Các bài toán thực tế về hàm số mũ

 Số tiền còn nợ ngân hàng vào cuối tháng thứ n là

     

¹

 

²

 

1 1 % 1 % ⁿ 1 % ⁿ 1 % ⁿ ... 1 %

n n

T T _ r  a A r a r ^ a r ^  a r a



^{1 %}



ⁿ



^{1 %}



^{n 1}



^{1 %}



^{n 2 ... 1}



^{% 1}



Tn A r a r ^ r ^ r 

            

 Theo công thức tính tổng n số hạng đầu tiên của CSN ta suy ra:



^{1 %}

 

^{1 %}



¹



^{1 %}

 

^{1 %}



¹

1 % 1 %

n

n n n

n

r a

T A r a A r r

r r

   

           

 Chú ý: Để trả hết nợ ta cho T_n 0 sẽ tìm ra được thời gian trả hết số tiền đã vay.

 Bài toán 4: (Gửi tiết kiệm và rút hàng tháng) Một người gửi ngân hàng A đồng, với lãi suất là r% trên một tháng. Mỗi tháng vào ngày ngân hàng tính lãi, người này rút ra một số tiền là a để sử dụng. Sau n tháng thì số tiền còn lại trong ngân hàng là



^{1 %}

 

¹



¹

%

n n

n

T A r a r

r  

      

Ví dụ 1:Một người gửi tiết kiệm số tiền 100.000.000 VNĐ vào ngân hàng với lãi suất /năm và lãi hàng năm được nhập vào vốn. Hỏi sau 15 năm số tiền người ấy nhận về là bao nhiêu?

(làm tròn đến đơn vị nghìn đồng)

A. 117.217.000 VNĐ. B. 417.217.000 VNĐ. C. 317.217.000 VNĐ. D. 217.217.000 VNĐ.

Lời giải

Theo công thức ở bài toán 1 ta có: T1510 1 8%⁸







¹⁵ 317.216.911.

Ví dụ 2: Một người gửi tiết kiệm vào ngân hàng với lãi suất 8,4% /năm và tiền lãi hàng năm được nhập vào tiền vốn. Tính số năm tối thiểu người đó cần gửi để số tiền thu được nhiều hơn

2 lần số tiền gửi ban đầu.

A. 10 năm. B. 9 năm. C. 8 năm. D. 11 năm.

Lời giải

Gọi số tiền gửi ban đầu là A và số năm tối thiểu thỏa ycbt là n. Ta có A



1 8,4%



ⁿ 2A1,084ⁿ   2 n log1,0842 8,59 . Vậy số năm tối thiểu là 9 năm.

Ví dụ 3: Theo thông tin trên internet, lãi suất tiền gửi của ngân hàng TP Bank là 6,2% /năm. Tại thời điểm ngày 01/01/2020 anh Nguyễn Văn A dự định vào ngày 01/01/2021 sẽ mua một chiếc laptop trị giá 20.000.000 đồng nên đã quyết định gửi vào ngân hàng trên một số tiền là T triệu đồng. Theo em anh Nguyễn Văn A nên gửi số tiền gần với số tiền nào sau đây?

A. 18.832.391đồng. B. 15.832.391đồng. C. 17.832.391đồng. D. 16.832.391đồng.

Lời giải

Số tiền anh A nhận được sau 12 tháng được tính bởi công thức:

 

¹

 

1

20.000.000

. 1 % 20.000.000 1 6,2% 18.832.391

1 6,2%

T T r  T   T 



Ví dụ 4: Một người gửi tiết kiệm với số tiền gửi là A đồng với lãi suất 6% một năm, biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm số tiền lãi sẽ được nhập vào gốc để tính gốc cho năm tiếp theo. Sau 10 năm người đó rút ra được số tiền gốc lẫn lãi nhiều hơn số tiền ban đầu là 100 triệu đồng ? Hỏi người đó phải gửi số tiền A bằng bao nhiêu ? A. 145.037.058đồng. B. 55.839.478đồng.

C. 126.446.589 đồng. D. 111.321.564 đồng.

Lời giải Từ công thức lãi kép ta có An A



¹r



ⁿ.

8%

Theo đề bài ta có:

10 0,06

n 100 n r

A A

 

 

  



^{100 A A}



^{1 0,06}



^10100A



^1,06101



10

100 1.06 1

A

 .

Ví dụ 5: Một người mỗi tháng đều đặn gửi vào ngân hàng một khoản tiền T theo hình thức lãi kép với lãi suất 0,6% mỗi tháng. Biết sau 15 tháng, người đó có số tiền là 10 triệu đồng.

Hỏi số tiền T gần với số tiền nào nhất trong các số sau.

A. 635.000 đồng. B. 645.000 đồng. C. 613.000 đồng. D. 535.000 đồng.

Lời giải

Với số tiền T gửi đều đặn mỗi tháng theo hình thức lãi kép với lãi suất r% mỗi tháng, ta có

Sau một tháng, số tiền của người đó là A1T



1r



đồng.

Sau hai tháng, số tiền của người đó là A2 T



1r



T



1r



T



1r

 

² 1 r



 đồng.

Sau ba tháng, số tiền của người đó là

   



²

 ^{    }

³

^{ }

²

^

3 1 1 1 1 1 1

A  T r  r T r T r  r  r  đồng.

… Sau mười lăm tháng, số tiền của người đó là

 

¹⁵

 

¹⁴

     

¹⁵

15 1 1 ... 1 T 1 1 1

A T r r r r r

  r  

              đồng.

Theo đề thì sau 15 tháng người đó có số tiền là 10 triệu đồng nên

     

7 15

15 15

. 10 .0,006 635.000

1,006 1,006 1

1 1 1

T A r

r r

  

  

    

đồng.

Ví dụ 6: Anh Nam dự định sau 8 năm (kể từ lúc gửi tiết kiệm lần đầu) sẽ có đủ 2 tỉ đồng để mua nhà. Mỗi năm anh phải gửi tiết kiệm bao nhiêu tiền (số tiền mỗi năm gửi như nhau ở thời điểm cách lần gửi trước 1 năm) ? Biết lãi suất là 8%/năm, lãi hàng năm được nhập vào vốn và sau kỳ gửi cuối cùng anh đợi đúng 1 năm để có đủ 2 tỉ đồng.

A.

 

⁹

2 0,08

1,08 1,08

  tỉ đồng. B.

 

⁸

2 0,08

1,08 1,08

  tỉ đồng.

C.

 

⁷

2 0,08

1,08 1

  tỉ đồng. D.

 

⁸

2 0,08

1,08 1

  tỉ đồng.

Lời giải Gọi M là số tiền anh Nam phải gửi hàng năm.

Để sau 8 năm (kể từ lúc gửi tiết kiệm lần đầu) sẽ có đủ 2 tỉ đồng, tính luôn cả thời gian anh đợi để rút tiền ra thì anh gửi tất cả 8 lần.

Ta có công thức n



¹



^{n 1 1}

 

T M r r

r  

     

     

⁹

. 2 0,08

1.08 1,08

1 1 1

n n

M T r

r r

   

  

    

tỉ đồng.

Ví dụ 7: Một người vay ngân hàng 100 triệu đồng với lãi suất là 0,7%/tháng, theo thỏa thuận cứ mỗi tháng người đó sẽ trả cho ngân hàng 5 triệu đồng và cứ trả hàng tháng như thế cho đến khi hết nợ (tháng cuối cùng có thể trả dưới 5 triệu). Hỏi sau bao nhiêu tháng thì người đó trả được hết nợ ngân hàng.

A. 21. B. 22. C. 23. D. 24.

Lời giải

Theo công thức ở bài toán 3, số tiền mà người đó còn nợ sau n tháng là:

 

⁵

 

100 1 0,7% 1 0,7% 1

0,7%

n n

Tn       ^. Sau n tháng thì người đó sẽ trả hết nợ thì

 

⁵

 

0 100 1 0,7% 1 0,7% 1 0

0,7%

n n

Tn        

   

1 0,7%

5 5 50 50

1 0,7% : 100 1 0,7% log 21,6

0,7% 0,7% 43 43

n n

n _

 

          

  ^.

Vậy sau tháng thứ 22 thì người đó trả hết nợ.

Ví dụ 8: Năm 1992, người ta đã biết số p2⁷⁵⁶⁸³⁹1 là một số nguyên tố (số nguyên tố lớn nhất được biết cho đến lúc đó). Hãy tìm số các chữ số của p khi viết trong hệ thập phân.

A. 227830 chữ số. B. 227834 chữ số. C. 227832 chữ số. D. 227831 chữ số.

Lời giải

756839

2 có chữ số tận cùng khác 0 nên 2⁷⁵⁶⁸³⁹ và p2⁷⁵⁶⁸³⁹1 có số các chữ số bằng nhau.

Số các chữ số của p khi viết trong hệ thập phân của p2⁷⁵⁶⁸³⁹1 là:

   

756839

log 2 1 756839 log 2 1 227831,2409 1 227832

       

 

Suy ra p2⁷⁵⁶⁸³⁹1 khi viết trong hệ thập phân là số có 227832 chữ số.

Ví dụ 9:Dân số thế giới được dự đoán theo công thức ^{P t}

 

^{a e. bt}, trong đó ,a b là các hằng số, t là năm tính dân số. Theo số liệu thực tế, dân số thế giới năm 1950 là 2560 triệu người;

dân số thế giới năm 1980 là 3040 triệu người. Hãy dự đoán dân số thế giới năm 2020?

A. 3823 triệu. B. 5360 triệu. C. 3954 triệu. D. 4017 triệu.

Lời giải Từ giả thiết ta có hệ phương trình:

 

 

1950

30 1980

1950 2560 2560 19 19 1 19

30 ln ln

16 16 30 16

1980 3040 3040

b

b b

P ae

e b b

P ae

   

       

 

  

 



.

Suy ra: _{1 19 65}

1950. ln 30 16

2560 2560

19 16 a

e

 

 

 

  .

Vậy dân số thế giới năm 2020 là:

 

65 ^{2020.30 161ln19}

2020 2560 3823

19 16

P  e 

 

 

 

triệu

Ví dụ 10: Sự tăng trưởng của một loại vi khuẩn tuân theo công thức S A.e^rt, trong đó A là số vi khuẩn ban đầu, r là tỉ lệ tăng trưởng, t là thời gian tăng trưởng. Biết rằng số lượng vi khuẩn ban đầu là 100 con và sau 5 giờ có 300 con. Để số lượng vi khuẩn ban đầu tăng gấp đôi thì thời gian tăng trưởng t gần với kết quả nào sau đây nhất ?

A. 3 giờ 9 phút. B. 3 giờ 2 phút. C. 3 giờ 30 phút. D. 3 giờ 18 phút.

Lời giải Ta có 300 100.e ^{5r 1}ln3

r 5

  . Khi đó:

. ln31

5 3

2.A A .e^t  t 5 log 2 giờ.

Ví dụ 1:Tìm giá trị cực tiểu của hàm số

1 ex

yx

A. x0. B. y1.  C. x 1. D. y0. Lời giải

Tập xác định: ^{Dℝ\ 1}

 

^{ .}

Ta có



¹



^{2 0 0}

xex

y x

  x   

 .

Lập BBT, suy ra hàm số đạt cực tiểu tại x0 và yCT y

 

0 1. Ví dụ 2:Tìm điểm cực tiểu của hàm số y x ²lnx.

A. x  e. B. 1

x e . C. x e . D. 1 xe . Lời giải

TXĐ: ^D



^0;



^.

Ta có

 

1 2

0 0 L

2 ln 0 ln 1 1

2 x x

y x x x

x x e

e



  

 

           Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên suy ra hàm số đạt cực tiểu tại 1 x  e . Ví dụ 3: Tọa độ điểm cực đại của đồ thị hàm số 2^{4 2 1}

x

y  x ^ là A. 1; ⁴2

2

  

 

 . B. 1; 2⁴ 2

 

 

 . C. 1 1₄ 2; 2

 

 

 ^{. D.}

1; 24

2

 

 

 . Lời giải

TXĐ: D ℝ. Ta có

 

2 2

4 1

2 2

1

1 4 .2 .ln 2 0 2

4 1 1

2

x x

x x y

x x



  

 

    

  



.

Bảng xét dấu của y:

Vậy hàm số đã cho đạt cực đại tại 1 x2

Tọa độ điểm cực đại của đồ thị hàm số đã cho là 1 ⁴ 2; 2

 

 

 . Ví dụ 4: Cho hàm số ^{y f x}



^1



có đồ thị như hình vẽ

Hàm số y^{2f x 4x} đạt cực tiểu tại điểm nào?

A. x2. B. x 1. C. x1. D. x0. Lời giải

Ta có: ^y_^{2f x}

 

^4_^{2f x 4xln  0 2f x}

 

^{  4 0 f x}

 

^2.

Đặt x t 1 ta có ^{f t  }



¹



^2.

Dựa vào đồ thị ta có ^{f t  }



¹



²

1 1 2 t t t

  

 

 

hay

2 0 1 x x x

  

 

 

Như vậy ^{f x}

 

^2

2 0 1 x x x

  

 

  .

Do x 2 và x1 là nghiệm bội chẵn nên ta có bảng biến thiên sau

Từ bảng biến thiên ta có hàm số đạt cực tiểu tại x0.

Ví dụ 5:Cho ^mloga

 

^{3ab , với a 1, b1và P log2ab16 logba. Tìm m sao cho P} đạt giá trị nhỏ nhất.

A. m1. B. 1

m2. C. m4. D. m2. Lời giải

Ta có: ^mloga

 

^{3ab m1}₃

^

^{1 log ab}

^

^{logab3m1.}

Vì ,a b1 nên log_ab0 3 1 0 ¹

m m 3

     .

Khi đó: ^P



^{3m 1}



² ₃¹⁶ ₁



^{3m 1}



² ₃ ⁸ _{1 3} ⁸ ₁^{Cauchy3 83 2 12}

m m m

        

   .

Dấu " " xảy ra khi



^{3m 1}



² ₃ ⁸ ₁ ^{m 1}

  m  

 . Vậy minP12m1.

Ví dụ 6: Cho biểu thức ³₁ ^{3 2}_{1 1} ³

3 3 3

9log log log 1

P  a a a  với 1

27;3

a  

   và M , mlần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của P. Tính S 4M3m.

A. 109

9 . B. 83

2 . C. 42. D. 38.

Lời giải

Ta có: 1 ³₃ ²_{3 3}

log log 3 log 1

P  3 a a a . Đặt tlog3a. Do 1

27;3

a  

  nên ^{t }



^3;1



^.

Khi đó 1 ^{3 2}

3 1

P  3t  t t với ^{t }



^3;1



^.

 

^{2 2 3}

P t   t t .

   

 

0 3

1

t L

P t t N

    

  

 

^{3 10}

P   , ^P

 

^{  1 2}₃^{, P}

 

^{1 14}₃ ^{M10, m 2}₃^{. Vậy S4M3m42.}

Ví dụ 7: Xét các số thực 0x y, 1 thỏa mãn log₃ 1 3 2 4 2

xy xy x y x y

    

 . Tìm giá trị nhỏ nhất Pmincủa biểu thức P  x y

A. _min 9 11 9

P  9  . B. _min 9 11 19

P  9 . C. _min 18 11 29

P  21 D. _min 2 11 3

P  3  . Lời giải

Ta có 3 3

 

3

 

log 1 3 2 4 log 3 3 3 3 log 2 2

2

xy xy x y xy xy x y x y

x y

            





³

 

²



f xy f x y

   

 

^*

Xét hàm số f t

 

log3t t t , 0

 

_{ln 3}^{1 1 0,}



^0;



f t t

 t      . Suy ra hàm số ^{f t}

 

đồng biến trên



^0;



^.

Khi đó

 

^{* 3 3xy x 2y y} ₃^{3 x}₂

x

      

 . Suy ra :

3 3 2 3

3 2 3 2

x x x

P x x x

  

  

  ^.

Ta có:

 

2 2

9 12 7 0 2 11

3 2 3

x x

P x

x

   

    

 . Vậy _min 2 11 2 11 3

3 3

P P^^{  } ^

  .

Ví dụ 8: Cho ba số thực dương a_, b, c và đồ thị các hàm số y a ^x, ^y

 

^{ab x}, ^y



^c1



^x được cho như hình vẽ dưới đây

Biết rằng MH HK KN . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức T  b4c bằng

A. 0. B. 2 . C. 1. D. 1 .

Lời giải

Đặt MH HK KN m 0 x_K m, x_M  m, x_N 2m.

Khi đó:^{axM }

 

^{ab xK }



^c1



^{xN am }

 

^{ab m }



^c1



^2m

 

1

1 1 2

a ab

a c





 

 

 



2

1 1 1 b a

c a

 

 

   



Do đó: 1 4

4 4

T b c

a a

    

1 2 2 0 a

 

   

  .

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 1 1

2 0 a 4

a     (thỏa mãn điều kiện a1).

Vậy giá trị nhỏ nhất của T bằng 0.

Ví dụ 9: Xét các số thực dương , , ,a b x y thỏa mãn a 1,b1 và a^x2 b^y2  a b. . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức Px y. là

A. 4

P 9. B. 9

P4. C. P 1. D. 3 P 2. Lời giải

Ta có:

 

 

2

2 2

2

1 2

2

1 2

2

1 1

2log 2

. 1log 1

2 2

x a

x y

y

b

x b

a ab

a b a b

y a

b ab

    

 

   

    

 

Vì a b,  1 log_ab0,log_ba0

 

^{2 1log 1 1log 1 1 1}



^{log log}



^{1 1}

2 ^a 2 2 ^b 2 4 4 ^{a b} 4

xy  b  a  b a

         

  

Vì x0,y 0 xy1. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a b . Vậy minP   1 a b. Ví dụ 10: Cho hai số thực dương ,a b1 và sao cho luôn tồn tại số thực 0 x 1 để thoả mãn hệ

thức alogbx b^loga x⁴ . Giá trị lớn nhất của biểu thức T 10logablog²alog²b bằng

A. 36. B. 18 2 13. C. 45. D. 18.

Lời giải

Ta có: ^{alogbx bloga} ^{x4 loga}



^alogbx



^{loga}_^{bloga x4 }_^{logbx log .logab a}

 

^{x4 .}

log .log_ba _ax 4.log .log_ab _ax log_ba 4.log_ab

    ^{log 4}



^log



²

log

b

b a

a a

 b   .

Có a b,  1 log_ba0. Nên ta có:



^logba



² ^{4 log}ba  ² a b².

Suy ra: ^{T 10 logablog2alog2b10.logb3log2}

 

^{b2 log2b30 logb5 log2b}



²

 ^{ }

²

5. 6.log log 45 5 log 3 45

T  b b   b  .

Dấu " " xảy ra khi logb  3 b 10³ a 10⁶. Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức T là T_max 45.

Câu 1: Tìm tập xác định của hàm số ^ylog



^{x2 x 2}

 ^{ }

¹

A.



^1;1



. B.



^{  ; 1}

 

^{2; }



. C.



^;2



^{. D.}



^{1; }



.

Câu 2: Tìm tập xác định của hàm số ^ylog



^x2



^3logx2.

A.



^{  2;}



^{. B.}



^2;0

 

^{ 0; }



^.

C.



^{0; }



. D.



^{  2;}



. Câu 3: Tập xác định của hàm số y3^x2 là

A.



^{ ; 2}



^{. B. ℝ\ 2}

 

^{ . C.}



^{ 2;}



^{. D. ℝ.}

Câu 4: Tập xác định của hàm số y^log



x²



² là

A.



^{2; }



^{. B. ℝ\ 2}

 

^{. C.}



^{2; }



^{. D. ℝ.}

Câu 5: Cho a là một số thực dương khác 1. Mệnh đề nào sau đây sai ? A. Tập giá trị của hàm số ylog_ax là



0; 



.

B. Tập xác định của hàm số y log_ax là



^0; 



. C. Tập xác định của hàm số y a ^x là



^{  ;}



^.

D. Tập giá trị của hàm số y a ^x _là



^{0; }



^.

Câu 6: Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau.

A. Hàm số y3^x xác định trên ℝ.

B. Hàm số ylog₃x có tập xác định là ^D



^0;



^.

C. Hàm số y e ^x có tập xác định là Dℝ. D. Hàm số y logx có tập xác định là Dℝ. Câu 7: Tìm tập xác định của hàm số _{y e} ^log^{ x2 3x}_.

A. ^D



^3;



^{. B. D }



^;0

 

^{ 3;}



C. Dℝ. D. D

 

0;3 .

Câu 8: Tập hợp các giá trị của x để biểu thức ^log5



^x3x22x



có nghĩa là A.



^{ ; 1}



^{. B.}

 

^{0;1 .}

C.



^1;0

 

^{ 2;}



^. D.



^1;



^.

Câu 9: Tập xác định của hàm số log₂ 3 2 y x

x

 

 là

A. ^{D }



^3;2



^{. B. Dℝ\ 3;2}



^



^.

C. ^{D   }



^{; 3}

 

^2;



^{. D. D }



^3;2



^.

Câu 10: Hàm số nào sau đây có tập xác định là ℝ? A.

1

2^x

y B. 1

y x

e . C.

1

y x 3. D. ylnx .

BÀI TẬP RÈN LUYỆN



 Dạng 1 TÌM TẬP XÁC ĐỊNH CỦA HÀM SỐ LOGARIT

Câu 11: Tìm tập xác định của hàm số ^{ylog 12}



^{ x3}



^.

A. ^D  



^3;



. B. ^{D  }



^{3; 2}



^{. C. D}  



^{3; 2}



. D. ^D  



^{; 2}



. Câu 12: Tìm tập xác định D của hàm số 5

1 e^x e y

 ^.

A. ^D



^5;



^{. B. Dℝ\ 5}

 

^{. C. D}



^5;



^{. D. D}



^ln5;



^.

Câu 13: Tìm tập xác định của hàm số y



x2



⁰ log 92



x²



là

A. ^{D }



^3;3



^{. B. D}

 

^{2;3 . C. D }



^{3;3 \ 2}

  

^{. D. D}



^3;



^.

Câu 14: Tìm tập xác định của hàm số

 

3

1 log 5

y x

 ^.

A.



^{;5 \ 4}

  

^{. B.}



^;5



^{. C.}



^5;



^{. D.}



^5;



^.

Câu 15: Tập xác định của hàm số ₂ 2 ₂ log 1 y x

 x

 ^{có dạng}

   

^{a b;  c d;} . Tính a b c d   .

A. 3. B. 4. C. 1. D. 2.

Câu 16: Tập xác định của hàm số y^logx



x²



là

A.



^0;



^{. B.}



^{ 2;}



^{. C.}



^0;

  

^{\ 1 . D.}



^{ 2;}



^.

Câu 17: Tập xác định của hàm số

0,5

1 y log

 x là

A.



^{1 ; +}



^{. B.}



^{0 ; 1}



^{. C. 1} ; + 2

 

 

 . D. 1

0 ; 2

 

 

 .

Câu 18: Tập xác định của hàm số ^{y log2020}



^log2019



^log2018



^log2017x

  

^{là D}

^

^a;

^

^. Giá trị của a bằng

A. 0. B. 2018²⁰¹⁹. C. 2019²⁰²⁰. D. 2017²⁰¹⁸. Câu 19: Hàm số ylog_x3



x²3x4



log_x2



x²3x4



có tập xác định D là

A.



^4;1

 

^{ 2;}



. B.



^1;4



. C.



^{  2; 1}

 

^4;



. D.



^2;4



. Câu 20: Tập xác định của hàm số ^{log ln}



^{x 1 x23x10}



^ là

A.



^5;14



^{. B.}



^2;14



. C.



^5;14



. D.



^2;14



. Câu 21: Tập xác định của hàm số y 1 log 2x ³log 12



x



là

A.

 

^0;1 . B. 1;1 2

 

 . C. 1; 2

 

 

 . D. 1;1 2

 

 

 .

Câu 22: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số ^yln



^{x23x m}



có tập xác định Dℝ

A. 9

4;

m . B. 9

;4 m  .

C. 9 9

; ;

4 4

m      . D. 9 m 4.

Câu 23: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số ^ylog



^x22mx4



có tập xác định là ℝ.

A.  2 m2. B. 2 2 m m

 

  

 . C. m2. D. m2.

Câu 24: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số ^ylog



^{x22x m 1}



có tập xác định là ℝ.

A. m0 B. m0 C. m2 D. m2

Câu 25: Tìm m để hàm số ^{y2x2020 ln}



^x22m4



có tập xác định Dℝ.

A. m2. B. m2. C. 2

2 m m

  

  . D.  2 m2.

Câu 26: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m thuộc khoảng



^2019;2019



để hàm số

   

2 2 2

2 1 2 4 log2 2 1

y x m   x  m x m  m  x m  x  xác định trên ℝ? A. 2018. B. 2019. C. 2020. D. 2021.

Câu 27: Có bao nhiêu số nguyên dương m để hàm số ^{f x}

 

^ln



^{x33m x2 32m}



xác định trên khoảng



^0;



A. 3. B. 4 . C. 6. D. 5.

Câu 28: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số ^{y log 93}



^{x 3x m}



có tập xác định là .ℝ

A. 1

m4. B. 1

m4. C. 1

m4 . D. m0.

Câu 29: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số ^y^log₂₀₂₀



^{mx m} ²



xác định trên



^{1; }



^.

A. m 1. B. m0. C. m0. D. m 1. Câu 30: Biết rằng hàm số

1 2

4 2 10

log 2 1

x x

y x m

    

     có tập xác định Dℝ, khi đó có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m ?

A. 1. B. 5. C. 10. D. 13.

Câu 1: Tìm đạo hàm của hàm số y e ^2x.

A. y 2e^2x1. B. y e^2x. C. y 2xe^{2 1x} . D. y 2e^2x. Câu 2: Đạo hàm của hàm số ^{f x}

 

^log



^x21



^là

A. ^{f x}

 

^{ }



^{x221 logx}



^{e. B. f x}

^{ }

^



^{x221 ln10x}



^.

C.

 

₂²

1 f x x

 x

 . D.

 



^{2 1 ln101}



f x  x

 .

Câu 3: Đạo hàm của hàm số ylogx là A. 1

10lnx. B. ln10

x . C. 1

x. D. 1

ln10. x Câu 4: Đạo hàm của hàm số ylog 52



x3



có dạng



^{5 3 ln}



y a

x b

  



^{a b; ℤ,a10 .}



^Tính

. a b

A. 9. B. 3. C. 1. D. 7.

Câu 5: Đạo hàm của hàm số ^{ylog 23}



^{x2 x 1}



^là

A.

 

2

4 1 ln 3

2 1 .

x x x



  B. 4₂ 1 .

2 1

x x x



  C.



^{2x2 2xx11 ln3}



^{. D.}



^{2x2 4xx11 ln3}



^.

Câu 6: Đạo hàm hàm số ^y



^x22x2



^{ex là}

A. ^{y }



^{x22x e}



^{x. B. y }



^x22



^{ex. C. y x e2 x. D. y }



^{x2x e}



^x.

Câu 7: Tính đạo hàm của hàm số 2 2^x y x



A. ¹



^{2 ln 2}



4^x y  x

  . B. ¹



^{2 ln 2}



2^x y  x

  . C. ¹



^{2 ln 2}



2^x y  x

  . D.



^{2 ln 2 1}



2^x

y x 

  .

Câu 8: Đạo hàm ^{f x}

 

của hàm số

 

^{2 1}

2 1

x

f x x

  ^là A.

 

²

2 .2 ln2

2 1

x x



 . B.

 

²

2 .2 ln2

2 1

x

x . C.

 

²

2 .2

2 1

x x



 . D.

 

²

2 .2

2 1

x

x .

Câu 9: Đạo hàm của hàm số ^yln



^{x2 x 1}



là hàm số nào sau đây?

A. ₂ 1

y 1

x x

    . B. ₂ 2 y 1

x x

    . C. ₂ 1 y 1

x x

  

  . D. ₂2 1 1 y x

x x

  

  . Câu 10: Đạo hàm của hàm số ye^x2x là

A.



^{2x1 e}



^{x. B.}



^x2x



^{e2x1. C.}

^

^{2x1 e}

^

^{2x1. D.}

^

^{2x1 e}

^

^x2x.

 Dạng 2 ĐẠO HÀM VÀ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ MŨ - LOGARIT

Câu 11: Tính đạo hàm của hàm số ye^x ln 2x .

A. 1

e^x

y  x . B. 1

e 2

y x

   x . C. 2 e^x

y  x . D. 1 e^x y  x. Câu 12: Cho hàm số ye ^x, mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. y  x.e ^x1. B. y  x.e ^x. C. 1 .e ^x

y  x . D. 1 2 e y x

  x . Câu 13: Tìm đạo hàm của hàm số ye^x log₂x1,



^x0



^.

A. 1

e .ln2 y x

  x . B. ¹ 1

e .ln2

y x x

x

    . C. 1 e^x

y  x . D. ¹ 1 e^x y x

x

    . Câu 14: Hàm số ^{f x}

 

^{2x23x1} có đạo hàm là

A. ^{f x}

 

^{2x23x1}



^{2x3 ln 2}



^{. B.}

 

²² ₃ ³₁

2^{x x} f x  x__ .

C. ^{f x}

 

^{2x23x1}



^2x3



^{. D.}

 

²²_{3 1}³

2^{x x} ln2 f x  _x_ .

Câu 15: Đạo hàm của hàm số y3^x là

A. y xln3. B. y x3^x1. C. 3 ln3

x

y  . D. y 3 ln3^x . Câu 16: Đạo hàm của hàm số ^{f x}

 

^{ ln ln}



^x



^là

A.

 

( ) 1

2 ln ln

f x  x B.

 

( ) 1

2 ln ln ln f x  x x x .

C.

 

( ) 1

ln ln ln

f x  x x . D.

 

( ) 1

ln ln ln f x x x x . Câu 17: Đạo hàm của hàm số ^{y e 2x}



^sinxcosx



^là

A. ^{y e2x}



^{3 sinxcosx}



^{. B. y 2e2x}



^sinxcosx



^.

C. ^{y e2x}



^{sinx3c s .o x}



^{D. y e2x}



^3sinxcosx



^.

Câu 18: Cho ^{f x}

 

^{eex . Giá trị f}

 

^{1 bằng}

A. e . ^2e B. e^{e 1} . C. e. D. e . ^e Câu 19: Tính đạo hàm của hàm số 1

4^x y x

 .

A.

 

2

1 2 1 ln2 4^x y  x

  . B.

 

2

1 2 1 ln 2 2^x y  x

  .

C.

 

2

1 2 1 ln 2 2^x y  x

  . D.

 

2

1 2 1 ln2 4^x y  x

  .

Câu 20: Tính đạo hàm của hàm số y3 .^xe^x

A. ^{3 .xex}



^{ln 3 1}



^{. B. 3 . ln 3xex}



^e



^{. C. 3 .xex}



^{ln 3 ln1}



^{. D. x. 3}

 

^{e x1.}

Câu 21: Đạo hàm của hàm số ln₂x y x là A. ' 1 ln₃ x

y x

  . B. ' x 2ln₄ x

y x

  . C. ' 1 2ln₃ x

y x

  . D. ' 1 x₄lnx

y x

  .

Câu 22: Tính đạo hàm của hàm số y x1 lnx.

A. 1

1 x x y x x

 

   . B. 3 2

2 1

y x

x x

  

 ^. C. ^{ln 2}



¹



2 1

x x x

y x x

 

   . D. 1

2 1

y  x x

 ^. Câu 23: Cho hàm số yf x

 

log 1 22



 ^x



. Tính giá trị ^{S f}

 

^{0 f}

 

^{1 .}

A. 7

S8. B. 7

S6. C. 7

S 5. D. 6

S 5.

Câu 24: Cho hàm số ^{f x}

 

^ln



^x22x3



. Tập hợp nghiệm của bất phương trình ^{f x}

 

^{0 là}

A.



^1;



^{. B.}



^{ 1;}



^{. C.}



^{ 2;}



^{. D.}



^2;



^.

Câu 25: Cho hàm số yln 1 e ^x . Tính ^y



^{ln 3}



A. 3

8^{. B.} 3. C.

3

ln 3

1+e ^{. D.}

e . 3

Câu 26: Cho hàm số ^{f x}

 

^{xln .x} _Tính ^{P f x}

 

^{x f x. }

 

^x.

A. P  1. B. P e . C. P 1. D. P0.

Câu 27: Đạo hàm của hàm số ^{y e e x}



^{x x}



^là

A. e^2x1 B. ^{e xx}



^1



^{C. ex}



^1ex



^{D. x e x}

Câu 28: Cho hàm số ^{f x}

  

^{ x1 e}



^x. Giá trị của ^f

 

^{0 bằng}

A. 3. B. 2. C. 3e. D. 2e.

Câu 29: Đạo hàm của hàm số

 

2

1 , 0, 1

log

y x x x

x

    là

A. 2

 

2 2

log 1 ln 2

log

x x x

y x x

 

  . B. ln 1

ln x x x

y x x

    .

C. ² ₂

2

log 1

log x x x

y x x

    . D.

2

ln 1

ln log x x x

y x x x

    .

Câu 30: Đạo hàm của hàm số 1 4^x y x

 là

A.

 

2

1 2 1 ln 2 2 ^x y  x

  . B.

 

2

1 2 1 ln2 2^x y  x

  .

C.

 

2

1 2 1 ln 2 2^x y  x

  . D.

 

2

1 2 1 ln2 2^x y  x

  .

Câu 31: Trong các hàm số sau,hàm số nào luôn nghịch biến trên tập xác định của nó?

A. 2

3

x

y  

    . B. ylogx. C. y2^x. D.

1 2

y  2

    . Câu 32: Hàm số nào dưới đây đồng biến tên tập xác định của nó?

A. ^ylog



^x23x4



^{. B. y 2}_x^x_^₁^3.

C. y x ⁵2020x2021. D. ysin 3x. Câu 33: Cho a1, chọn khẳng định đúng

A. Hàm số ylog_ax đồng biến trên



^0;



. B. Hàm số ylog_ax nghịch biến trên



^0;



^.

C. Hàm số y log_ax đồng biến trên ℝ. D. Hàm số y log_ax nghịch biến trên ℝ.

Câu 34: Hàm số nào dưới đây đồng biến trên tập xác định của nó?

A. 2 ^x e

  

  . B. ^y



^{3 1}



^{x. C. y}   ^{ } ³₄ ^x. D. ^y

 

^{ x.}

Câu 35: Hàm số nào sau đây nghịch biến trên khoảng xác định của nó?

A. ylog₂x. B. ₁

3

log

y x. C. ylog ₃x. D. y log ₂x. Câu 36: Hàm số nào sau đây nghịch biến trên



^{ ;}



^?

A. ^y



^{3 1}



^{x. B. y}  ^{ } _^{3 x} . C. ^y

 

^{1,5 x. D. y 2 x}

e

     .

Câu 37: Tìm m để hàm số y



m¹



^x nghịch biến trên ℝ.

A. m2. B. 1m2. C. m1. D. 1m2. Câu 38: Tìm a để hàm số ^y



^2a5



^x đồng biến trên ℝ.

A. 5

2 a 3. B. 5

2 a 3. C. a3. D. 5

a2. Câu 39: Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau.

A. Hàm số y x ² có tập xác định là



^0;



^.

B. Hàm số ₁

2

log

y x nghịch biến trên tập xác định của nó.

C. Hàm số y2^x đồng biến trên ℝ. D. Hàm số y log₂x đồng biến trên ℝ. Câu 40: Hàm số ¹



²



3

log 2 3

y x  x nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây?

A.



^;1



^{. B.}



^{ ; 1}



^{. C.}



^1;



^{. D.}



^3;



^.

Câu 41: Hàm số ^ylog0,5



^x24x



đồng biến trên khoảng

A.

 

^{0;2 . B.}

 

^{2;4 . C.}



^{0;4 .}



^D.



^{2; }



^.

Câu 42: Hàm số ^yln



^x22x3



đồng biến trên khoảng nào?

A.



^1;3



^{. B.}



^{1; }



^{. C.}



^{3; }



^{. D.}



^{ ; 1}



^.

Câu 43: Cho hàm số ^y



^x23



^ex. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng



^3;1



. B. Hàm số nghịch biến trên khoảng



^1;



^.

C. Hàm số đồng biến trên khoảng



^1;3



^. D. Hàm số đồng biến trên khoảng



^;1



^.

Câu 44: Cho hàm số ^y

 

^{0,5 x28x}. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng

A.

 

^{0;4 . B.}

 

^{0;8 . C.}



^{9;10 .}



^D.



^;0



^.

Câu 45: Trong bốn hàm số 1, 5 6 , , log₃

2 2 6

x x x x

y x y y y x

x



   

       có bao nhiêu hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó?

A. 1. B. 3. C. 2. D. 4.

Câu 46: Biết khoảng nghịch biến của hàm số ²



²



e

log 6 5

y  x x là khoảng

 

^{a b;} _{với ,}^{a bℝ.}

Giá trị biểu thức T4a b _bằng.

A. 1. B. 2. C. 1. D. 0.

Câu 47: Đường cong trong hình sau là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số đã cho ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

A. ylog₂x. B. y2^x. C.  

    1 2

x

y . D.  ₁

2

log y x. Câu 48: Hàm số nào trong các hàm số sau đây có bảng biến thiên phù hợp với hình bên?

A.  

  

  1 2

x

y . B.  ₁

2

log

y x_{. C.} y2^x. D. y log₂x. Câu 49: Cho hàm số y^logax



⁰ a ¹



có đồ thị là hình bên dưới. Giá trị của a bằng

A. a2. B.  1

a 2. C. a 2. D. 1 a2. Câu 50: Cho số thực ^a

 

^0;1 . Đồ thị hàm số y log_ax là hình vẽ nào dưới đây

A. B.

C. D.

Câu 51: Đồ thị sau là của hàm số nào?

A. ylog₂x. B. y2^x. C. 1 2

x

y  

  

  . D. y log3



x2



. Câu 52: Cho hàm số ^{yf x}

 

có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Hàm số ^{yf x}

 

có thể là hàm số

nào dưới đây?

A. f x

 

^log .3x B. ^{f x}

 

^{2 .x C. f x}

 

^{2 .x D. f x}

 

^{ 3 .x}

Câu 53: Xét các hàm số ylog_ax,y b^x,y c ^x có đồ thị như hình vẽ dưới đây, trong đó a,b,c là các số thực dương khác 1. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. log_ba0

c . B. ^logc



a b^



^{ 1 log 2}c .

C. log_abc0. D. log_ab 0

c . Câu 54: Đồ thị hình bên là của hàm số nào?

A. 1

2

x

y  

  

  . B. ^y

 

^{2 x. C. y   }_{ }¹₃ ^{x. D. y }

 

^{3 x.}

Câu 55: Cho hàm số ^{yf x}

 

có đồ thị như hình vẽ.

Hỏi ^{yf x}

 

có thể là hàm số nào cho dưới đây?

A. ^{f x}

 

^{x32 .x B. f x}

 

^{x4x21.}

O x

y

1

 1

3

C.

 

_0,3^{1 .}

x

f x  

  

  D. ^{f x}

 

^{4 .x}

Câu 56: Cho bốn đường cong, được kí hiệu là

       

C1 , C2 , C3 , C4 như hình vẽ. Hàm số ylog₂x có đồ thị là đường cong

A.

 

^C₁ . B.

 

^C₂ . C.

 

^C₃ . D.

 

^C₄ .

Câu 57: Cho hàm số f x

 

log0,9



x²4x5



. Gọi S là tổng tất cả các giá trị nguyên của ^x thuộc đoạn



^15;15



thỏa mãn bất phương trình ^{f x}

 

^{0. Tính S?}

A. S120. B. S119. C. S  105. D. S  117. Câu 58: Cho hàm số ^{f x}

 

^ln



^{ex m}



^{thỏa mãn f}

^

^{ln 3}

^

^3. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. ^{m }



^{1; 0}



^{. B. m}

 

^{1; 3 . C. m}

 

^{0;1 . D. m  }



^{2; 1}



. Câu 59: Hàm số ylog₂ x²x có đạo hàm là

A. ^{y 2}



^x22xx1



^{ln2. B. y }



^x22xx



^{1ln2. C.}

^

²²



^{21 ln 2}

^ 

y x

x x

  

 . D.



^{2x2 1}



y x x

  

 . Câu 60: Hàm số ^{f x}

 

^ln



^{ex m}



^{có f }

^

^ln2

^

^3₂. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. ^{m  }



^{5; 2}



^{. B. m}

 

^{1;3 . C. m}

 

^{0;1 . D. m }



^2;0



^.

Câu 61: Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số ^yln



^x1



tại điểm có hoành độ x2 là

A. 1. B. ln 2 . C. 1

3. D. 1

3ln 2.

Câu 62: Cho hàm số ^yln



^x2



có đồ thị là

 

^{C . Gọi A} là giao điểm của

 

^{C với trục Ox. Hệ}

số góc của tiếp tuyến của

 

^{C tại A bằng}

A. 1

2. B. 1. C. 1. D. 1

4

 .

Câu 63: Đối với hàm số ln 1 y 1

 x

 , khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A. xy  1 e^y. B. xy  1 e^y. C. xy   1 e^y. D. xy   1 e^y. Câu 64: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y x .lnxtại điểm có hoành độ bằng elà A. y2x e . B. y ex 2e. C. y x e  . D. y2x3e.

Câu 65: Cho hàm số f x

 

log cos2



x



. Phương trình ^{f x}

 

^0 có bao nhiêu nghiệm trong khoảng



^0;2020



^?

A. 2019. B. 2020. C. 1009. D. 1010. Câu 66: Cho hàm số ^{f x}

 

^{ln 1 e x . Tính f}



^{ln 2}



A. 2. B. 2. C. 0,3 . D. 1

3. Câu 67: Cho hàm số lnx

y x , mệnh đề nào sau đây đúng?

A. 1₂

y xy  x . B. 1₂

y xy x . C. 1

y xy  x. D. 1 y xy x . Câu 68: Cho hàm số ye .cos^2x x. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. y4y5y0. B. y4y5y0. C. y4y5y0. D. y4y5y0. Câu 69: Cho hàm số y e ^2x.Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. y y 2y0. B. y y 2y0. C. y  y y 0. D. y  y y 0. Câu 70: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số ^yln



^{x2 x 1}



tại điểm có hoành độ x1.

A. y x  1 ln3. B. y x  1 ln3. C. y x 1. D. y x 1.

Câu 71: Trong hình dưới đây, điểm B là trung điểm của đoạn thẳng AC. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. ac b . B. a c 2b. C. ac b ². D. ac2b². Câu 72: Biết đồ thị hàm số y a ^x và đồ thị hàm số y log_bx cắt nhau tại điểm  

 

  1;2

A 2 . Giá trị của biểu thức T a ²2b² bằng

A. T17. B. T 15. C. T9. D. 33 T  2 .

Câu 73: Cho hàm số ^{f x}

  

^{x 1 1}



^x₂ ^{2... 1 x n}

n

   

        , với nN^*_{. Giá trị} ^f

 

^{0 bằng?}

A. n. B. 1

n . C. 0. D. 1.

Câu 74: Hàm số y e ^lnxb có đồ thị dạng nào trong các đồ thị dưới đây?

A. B.

C. D.

Câu 75: Cho các số thực dương , ,a b c và đồ thị biểu diễn các hàm số y a y b y ^x,  ^x, log_cx. Hãy sắp xếp theo chiều tăng dần các hệ số , ,a b c.

A. b c a  . B. c b a  . C. b a c  . D. a b c  .

Câu 76: Biết rằng đường thẳng y 3 cắt đồ thị của hai hàm số ylog ,_ax ylog_bx tại các điểm có hoành độ bằng x x₁, _{2 sao cho} x₂ 2x₁ như hình vẽ bên. Giá trị của a

b bằng

Trong tài liệu CHỦ ĐỀ 1. LUỸ THỪA VÀ HÀM SỐ LUỸ THỪA (Trang 56-110)