Trong tất cả các hình chóp tứ giác đều nội tiếp mặt cầu có bán kính bằng R (cho trước), tính thể tích V của khối chóp có thể tích lớn nhất ?

A.

64 3

81

R  B.

64 3

27

R  C.

16 3

27

R  D.

16 3

81 R 

Lời giải tham khảo

Xét mặt cắt dọc đi qua đỉnh S và chứa đường chéo AC của hình chóp đều S ABCD. . Đặt IO  x chiều cao chóp SO R x OC  R² x².

Do đó AC 2 R² x² AB  2 R² x².

Thể tích chóp 1 ^{2 2}

2.( ).( )

V  3 R x Rx

1 (2 2 ) ( ) ( )

3 R x R x R x

       ^Cauchy1 [(2 2 ) ( ) ( )]³ 64 ³

3 27 81

R x  R x  R x R

   

Suy ra:

3 max

64 81

V  R _khi 2 2

3

R x R  x x R _và 4 3 .

h  R Chọn đáp án A.

 Nhận xét. Các khối nón, khối chóp tứ giác đều, khối chóp tam giác đều nội tiếp mặt cầu có điểm chung là thể tích của chúng lớn nhất khi mặt đáy cách tâm I của mặt cầu 1 khoảng

3

x  R và chiều cao 4 3 h  R

4) (Đề tham khảo TN THPT năm 2021 – Bộ GD & ĐT – Câu 44) Ông Bình làm lan can ban công ngôi nhà của mình bằng tấm kính cường lực. Tấm kính đó là một phần của mặt xung quanh của một hình trụ như hình bên. Biết giá tiền của 1m² kính như trên là 1.500.000 đồng. Hỏi số tiền (làm tròn đến hàng nghìn) mà ông Bình mua tấm kính trên là bao nhiêu ?

A. 23.591.000đồng. B. 36.173.000_{đồng. C.} 9.437.000_{đồng. D.} 4.718.000_đồng.

Lời giải tham khảo Bán kính của đường tròn đáy là 4, 45

4, 45m.

2 sin 150

R  

 Do đó, mép trên của tấm kính bằng 1

6 diện tích xung quanh của hình trụ có chiều cao 1, 35m và bán kính đáy R 4, 45m.

Số tiền cần tìm là 1 6.2

T  Rh 1

2 .4, 45.1, 35.1500000 6 

 9.437.000 đồng. Chọn đáp án C.

Câu 34. Trong tất cả các hình chóp tứ giác đều nội tiếp mặt cầu có thể tích bằng 256 3 ,

 thể tích V của khối chóp có thể tích lớn nhất khi cạnh đáy bằng

A. 4.

B. 16 3  C. 6.

D. 5.

Câu 35. Trong tất cả hình chóp tam giác đều nội tiếp mặt cầu bán kính bằng 6, thể tích lớn nhất của khối chóp bằng

A. 32 3.

B. 64 3.

C. 72 3.

D. 81 3.

Câu 36. Cho khối cầu tâm O bán kính 6. Mặt phẳng ( )P cách O một khoảng x cắt khối cầu theo một hình tròn ( ).C Một khối nón có đỉnh thuộc mặt cầu, đáy là hình tròn ( ).C Biết khối nón có thể tích lớn nhất, khi đó giá trị của x _bằng

A. x 2.

B. x 1.

C. x 3 2.

D. x 6 2.

Câu 37. Người ta làm chiếc thùng phi dạng hình trụ, kín hai đáy, với thể tích theo yêu cầu là 2 m . ³ Hỏi bán kính đáy R và chiều cao h của thùng phi bằng bao nhiêu để khi làm thì tiết kiệm vật liệu nhất ?

A. R2m và 1 2m.

h 

B. R 4m _và ¹m.

h  5

C. 1

2m

R  và h  8m.

D. R 1m và h 2m.

Câu 38. Cho hình trụ có tính chất: Thiết diện của hình trụ và mặt phẳng chứa trục của hình trụ là hình chữ nhật có chu vi là 12 cm. Giá trị lớn nhất của thể tích khối trụ bằng

A. 8 (cm ). ³ B. 16 (cm ). ³ C. 32 (cm ). ³ D. 64 (cm ). ³

Câu 39. Cho mặt cầu ( )S _{bán kính} R  2. Một hình trụ có chiều cao h và bán kính đáy ^r thay đổi nội tiếp mặt cầu. Diện tích xung quanh lớn nhất của khối trụ bằng

A. 2 . B. 4 . C. 6 . D. 8 .

Câu 40. Cho khối cầu ( )S tâm I, bán kính R không đổi. Một khối trụ thay đổi có chiều cao h và bán kính đáy ^r nội tiếp khối cầu. Tính chiều cao h theo R để thể tích của khối trụ lớn nhất ?

A. 2 3

3 h  R 

B. 2

2 h  R 

C. 3

2 h  R 

D. h R 2.

Câu 41. Một khúc gỗ có dạng khối nón có bán kính đáy r 30cm, chiều cao h 120cm. Anh thợ mộc chế tác khúc gỗ đó thành một khúc gỗ có dạng khối trụ như hình vẽ. Gọi V là thể tích lớn nhất của khúc gỗ dạng khối trụ có thể chế tác được. Tính V.

A. 0,16 m . ³ B. 0, 024 m . ³ C. 0, 36 m . ³ D. 0, 016 m . ³

h x

O

Câu 42. Ông An làm lan can ban công của ngôi nhà bằng một miếng kính cường lực. Miếng kính này là một phần của mặt xung quanh của một hình trụ như hình bên. Biết AB 4m, AEB 150

(E là điểm chính giữa cung AB) và DA1, 4m. Giá tiền của 1m² kính này là 2.000.000 đồng. Số tiền (làm tròn) mà ông An phải trả bằng

A. 11.820.000_đồng.

C. 10.840.000_đồng.

B. 10.250.000_đồng.

D. 11.730.000_đồng.

Câu 43. Một bình đựng nước dạng hình nón (không có đáy), đựng đầy nước. Người ta thả vào đó một khối cầu có đường kính bằng một nửa chiều cao của bình nước và đo được thể tích tràn ra là 32 /3(dm ). 3 Biết rằng khối cầu tiếp xúc với tất cả các đường sinh của hình nón và toàn bộ khối cầu chìm trong nước, trong đó mặt nước là tiết diện của khối cầu (hình vẽ bên). Thể tích nước còn lại trong bình bằng

A. 16 ³ (dm ).

3

 B. 32 ³

(dm ).

3

 C. 40 ³

(dm ).

3



D. 64 ³

(dm ).

3



Câu 44. Cho hình nón đỉnh O, chiều cao là h. Một khối nón khác có đỉnh là tâm I của đáy và đáy là một thiết diện song song với đáy của hình nón đã cho. Để thể tích của khối nón đỉnh I _lớn nhất thì chiều cao của khối nón này bằng bao nhiêu ?

A. 2 h 

B. 3 h 

C. 2 3

h 

D. 3 3 h 

Câu 45. Có tấm bìa hình tam giác vuông cân ABC có cạnh huyền BC bằng ^a. Người ta muốn cắt tấm bìa đó thành hình chữ nhật MNPQ rồi cuộn lại thành một hình trụ không đáy như hình vẽ. Diện tích hình chữ nhật bằng bao nhiêu để diện tích xung quanh hình trụ là lớn nhất ? A.

2

2 a 

B.

2

4 a 

C.

2

12 a 

D.

2

8 a 

P

M

K C A

B

H D

Bài mẫu số 19. Một số bài toán cực trị trong Oxyz cơ bản 1) Trong không gian Oxyz, cho điểm 2 3

;3;4 .

A 3  Đường thẳng ( ) qua A tạo với trục Ox _một góc 60 , ( )  cắt mặt phẳng (Oyz) tại điểm B. _Khi OB lớn nhất, đường thẳng ( ) có một véctơ chỉ phương là

A. 3 3 4

; ;

3 5 5

 

 

  

 

 

  B. 3 3 4 3 5; ; 5

 

 

  

 

 

  C. 3 3 4

3 5 5; ;

 

 

 

 

 

  D. 3 3 4

3 5 5; ;

 

 

 

 

 

  Lời giải tham khảo

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên (Oyz).

Suy ra: H(0; 3; 4)OH 5.

Gọi M là tập các giao điểm của đường thẳng ( ) với (Oyz).

Theo đề có MAH60HM AH. tan 60 2.

Từ hình vẽ OB_max OH HB  7 khi M  B.

7 21 28

0; ;

5 5 5

OB OH B 

    

 

Đường thẳng ( ) đi qua A B, nên có 1 VTCP là 3 3 4

2 ; ;

3 5 5 u AB   

 

Chọn đáp án C.

2) Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1;0; 2), ( 3;2; 4), (0;2; 3). B  C Mặt phẳng ( )P thay đổi đi qua C và không cắt đoạn thẳng AB. _Gọi d d₁, ₂ lần lượt là khoảng cách từ A B, đến ( ).P Phương trình mặt cầu ( )S có tâm O, tiếp xúc với ( ),P ứng với d₁d₂ lớn nhất là

A. x² y² z² 6. B. x² y² z² 12. C. ^{2 2 2} 9

x y z  2 _D. ^{2 2 2} 32 x y z  3  Lời giải tham khảo

Gọi M là trung điểm của AB M( 1;1;1). Gọi H K, lần lượt là hình chiếu của A B, lên ( ).P

Khi đó d A P( ,( ))d B P( ,( ))AH BK 2MD 2MC. Suy ra

( ,( )) ( ,( ))max ( ).

d A P d B P D C MC P

      

 

 

Lúc này

( )

Qua (0;2; 3)

( ) : ( ) : 2 8 0.

VTPT : _P (1;1;2)

P C P x y z

n MC

     

  



 

Do đó mặt cầu ^{2 2 2}

3 ( 32

Tâm (0;0; 0) ( ;( )) 4 6

) : ( ) :

S S 3

O

R d O P x y z

     

  

 Chọn đáp án D.

3) (Đề tham khảo – Bộ GD & ĐT năm 2021 – Câu 50) Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2;1; 3) và B(6;5;5). Xét khối nón ( )N có đỉnh A, đường tròn đáy nằm trên mặt cầu đường kính AB. Khi ( )N có thể tích lớn nhất thì mặt phẳng chứa đường tròn đáy của ( )N có phương trình dạng 2x bycz  d 0. Giá trị của b c d _bằng

A. 21. B. 12. C. 18. D. 15.

Lời giải tham khảo Ta có AB  6.

Gọi h r, là chiều cao và bán kính đáy hình nón ( ).N R là bán kính mặt cầu ( )S đường kính AB.

Gọi I là trung điểm AB và H là tâm đường tròn đáy của ( ).N Theo nhận xét của bài mẫu 18 thì 4

maxVⁿ  h 3R

4, 2.

AH BH

   Gọi H x y z( ; ; ), khi đó: 2 14 11 13

; ;

3 3 3 3

AH  AB H  

 

Phương trình mặt phẳng chứa đường tròn đáy của ( )N đi qua H và nhận AB

làm véctơ pháp

tuyến là 14 11 13

2 2 1 0

3 3 3

x y z

     

        

     

     

  

      2x 2y z 210    b c d 18.

4) (Đề tham khảo – Bộ GD & ĐT năm 2019 – Câu 45) Trong không gian Oxyz, cho E(2;1; 3), mặt phẳng ( ) : 2P x 2y  z 3 0 và mặt cầu ( ) : (S x 3)² (y2)² (z 5)² 36. _Gọi  là đường thẳng đi qua E, nằm trong ( )P và cắt ( )S tại hai điểm có khoảng cách nhỏ nhất. Phương trình của  là

A.

2 9

1 9 .

3 8

x t

y t

z t

  

  

  



B.

2 5 1 3 . 3

x t

y t

z

  

  

 



C.

2

1 .

3

x t

y t

z

  

  

 



D.

2 4

1 3 .

3 3

x t

y t

z t

  

  

  



Lời giải tham khảo Mặt cầu ( )S có tâm I(3;2;5) và bán kính R  6.

Mà IE  1² 1² 2²  6 R  điểm E nằm trong ( ).S Gọi H là hình chiếu của I trên mặt phẳng ( ),P

A _và B là hai giao điểm của  _với ( ).S Khi đó, AB _{nhỏ nhất} AB IE.

Suy ra: u_  n EI_P;  (5; 5;0) 5(1; 1;0).

  

Khi đó  _{đi qua} E(2;1; 3) và véctơ chỉ phương u (1; 1;0) ²

: 1 .

3

x t

y t

z

  



    

 

Chọn đáp án C.

Câu 46. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1;2; 1), (3;0; 3). B Biết mặt phẳng ( )P đi qua điểm A và cách B một khoảng lớn nhất. Phương trình mặt phẳng ( )P là

A. x 2y2z  5 0.

B. x  y 2z  3 0.

C. 2x 2y 4z  3 0.

D. 2x  y 2z  0.

Câu 47. Trong không gian Oxyz, phương trình đường thẳng đi qua điểm A(1;1; 1), nằm trong mặt phẳng ( ) : 2P x   y z 0 và cách điểm B(0;2;1) một khoảng lớn nhất là

A. 1 1 1

1 3 1

x y z 

  

B. 1 1 1

2 3 1

x y z 

  

C. 1 1 1

1 3 1

x y z 

  



D. 1 1 1

2 3 2

x  y  z  



Câu 48. Trong không gian Oxyz, cho điểm A(3;3;2 6). Đường thẳng ( ) qua A tạo với trục Oz _một góc 30 , ( )  cắt (Oxy) tại điểm B. Khi OB lớn nhất, đường thẳng ( ) có phương trình là

A. 1 1

1 1 6

x  y  z 

B. 5 5

1 1 6

x y z

  



C. 3 3 2 6

1 1 6

x  y  z  



D. 1 1

1 1 6

x y  z 

Câu 49. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1; 0;0), (3;4; 4).B  Xét khối trụ ( )T có trục là đường thẳng AB và có hai đường tròn đáy nằm trên mặt cầu đường kính AB. Khi ( )T có thể tích lớn nhất, hai đáy của ( )T nằm trên hai mặt phẳng song song lần lượt có phương trình là

1 0

x by cz d  và x by cz d₂  0. Khi đó b  c d₁ d₂ thuộc khoảng nào ? A. (0;21).

B. ( 11; 0). C. ( 29; 18).  D. ( 20; 11). 

Câu 50. Trong không gian Oxyz, cho điểm E(1;1;1), mặt cầu ( ) :S x² y² z²  4 và mặt phẳng ( ) :P x 3y5z  3 0. Gọi  là đường thẳng đi qua E, nằm trong ( )P và cắt mặt cầu ( )S tại hai điểm A B, sao cho tam giác OAB đều. Phương trình của đường thẳng  là

A. 1 1 1

2 1 1

x  y  z 

 

B. 1 1 1

2 1 1

x  y  z  



C. 1 1 1

2 1 1

x y z 

  

D. 1 1 1

2 1 1

x y z

  

 

Trong tài liệu Bộ 20 đề ôn thi THPT 2021 môn Toán – Lê Văn Đoàn - Thư viện tải tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia (Trang 76-83)