
Z
−3
4f
0(x) dx.
| Lời giải.
. . . . . . . .
b) Cho hàm số f (x) có đạo hàm cấp 3 trên [−3; 2], f
00(−3) = 4 và f
00(2) = 6. Tính giá trị của tích phân
2
Z
−3
f
000(x) dx.
| Lời giải.
. . . . . . . .
Bài 5. Tính các tích phân sau bằng phương pháp biến đổi hàm ẩn:
a) Cho f(x) liên tục trên R và
1
Z
0
f(x) dx = 2017. Tính
π 4
Z
0
f (sin 2x) cos 2x dx.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
b) Cho
4
Z
0
f (x) dx = 16. Tính
2
Z
0
f (2x) dx.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c) Cho f(x) thỏa mãn
2017
Z
0
f (x) dx = 1. Tính
1
Z
0
f(2017x) dx.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
d) Cho
4
Z
0
f (x) dx = 2. Tính
1
Z
0
f (4x) dx.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e) Biết
3
Z
1
f (3x − 1) dx = 20. Tính
8
Z
2
f (x) dx.
| Lời giải.
. . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
f) Cho f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [1; 2] thỏa mãn
2
Z
1
f
0(x) dx = 10 và
2
Z
1
f
0(x) f(x) dx = ln 2. Biết rằng hàm số f (x) > 0, ∀x ∈ [1; 2]. Tính f (2).
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bài 6. Tính các tích phân bằng phương pháp đổi biến hàm ẩn:
a) Cho hàm số f (x) có đạo hàm trên [1; 2], f (2) = 2 và f(4) = 2018. Tính I =
2
Z
1
f
0(2x) dx.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
b) Cho hàm số f (x) liên tục trên R và có
π
Z2
0
f(x) dx = 4. Tính I =
π
Z4
0
[f (2x) − sin x] dx.
| Lời giải.
. . . .