Số tập hợp con có 3 phần tử của một tập hợp có 7 phần tử là:

Chọn c : có 2 cách



c



2;4

 

Chọn ab : có A₄² cách

Theo quy tắc nhân, có _2.A₄² ₂₄(số)

Câu 15: Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau lấy từ các số0,1,2 ,3,4,5.

A. 60. B. 80. C. 240. D. 600.

Hướng dẫn giải:

Chọn D

Gọi số cần tìm có dạng : abcde



a0



. Chọn a : có 5 cách



a0



Chọn bcde : có A₅⁴ cách

Theo quy tắc nhân, có 5.A₅⁴ 600(số)

Câu 16: Từ các số 1, 2, 3, 4, 5, 6 lập được bao nhiêu số tự nhiên 1.Gồm 4 chữ số

A.1296 B.2019 C.2110 D.1297

2. Gồm 3 chữ số đôi một khác nhau

A.110 B.121 C.120 D.125

3.Gồm 4 chữ số đôi một khác nhau và là chữ số tự nhiên chẵn

A.182 B.180 C.190 D.192

4.Gồm 4 chữ số đôi một khác nhau và không bắt đầu bằng chữ số 1

A.300 B.320 C.310 D.330

5.Gồm 6 chữ số đôi một khác nhau và hai chữ số 1 và 2 không đứng cạnh nhau.

A.410 B.480 C.500 D.512

Nên số cần lập là: A₆³ 120 số.

Chọn C.

3.Gọi số cần lập là : xabcd

Vì x chẵn nên có 3 cách chọn d. Ứng với mỗi cách chọn d sẽ có

53

A cách chọn , ,a b c. Vậy có 3.A₅³ 180 số.

Chọn B.

4.Gọi số cần lập là : xabcd

Vì a1 nên a có 5 cách chọn. Ứng với mỗi cách chọn ^a ta có: A₅³ cách chọn , ,b c d. Vậy có

53

5.A 300 số.

Chọn A.

5.Gọi x là số có 6 chữ số đôi một khác nhau và hai chữ số 1 và 2 luôn đứng cạnh nhau.

Đặt y12 khi đó x có dạng abcde với , , , ,a b c d e đôi một khác nhau và thuộc tập



y,3, 4,5,6



nên có P₅ 5! 120 số.

Hướng dẫn giải:

1 Gọi số cần lập là: xabcd. Ta chọn a,b,c,d theo thứ tự sau a: có 6 cách chọn

b: có 6 cách chọn c: có 6 cách chọn d: có 6 cách chọn Vậy có 6⁴ 1296 số Chọn A.

2. Mỗi số cần lập ứng với một chỉnh hợp chập 3 của 6 phần tử

Khi hoán vị hai số 1,2 ta được một số khác nên có 120.2 240 số x Vậy số thỏa yêu cầu bài toán là: P₆240 480 số.

Chọn B.

Câu 17: Cho 6 chữ số 4,5,6,7,8,9. số các số tự nhiên chẵn có 3 chữ số khác nhau lập thành từ 6 chữ  số đó:

A. 120. B. 60. C. 256. D. 216.

Hướng dẫn giải:

Chọn B

Gọi số cần tìm có dạng : abc. Chọn c: có 3 cách



c



4;6;8

 

Chọn ab : có A₅² cách

Theo quy tắc nhân, có _3.A₅² ₆₀(số).

Câu 18: Cho các chữ số 0,1,2,3,4,5 . Từ các chữ số đã cho lập được bao nhiêu số chẵn có ₄ chữ số và các chữ số đó phải khác nhau:

A. 160. B.156. C. 752. D. 240.

Hướng dẫn giải:

Chọn B

Gọi số cần tìm có dạng : abcd



a0



. TH1. d 0

Chọn d : có 1 cách Chọn abc : có ^A₅³ cách

Theo quy tắc nhân, có _1.A₅³₆₀ (số) TH2. d 0

Chọn d : có 2 cách



d



2;4

 

Chọn a : có 4 cách



a0,ad



Chọn bc : có ^A₄² cách

Theo quy tắc nhân, có _2.4.A₄² ₉₆ (số) Theo quy tắc cộng, vậy có 60 96 156  (số).

Câu 19: Từ các số của tập A



0,1, 2,3, 4,5,6



có thể lập được bao nhiêu số chẵn gồm 5 chữ số đôi  một khác nhau trong đó có hai chữ số lẻ và hai chữ số lẻ đứng cạnh nhau.

A. 360 B.362 C.345 D. 368

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

Vì có 3 số lẻ là 1,3,5, nên ta tạo được 6 cặp số kép: 13,31,15,51,35,53 Gọi A là tập các số gồm 4 chữ số được lập từ X 



0,13, 2, 4,6



.

Gọi A A A₁, ,_{2 3} tương ứng là số các số tự nhiên lẻ gồm 4 chữ số khác nhau được lập từ các chữ số của tập X 



0,13, 2, 4,6



và 13 đứng ở vị trí thứ nhất, thứ hai và thứ ba.

Ta có: A₁ A₄³ 24; A₂  A₃ 3.3.2 18 nên A 24 2.18 60  Vậy số các số cần lập là: 6.60 360 số.

Câu 20: Trong một tuần bạn A dự định mỗi ngày đi thăm một người bạn trong 12 người bạn của mình. Hỏi bạn A có thể lập được bao nhiêu kế hoạch đi thăm bạn của mình (thăm một bạn không quá một lần).

A. 3991680. B.12!. C. 35831808. D. 7!.

Hướng dẫn giải:

Chọn A

Vì 1 tuần có 7 ngày nên có A₁₂⁷ 3991680 (kế hoạch).

Câu 21: Cho tập A



1, 2,3, 4,5,6,7,8



1.Có bao nhiêu tập con của A chứa số 2 mà không chứa số 3

A.64 B.83 C.13 D.41

2.Tức các chữ số thuộc tập A, lập được bao nhiêu số tự nhiên lẻ gồm 5 chữ số không bắt đầu bởi 123.

A.3340 B.3219 C.4942 D.2220

Hướng dẫn giải:

1.Xét tập B



1, 4,5,6,7,8



, ta có B không chứa số 3.

74

52 20

A số.

A. 7!. B. 7 .⁴ C. 7.6.5.4 . D. 7!.6!.5!.4!.

Hướng dẫn giải:

Chọn C.

Chọn 4 trong 7 chữ số để sắp vào 4 vị trí (phân biệt thứ tự) có ₇⁴ 7! 7.6.5.4

 3!

A .

Vậy có 8!A₆².6! 18720 cách sắp xếp.

Câu 23: Từ các số 0,1,2,7,8,9 tạo được bao nhiêu số chẵn có 5 chữ số khác nhau?

A. 120. B. 216 . C. 312. D. 360.

Hướng dẫn giải:

Chọn C.

Gọi abcde là số cần tìm.

Nếu e0, chọn 4 trong 5 số còn lại sắp vào các vị trí , , ,a b c d có A₅⁴ 120 cách.

Nếu e0, chọn e có 2 cách.

Chọn a0 và ae có 4 cách.

Chọn 3 trong 4 số còn lại sắp vào các vị trí , ,b c d có ^A₄³ cách.

Như vậy có: A₅⁴ 2.4.A₄³ 312 số.

X là một tập con của A thỏa yêu cầu bài toán khi và chỉ khi X \



2



là một tập con của B. Do đo, số tập con của A thỏa yêu cầu bài toán bằng số tập con của B và bằng 2⁶ 64 .

Chọn A.

2.Xét số xabcde được lập từ các chữ số thuộc tập A.

Vì x lẻ nên e



1,3,5,7



, suy ra có 4 cách chọn e. Bốn chữ số còn lại được chọn từ 7 chữ số của tập  A\



^e



^{nên có A }840 cách

Suy ra, có 4.8403360 số lẻ gồm năm chữ số khác nhau.

Mà số x bắt đầu bằng 123 có 

Vậy số x thỏa yêu cầu bài toán là : 3360203340 số.

Chọn A.

Câu 22: Từ 7 chữ số 1,2,3,4,5,6,7 có thể lập được bao nhiêu số từ 4 chữ số khác nhau?

Câu 24: Từ các số 0,1,2,7,8,9 tạo được bao nhiêu số lẻ có 5 chữ số khác nhau?

A. 288 . B. 360. C. 312. D. 600.

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

Gọi abcde là số cần tìm.

Chọn e có 3 cách.

Chọn a0 và ae có 4 cách.

Chọn 3 trong 4 số còn lại sắp vào , ,b c d có A₄³ cách.

Vậy có 3.4.A₄³ 288 số.

Câu 25: Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5,6 có thể lập được bao nhiêu số chẵn, mỗi số có 5 chữ số khác nhau trong đó có đúng hai chữ số lẻ và 2 chữ số lẻ đứng cạnh nhau?

A. 360 B.280 C.310 D. 290

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

Gọi^A là số tự nhiên có hai chữ số lẻ khác nhau lấy từ các số 0,1,2,3,4,5,6 số cách chọn được ^Alà

32 6

A . Số chẵn có 5 chữ số mà hai số lẻ đứng kề nhau phải chứa A và ba trong 4 chữ số 0;2;4;6. Gọi

; , , , { ,0, 2, 4,6}

abcd a b c d A là số thỏa mãn yêu cầu bài toán.

*TH1: Nếu a Acó 1 cách chọn avà A₄³chọn , ,b c d.

* TH 2: aAcó 3 cách chọn a

+ Nếu b Acó 1 cách chọn bvàA₃²cách chọn ,c d. + Nếu c Acó 1 cách chọn cvàA₃²cách chọn ,b d.

Vậy có ^A32



^{A433 1.}



^A321.A32

 

^360 số thỏa mãm yêu cầu bài toán.

Câu 26: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số, biết rằng chữ số 2 có mặt hai lần, chữ số ba có mặt ba lần và các chữ số còn lại có mặt nhiều nhất một lần?

A. 26460 B.27901 C.27912 D. 26802

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

 _Ta đếm các số có 7 chữ số được chọn từ các số



2,2,3,3,3, ,a b



với a b, 



0,1, 4,5,6,7,8,9



, kể cả số 0 đứng đầu.

Ta có được: 7! số như vậy. Tuy nhiên khi hoán vị hai số 2 cho nhau hoặc các số 3 cho nhau thì ta được số không đổi do đó có tất cả

7! 420 2!.3! số.

Vì có A₈² cách chọn ,a b nên ta có: 480.A₈² 26880 số.

 _Ta đếm các số có 6 chữ số được chọn từ các số



2, 2,3,3,3,x



với x



1, 4,5,6,7,8,9



. Tương tự như trên ta tìm được 6! ¹₇ 420

2!.3!A  số Vậy số các số thỏa yêu cầu bài toán: 26460 .

Câu 27: Từ các số của tập A{1,2,3,4,5,6,7} lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 1.Năm chữ số đôi một khác nhau

A. 2520 B.2510 C.2398 D.2096

2.Sáu chữ số khác nhau và chia hết cho 5.

A. 720 B.710 C.820 D.280

3.Năm chữ số đôi một khác nhau, đồng thời hai chữ số 2 và 3 luôn đứng cạnh nhau

A.720 B.710 C.820 D.280

4.Bảy chữ số, trong đó chữ số 2 xuất hiện đúng ba lần.

A.31203 B.30240 C.31220 D.32220

Hướng dẫn giải:

1.Mỗi số cần lập thỏa yêu cầu bài toán sẽ ứng với mỗi chỉnh hợp chập 5 của 7 phần tử. Do đó, có

75 2520

A .

Chọn A.

2.Gọi số cần lập là xa a_{1 2}...a₆

Vì x chia hết cho 5 nên a₆  5 a₆ có một cách chọn

Số cách chọn các chữ số a a₁, ,...,₂ a₅ chính bằng số chỉnh hợp chập 5 của 6 phân tử và bằng ^A₆⁵. Vậy số các số cần lập là 1.A₆⁵ 720

Chọn A.

64 360

A số như vậy

97

A số như vậy.

Tuy nhiên khi hoán vị vị trí của ba số 2 cho nhau thì số thu được không thay đổi. Vậy có ⁹⁷ 30240 3!  A số thỏa yêu cầu bài toán.

Chọn A.

Câu 28: Từ các chữ số của tập hợp A



0,1, 2,3, 4,5,6



lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm

B.13353 C.15223 D.14422

B.720 C.723 D.731

A.300 B.324 C.354 D.341

4.5 chữ số đôi một khác nhau và là số chẵn.

A.1260 B.1234 C.1250 D.1235

Hướng dẫn giải:

1.Gọi xabcde với , , ,a b c eA a; 0

Để lập x ta chọn các số , , , ,a b c d e theo tứ thự sau Chọn a: Vì aA a, 0 nên ta có 6 cách chọn a

Vì bA và b có thể trùng với a nên với mỗi cách chọn ata có 7 cách chọn b Tương tự : với mỗi cách chọn ,a b có 7 cách chọn c

với mỗi cách chọn , ,a b c có 7 cách chọn d với mỗi cách chọn , , ,a b c d có 7 cách chọn ^e

3.Đặt x23 . Số các số cần lập có dạng abcd với a,b,c,d



1,x, 4,5,6,7



. Có Mặt khác khi hoán vị hai số 2 và 3 ta được thêm một số thỏa yêu cầu bài toán.

Vậy có 360.2720 số thỏa yêu cầu bài toán.

Chọn A.

4.Xét các số tự nhiên có bảy chữ số được lập từ



1, 2,2,2,3, 4,5,6,7



Ta thấy có

1. 5 chữ số A.14406

2. 4 chữ sốđôi một khác nhau A.418

3. 4 chữ sốđôi một khác nhau và là số lẻ

Vậy theo quy tắc nhân ta có: 6.7.7.7.7 14406 số thỏa yêu cầu bài toán.

Chọn A.

2.Gọi xabcd là số cần lập với , , ,a b d cA đôi một khác nhau và a0. Ta chọn , , ,a b c d theo thứ tự sau

Chọn a: Vì aA a, 0 nên có 6 cách chọn a

Với mỗi cách chọn a ta thấy mỗi cách chọn , ,b c d chính là một cách lấy ba phần tử của tập A\

 

a và xếp chúng theo thứ tự, nên mỗi cách chọn , ,b c d ứng với một chỉnh hợp chập 3 của 6 phần tử Suy ra số cách chọn , ,b c d là: A₆³

Theo quy tắc nhân ta có: 6.A₆³ 720 số thỏa yêu cầu bài toán.

Chọn B.

3.Gọi xabcd là số cần lập với , , ,a b c dA đôi một khác nhau, a0. Vì x là số lẻ nên d



1,3,5



d có 3 cách chọn.

Với mỗi cách chọn d ta có aA\ 0,



d



a có 5 cách chọn Với mỗi cách chọn ,a d ta có ^A₅² cách chọn bc

Theo quy tắc nhân ta có: 3.5.A₅² 300 số thỏa yêu cầu bài toán.

Chọn A.

4.Gọi xabcde là số cần lập với , , , ,a b c d eA đôi một khác nhau và a0. Vì x là số lẻ nên e



0, 2,4,6



. Ta xét các trường hợp sau

e ₀ e có 1 cách chọn Vì a0a có 6 cách chọn Số cách chọn các chữ số còn lại: ^A₅³

Do đó trường hợp này có tất cả 1.6.A₅³ 360 số

e ₀ e có 3 cách chọn

Với mỗi cách chọn e ta có aA\ 0,



e



a có 5 cách chọn Số cách chọn các số còn lại là: A₅³

Do đó trường hợp này có tất cả 3.5.A₅³900 số

Vậy có cả thảy 360 900 1260  số thỏa yêu cầu bài toán.

Chọn A.

Câu 29: Từ các số 1,2,3,4,5,6,7,8,9 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có, mỗi số có 6 chữ số khác nhau và tổng các chữ số ở hàng chục, hàng trăm, hàng ngàn bằng 8.

A. 1300 B.1400 C.1500 D. 1600

Hướng dẫn giải:

Chọn B.

Gọi na a a a a a1 2 3 4 5 6 là một số thỏa yêu cầu bài toán thì

3 4 5 8

a a a .

Có hai bộ 3 số có tổng bằng 8 trong các số 1,2,…,8,9 là :



1;2;5



và



1;3;4



Nếu a a a3; ;4 5



1;2;5



thì a a a₃, ,_{4 5}có 3! cách chọn và a a a₁, ,_{2 6} có ^A₆³ cách chọn suy ra có 3!A₆³ 720 số thỏa yêu cầu.

Nếu a a a3; ;4 5



1;2;5



thì cũng có 720 số thỏa yêu cầu.

Vậy có 720 720 1400  số thỏa yêu cầu

Câu 30: Hỏi có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số sao cho trong mỗi số đó, chữ số hàng ngàn lớn hơn hàng trăm, chữ số hàng trăm lớn hơn hàng chục và chữ số hàng chục lớn hơn hàng đơn  vị.

A.221 B.209 C.210 D.215

Hướng dẫn giải:

Chọn C.

Gọi xa a a a_{1 2 3 4} với 9a₁a₂ a₃ a₄ 0 là số cần lập.



0; 1; 2; ...; 8; 9





X .

Từ 10 phần tử của X ta chọn ra 4 phần tử bất kỳ thì chỉ lập được 1 số A. Nghĩa là không có hoán vị hay là một tổ hợp chập 4 của 10.

Vậy có C₁₀⁴ 210 số.

DẠNG 2: XẾP VỊ TRÍ – CÁCH CHỌN, PHÂN CÔNG CÔNG VIỆC..

Câu 1: Một liên đoàn bóng rổ có 10 đội, mỗi đội đấu với mỗi đội khác hai lần, một lần ở sân nhà và một lần ở sân khách. Số trận đấu được sắp xếp là:

A. 45 . B. 90. C. 100. D. 180.

Hướng dẫn giải:

Chọn B.

Mỗi đội sẽ gặp 9 đội còn lại. Do đó có 10.9 90 trận đấu.

Câu 2: Một liên đoàn bóng rổ có 10 đội, mỗi đội đấu với mỗi đội khác hai lần, một lần ở sân nhà và một lần ở sân khách. Số trận đấu được sắp xếp là:

A. 45 . B. 90. C. 100. D. 180.

Hướng dẫn giải:

Chọn B.

Mỗi đội sẽ gặp 9 đội còn lại. Do đó có 10.9 90 trận đấu.

Câu 3: Một liên đoàn bóng đá có 10 đội, mỗi đội phải đá ₄ trận với mỗi đội khác, 2 trận ở sân nhà và 2 trận ở sân khách. Số trận đấu được sắp xếp là:

A. 180 B.160. C. 90. D. 45.

A. 5!

2!. B.8 . C. 5!

3!2!. D. 5³.

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

Chọn 3 trong 5 màu để tô vào 3 nước khác nhau nên có 5³ 5!

 2!

A cách.

Câu 5: Sau bữa tiệc, mỗi người bắt tay một lần với mỗi người khác trong phòng. Có tất cả 66 người lần lượt bắt tay. Hỏi trong phòng có bao nhiêu người:

A. ₁₁. B.₁₂. C. 33. D. 66 .

Hướng dẫn giải:

Chọn B

Cứ hai người sẽ có 1 lần bắt tay.

Khi đó 

   

2 66 ! 66 1 132 12 12

11 2 !.2!

 

           

n

n n

C n n n

n n



^n



Câu 6: Tên 15 học sinh được ghi vào 15 tờ giấy để vào trong hộp. Chọn tên 4 học sinh để cho đi du  lịch. Hỏi có bao nhiêu cách chọn các học sinh:

A. 4!. B.15!. C. 1365. D. 32760.

Hướng dẫn giải:

Chọn C.

Chọn 4 trong 15 học sinh (không phân biệt thứ tự) là tổ hợp chập 4 của 15.

Vậy có C₁₅⁴ 1365 cách chọn.

Câu 7: Một hội đồng gồm 2 giáo viên và 3 học sinh được chọn từ một nhóm 5 giáo viên và 6 học sinh. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?

A. 200 . B.150. C. 160. D. 180.

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

Mỗi đội sẽ gặp 9 đội khác trong hai lượt trận sân nhà và sân khách. Có 10.990 trận.

Mỗi đội đá 2 trận sân nhà, 2 trận sân khách. Nên số trận đấu là 2.90180 trận.

Câu 4: Giả sử ta dùng 5 màu để tô cho 3 nước khác nhau trên bản đồ và không có màu nào được dùng hai lần. Số các cách để chọn những màu cần dùng là:

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

Chọn 2 trong 5 giáo viên có: C₅² 10 cách chọn.

Chọn 3 trong 6 học sinh có C₆³ 20 cách chọn.

Vậy có 10.20 200 cách chọn.

Câu 8: Một tổ gồm 12 học sinh trong đó có bạn An. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 4 em đi trực trong đó phải có An:

A. 990. B. 495 . C. 220 . D. 165.

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Chọn An có 1 cách chọn.

Chọn 3 bạn trong 11 bạn còn lại có C₁₁³ 165 cách chọn.

Vậy có 165 cách chọn.

Câu 9: Từ một nhóm 5 người, chọn ra các nhóm ít nhất 2 người. Hỏi có bao nhiêu cách chọn:

A. 25 . B. 26. C. 31. D. 32.

Hướng dẫn giải:

Chọn B.

Chọn lần lượt nhóm có 2,3,4,5 người, ta có C C C C₅², , ,₅³ ₅⁴ ₅⁵ cách chọn.

Vậy tổng cộng có: C₅²C₅³C₅⁴C₅⁵ 26 cách chọn.

Câu 10: Một tổ gồm 7 nam và 6 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 4 em đi trực sao cho có ít nhất 2 nữ?

A.



C7²C6⁵) ( C7¹C6³



C6⁴. B.



C C7². 6²

 

 C C7¹. 6³



C6⁴. C. C C₁₁²_{. 12}² . D. C C₇²_{. 6}² C C₇³_. ¹₆C₇⁴. Hướng dẫn giải:

Chọn B.

Chọn nhóm gồm 2 nam, 2 nữ, có C C₇². ₆² cách.

Chọn nhóm gồm 1 nam, 3 nữ, có C C₇¹. ₆³ cách.

Chọn nhóm gồm 4 nữ, có C₆⁴ cách Vậy có:



C C7². 6²

 

 C C¹7. 6³



C6⁴ cách.

Câu 11: Số cách chia 10 học sinh thành 3 nhóm lần lượt gồm 2, 3, 5 học sinh là:

A. C₁₀² C₁₀³ C₁₀⁵ . B. C C C₁₀²_{. .8}³ ₅⁵. C. C₁₀² C₈³C₅⁵. D. C₁₀⁵ C₅³C₂². Hướng dẫn giải:

Chọn B.

Chọn 2 trong 10 học sinh chia thành nhóm 2 có: C₁₀² cách.

Chọn 3 trong 8 học sinh còn lại chia thành nhóm 3 có: ^C₈³ cách.

Chọn 5 trong 5 học sinh còn lại chia thành nhóm 5 có ^C₅⁵ cách.

Vậy có C C C₁₀². .₈³ ₅⁵ cách.

Câu 12: Một thí sinh phải chọn 10 trong số 20 câu hỏi. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 10 câu hỏi này nếu 3 câu đầu phải được chọn:

A. C¹⁰₂₀. B. c¹⁰₇ C₁₀³ . C. C C₁₀⁷_{. 10}³ . D. C₁₇⁷ . Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Thí sinh chỉ phải chọn 7 câu trong 17 câu còn lại. Vậy có ^C₁₇⁷ cách chọn.

Trong tài liệu Bài tập trắc nghiệm tổ hợp và xác suất - Đặng Việt Đông (Trang 32-42)