LÝ THUYẾT

 Định nghĩa

 Giả sử hàm số f xác định trên tập K và x₀K. Ta nói:

 x₀ là điểm cực tiểu của hàm số f nếu tồn tại một khoảng

 

^{a b; chứa} x0 sao cho

 

^{a b; Kvà}

   

0 ,

   

; \ 0

f x  f x  x a b x . Khi đó f x

 

0 được gọi là giá trị cực tiểu của hàm sốf .

 x₀ là điểm cực đại của hàm số f nếu tồn tại một khoảng

 

a b; chứa x₀ sao cho

 

a b; Kvà

   

0 ,

   

; \ 0

f x  f x  x a b x . Khi đó f x

 

0 được gọi là giá trị cực đại của hàm số f .

 Điểm cực đại và điểm cực tiểu gọi chung là điểm cực trị.

 Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu gọi chung là cực trị.

 Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị của hàm số và điểm cực trị phải là một điểm trong tập hợp K.

 Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là giá trị cực trị (hay cực trị) của hàm số.

 Nếu x₀ là điểm cực trị của hàm số thì điểm



x f x0;

 

0



được gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm số f .

 Quy tắc tìm cực trị

 Quy tắc 1:

 Bước 1: Tìm tập xác định. Tìm f x

 

.

 Bước 2: Tìm các điểm x_i



i1;2;...



mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0 hoặc hàm số liên tục nhưng không có đạo hàm.

 Bước 3: Lập bảng biến thiên hoặc bảng xét dấu f x

 

. Nếu f x

 

đổi dấu khi đi qua x_i thì hàm số đạt cực trị tại x_i.

 Định lý

 Giả sử y f x

 

có đạo hàm cấp 2 trong khoảng



x h x0 ; 0h



với h0. Khi đó:

 Nếu f x

 

0 0, f x

 

0 0 thì hàm số f đạt cực đại tại x₀.

 Nếu f x

 

0 0, f x

 

0 0 thì hàm số f đạt cực tiểu tại x₀. Từ định lí trên, ta có một quy tắc khác để tìm cực trị của hàm số

 Quy tắc 2:

 Bước 1: Tìm tập xác định. Tìm ^{f x}

 

^.

 Bước 2: Tìm các nghiệm x_i



i1;2;...



của phương trình f x

 

0.

 Bước 3: Tính f x

 

và tính f x

 

_i .

Nếu f x

 

_i 0 thì hàm số f đạt cực đại tại điểm x_i. Nếu f x

 

i ⁰ thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm x_i.

VÍ DỤ MINH HỌA

Chọn B

Ta có hàm số 1 ^{3 2} 3 1

y3x x  x có tập xác định D.

2 2 3

y x   x ; 0 1 3 y x

x

       .

2 2

y  x ; y    

 

3 4 0; y

 

1  4 0. Suy ra hàm số đạt cực tiểu tại điểm x1.

Lời giải Chọn B

Xét hàm số ^{y x 33}



^m1



^{x23 7}



^m3



^{x (1) y3x26}



^m1



^{x3 7}



^m3



^.

Ta có: ^{y 0  x22}



^m1



^{x7m 3 0 (2)}

Hàm số đã cho không có cực trị

 Phương trình y0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép

 ₂ ⁰



^{m 1}



^{2 1. 7}



^{m 3}



⁰

        m²5m 4 0 1 m4. Do m là số nguyên nên m



1; 2 ; 3 ; 4



. Vậy tập S có 4 phần tử.

Lời giải Chọn B

Từ giả thiết, ta có bảng biến thiên của hàm số f x

 

VÍ DỤ 1. Hàm số 1 ^{3 2} 3 1

y3x x  x đạt cực tiểu tại điểm

A. x 1. B. x1. C. x 3. D. x3.

VÍ DỤ 2.Cho hàm số y x ³3



m1



x²3 7



m3



x. Gọi _S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m để hàm số không có cực trị. Số phần tử của S là

A. 2. B. 4. C. 0. D. Vô số.

VÍ DỤ 3. Cho hàm số ^{y f x}

 

có đạo hàm ^{f x}

 

^



^x21

 ^

^x4

^

^{với mọi x} . Hàm số

  

3



g x f x có bao nhiêu điểm cực đại?

A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.

Ta có g x f

  

 3x



 g x

 

 f



3x



. Từ bảng biến thiên của hàm số ^{f x}

 

^{ta có}

 

⁰

g x  ^{ f}



^3x



^{0 }³_{1 3}  ^{  x} _x¹ ₄^^x  ₁^4_{x 2}. Như thế ta có bảng biến thiên của hàm số ^{g x}

 

Từ bảng biến thiên, ta nhận thấy hàm số g x

 

có một điểm cực đại.

Lời giải Chọn B

Gọi đồ thị của hàm số y f x

 

là

 

C .

Đặt ^{g x}

 

^{ f x}

 

^{và gọi}

 

C là đồ thị của hàm số y g x

 

. Đồ thị

 

C được suy ra từ đồ thị

 

^{C như sau:}

Giữ nguyên phần đồ thị của

 

C phía trên _Ox ta được phần I.

Với phần đồ thị của

 

C phía dưới _Ox ta lấy đối xứng qua _Ox, ta được phần II.

Hợp của phần I và phần II ta được

 

C .

Từ cách suy ra đồ thị của

 

^{C từ}

 

^C , kết hợp với bảng biến thiên của hàm số ^{y f x}

 

^{ta có}

bảng biến thiên của hàm số ^{y g x}

 

^{ f x}

 

^{như sau:}

VÍ DỤ 4. Cho hàm số y f x ( ) có bảng biến thiên như sau

Số điểm cực trị của hàm số y f x( ) là

A. 7. B. 5. C. 6. D. 8.

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số y f x( ) có 5 điểm cực trị.

Lời giải Chọn B

Ta có y x  ⁴4 2



m1



x³mx^{2x x2}_ ^{24 2}



^m1



^{x m }_^.

Dễ thấy x0 là một nghiệm của đạo hàm y. Do đó hàm số đạt cực tiểu tại x0 khi và chỉ khi yđổi dấu từ âm sang dương khi đi qua nghiệm x0. Ta thấy dấu của y là dấu của hàm số

 

^{2 4 2}



¹



g x x  m x m . Hàm số ^{g x}

 

đổi dấu khi đi qua giá trị x0khi x0là nghiệm của ^{g x}

 

^{. Khi đó g}

 

^{0 0m0.}

Thử lại, với m0 thì ^{g x}

 

^x24x đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua giá trị x0. Vậy có 1 giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Lời giải Chọn B

Ta có y x ³3mx 2 y3x²3m. Hàm số y x ³3mx2có 2 điểm cực trị

 phương trình y 3x²3m0có hai nghiệm phân biệt m0

 

¹

Ta có: 1 . 2 2

y3x y mx .

Suy ra phương trình đường thẳng  đi qua hai điểm cực đại và cực tiểu là

2 2 2 2 0

y  mx  mx y  

Đường thẳng  cắt đường tròn tâm I

 

1;1 , bán kính R1 tại hai điểm phân biệt A B, VÍ DỤ 5.Cho hàm số ⁵



2 1



^{4 3} 2019

5 3

x m

y  m x  x  . Có bao nhiêu giá trị của tham số mđể hàm số đạt cực tiểu tại x0?

A.Vô số . B.1 . C.2 . D.0 .

VÍ DỤ 6. Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng đi qua điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số

3 3 2

y x  mx cắt đường tròn tâm I

 

1;1 , bán kính R1 tại hai điểm phân biệt A B, sao cho diện tích tam giác IAB đạt giá trị lớn nhất?

A. 1 3

m 2 . B. 2 3

m 2 . C. 2 5

m 2 . D. 2 3

m 3 .



 

^{; 2} ₂ ^{1 1}

4 1

d I R m

m

    



2m 1 4m2 1 4m 0

       luôn đúng do m0 Ta có 1. .IB.sin 1.sin 1

2 2 2

SIAB IA AIB AIB . Dấu bằng xảy ra  sinAIB 1 AIB90. Khi đó tam giác IAB vuông cân tại I có IA1 nên

 

^; ₂²

d I   ²

2

2 1 2 4 8 1 0

4 1 2

m m m

m

       



2 3 m 2

 thỏa mãn đk

 

¹

Vậy diện tích tam giác IAB đạt giá trị lớn nhất khi 2 3 m 2 .

Lời giải Chọn C

Ta có: ^{y x 42}



^m2



^{x23m2; y' 4 x34}



^m2



^{x4x x}



^{2 m 2}



2

' 0 0

2 (1) y x

x m

   

  

Để hàm số có ba điểm cực trị  phương trình y' 0 có ba nghiệm phân biệt

 phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác 0 2  m 0 m2.

Lời giải.

Chọn B

Ta có : ^{( ) 0 ( 1)2}



^{2 4}



^{0 01}

4 x

f x x x x x

x

  

       

 

, trong đó x 1 là nghiệm kép.



²

     

²



( ) 2 12 4 12 2 12

g x  f x  x m g x  x f x  x m Xét ^g

 

^{x  0}



^4x12



^f



^{2x212x m}



^{0 (*)}

   

2 2 2 2

2 2

3 3

2 12 1 ( )

2 12 1

2 12 1

2 12 0

2 12 4 2 12 4 2

x x

x x m l

x x m

x x m

x x m

x x m x x m

   

         

        

       

 

( Điểm cực trị của hàm số ^{g x}

 

là nghiệm bội lẻ của phương trình (*) nên ta loại phương trình 2x212x m  1 ). Xét hàm số y2x²12x có đồ thị (C) có ^{y' 4 x12}

VÍ DỤ 7. Tìm tất cả giá trị của tham số m để hàm số ^{y x 42}



^m2



^x23m2 có ba điểm cực trị.

A. m



2;



. B. m 



2;2



. C. m 



;2



. D. m

 

0;2 .

VÍ DỤ 8.Cho hàm số f x

 

có đạo hàm ^{f x( ) ( x1)2}



^x24x



.Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số ^{g x( ) f x}



^{2 212x m}



có đúng 5 điểm cực trị ?

A. 18. B. 17. C. 16. D. 19.

Ta có bảng biến thiên

Để ^{g x}

 

có đúng 5 điểm cực trị thì mỗi phương trình

   

^{1 ; 2} đều có hai nghiệm phân biệt 3 Do đó, mỗi đường thẳng y 4 m và y m phải cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ khác 3. Nhận xét: đường thẳng y 4 m luôn nằm trên đường thẳng y m .

Ta có:   18 m m18. Vậy có 17 giá trị m nguyên dương .

Lời giải Chọn D

Ta có ^{y x  22 2}



^m1



^{x 8 m.}

Vì ^{f x}

 

là hàm chẵn



^dof

   

^{ x f x}



, nên đồ thị hàm ^{f x}

 

đối xứng qua trục Oy. Do đó, khi hàm ^{f x}

 

có hai cực trị dương thì hàm ^{f x}

 

sẽ có thêm hai cực trị đối xứng qua trục Oyvà một cực trị còn lại chính là giao điểm của đồ thị hàm ^{f x}

 

^{và trục Oy.}

Yêu cầu bài toán tương đương với phương trình y 0có 2 nghiệm dương phân biệt.

Điều kiện tương đương là



2 1

 

² 8



0 ^{4 2 3 7 0}

0 1

0 2 1 0

0 8 0 82

m m

m m

S m m

P m m

   

    

   

      

  

     

   

1 7

1 4 7 ;8

2 4

8

m m

m m

m

    



 

    

 

 



. Vậy 7

a4, b8 và a b. 14.

VÍ DỤ 9. Cho hàm số ^{y f x}

 

^1₃^x3



^2m1



^x2



^{8m x}



^{2 với m}. Tập hợp tất cả các giá trị của mđể hàm số ^{y f x}

 

có 5 cực trị là khoảng

 

^{a b; . Tích a b. bằng}

A. 12. B. 16. C. 10. D. 14.

Câu 1: Cho hàm số y f x^

 

có đạo hàm trên  là f x^

  

^ x^2018



x^2019



x^2020



⁴. Hàm số đã cho có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 2. B. 1. C. 4. D. 3.

Câu 2: Hàm số  1 ³ ²3 1

y 3x x x đạt cực tiểu tại điểm

A. x 1. B. x1. C. x 3. D. x3.

Câu 3: Cho hàm số ^{f x}

 

có đạo hàm f x'

  

^ x^1

 

² x^3 2

 

³ x^3 ,



^{ }x . Số cực trị của hàm số đã cho là

A. 1. B. 2. C. 0. D. 3.

Câu 4: Cho hàm số ^{f x}

 

^{có f x}

 

^{x x2}



^1



^x2



⁵. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là

A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.

Câu 5: Hàm số y2x x³ ²5 có điểm cực đại là A. 1

x 3. B. x0. C. M

 

0;5 . D. y5. Câu 6: Cho hàm số ^{f x}

 

^{có f x}

  

^{x x1}



^x2



². Số điểm cực trị của hàm số đã cho là

A. 2. B. 3. C. 4. D. 1.

Câu 7: Hàm số  

 2 5

1 y x

x có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 3. B. 0. C. 2. D. 1.

Câu 8: Đồ thị hàm số y x ³3x²9x1 có hai điểm cực trị A và B. Điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng AB?

A. M



0; 1^



. B. Q



^1;10



. C. P

 

1;0 . D. N



1; 10^



. Câu 9: Số nào sau đây là điểm cực đại của hàm số y x ⁴2x x³ ²2.

A. 1

2 . B. 1. C. 0. D. 2.

Câu 10: Cho y f x^

 

có đạo hàm f x'

 

^(x^2)(x^3)². Khi đó số cực trị của hàm số y f x^



2 ^1



là

A. 0. B. 2. C. 1. D. 3.

Câu 11: Cho hàm số y x ⁴2x²1. Xét các mệnh đề sau đây

1) Hàm số có 3 điểm cực trị; 2) Hàm số đồng biến trên các khoảng



^1;0



;



1;^



3) Hàm số có 1 điểm cực trị; 4) Hàm số nghịch biến trên các khoảng



^{ }; 1



;

 

0;1 Có bao nhiêu mệnh đề đúng trong bốn mệnh đề trên?

A. 2. B. 1. C. 4. D. 3.

Câu 12: Hàm số f x

 

^C⁰2019^C x C x¹2019 ^ 2019^{2 2 }... C x2019^{2019 2019} có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 0. B. 2018. C. 1. D. 2019.

Câu 13: Cho hàm số y x ³3x2. Tọa độ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là

A.



^2;0



^{. B.}



^1;4



^{. C.}

 

^{0;1 . D.}

 

^{1;0 .}

Câu 14: Cho hàm số f x( ) 1 C x C x₁₀¹  ₁₀^{2 2} ... C x^{10 10}₁₀ . Số điểm cực trị của hàm số đã cho bằng

A. 10. B. 0. C. 9. D. 1.

Câu 15: Cho hàm số y f x^

 

có đạo hàm ^{f x}

 

^{x x2}



^1



^{x2 3 1}

 

^x



^{, x }. Số điểm cực trị của hàm số đã cho bằng

A. 2. B. 1. C. 3. D. 4.

Câu 16: Cho hàm số f x

 

có đạo hàm ^{f x}

 

^



^x29



^x23x



^{2,  x . Gọi T} là giá trị cực đại của hàm số đã cho. Chọn khẳng định đúng.

A. T f^

 

0 . B. T f^

 

9 . C. T f^

 

^3 . D. T f^

 

3 .

Câu 17: Cho hàm số ^{f x}

 

có đạo hàm ^{f x}

 

^



^x29



^x23x



^{2,  x . Gọi T} là giá trị cực đại của hàm số đã cho. Chọn khẳng định đúng.

A. T f^

 

0 . B. T f^

 

9 . C. T f^

 

^3 . D. T f^

 

3 .

Câu 18: Gọi A , B , C là các điểm cực trị của đồ thị hàm số y x ⁴2x²4. Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC bằng

A. 2 1 . B. 2. C. 2 1.  D. 1.

Câu 19: Cho hàm số y x ⁴2x²1 có đồ thị

 

^{C .} Biết rằng đồ thị

 

^C có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác, gọi là ABC. Tính diện tích ABC.

A. S2. B. S1. C. 1

S 2. D. S4.

Câu 20: Cho hàm số y x^{ 3}3



m^1



x^23 7



m^3



x. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số _m để hàm số không có cực trị. Số phần tử của S là

A. 2. B. 4. C. 0. D. Vô số.

Câu 21: Cho hàm số y f x ( ) có đúng ba điểm cực trị là  2; 1; 0 và có đạo hàm liên tục trên . Khi đó hàm số y f x ( ²2 )x có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 6. B. 4. C. 5. D. 3.

Câu 22: Cho hàm số f x( )x x²( 1)e^3x có một nguyên hàm là hàm số F x( ). Số điểm cực trị của hàm số ( )

F x là

A. 1. B. 2. C. 3. D. 0.

Câu 23: Số điểm cực trị của hàm số  sin  4

y x x , ^{x }



^{ ;}



^là

A. 2. B. 4. C. 3. D. 5.

Câu 24: Biết phương trình ax bx cx d³ ²  0



^a0



có đúng hai nghiệm thực. Hỏi đồ thị hàm số

 ³ ² 

y ax bx cx d có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 4. B. 5. C. 2. D. 3. Câu 25: Số điểm cực trị của hàm số

 

^



_

2

2 2

2 d 1

x

x

f x t t

t là

A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.

Câu 26: Cho hàm số f x ax bx cx d( ) ³ ²  có đồ thị như hình vẽ bên. Số điểm cực trị của hàm số

 ( 2 ²4 ) y f x x là.

A. 3. B. 4. C. 2. D. 5.

Câu 27: Biết rằng đồ thị hàm số 1 ²3 1 y 2x x

x có ba điểm cực trị thuộc một đường tròn

 

^{C . Bán}

kính của

 

^C gần đúng với giá trị nào dưới đây?

A. _12,4. B. _6,4. C. _4,4. D. 27.

Câu 28: Cho hàm số ^{y f x}

 

có đạo hàm ^{f x}

  

^{ 3x x}

 

^{2 1 2 ,}



^{x x } . Hỏi hàm số

 

   ²1

y f x x có bao nhiêu điểm cực tiểu.

A. 2. B. 3. C. 4. D. 1.

Câu 29: Cho hàm số  

 y ax b

cx dcó đồ thị như hình vẽ. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

A. Hàm số y ax bx cx d ³ ²  có hai điểm cực trị trái dấu.

B. Đồ thị hàm số y ax bx cx d ³ ²  cắt trục tung tại điểm có tung độ dương.

C. Đồ thị hàm số y ax bx cx d ³ ²  có hai điểm cực trị nằm bên phải trục tung.

D. Tâm đối xứng của đồ thị hàm số y ax bx cx d ³ ²  nằm bên trái trục tung.

Câu 30: Cho hàm số f x

 

^ax^4bx^2c với a0, c2018 và a b c  2018. Số điểm cực trị của hàm số ^{y f x}

 

^{2018 là}

A. 1. B. 3. C. 5. D. 7.

Câu 31: Hàm số

 

^{ }

21

f x x m

x có nhiều nhất bao nhiêu điểm cực trị?

A. 2. B. 3. C. 5. D. 4.

Câu 32: Cho hàm số ^{y f x}

 

có đạo hàm ^{f x}

 

^



^x21

 ^

^x4

^

^{với mọi x} . Hàm số

  

^ 3^



g x f x có bao nhiêu điểm cực đại?

A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.

Câu 33: Cho hàm số y f x ( ) có đạo hàm liên tục trên  và bảng xét dấu đạo hàm

Hàm số y3 (f x ⁴ 4x² 6) 2x⁶3x⁴12x² có tất cả bao nhiêu điểm cực tiểu?

A. 3. B. 0. C. 1. D. 2.

Câu 1: Chọn A

Tập xác định: D. Ta có: ^

 

^{  }_ ^

  2018

0 2019

2020 x

f x x

x

. Bảng xét dấu của f x^

 

:

Dựa vào bảng xét dấu của f x^

 

ta thấy f x^

 

đổi dấu qua hai điểm x2018;x2019 nên hàm số đã cho có hai điểm cực trị.

Câu 2: Chọn B

Ta có hàm số 1 ³ ²3 1

y 3x x x có tập xác định D.

  ²2 3

y x x ;  

      0 1

3 y x

x ; y 2x2; y^{    }

 

3 4 0; y^

 

1 ^{ }4 0. Suy ra hàm số đạt cực tiểu tại điểm x1.

Câu 3: Chọn B

Ta có ^{f x'}

 

đổi dấu khi qua các giá trị x3 và 

 3

x 2 nên hàm số có 2 cực trị.

Câu 4: Chọn B

Xét phương trình ^{f x}

 

^{0  }_ ^

  

 0 1 2 x x x Ta có bảng xét dấu sau:

Dễ thấy f x^

 

đổi dấu khi qua x 2 và f x^

 

đổi dấu khi qua x1 nên hàm số có 2 điểm cực trị.

Câu 5: Chọn B

Ta có y6x²2 ,x y12x2.;

 

  

 

0 01. 3 y x

x

 

 0     2 0 0

y x là điểm cực đại của hàm số y2x x³ ²5.

Chú ý: phân biệt điểm cực đại của hàm số là x_cđ, còn điểm cực đại của đồ thị hàm số là



x y_cđ; _cđ



. Câu 6: Chọn A

Ta có ^

 

^{  }_ ^

  

 0

0 1 .

2 x

f x x

x

Nhận thấy



x^2



^{2    }0 x 2 ^ f x^

 

không đổi dấu khi qua nghiệm x 2 nên x 2 không phải là điểm cực trị hàm số.

Ngoài ra ^{f x'}

 

cùng dấu với tam thức bậc hai ^{x x}



^{ 1}



^x2x nên suy ra x0;x1 là hai điểm cực trị của hàm số.

Câu 7: Chọn B

Tập xác định D^\ 1

 

^ . Ta có

 

   

 ²

3 0

y 1

x  x D. Do y^ không đổi dấu nên hàm số không có cực trị.

Câu 8: Chọn D

Cách 1: Xét hàm số y f x^

 

^x^33x^29x^1, f x^

 

^3x^26x^9. Ta có

 

^_ ^{  }_

 

^{ }

 

1 1 . 8 2

3 3

f x x f x x .

Đồ thị hàm số f x

 

có hai điểm cực trị A và B nên f x^

 

_A ^ f x^

 

_B ^0.

Suy ra

 

 

    



   



8 2

8 2

A A A

B B B

y f x x

y f x x

Do đó phương trình đường thẳng AB là y  8x 2. Khi đó ta có N



1; 10^



thuộc đường thẳng AB. Cách 2: Xét hàm số y f x^

 

^x^33x^29x^1,

 

 3 ²6 9

f x x x . f x^

 

^{ }0 3x^26x^{ }9 0  

    3

1 x x .

Suy ra tọa độ hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là A



3; 26^



và B



1;6



. Ta có ^{AB}



^4;32



cùng phương với ^u



^1;8



^.

Phương trình đường thẳng AB đi qua B



^1;6



và nhận ^u



^1;8



làm vecto chỉ phương là

 

   

   

 1 

6 8

x t

y t t

Khi đó ta có N



1; 10^



thuộc đường thẳng AB. Câu 9: Chọn A

Tập xác định : D.

Ta có y 4x³6x²2x;

 

 

       

 



2

0

0 2 2 3 1 0 1

1 2 x

y x x x x

x .

Bảng biến thiên :

Từ bảng biến thiên ta có điểm cực đại của hàm số đã cho là 1 x 2. Câu 10: Chọn C

       

2. 2 1 2 2  1 2 2  1 3 ² 2 2 1 2 2 ²

y f x x x x x .

 

  

 

0 12

1 y x

x

. Nên hàm số có một cực trị.

Câu 11: Chọn D

   

       

    



3

0 1

' 4 4 ' 0 1 0

1 0

x y

y x x y x y

x y

Bảng xét dấu:

Hàm số có 3 điểm cực trị, đồng biến trên khoảng



^1;0



^;



^1;



và nghịch biến trên khoảng



^{ }; 1



;

 

0;1 . Vậy mệnh đề 1, 2, 4 đúng.

Câu 12: Chọn A

Ta có: f x

 

^C2019^{0 }C x C x2019^{1 } 2019^{2 2 }... C x2019^{2019 2019  }



1 x



²⁰¹⁹

 

 f x' 2019.(1x)^2018 f x'

 

^{   }0 x 1

Vì x 1 là nghiệm bội chẵn nên x 1 không phải là điểm cực trị của hàm số.

Câu 13: Chọn D

Ta có:  

        

2 2 1

' 3 3 0 1

1

y x x x

x ; ^{y'' 6 xy'' 1}

 

^{ 6 0; '' 1y}

 

^{   6 0}_.

Vậy điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là

 

^{1;0 .}

Câu 14: Chọn D

Áp dụng khai triển nhị thức Niu tơn, ta có:

 

  ₁₀¹  ₁₀^{2 2}  ₁₀^{10 10}   ¹⁰    ⁹

( ) 1 ... (1 ) '( ) 10 1

f x C x C x C x x f x x

Bảng biến thiên

Vậy hàm số đã cho có duy nhất một điểm cực trị x 1. Câu 15: Chọn C

Ta có: ^{f x}

 

^{0 x x2}



^1



^{x2 3 1 0}

 

^{x }



^{ } ^

  0 1 2 x x x

. Vậy hàm số đã cho có 3 điểm cực trị.

Câu 16: Chọn C

Ta có f x^

 

^0 ^



^x29



^x23x



^{2 0 x x2}

^

^3

^{ }

^{3 x3}

^

^0  ^{  }  3 0 x x . Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta có giá trị cực đại của hàm số là T f^

 

3 . Câu 17: Chọn C

Ta có ^{f x}

 

^{0 }



^x29



^x23x



^{2 0 x x2}

^

^3

^{ }

^{3 x3}

^

^0  ^{  }  3 0 x x . Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta có giá trị cực đại của hàm số là ^{T f}

 

^{3 .}

Câu 18: Chọn C

Cách 1:

Ta có y' 4 x³4x. Khi đó  

      0 0

1 y x

x .

Suy ra đồ thị hàm số y x ⁴2x²4 có ba điểm cực trị là A

 

0;4 , B

 

1;3 và C



1;3



. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC, ta có    

BC.IA AC IB AB IC. . 0. Mà AB AC  2 và BC2 nên suy ra   

 

  

 

4 3 2 0; 1 2

I .

Phương trình đường thẳng BC là y3.

Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC là r d I BC ( , ) 2 1 . Cách 2:

Áp dụng công thức tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC ta có:

  

S^ABC  (p a p b p c)( )( )  2 1

r p p

trong đó  2;     2 ;    2 a b c

a BC b c AB AC p

Cách 3:

Áp dụng công thức tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC ta có:

(  )tan  2 1 2

r p a A với      

  

3 0

3

( 2) 8.1

cos 0 A 90

( 2) 8 1

A .

Câu 19: Chọn B

Ta có  

      

3 0

4 4 ; 0

1 y x x y x

x

Tọa độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số là: ^A

 

^{0;1 , B}



^1;0



^{, C}

 

^1;0

   

    

 

1; 1 ; 1; 1

AB AC   

 



 

. 0

2. AB AC AB AC

Suy ra ABC vuông cân tại A do đó 1 . 1.

S 2AB AC Câu 20: Chọn B

Xét hàm số y x^{ 3}3



m^1



x^23 7



m^3



x ^ y^3x^26



m^1



x^3 7



m^3



. Ta có: y^{ }0 ^ x^22



m^1



x^7m^{ }3 0 . Hàm số đã cho không có cực trị

 Phương trình y0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép

 

   



   ₂ 0 m1 ²1. 7m3 0 m²5m 4 0 1 m4.

Do m là số nguyên nên m^



1; 2 ; 3 ; 4



. Vậy tập _S có 4 phần tử.

Câu 21: Chọn D

Do hàm số y f x ( ) có đúng ba điểm cực trị là  2; 1; 0 và có đạo hàm liên tục trên  nên

( ) 0

f x có ba nghiệm là x 2;x 1;x0.

Đặt g x

 

^ f x( ^22 )x ^g x^

  

^ 2x^2 . (



f x^{ 2}2 )x . Vì f(x) liên tục trên  nên g x( ) cũng liên tục trên . Do đó những điểm g x( ) có thể đổi dấu thuộc tập các điểm thỏa mãn

  

     

  

    

  

  



2 2 2

2 2 0 2 2 1

2 1 02

2 0

x x

x x

x x xx

x x

.

Ba nghiệm trên đều là nghiệm đơn hoặc bội lẻ nên hàm số g x( ) có ba điểm cực trị.

Câu 22: Chọn A

Hàm số ^{f x}

 

có TXĐ là , có một nguyên hàm là hàm số ^{F x}

 

^{ F x'( ) f x( ),  }x  nên

( ) 0  ( ) 0  ²( 1) ^3x0

F x f x x x e  

   0 1 x x . Ta có bảng xét dấu F x( ) như sau

Dựa vào bảng trên, ta thấy hàm số F x( ) có một điểm cực trị.

Câu 23: Chọn D

Xét hàm số ^{y f x}

 

^sinx₄^{x với x }



^{ ;}



^.

Ta có ^{f x}

 

^cosx1₄^.

 





    

  

 

    

   

  

 



1

2

2;0 0 cos 1

4 0;

2 x x

f x x

x x

.

 

1 ^sin 1^{ 1  } 15^{ 1  } 15 ^{ } 0

4 4 4 4 8

x x

f x x .

 

2 ^ 2^{ 2   2   }

15 15

sin 0

4 4 4 4 8

x x

f x x .

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số có hai điểm cực trị và đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt khác x x₁, ₂. Suy ra hàm số  sin 

4

y x x , với ^{x }



^{ ;}



^{có 5} điểm cực trị.

Câu 24: Chọn D

Phương trình ax bx cx d³ ²  0 , a0 là sự tương giao của đồ thị hàm số

   

3 2 0

ax bx cx d , a0 và trục hoành.

Do phương trình ax bx cx d³ ²  0 , a0 có đúng hai nghiệm thực nên phương trình

   

3 2 0

ax bx cx d có thể viết dưới dạng a x x



^ 1

 

² x x^ 2



^0 với x x₁, ₂ là hai nghiệm thực của phương trình . Khi đó đồ thị hàm số ^{y ax 3bx2cx d a}



^0



tiếp xúc trục hoành tại điểm có hoành độ x₁ và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ x₂.

Đồ thị hàm số y ax^{ 3}bx^2cx d a^



^0



ứng với từng trường hợp a0 và a0:

Đồ thị hàm số y ax bx cx d a^{ 3 2 }



^0



tương ứng là

Vậy đồ thị hàm số y ax bx cx d a^{ 3 2 }



^0



có tất cả 3 điểm cực trị.

Câu 25: Chọn D

Gọi F t

 

là nguyên hàm của hàm số 

 ² 2 1 y t

t .

Khi đó: ^{f x}

   

^{F t} ₂^x2_x^{F x}

 

^{2 F x}

^{ }

^{2  f x}

 

^{2 .x F x}

 

^{2 2 2F x}

^{ }

 

 

2

4 2

2 4

2 . 2.

1 1 4

x x

x x x ^{ }

 

^



^{ }



^



5 3

4 2

8 4 8

1 1 4

x x x

f x x x .

 

  0 8 ⁵4 ³8 0

f x x x x ^{4 2x x}



^4x22



^0

 



 

 

     

    

 

    

      

 

2 1

2

2

0 0

1 17 1 17

4 2

1 17 0 1 17

4 2

x x

x x x

x x x

.

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên suy ra: Hàm số có 3 điểm cực trị.

Câu 26: Chọn D

Quan sát đồ thị f x( ) , ta thấy hàm số có hai điểm cực trị x 2;x0 vì vậy

 ²  '( ) 3 2

f x ax bx c có hai nghiệm x 2;x0nên f x'( ) 3 ( a x2)x. Ta có:

 

             

       

2 2 2

2 2

' ( 2 4 ) ' ( 4 4) '( 2 2 ) ( 4 4)( 2 4 ) 3 ( 4 4)( 2 4 )( 2 4 2)

y f x x x f x x x x x

a x x x x x .

y' 48 (ax x2)(x1)(x²2x1).

 





  

  

  

 0 1

' 0 2

1 2 1 2 x

x

y x

x x

và dấu của y'đổi khi _xqua mỗi nghiệm trên.

Vậy hàm số đã cho có 5 điểm cực trị.

Câu 27: Chọn B

TXĐ: D^{ }



;0

 

^ 0;^{ }



 

   3 1₂ x³ 3₂x² 1

y x x x

 

       

  



1

3 2

2 3

2,8794

0 3 1 0 0,6527

0,5321 x

y x x x

x

.

 Tọa độ các điểm cực trị: A^



2,879; 4,84 ,^



B^



0,653; 3,277 ,^



C^{ }



0,532;3,617



. Gọi

 

^{C x: 2y22ax2by c 0}

 

¹ là đường tròn đi qua ba điểm cực trị.

Thay tọa độ ba điểm A B C, , vào

 

¹ ta được hệ phương trình 3 ẩn sau:

   

   

   



5,758 9,68 31,71 1,306 6,554 11,17

1,064 7,234 13,37

a b c

a b c

a b c

 

 

  



5,374 1,0833

11,25 a

b c

 R a b c² ²  41,3 6,4 Câu 28: Chọn D

Ta có f x^

 

^{  }x³ 3x^23x^3 ^y^ f x^

 

^2x^3x^24x^3.

   0 2 13

y x 3 ;

   6 4

y x ;     

 

2 13 2 13 0

y 3 ;    

 

2 13 2 13 0 y 3

Suy ra hàm số có 1 điểm cực tiểu.

Câu 29: Chọn A

Từ đồ thị ta có:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   

 

 

   

 

 

   

 

     

 

 

 

0 0 1

0 0 2

0 0 3

0 0 4

. . 0 . . 0 5

a a

c c

d d

c c

b b

d d

b b

a a

a d b c a d b c

A. Hàm số y ax bx cx d ³ ²  có hai điểm cực trị trái dấu

y' 3 ax²2bx c có hai nghiệm trái dấu3 .a c 0 a c. 0. Đúng với

 

¹

B. Đồ thị hàm số y ax bx cx d ³ ²  cắt trục tung tại điểm có tung độ dương.

Sai Suy ra d0Chưa đủ để kết luận d0

c vì ở đây c0 hoặc c0 ví dụ như hàm số

  

 

  

2 ; 2

3 5 3 5

x x

y y

x x rõ ràng   

2 2 0 5 5 .

C. Đồ thị hàm số y ax bx cx d ³ ²  có hai điểm cực trị nằm bên phải trục tung.

Sai vì

 

   

 

 

 

    

 

   

 

 

' '

' 0 ' 0

2 0 0

3

0 0

3

y y

b b

a a

c c

a a

Trái với

 

¹

D. Tâm đối xứng của đồ thị hàm số y ax bx cx d ³ ²  nằm bên trái trục tung.

Sai vì

Hoành độ tâm đối xứng là nghiệm của '' 0    3

y x b

a

Yêu cầu của đề hoành độ tâm đối xứng âm nên   0 0 3

b b

a a Trái với

 

3 Câu 30: Chọn D

Xét hàm số ^{g x}

   

^{ f x 2018ax4bx2 c 2018.}

Ta có

   

   

 

     

 

0 0

2018 0

2018 2018

a a

c b

a b c c

a b. 0  hàm số ^{y g x}

 

là hàm trùng phương có 3 điểm cực trị.

Mà ^g

 

^{0  c 2018g}

 

^{0 0,} g

 

^{1    }a b c ^{2018 0 }g x

   

CT ^g ^{1 0 }đồ thị hàm số

 

y g x cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt.

Đồ thị hàm số ^{y g x}

 

có dáng điệu như sau

Từ đồ thị ^{y g x}

 

, ta giữ nguyên phần phía trên trục Ox, phần dưới trục Ox ta lấy đối xứng qua trục _Ox, ta được đồ thị hàm số ^{y g x}

 

^.

Từ đó ta nhận thấy đồ thị ^{y g x}

 

có 7 điểm cực trị.

Câu 31: Chọn D

Xét hàm số ^{g x}

 

^_x2^x_1^{m, TXĐ:} .

Ta có

 



^



 



2 2 2

1 1 g x x

x ; ^

 

  ^{ }   0 1

1 g x x

x . Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta có hàm số ^{y g x}

 

luôn có hai điểm cực trị.

Xét phương trình ^{g x}

 

^{0 } _x2^x_1^{  m 0 mx x m2  0}, phương trình này có nhiều nhất hai nghiệm.

Vậy hàm số ^{f x}

 

có nhiều nhất bốn điểm cực trị.

Câu 32: Chọn B

Từ giả thiết, ta có bảng biến thiên của hàm số ^{f x}

 

Ta có ^{g x}

  

^{f 3x}



^{ g x}

 

^f



^3x



^.

Từ bảng biến thiên của hàm số ^{f x}

 

^{ta có}

 

 0

g x ^{ f}



^3x



^{0 }   ^{   }  ^

3 1 4

1 3 4 1 2

x x

x x .

Như thế ta có bảng biến thiên của hàm số ^{g x}

 

Từ bảng biến thiên, ta nhận thấy hàm số ^{g x}

 

có một điểm cực đại.

Câu 33: Chọn D

Có y (12x³24 ). (x f x  ⁴ 4x² 6) 12x⁵12x³24x

Trong tài liệu Nắm trọn chuyên đề hàm số - Học Tập Trực Tuyến Cấp 1,2,3 - Hoc Online 247 (Trang 133-200)