ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN QUAN HỆ SONG SONG
Bài 3.2. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AC
§3. ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG
Ạ KIẾN THỨC CẦN NẮM ỊVị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng
Giữa đường thẳng d và mặt phẳng ( )α ta có ba vị trí tương đối như sau:
1. d và ( )α cắt nhau tại M, kì hiệu d∩( )α =
{ }
M2. d song song với( )α , kí hiệu d // ( )α hoặc ( )α // d. Như vậy: Một đường thẳng và một mặt phẳng gọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm chung.
3. d nằm trong ( )α , kí hiệu d⊂( )α IỊĐịnh lí và tính chất
1. Định lí 1. Nếu đường thẳng d không nằm trong mặt phẳng ( )α và d song song với đường thẳng d’
nằm trong ( )α thì d song song với ( )α ; nghĩa là:
d
d d d
d
( )
/ / ' / /( ) ' ( )
α
α α
⊂
⇒
⊂
2. Định lí 2. Cho đường thẳng d song song với mặt phẳng ( )α . Nếu mặt phẳng ( )β chứa d và cắt ( )α theo giao tuyến d’ thì d’ song song với d; nghĩa là
d
d d d
d / /( )
( ) / / '
( ) ( ) ' α
β β α
⊃ ⇒
∩ =
3. Hệ quả 1. Nếu một đường thẳng song song với một mặt phẳng thì nó song song với một đường thẳng nào đó trong mặt phẳng.
4. Hệ quả2. Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với đường thẳng đó; nghĩa là
d
d d d
d ( ) / /
( ) / / / / '
( ) ( ) ' α
β α β
⇒
∩ =
5. Định lí 3. Cho hai đường thẳng chéo nhaụ Có duy nhất một mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kiạ
B. BÀI TẬP Vấn đề 1. Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng
Phương pháp: Để chứng minh đường thẳng d song song với mặt phẳng ( )α ta chứng minh d không nằm trong ( )α và song song với đường thẳng a chứa trong ( )α . Tức là
d
a d
d a ( )
( ) / /( ) / /
α
α α
⊄
⊂ ⇒
Bài 3.1. Cho tứ diện ABCD. G là trọng tâm của tam giác ABD. Trên đoạn BC lấy điểm M sao cho MB = 2MC. Chứng minh rằng MG // (ACD).
HDGiải Gọi I trung điểm của AD.
Trong tam giác CBI ta có, BM BG BC BI
2
= = 3 Nên MG // CI
Mà CI nằm trong mặt phẳng (ACD) Suy ra MG // (ACD).
Hình 3.1
M
G I
C D
B A
a) Xét vị trí tương đối của đường thẳng MN và mp(BCD)
b) Gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng (DMN) và (DBC). Xét vị trí tương đối của d và mp(ABC) HDGiải
a) MN là đường trung bình của tam giác ABC nên MN // BC. Suy ra MN // (BCD) b) Vì MN // (BCD) nên (DMN) đi qua MN
cắt (BCD) theo giao tuyến d // MN. Do đó d // (ABC).
Hình 3.2
N M
d D
B C
A
Bài 3.3. Cho tứ diện ABCD. Gọi G1 và G2 lần lượt là trọng tậm của các tam giác ACD và BCD. Chứng minh rằng G1G2 song song với các mặt phẳng (ABC) và (ABD)
HDGiải Gọi I là trung điểm CD
Vì G1 là trọng tâm của tam giác ACD nên G1∈AI Vì G2 là trọng tâm của tam giác BCD nên G2∈BI
Ta có:
IG
IG IG
IA G G AB
IA IB IG
IB
1
1 2
1 2 2
1
3 / /
1 3
=
⇒ = ⇒
=
AB⊂(ABC)⇒G G1 2/ /(ABC) Và AB⊂(ABD)⇒G G1 2/ /(ABD)
Hình 3.3
G2 G1
I
D
C B
A
Bài 3.4. Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF nằm trong hai mặt phẳng phân biệt. Gọi O là giao điểm của AC và BD, O’ là giao điểm của AE và BF.
a)Chứng minh rằng OO’ song song với hai mặt phẳng (ADF) và (BCE).
b)Gọi M, N lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABD và ABE. Chứng minh rằng MN // (CEF).
HDGiải a)Ta có: OO’ // DF (đường trung bình của tam giác BDF)
Mà DF⊂(ADF)⇒OO'/ /(ADF)
Tương tự OO’ // EC (đường trung bình của tam giác AEC)
Mà EC⊂(BCE)⇒OO'/ /(BCE) b)Gọi I là trung điểm của AB
Vì M là trọng tâm của tam giác ABD nên M∈DI Vì N là trọng tâm của tam giác ABE nên N∈EI Ta có:
IM
IM IN
ID MN DE
ID IE IN
IE 1
3 / /
1 3
=
⇒ = ⇒
=
Mà
CD AB CD AB EF AB EF AB
/ / / /
=
=
Nên CD // EF và CD = EF, suy ra tứ giác CDEF là hbh.
Do vậy: MN DE
MN CEF DE CEF
/ / / /( )
( )
⇒
⊂
Hình 3.4 N
M I
O O'
F E
D C
B
A
Bài 3.5. Cho tứ hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành ABCD. Gọi G là trọng tâm tam giác SAB và I là trung điểm của AB. Lấy điểm M trên đoạn AD sao cho AD = 3AM.
a)Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC)
b)Đường thẳng qua M và song song với AB cắt CI tại N. CMR: NG // (SCD) c)Chứng minh rằng MG // (SCD).
HDGiải a) Dễ thấy S là điểm chung của hai mặt phẳng
(SAD) và (ABC)
Ta có:
AD SAD BC SBC AD BC
SAD SBC Sx AD BC
( )
( )
/ /
( ) ( ) / / / /
⊂
⊂
⇒ ∩ =
b) Ta có: MN // IA //CD AM IN
AD IC 1
⇒ = =3 ; mà IG IS
1
=3( G là trọng tâm của tam giác SAB)
Nên IG IN GN SC
IS IC
1 / /
⇒ = =3⇒
Mà SC⊂(SCD)⇒GN/ /(SCD) c) Gọi K =IM∩CD⇒SK⊂(SCD)
Mà MN CD MN IN IM
CK IC IK
1 1
/ / ⇒ = =3⇒ =3.
Ta có:
IG
IS GM SK
M IK
GM SCD 1
3 / /
I 1
3
/ /( )
=
⇒
=
⇒
N
M
K
D
C B
I A G
S x
Bài 3.6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, đáy lớn AD và AD = 2BC. Gọi O là giao điểm của AC và BD, G là trọng tâm của tam giác SCD.
a)Chứng minh rằng OG // (SBC)
c)Cho M là trung điểm của SD. Chứng minh rằng CM // (SAB) d)Giả sử I nằm trên đoạn SC sao cho SC 3SI
= 2 . Chứng minh rằng SA // (BID).
HDGiải a)Gọi H là trung điểm của SC, ta có: DG
DH 2 (1)
=3
OD OA AD OD
BC AB OD OB
OB OC BC BD
/ / 2 2 2(2)
⇒ = = = ⇒ = ⇒ =3
Từ (1) và (2) DG OD OG BH
DH BD 2 (1) / /
⇒ = = 3 ⇒ . Mà BH⊂(SBC)⇒OG/ /(SBC) b) Gọi M’ là trung điểm của SA
MM AD
MM AD
'/ / ' 1
2
⇒ =
.
Mặt khác vì BC // AD và BC 1AD
= 2 (gt) và BC = MM’. Nên tứ giác BCMM’ là hình bình hành Suy ra CM //BM’, mà BM' (⊂ SAB)⇒CM/ /(SAB)
c) Ta có: OC OA
1
=2 nên OC CA
1
=3. Mặt khác vì SC 3SI
= 2 nên CI CS
1
=3 CI OC
OI SA CS CA / /
⇒ = ⇒ và OI ⊂(BID)⇒SA/ /(BID)
Hình 3.6 H
I G
O B C
A D M' M
S
Bài 3.7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD.
a) Chứng minh rằng MN song song với các mặt phẳng (SBC) và (SAD).
b) Gọi P là trung điểm của SA. Chứng minh rằng SB và SC đều song song với mp (MNP) HDGiải
a)Chứng minh MN //(SBC):
Ta có: MN BC
MN SBC BC SBC
/ / / /( )
( )
⇒
⊂
Chứng minh MN // (SAD):
Ta có: MN AD
MN SAD AD SAD
/ / / /( )
( )
⇒
⊂
b) Chứng minh SB // (MNP):
Ta có: SB MP
SB MNP MP MNP
/ / / /( )
( )
⇒
⊂
Chứng minh S // (MNP):
Gọi Q=AC∩MN. Khi đó Q là trung điểm của AC.
Do đó: SC // PQ (T/c đường trung bình trong tam giác SAC)
mà PQ⊂(MNP). Vậy SC // (MNP)
Hình 3.7 Q N M
P
A D
B C
S