Một số bài toán liên quan

 Kết luận phương trình mặt cầu.

B – BÀI TẬP

Câu 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, mặt cầu

  

^{S : x2}



^2



^y1



^{2z2 4 có tâm I và}

bán kính R lần lượt là

A. ^I



^{2; 1;0 ,}



^{R4. B. I}



^{2; 1;0 ,}



^{R2. C. I}



^{2;1;0 ,}



^{R2. D. I}



^{2;1;0 ,}



^R4

.

Hướng dẫn giải Chọn C

Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tìm tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu

  

^{S : x1}



^2y2



^z1



^{2 4.}

A. ^I



^{1;0;1 ,}



^{R2. B. I}



^{1;0; 1 ,}



^R4.

C. ^I



^{1;0; 1 ,}



^{R2. D. I}



^{1;0;1 ,}



^R4.

Hướng dẫn giải Chọn C

Tọa độ tâm ^I



^{1;0; 1}



và bán kính R2.

Câu 3: Trong không gian Oxyz, mặt cầu



^x1



^2



^y2



^2



^z3



^{2 4} có tâm và bán kính lần lượt là A. ^I



^{1; 2; 3}



^{; R2. B. I}



^{1; 2; 3}



^{; R4.}

C. ^I



^{ 1; 2;3}



^{; R4. D. I}



^{ 1; 2;3}



^{; R2.}

Hướng dẫn giải Chọn A Câu 4: Phương trình mặt cầu tâm ^I



^{1;2; 3}



^{bán kính R2 là:}

A.



^x1



^2



^y2



^2



^z3



^{2 22. B. x2y2 z22x4y6z100.}

C.



^x1



^2



^y2



^2



^z3



^{22. D. x2 y2z22x4y6z100.}

Hướng dẫn giải Chọn A

2 2 2

R a b c d

     4; ^I



^{1;2; 2}



^.

Câu 5: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu

 

^S có phương trình:



^x1



^2



^y2



^2



^z3



^{2 4}. Tìm toạ độ tâm I và bán kính R của

 

^{S .}

A. I( 1; 2; 3)  và R4. B. I(1; 2; 3) và R2. C. I( 1; 2; 3)  và R2. D. I(1; 2; 3) và R4.

Hướng dẫn giải Chọn B

Câu 6: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho hai điểm ^M



^{6; 2; 5}



^{, N}



^4;0;7



. Viết phương trình mặt cầu đường kính MN?

A.



^x1



^{2 }



^y1



^2



^z1



^{2 62. B.}



^x5



^2



^y1



^2



^z6



^{2 62.}

C.



^x1



^{2 }



^y1



^2



^z1



^{2 62. D.}



^x5



^{2 }



^y1



^2



^z6



^{2 62.}

Hướng dẫn giải

Chọn C

Tâm của mặt cầu là trung điểm của MN, ta có.

Bán kính mặt cầu: rIM  62.

Phương trình mặt cầu là



^x1



^2



^y1



^2



^z1



^{2 62.}

Câu 7: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu

 

^{S :x2 y2z2x2y 1 0. Tâm I} và bán kính R của

 

^{S là}

A. 1

;1; 0 I2 

 

  và 1

R2 B. 1

; 1; 0 I2 

  

  và 1 R 2

C. 1

; 1; 0 I2 

  

  và 1

R2 D. 1

;1; 0 I 2 

 

  và 1 R4 Hướng dẫn giải

Chọn A

Phương trình mặt cầu

 

^{S có dạng x2y2z22ax2by2czd0 với}

2 1

2 2

2 0

1 a b c d

 



  



 



 

1 2 1 0 1 a b c d

  



 

 

 

 



.

Do đó

 

^{S có tâm 1;1; 0}

I2 

 

  và bán kính R a²b²c²d

2

1 2 1

1 1

2 2

 

     

  .

Câu 8: Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt cầu

 

^{S :x2y2z22x4y2z0}, toạ độ tâm I và bán kính R của mặt cầu

 

^{S là.}

A. ^I



^{1; 2;1 ,}



^{R 6. B. I}



^{1; 2;1 ,}



^R6.

C. ^I



^{1; 2; 1 ,}



^{R 6. D. I}



^{1; 2; 1 ,}



^R6.

Hướng dẫn giải Chọn C

Ta có ^{x2y2z2 2x4y2z0}



^x1



^2



^y2



^2



^z1



^{2 6}

Do đó mặt cầu

 

^{S có tâm I}



^{1;2; 1}



và bán kính R 6.

Câu 9: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu

 

^{S :x2 y2z24x2y6z 5 0. Mặt cầu}

 

^{S có bán}

kính là

A. 3 . B. 5 . C. 2 . D. 7 .

Hướng dẫn giải Chọn A

Mặt cầu

 

^{S có tâm I}



^{2;1; 3}



và bán kính ^R

 

^{2 212 }

 

^{3 253.}

Câu 10: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu

 

^S có phương trình

2 2 2

2 6 1 0

x y z  x y  . Tính tọa độ tâm I, bán kính R của mặt cầu

 

^{S .}

A.



^{1;3; 0}



3 I R





 



. B.



^{1; 3; 0}



3 I R





 



. C.



^{1;3; 0}



9 I R





 



. D.



^{1; 3; 0}



10 I

R





 



. Hướng dẫn giải

Chọn A

Từ phương trình mặt cầu

 

^S suy ra tâm ^I



^1;3;0



và bán kính R a²b²c²d 3. Câu 11: Trong không gian với hệ toạ độ , cho mặt cầu . Tìm

toạ độ tâm và tính bán kính của .

A. . B. .

C. . D. .

Hướng dẫn giải Chọn B

Mặt cầu (với )

có tâm , bán kính .

Câu 12: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, mặt cầu

 

^{S :x2y2z28x4y2z 4 0 có}

bán kính R là

A. R 5. B. R25. C. R2. D. R5.

Hướng dẫn giải Chọn D

Bán kính mặt cầu là ^{R 42 }

 

^{2 2 }

 

^{1 2 }

 

^{4 5.}

Câu 13: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho điểm ^I



^2;1;3



và mặt phẳng

 

^{P :}

2x y2z100. Tính bán kính r của mặt cầu

 

^S , biết rằng

 

^{S có tâm I} và nó cắt

 

^P

theo một đường tròn

 

^T có chu vi bằng 10.

A. r  5 B. r 34 C. r 5 D. r 34

Hướng dẫn giải Chọn D

Đường tròn

 

^T có bán kính R5.



^,

  

³

d I P 

Mặt cầu

 

^S cắt mặt phẳng

 

^P theo một đường tròn

 

^T nên có bán kính:

   

 

²

2 ,

r  R  d I P  34.

Câu 14: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho A(1;1; 3), B( 1; 3; 2), C( 1; 2; 3)  . Mặt cầu tâm O và tiếp xúc mặt phẳng (ABC) có bán kính R là

A. ³

R 2 . B. R 3. C. 3

R 2. D. R3. Hướng dẫn giải

Chọn D

Ta có: ^AB



^{2; 2; 1 ,}



^AC



^2;1;0



^.

Oxyz

 

^{S :x2y2z24x2y6z 2 0}

I R

 

^S



^{2;1;3 ,}



⁴

I  R I



2; 1; 3 ,  



R4



^{2;1;3 ,}



^{2 3}

I  R I



2; 1; 3 ,  



R 12

2 2 2

( ) :S x y z 2ax2by2czd 0 a 2;b1;c3,d  2 ( ; ; ) (2; 1; 3)

I  a  b c    R a²b²c²d 4

Mặt phẳng



^ABC



^{qua A}



^1;1;3



và có vecto pháp tuyến là ^n_^{AB AC ,  }_^



^{1; 2; 2}



  .

Phương trình mặt phẳng



^ABC



^là:



^x1



^2



^y1



^2



^z3



^{0 x2y2z 9 0.}

Vậy ^,

 

^{9 3}

R d O ABC 3

    .

Câu 15: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, ^A



^{3; 4; 2}



^{, B}



^{5; 6; 2}



^{, C}



^{10; 17; 7}



. Viết phương trình mặt cầu tâm C bán kính AB.

A.



^x10



^2



^y17



^2



^z7



^{2 8. B.}



^x10



^2



^y17



^2



^z7



^{2 8.}

C.



^x10



^2



^y17



^2



^z7



^{2 8. D.}



^x10



^2



^y17



^2



^z7



^{2 8.}

Hướng dẫn giải Chọn C

Ta có AB2 2.

Phương trình mặt cầu tâm C bán kính AB:



^x10



^2



^y17



^2



^z7



^{2 8.}

Câu 16: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A



^{1; 2;3}



^{và B}



^{1;4;1 .}



Phương trình mặt cầu đường kính AB là:

A. ^x2



^y3



^2



^z2



^{2 12. B.}



^x1



^{2 }



^y2



^2



^z3



^{2 12.}

C.



^x1



^{2 }



^y4



^2



^z1



^{2 12. D. x2}



^y3



^2



^z2



^{2 3.}

Hướng dẫn giải Chọn D

Trung điểm của AB là: ^I



^0;3;2



, mặt khác R² IA²    1 1 1 3 Phương trình mặt cầu cần tìm là: ^x2



^y3



^2



^z2



^{2 3.}

Câu 17: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình mặt cầu tâm



^{1; 2; 4}



I  và thể tích của khối cầu tương ứng bằng 36 .

A.



^x1



^2



^y2



^2



^z4



^{2 3. B.}



^x1



^2



^y2



^2



^z4



^{2 9..}

C.



^x1



^2



^y2



^2



^z4



^{2 9.. D.}



^x1



^2



^y2



^2



^z4



^{2 9..}

Hướng dẫn giải Chọn B

Ta có 4 ³

36 3.

V  3R   R

Phương trình mặt cầu tâm ^I



^{1; 2; 4}



và bán kính R3 là :



^x1



^2



^y2



^2



^z4



^{2 9..}

Câu 18: Mặt cầu

 

^{S có tâm I}



^{1; 2; 1}



và tiếp xúc với mặt phẳng

 

^{P :} x– 2 – 2 – 8y z 0 có phương trình là

A.



^x1



^2



^{y– 2}



^2



^z1



^{2 3. B.}



^x1



^2



^{– 2y}



^2



^z1



^{2 9.}

C.



^x1



^2



^{– 2y}



^2



^z1



^{2 9. D.}



^x1



^2



^{– 2y}



^2



^z1



^{2 3.}

Hướng dẫn giải Chọn B

Do mặt cầu

 

^S tiếp xúc với mặt phẳng

 

^{P nên}



^;

  

^{1 4 2 8 3}

1 4 4 d I P R R   

   

  . Phương trình mặt cầu

 

^{S :}



^x1



^2



^{– 2y}



^2



^z1



^{2 9.}

Câu 19: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu có phương trình



^x1



^{2 }



^y3



^{2 z2 9.}

Tìm tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu đó.

A. ^I



^1;3;0



^{; R3. B. I}



^{1; 3;0}



^{; R9.}

C. ^I



^{1; 3;0}



^{; R3. D. I}



^1;3;0



^{; R9.}

Hướng dẫn giải Chọn C

Mặt cầu đã cho có tâm ^I



^{1; 3;0}



và bán kính R3.

Câu 20: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt cầu tâm ^I



^{2; 1;3}



tiếp xúc với mặt phẳng



^Oxy



^có

phương trình là

A.



^x2



^2



^y1



^2



^z3



^{2 3. B.}



^x2



^2



^y1



^2



^z3



^{2 4.}

C.



^x2



^2



^y1



^2



^z3



^{2 2. D.}



^x2



^2



^y1



^2



^z3



^{2 9.}

Hướng dẫn giải Chọn D

Ta có mặt phẳng



^Oxy



có phương trình z0 nên ^{d I Oxy}



^;

  

^3

 phương trình mặt cầu là



^x2



^2



^y1



^{2 }



^z3



^{2 9.}

Câu 21: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm ^A



^{1;3; 2}



và mặt phẳng

 

^{P : 3x6y2z40.} Phương trình mặt cầu tâm A, tiếp xúc với mặt phẳng

 

^{P là}

A.



^x1



^2



^y3



^2



^z2



^{2 49. B.}



¹



²



³



²



²



^{2 1}

x  y  z  49. C.



^x1



^2



^y3



^{2 }



^z2



^{2 7. D.}



^x1



^2



^y3



^2



^z2



^{2 1.}

Hướng dẫn giải Chọn D

Bán kính mặt cầu cần tìm:

   

 

²

2 2

3 18 4 4

, 1

3 6 2

d A P    

 

   Do đó,

  

^{S : x1}



^2



^y3



^2



^z2



^{2 1.}

Câu 22: Trong không gian với hệ tọa độOxyz, cho mặt phẳng

 

^{P : 2x2yz30 và điểm I}



^{1;2 3}



. Mặt cầu

 

^{S tâm I} và tiếp xúc ^{mp P}

 

có phương trình:

A. ( ) : (S x1)²(y2)²(z3)² 4 B. ( ) : (S x1)²(y2)²(z3)² 2. C. ( ) : (S x1)²(y2)²(z3)² 4 D. ( ) : (S x1)²(y2)²(z3)² 16;

Hướng dẫn giải Chọn A

Ta có ( )S là mặt cầu có tâm ^I



^{1; 2; 3}



và bán kính R.

Vì ( )S tiếp xúc với mặt phẳng

 

^{P : 2x2yz30} nên ta có



^;

  

²

Rd I P  .

Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là: (x1)²(y2)²(z3)² 4.

Câu 23: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu

 

^{S có tâm I}



^1;4;2



và tiếp xúc mặt phẳng

 

^{P : 2 x2y z 150}. Khi đó phương trình của mặt cầu

 

^{S là}

A.



^x1



^2



^y4



^2



^z2



^{29. B.}



^x1



^2



^y4



^2



^z2



^{2 81.}

C.



^x1



^2



^y4



^2



^z2



^{2 9. D.}



^x1



^2



^y4



^2



^z2



^{2 81.}

Hướng dẫn giải Chọn D

Ta có



^,

  

^2.

^{ }

¹₂ ^2.4₂ ^{2 15}₂ ^{27 9}

2 2 1 3

r d I P     

   

 

.

Vậy phương trình mặt cầu

 

^{S là}



^x1



^{2 }



^y4



^2



^z2



^{2 81.}

Câu 24: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu

 

^{S có tâm I}



^2;1;4



và mặt phẳng

 

^{P :xy2z 1 0}. Biết rằng mặt phẳng

 

^P cắt mặt cầu

 

^S theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 1. Viết phương trình mặt cầu

 

^{S .}

A.

  

^{S : x2}



^2



^y1



^2



^z4



^{2 25. B.}

  

^{S : x2}



^2



^y1



^{2 }



^z4



^{2 13.}

C.

  

^{S : x2}



^2



^y1



^2



^z4



^{2 25. D.}

  

^{S : x2}



^{2 }



^y1



^2



^z4



^{2 13.}

Hướng dẫn giải Chọn C



^,

  

^{2 1 2.}₂

^{ }

₂ ⁴ ₂ ^{1 2 6}

1 1 2

h d I P    

  

 

. Bán kính mặt cầu: R h²r² 5.

BÀI 3:PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG (Chưa học PTĐT)

Trong tài liệu Hình học tọa độ oxyz dành cho học sinh trung bình - Đặng Việt Đồng (Trang 56-63)