Tìm tập hợp các điểm M’ là ảnh của điểm M qua một phép đồng dạng

x Xác định phép đồng dạng f : M M'M'.

x Tìm tập hợp H của các điểm M. Suy ra tập hợp các điểm M’ là H’, ảnh của H qua phép đồng dạng f.

Ví dụ: Cho tam giác ABC vuông cân ở A (các đỉnh vẽ theo chiều dương, tức ngược chiều quay của kim đồng hồ). Biết đỉnh B cố định, đỉnh A di động trên đường tròn

^{O; R}

^{. Tìm}

tập hợp các đỉnh C.

Giải

Tam giác ABC vuông cân ở A nên BC AB 2. Xét phép vị tự tâm B tỉ số k 2 biến A thành A’, với BA'BA' 2BA2 . Ta có A’ thuộc nửa đường thẳng BA và BA' BA 2. Từ đó suy ra: ^­°®_°¯

^{BCBCBA', BCBA' BCBA'BA}

^{454 o}

Do đó C là ảnh của A’ trong phép quay tâm B, góc 45^o, suy ra C là ảnh của A qua phép hợp thành của phép vị tự

V B; 2 và phép quay ^{Q B; 45}

^o

. Vậy, C là ảnh của A qua một phép đồng dạng tỉ số k 2.

Theo giả thiết, A di động trên đường tròn

^{O; R}

, nên tập hợp của C là đường tròn

^{O'; R 2}

^{, ảnh của} đường tròn

^{O; R}

qua phép đồng dạng đó. Tâm O’ được xác định bởi:

^{BO, BO'}

^45o

BO' BO 2

­

°®

°¯ .

C

B A

O O'

Ths. Trần Đình Cư-Gv THPT Gia Hội, Huế. SĐT: 01234332133 Page 117 C. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

Câu 1. Chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:

A. Phép vị tự với tỉ số k 0! là một phép đồng dạng.

B. Phép đồng dạng là một phép dời hình.

C. Phép vị tự với tỉ số kz r1 không phải là một phép dời hình.

D. Phép quay là một phép đồng dạng.

Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B.

Phép đồng dạng nói chung không phải là một phép dời hình. Thật vậy:

Nếu phép đồng dạng với tỉ số k biến điểm M, N thành M’, N’ thì ta có: M'N' kMN.

Do đó, nếu k 1z thì M'N' MNz , trong trường hợp này phép đồng dạng không phải là một phép dời hình.

Câu 2. Chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:

A. Phép vị tự với tỉ số k là một phép đồng dạng với tỉ số k . B. Phép đồng dạng là một phép vị tự.

C. Nếu ta thực hiện liên tiếp một phép vị tự và một phép dời hình thì ta được một phép đồng dạng.

D. Nếu hai đa giác đồng dạng thì tỉ số các cạnh tương ứng của chúng bằng tỉ số đồng dạng.

Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B.

Câu 3. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm ^{P 3; 1}

. Thực hiện liên tiếp hai phép vị tự V O; 4 và V O; ¹

2

§ ·

¨ ¸

© ¹ điểm P biến thành điểm P’ có tọa độ là:

A.

^{4; 6}

^{. B.}

^{6; 2}

^{. C.}

^{6; 2}

^{. D.}

^{12; 4}

^.

Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C.

Giả sử ta có: Phép vị tự V I; k

1

biến điểm M thành điểm N và phép vị tự V I; k

2

biến điểm N thành điểm P. Khi đó ta có: ON k OMON k OM₁ và OP k ONOP k ON₂ . Suy ra OP k k OMOP k k OM_{1 2} . Như thế P là ảnh của M qua phép vị tự ^{V O; k k}

_{1 2}

^.

Áp dụng kết quả trên phép vị tự biến điểm P thành điểm P’ là phép vị tự V tâm I theo tỉ số

1 2

k k k 4. 1 2 2

§ ·

¨ ¸

© ¹ .

Ta được: ^{OP'OP' 2OP2OP2OPŸOP'OP'OP'}

^{6; 26}

^.

Vậy ^P'

^{6; 2}

^.

Ths. Trần Đình Cư-Gv THPT Gia Hội, Huế. SĐT: 01234332133 Page 118 Câu 4. Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Nếu có phép đồng dạng biến cạnh AB thành cạnh BC thì tỉ số k của phép đồng dạng đó bằng:

A. 2. B. 2. C. 3.

D. ² 2 . Hướng dẫn giải

ĐÁP ÁN B.

Ta dễ thấy tỉ số đồng dạng là k ^{BC AB 2} 2

AB AB .

Câu 5. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho bốn điểm ^A

2;1 , B 0; 3 , C 1; 3

, D 2; 4 . Nếu có phép đồng dạng biến đoạn thẳng AB thành đoạn thẳng CD thì tỉ số k của phép đồng dạng đó bằng:

A. 2. B. ³

2. C. ⁵

2. D. ⁷

2. Hướng dẫn giải

ĐÁP ÁN C.

Ta có: AB 2 2 , CD 5 2.

Suy ra tỉ số của phép đồng dạng là k ^{CD 5} AB 2.

Câu 6. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường tròn: C : x²y²2x 2y 2 0 , D : x²y²12x 16y 0 . Nếu có phép đồng dạng biến đường tròn (C) thành đường tròn (D) thì tỉ số k của phép đồng dạng đó bằng:

A. 2. B. 3. C. 4. D. 5.

Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D.

+ Phương trình của

^{C : x 1 2 y 1}

^{2 Ÿ4 C có tâm I}

^1;1

, bán kính R 2. + Phương trình của

^{D : x 6 2 y 8}

^{2 100Ÿ T có tâm J}

^6;8

, bán kính r 10. Tỉ số của phép đồng dạng là k ^r 5

R .

Câu 7. Cho điểm A và đường thẳng ' không đi qua A. Một điểm M thay đổi trên ^'. Vẽ tam giác AMN vuông cân tại M (các đỉnh của tam giác ghi theo chiều ngược kim đồng hồ). Đi tìm tập hợp các điểm N, một học sinh lập luận qua ba bước như sau:

Bước 1: Từ giả thiết suy ra

^{AM; AN}

^{45o và}

AN 2AM.

d 45^o

I A

H M

N

Ths. Trần Đình Cư-Gv THPT Gia Hội, Huế. SĐT: 01234332133 Page 119 Suy ra N là ảnh của M qua phép đồng dạng gồm hợp của hai phép vịtự ^{V A; 2}

^{và phép}

quay ^{Q A; 45}

^o

^.

Bước 2: Do đó khi M thay đổi trên ' thì tập hợp các điểm N là ảnh đường thẳng d của ' qua đồng dạng trên.

Bước 3: Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên ^', vẽ tam giác vuông cân AHI (hình vẽ); ta thấy d là đường thẳng qua I và tạo với ' một góc 45^o.

Kết luận: tập hợp các điểm N là đường thẳng d.

Hỏi lập luận trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai bắt đầu từ bước nào?

A. Lập luận hoàn toàn đúng. B. Sai từ bước 1.

C. Sai từ bước 2. D. Sai từ bước 3.

Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A.

Câu 8. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A. Hai hình tròn bất kì thì đồng dạng.

B. Hai đa giác đều bất kì có cùng số cạnh thì đồng dạng.

C. Hai elip bất kì thì đồng dạng.

D. Hai parabol bất kì thì đồng dạng.

Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C.

+ Dễ thấy hai câu A và B đều đúng.

+ Hai elip chỉ đồng dạng khi và chỉ khi tỉ số độ dài các trục lớn và tỉ số độ dài các trục nhỏ của hai elip bằng nhau.

+ Hai parabol bất kì thì đồng dạng.

Thật vậy, ta hãy xem cách chứng minh bài toán tổng quát hơn sau đây: “Hai cô-nic có cùng tâm sai thì đồng dạng”.

Ta xét hai cô-nic có cùng tâm sai e:

- Cô-nic (C) có tiêu điểm F, đường chuẩn ^'. - Cô-nic (C’) có tiêu điểm F’, đường chuẩn ''.

Ta có thể thực hiện liên tiếp một phép tịnh tiến và một phép quay (tức là thực hiện một phép dời hình) để biến F’ thành F và biến '' thành '₁ song song với '. Phép dời hình này biến (C’) thành cô-nic C₁ bằng với (C’), C₁ có tâm sai e.

Theo đề bài, ta sẽ chứng minh (C) và C₁ đồng dạng với nhau.

1

K H K1

H1

F M1

M

Ths. Trần Đình Cư-Gv THPT Gia Hội, Huế. SĐT: 01234332133 Page 120 Gọi K và K₁ lần lượt là hình chiếu vuông góc của F trên ^' và ^'₁. Đặt k ^Fk1

Fk . Thực hiện phép vị tự V tâm F tỉ số k, phép vị tự này biến ' thành '₁.

Trên (C) lấy điểm M bất kì, gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên ^'.

Phép vị tự V biến M thành M₁ và H thành H₁, H₁ là hình chiếu vuông góc của M₁ trên '1.

Hai tam giác FMH và FM H_{1 1} đồng dạng cho: ¹

1 1

MF M F

MH M H e.

Do đó M₁ nằm trên cô-nic C₁ . Suy ra phép vị tự V biến (C) thành cô-nic C₁ , nên hai cô-nic (C) và C₁ đồng dạng.

Vậy bài toán được chứng minh.

Trở lại bài toán: Hai parabol bất kì thì đồng dạng vì chúng có cùng tâm sai e 1.

Ths. Trần Đình Cư-Gv THPT Gia Hội, Huế. SĐT: 01234332133 Page 121 ÔN TẬP CHƯƠNG 1

Các câu hỏi trắc nghiệm sau đây đều sử dụng trong mặt phẳng tọa độ Oxy.

Câu 1. Cho đường thẳng d và qua điểm A 3;1 , có vectơ phép tuyến nⁿ

2; 3^{2; 3} . Ảnh d’ của d trong phép tịnh tiến theo vectơ ^vv

^{6; 46;}

có phương trình là:

A. 2x 3y 9 0 . B. 2x 3y 9 0 . C. 2x 3y 9 0 . D. 2x 3y 9 0 . Hướng dẫn giải

ĐÁP ÁN C.

Câu 2. Đường thẳng d qua ^A

^{4; 3}

với vectơ chỉ phương u 1;¹ 2

§ · ¨ ¸

© ¹ u § 1

1 1;1

1 có ảnh d’ trong phép tịnh tiến theo vectơ ^vv

^{1; 21;}

^là:

A. x 2y 10 0 . B. x 2y 10 0 . C. x 2y 8 0 . D. 2x y 8 0 . Hướng dẫn giải

ĐÁP ÁN A.

Câu 3. Phương trình trục đối xứng của ^{Ñ : A}_d ^B, với A 2;1 và ^B

^{2; 3}

là:

A. x y 2 0 . B. x y 2 0 . C. 2x y 2 0 . D. 2x y 2 0 . Hướng dẫn giải

ĐÁP ÁN C.

Câu 4. Cho hai điểm ^A

^{1; 3}

^{và B 5; 3} . Trục đối xứng d của Ñ_d có phương trình:

A. y x 3 1 . B. y x 3 1 . C. x 2. D. y 3. Hướng dẫn giải

ĐÁP ÁN A.

Câu 5. Cho đường thẳng d : x 4y 5 0 . Ảnh của d trong phép tịnh tiến theo ^vv

^{8; 28;}

^là

d’ có phương trình:

A. x 4y 5 0 . B. x 4y 5 0 . C. 2x 3y 6 0 . D. Một phương trình khác.

Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D.

Câu 6. Đường thẳng d : 2x y 2 0 có ảnh qua Ñ_d có phương trình:

A. 2x y 2 0 . B. 2x y 0 0 . C. x 2y 2 0 . D. x 2y 2 0 . Hướng dẫn giải

ĐÁP ÁN B.

Câu 7. Trong phép Ñ_O, ảnh của đường tròn tâm ^{I 3; 2}

, bán kính R 3 có phương trình:

A.

^{x 4}

^{2y2 9. B.}

^{x 4}

^{2y2 9.}

Ths. Trần Đình Cư-Gv THPT Gia Hội, Huế. SĐT: 01234332133 Page 122 C.

^{x 4}

^{2y2 8.} D. Một phương trình khác.

Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A.

Câu 8. Trong phép đối xứng Ñ_O, ảnh của đường tròn có đường kính AB với ^A

^3;1

^và

B 2; 5 có phương trình:

A. x²y² x 4y 13 0 . B. x²y² x 4y 11 0 . C. x²y² x 4y 11 0 . D. x²y² x 4y 11 0 .

Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D.

Câu 9. Ảnh của đường tròn đường kính AB với ^A

^{9; 2}

^{và B 3;6} qua phép đối xứng trục ÑOx có phương trình là:

A. x²y²6x 8y 15 0 . B. x²y²6x 8y 15 0 . C. x²y²6x 8y 15 0 . D. Một phương trình khác.

Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B.

Câu 10. Ảnh của đường tròn C : x² y²8x 2y 5 0 qua Ñ_Oy có phương trình là:

A. x²y²8x 2y 5 0 . B. x²y²8x 2y 5 0 . C. x²y²8x 2y 5 0 . D. x²y²8x 2y 5 0 .

Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A.

Câu 11. Cho phép quay tâm I 1; 2 biến M x; y thành ^{M' x'; y'}

. Điểm bất biến của phép quay có tọa độ là:

A. 2;1 . B.

^2;1

^{. C. 1; 2 . D.}

^{1; 2}

^.

Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C.

Câu 12. Cho hai điểm A 1;0 và B 3;0 . Tìm tâm I của phép quay có góc quay 90^o biến A thành B.

A. I 1; 2 . B. I 2; 2 . C. ^I

^{2; 2}

^{. D. I}

^{1; 2}

^.

Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B.

Câu 13. Cho hai điểm ^{M 2; 2}

^{và N 2; 2} . Tìm tâm của phép quay có góc quay 90^o biến M thành N.

Ths. Trần Đình Cư-Gv THPT Gia Hội, Huế. SĐT: 01234332133 Page 123 A. 0; 0 . B. 4; 0 . C. 0; 4 . D. 4; 4 .

Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B.

Câu 14. Cho phép quay tâm I 2; 0 có góc quay 90^o biến O thành O’ có tọa độ là:

A. ^{O' 2; 2}

. B. O' 2;1 . C. O' 2; 2 . D. ^O'

^{2; 2}

. Hướng dẫn giải

ĐÁP ÁN B.

Câu 15. Phép vị tự tâm A, tỉ số ³

4, biến điểm B thành điểm C, thỏa mãn hệ thức:

A. 4AB 3CA 0AB 3CA 03CA . B. 4CA 3ABCA 3AB. C. 4CA 3CBCA 3CB. D. 4BC 3BABC 3BA. Hướng dẫn giải

ĐÁP ÁN A.

Câu 16. Hệ thức 4OA 5OBOA 5OB biệt thị phép vị tự tâm O, biến điểm A thành điểm B có tỉ số k bằng:

A. ⁵

4. B. ⁵

7. C. ⁴

5. D. ³

5. Hướng dẫn giải

ĐÁP ÁN C.

Câu 17. Nếu có hệ thức IA 2ABIA 2AB thì phép vị tự tâm I biến điểm A thành điểm B có tỉ số k bằng:

A. ²

3. B. ³

2. C. ¹

3. D. Một số khác.

Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B.

Câu 18. Nếu có hệ thức 2AI IBAI IB thì phép vị tự tâm I biến điểm A thành điểm B có tỉ số k bằng:

A. 2. B. ¹

2. C. 2. D. ¹

2 . Hướng dẫn giải

ĐÁP ÁN C.

Câu 19. Phép vị tự tâm O, tỉ số k 2 biến điểm ^M

^{1; 2}

thành điểm M có tọa độ:

A.

^{2; 4}

^{. B.}

^{2; 4}

^{. C.}

^{2; 4}

^{. D. 2; 4 .}

Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B.

Câu 20. Phép vị tự tâm O, tỉ số k 2 biến điểm trực tâm của tam giác ABC với

A 1; 4 , B 4;0 , ^C

^{2; 2}

thành điểm nào sau đây?

Ths. Trần Đình Cư-Gv THPT Gia Hội, Huế. SĐT: 01234332133 Page 124 A. 2; 2 . B.

^{2 2; 2}

^{. C.}

^{2 2; 2}

^{. D.}

^{2; 2 2}

^.

Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B.

Câu 21. Phép vị tự tâm O, tỉ số k 2 biến đường tròn tâm ^{A 1; 4}

, bán kính R 3 thành đường tròn có phương trình:

A. x²y²2x 4y 8 0 . B. x²y²4x 16y 32 0 . C. x²y²2x 4y 8 0 . D. Một phương trình khác.

Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B.

Câu 22. Trong phép tịnh tiến theo vectơ v^v

3; 4^{3; 4 ,} đường tròn C : x²y²4x 6y 3 0 có ảnh là đường tròn:

A. x²y²2x 2y 14 0 . B. x²y²2x 2y 14 0 . C. x²y²2x 2y 14 0 . D. x²y²2x 2y 14 0 .

Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C.

Câu 23. Cho đường tròn C : x²y² 4. Phép đồng dạng f biến (C) thành C' : x²y² 9 có tỉ số đồng dạng bằng:

A. 2. B. 3. C. ³

2. D. ²

3. Hướng dẫn giải

ĐÁP ÁN A.

Câu 24. Phép đồng dạng tâm O, tỉ số k 2, góc 45^o biến đường tròn

2 2

C : x y 2x 1 0 thành đường tròn (C’) có phương trình:

A.

^{x 1 2 y 1}

^{2 3. B.}

^{x 1 2 y 1}

^{2 2.}

C.

^{x 1 2 y 1}

^{2 9. D.}

^{x 1 2 y 1}

^{2 2.}

Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B.

Câu 25. Trong phép đồng dạng tâm I, tỉ số k. Câu nào sau đây đúng?

A. Biến một đường thẳng d thành đường thẳng d’ song song với d.

B. Biến đoạn thẳng AB thành đoạn thẳng A’B’ có độ dài bằng ^AB k . C. Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng.

D. Biến góc D thành góc ^E có số đo bằng kD.

Hướng dẫn giải

Trong tài liệu Phương pháp giải các dạng toán phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng - Trần Đình Cư - TOANMATH.com (Trang 116-125)