4 ! Chú ý:
Dạng 3. Phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối
⇔(x−1) x
√
x2+3+√
x+3 =3(x−1)(x2+x+1)⇔
ñx=1
px2+3+√
x+3=3(x2+x+1)(2). Thấy phương trình (2) vô nghiệm vìV T ≤ 1
√3 ≤V P.
Vậy phương trình có một nghiệm duy nhấtx=1.
Ví dụ 16. Giải phương trình|x−2|+|x+2|=|2x|.
Lời giải. Phương trình|x−2|+|x+2|=|2x| ⇔ |x−2|+|x+2|=|x−2+x+2| ⇔(x−2)(x+2)≥0⇔ ñx≤ −2
x≥2 .
Vậy tập nghiệm của phương trình làS= (−∞;−2]∪[2;+∞).
BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 28. Giải phương trình|x−3|=2x+4.
Lời giải. Ta có|x−3|=2x+4⇔
2x+4≥0 ñx−3=2x+4
x−3=−2x−4
⇔
x≥ −2
x=−7 x=−1 3
⇒x=−1 3 Vậy phương trình có một nghiệmx=−1
3. Bài 29. Giải phương trình|x+1|=|3x−1|.
Lời giải. Ta có|x+1|=|3x−1| ⇔
ñx+1=3x−1 x+1=−3x+1 ⇔
ñx=1 x=0 Vậy phương trình có hai nghiệmx=1vàx=0.
Bài 30. Giải phương trình sau|3x−6|=2x+1.
Lời giải. Phương trình|3x−6|=2x+1⇔
2x+1>0 ñ3x−6=2x+1
3x−6=−2x−1
⇔
x>−1 2 ñx=7
x=1
⇔
ñx=7 x=1 Vậy phương trình có hai nghiệmx=7vàx=1
Bài 31. Giải phương trình|x−1|+|2x+1|=|3x|.
Lời giải. Phương trình|x−1|+|2x+1|=|3x| ⇔ |x−1|+|2x+1|=|x−1+2x+1| ⇔(x−1)(2x+1)≥ 0⇔
x≤ −1 2 x≥1
Vậy tập nghiệm của phương trình làS= Å
−∞;−1 2 ò
∪[1;+∞).
Bài 32. Giải phương trình|3x−5|+|2x−1|=| −5x+6|.
Lời giải. Phương trình|3x−5|+|2x−1|=| −5x+6| ⇔ |3x−5|+|2x−1|=|5x−6|=|3x−5+2x−1| ⇔ (3x−5)(2x−1)≥0⇔
x≤ 1
2 x≥ 5 3
Vậy tập nghiệm của phương trình làS= Å
−∞;1 2 ò
∪ ï5
3;+∞
ã . Bài 33. Giải và biện luận phương trình|x−2m|=x+m.
Lời giải. Phương trình|x−2m|=x+m⇔
x+m≥0
ñx−2m=x+m x−2m=−x+m
⇔
x≥ −m
3m=0 x= 3m 2
.
Vớix=3m
2 ≥ −m⇒m≥0.
Kết luận:
Vớim<0phương trình vô nghiệm.
Vớim=0phương trình có tập nghiệmS= [0;+∞).
Vớim>0phương trình có nghiệm duy nhấtx=3m 2 . Phương pháp 2. Chia khoảng trên trục số
Ví dụ 17. Giải phương trình|x−2|=2x−1.
Lời giải. Ta xét hai trường hợp
TH1:Vớix≥2phương trình trở thànhx−2=2x−1⇒x=−1<2(loại).
TH2:Vớix<2phương trình trở thành−x+2=2x−1⇒x=1<2(thỏa mãn).
Vậy phương trình có nghiệm duy nhấtx=1.
Ví dụ 18. Giải phương trình|x−2|+|3x−9|=|x+1|.
Lời giải. Lập bảng để khử dấu giá trị tuyệt đối. Có
x−2=0⇒x=2 3x−9=0⇒x=3 x+1=0⇒x=−1
.
x x−2 3x−9
x+1
−∞ −1 2 3 +∞
− − 0 + +
− − − 0 +
− 0 + + +
Khi đó ta xét từng trường hợp để khử dấu giá trị tuyệt đối như sau:
TH1:Vớix<−1phương trình trở thành
−(x−2)−(3x−9) =−(x+1)⇔x=4>−1⇒loại.
TH2:Với−1≤x<2phương trình trở thành
−(x−2)−(3x−9) =x+1⇔x=2⇒loại.
TH3:Với−2≤x<3phương trình trở thành x−2−(3x−9) =x+1⇔x=2.
TH4:Vớix≥3phương trình trở thành x−2+3x−9=x+1⇔x=4.
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệmx=2vàx=4.
Ví dụ 19. Biện luận số nghiệm của phương trình|2x−4m|=3x+2m.
Lời giải. Ta sẽ xét từng trường hợp để loại bỏ dấu giá trị tuyệt đối TH1:Vớix≥2mthì phương trình trở thành
2x−4m=3x+2m⇒x=−6mvìx≥2m⇒ −6m≥2m⇒m≤0 Vậy vớim≤0thì phương trình có nghiệmx=−6m.
TH2:Vớix<2mthì phương trình trở thành
−2x+4m=3x+2m⇒x= 2m
5 vìx<2m⇒ 2m
5 <2m⇒m>0 Vậym>0thì phương trình có nghiệmx=2m
5 .
Kết luận: Với mọim∈Rthì phương trình có một nghiệm.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 34. Giải phương trình|3x−2|=x+1.
Lời giải. TH1:Vớix≥2
3 phương trình trở thành3x−2=x+1⇒x= 3
2 (thỏa mãn) TH2:Vớix< 2
3 phương trình trở thành−3x+2=x+1⇔x= 1
4 (thỏa mãn) Vậy phương trình đã cho có hai nghiệmx= 3
2 vàx=1 4. Bài 35. Giải phương trình|2x−1|=|x+2|+|x−1|.
Lời giải. Ta lập bảng để khử dấu giá trị tuyệt đối. Có
2x−1=0 x+2=0 x−1=0
⇔
x= 1
2 x=−2 x=1 x
2x−1 x+2 x−1
−∞ −2 1
2 1 +∞
− − 0 + +
− 0 + + +
− − − 0 +
Từ đó ta xét các trường hợp để bỏ dấu giá trị tuyệt đối
TH1:Vớix<−2phương trình trở thành−2x+1=−x−2−x+1⇔0=−3⇒loại.
TH2:Với−2≤x<1
2 phương trình trở thành−2x+1=x+2−x+1⇔x=−1.
TH3:Với 1
2≤x<1phương trình trở thành2x−1=x+2−x+1⇔x=2>1⇒loại.
TH4:Vớix≥1phương trình trở thành2x−1=x+2+x−1⇔ −1=1⇒loại.
Vậy phương trình đã cho có một nghiệmx=−1.
Bài 36. Giải phương trình|x2−3x+2|+|3x−6|=2.
Lời giải. Ta lập bảng xét dấu để khử dấu giá trị tuyệt đối. Có
®x2−3x+2=0 3x−6=0 ⇔
ñx=1 x=2. Bảng xét dấu:
x x2−3x+2
3x−6
−∞ 1 2 +∞
+ 0 − 0 +
− − 0 +
Dựa vào bảng xét dấu ta xét các trường hợp để bỏ dấu giá trị tuyệt đối:
TH1:Vớix<1phương trình trở thành
x2−3x+2−3x+6=2⇔x2−6x+6=0⇔
ñx=3−√ 3 x=3+√
3 (loại)
TH2:Với1≤x<2phương trình trở thành−x2+3x−2−3x+6=2⇔x2=2⇔
ñx=√ 2 x=−√
2 kết hợp với 1≤x<2⇒x=√
2.
TH3: Với x≥2 phương trình trở thành x2−3x+2+3x−6 =2⇔x2 = 6⇔
ñx=−√ 6 x=√
6 kết hợp với x≥2⇒x=√
6.
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệmx=√
2vàx=√ 6.
Bài 37. Giải phương trình
2x+1 x−1
=x+5.
Lời giải. Điều kiện x6=1. Ta lập bảng xét dấu để khử dấu giá trị tuyệt đối, có2x+1=0⇒x=−1 2 và x−1=0⇒x=1. Bảng xét dấu:
x 2x−1
x−1
−∞ −1
2 1 +∞
+ 0 − 0 +
Bài 38. Giải phương trình|3x−2|+|x2−3x+2|=|x−2|+|x−1|.
Lời giải. Ta lập bảng để khử dấu giá trị tuyệt đối. Có
3x−2=0⇒x= 2 3 x2−3x+2=0⇒
ñx=2 x=1 x−2=0⇒x=2
x−1=0⇒x=1 Bảng xét dấu:
x 3x−2 x2−3x+2
x−2 x−1
−∞ 2
3 1 2 +∞
− 0 + + +
+ + 0 − 0 +
− − − 0 +
− − 0 + +
Từ bảng xét dấu ta xét các trường hợp để bỏ dấu giá trị tuyệt đối TH1:Vớix< 2
3 phương trình trở thành
−3x+2+x2−3x+2=−x+2−x+1⇔x2−4x+1=0⇔
ñx=2+√ 3 x=2−√
3kết hợp vớix<2
3⇒x=2−√ 3.
Tương tự xét đối với các trường hợp còn lại ta được phương trình có hai nghiệm làx=2−√
3vàx=1.
Bài 39. Giải phương trình |2x+4| −3|x|
|x−2|+x−1 =4.
Lời giải. Ta lập bảng để khử dấu giá trị tuyệt đối. Có
Bài 40. Biện luận số nghiệm các phương trình|3x−4m|=x+m.
Lời giải. TH1:Vớix< 4m
3 thì phương trình trở thành3x−4m=x+m⇔x= 5m
2 kết hợp vớix<4m 3 ⇒ 5m
2 < 4m
3 ⇔m<0.
TH2:Vớix≥ 4m
3 thì phương trình trở thành −3x+4m=x+m⇔x= 3m
4 kết hợp vớix≥ 4m
3 ⇒ 3m 4 ≥ 4m
3 ⇔ − 7
12m≥0⇔m≤0.
Kết luận: Vậy phương trình đã cho luôn có duy nhất một nghiệm.
Một số cách khác
Ví dụ 20. Giải phương trình|x2−4x+2|=2x2−8x+3.
Lời giải. Ta có|x2−4x+2|=2x2−8x+3⇔ |x2−4x+2|=2(x2−4x+2)−1⇒đặtt=x2−4x+2. Khi đó, phương trình trở thành
|t|=2t−1⇔
2t−1≥0 ñt =2t−1
t =−2t+1
⇔
t≥ 1
2
t=1 t= 1 3
⇒t=1.
Vớit=1⇒x2−4x+2=1⇔x2−4x+1=0⇔
ñx=2+√ 3 x=2−√
3 Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm làx=2+√
3vàx=2−√ 3.
Ví dụ 21. Biện luận số nghiệm của phương trình|x|+|x−2|=m.
Lời giải. Trước hết ta vẽ đồ thị hàm sốy=|x|+|x−2|lập bảng xét dấu x
x x−2
−∞ 0 2 +∞
− 0 + +
− − 0 +
Từ đó vẽ đồ thị ứng với mỗi khoảng trong bảng xét dấu ta được đồ thị hình bên. Khi đó, số nghiệm của phương trình |x|+|x−2|=m là số giao điểm của đồ thị hàm số y=|x|+|x−2|và đường thẳngy=m. Dựa vào đồ thị ta thấy:
Vớim<2thì phương trình vô nghiệm.
Vớim=2thì phương trình có tập nghiệmS= [0; 2].
Vớim>2thì phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.
2 x 2
4 y
O
Ví dụ 22. Giải phương trình|x−2016|4+|x−2017|5=1.
Lời giải. Ta thấyx=2016hoặcx=2017là nghiệm của phương trình.
TH1:Vớix<2016⇒x−2017<−1⇒ |x−2017|>1⇒ |x−2016|4+|x−2017|5>1
⇒phương trình không có nghiệm thỏa mãnx<2016.
TH2:Với2016<x<2017⇒
®0<x−2016<1
−1<x−2017<0 ⇒
®|x−2016|4<|x−2016|<x−2016
|x−2017|5<|x−2017|<2017−x
⇒ |x−2016|4+|x−2017|5<x−2016+2017−x=1⇒phương trình không có nghiệm thỏa mãn2016<
x<2017.
TH3:Vớix>2017⇒x−2016>1⇒ |x−2016|4+|x−2017|5>1
⇒phương trình không có nghiệmx>2017.
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệmx=2016vàx=2017.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 41. Giải phương trình|2x2−4x+3|=|x2−3x+1|.
Lời giải. Phương trình|2x2−4x+3|=|x2−3x+1| ⇔
ñ2x2−4x+3=x2−3x+1 2x2−4x+3=−x2+3x−1
⇔
ñx2−x+2=0 3x2−7x+4=0 ⇔
x=1 x= 4 3
Vậy phương trình có hai nghiệmx=1vàx=4 3. Bài 42. Giải phương trình|5− |2x−1||=3.
Lời giải. Đặtt =|2x−1|vớit≥0. Khi đó phương trình trở thành
|5−t|=3⇔
ñ5−t=3 5−t=−3 ⇒
ñt=2 t=8
Vớit=2⇒ |2x−1|=2⇒
ñ2x−1=2 2x−1=−2 ⇒
x= 3
2 x=−1
2 Vớit=8⇒ |2x−1|=8⇒
ñ2x−1=8 2x−1=−8 ⇒
x= 9
2 x=−7
2 Vậy phương trình có tập nghiệmS=
ß
−7 2;−1
2;3 2;9
2
™ .
Bài 43. Biện luận số nghiệm của phương trình|5x+2|+|x−1|=m
Lời giải. Trước tiên ta vẽ đồ thị hàm sốy=|5x+2|+|x−1|bằng cách lập bảng xét dấu x
5x−2 x−1
−∞ 2
5 1 +∞
− 0 + +
− − 0 +
Từ đó vẽ đồ thị ứng với mỗi khoảng trong bảng xét dấu ta được đồ thị hình bên. Khi đó, số nghiệm của phương trình |5x+2|+|x−1|=m là số giao điểm của đồ thị hàm số y=|5x+2|+|x−1|và đường thẳngy=m. Dựa vào đồ thị ta thấy:
Vớim< 7
5 thì phương trình vô nghiệm.
Vớim= 7
5 thì phương trình có duy nhất một nghiệm.
Vớim> 7
5 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt.
1 x 3
y
−25 O 7 5
Bài 44. Giải phương trình|x−2017|2018+|x−2018|2017=1.
Lời giải. Ta thấyx=2017hoặcx=2018là nghiệm của phương trình.
TH1:Vớix<2017⇒x−2018<−1⇒ |x−2018|>1⇒ |x−2017|2018+|x−2018|2017>1
⇒phương trình không có nghiệm thỏa mãnx<2017.
TH2:Với2017<x<2018⇒
®0<x−2017<1
−1<x−2018<0 ⇒
®|x−2017|2018<|x−2017|<x−2017
|x−2018|2017<|x−2018|<2018−x
⇒ |x−2017|2018+|x−2018|2017<x−2017+2018−x=1⇒phương trình không có nghiệm thỏa mãn 2017<x<2018.
TH3:Vớix>2018⇒x−2017>1⇒ |x−2017|2018+|x−2018|2017>1
⇒phương trình không có nghiệmx>2018.
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệmx=2017vàx=2018.
Bài 45. Giải phương trình|x+1|+|x+2|+|x+3|+...+|x+99|=100x.
Lời giải. Ta có|x+1|+|x+2|+|x+3|+...+|x+99| ≥0⇒ |x+1|+|x+2|+|x+3|+...+|x+99|= 100x≥0⇒x≥0. Khi đó phương trình trở thành
x+1+x+2+x+3+...+x+99=100x⇔99x+4950=100x⇒x=4950.
Vậy phương trình có nghiệm duy nhấtx=4950
Dạng 4. Phương trình chứa ẩn ở mẫu. Phương trình bậc bốn trùng phương Loại 1. Phương trình chứa ẩn ở mẫu thức
• Đặt điều kiện xác định của phương trình.
• Biến đổi phương trình đã cho về phương trình bậc nhất, bậc hai đã biết cách giải.
• Chọn nghiệm thỏa điều kiện xác định của phương trình.