Trường hợp 2

Giả sử a và b là hai đường thẳng chéo nhau nhưng không vuông góc với nhau.

Ta dựng mặt phẳng(α)chứaavà song song vớib.

Lấy một điểmMtùy ý trênbvà dựng MM⁰vuông góc với(_α)tạiM⁰.

Từ M⁰dựngb⁰song song vớibcắtatạiA.

Từ Adựng ABsong song với MM⁰ cắtb tạiB, độ dài đoạn ABlà khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhauavàb.

α

b

a

B M

A M⁰

Nhận xét

a) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng đó và mặt phẳng song song với nó chứa đường thẳng còn lại.

b) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó.

VÍ DỤ 1. Cho hình chóp S.ABCDcó đáy là hình vuông ABCDcạnh a, có cạnhSA = hvà vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau:

a) SBvàCD. b) SC vàBD. c) SC vàAB.

L Lời giải

C S

O E D

H

K

F

B

A

a) Ta có:

®BC ⊥SA

BC ⊥ AB ⇒BC ⊥(SAB) ⇒BC ⊥SB.

Mặt khácBC ⊥CD. Vậy BClà đoạn vuông góc chung củaSBvàCD.

Suy rad(SB,CD) = BC =a.

b) GọiOlà giao điểm của ACvàBD. Ta có:

®BD ⊥SA

BD ⊥ AC ⇒BD ⊥(SAC)tạiO.

Trong mặt phẳng(SAC), kẻOH⊥SC tạiH, ta cóOH ⊥SCvàOH ⊥BD(vìBD⊥(SAC)).

VậyOHlà đoạn vuông góc chung củaBDvàSC.

Ta cóOH

OC = ^SA

SC =sinACS‘ ⇒OH = ^OC.SA SC = ^a

√2

2 · √ ^h

h²+2a². Vậyd(SC,BD) =OH = ^ah

√2 2√

h²+2a².

c) Ta có ABk CD⇒ ABk (SCD). Ta có:

®CD⊥SA

CD⊥ AD ⇒CD⊥(SAD)⇒(SCD)⊥(SAD)theo giao tuyếnSD.

Trong mặt phẳng(SAD), kẻ AK ⊥SDtạiK, ta có: AK ⊥(SCD)⇒ AK ⊥SC.

Trong mặt phẳng(SCD), kẻKEk CD(E∈ SC).

Trong mặt phẳng(AB,KE), kẻEFk AK (F∈ AB)⇒ EF⊥SC.

Lại cóAB kCDvàCD ⊥(SAD)⇒ AB⊥(SAD)⇒ AB⊥ AK⇒ AB ⊥EF.

Do đóEFlà đoạn vuông góc chung củaSC vàAB.

Ta cóEF = AK = ^SA.AD

SD = √ ^ah a²+h². Vậyd(SC,AB) = √ ^ah

a²+h².

VÍ DỤ 2. Cho tứ diện OABCcóOA,OB, OCvuông góc với nhau đôi một vàOA = OB = OC = a. Gọi I là trung điểm của BC. Hãy dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của các cặp đường thẳng chéo nhau:

a) OAvàBC. b) AIvàOC.

L Lời giải

A

B E

I C O

H

K F

a) Ta có

®OA ⊥OI

BC ⊥OI ⇒_OIlà đoạn vuông góc chung củaOAvàBC.

Tam giácOBCvuông cân tạiOnênOI = ^BC 2 = ^a

√2 2 . Vậyd(OA,BC) = ^a

√2 2 .

b) GọiKlà trung điểm củaOB, ta có IK kOC ⇒OC k (AIK). Ta có

®IK ⊥OB

IK ⊥OA ⇒ IK ⊥(OAB)⇒ (AIK) ⊥(OAB)theo giao tuyếnAK.

Trong mặt phẳng(OAB), kẻOH ⊥ AKtại H, ta có:OH ⊥(AIK)⇒OH ⊥ AI.

Trong mặt phẳng(AIK), kẻHE k IK(E∈ SI).

Trong mặt phẳng(HE,OC), kẻEF k_OH(F∈ _OC) ⇒_EF⊥ _AI. Lại cóOC ⊥(OAB)⇒OC ⊥ AH ⇒OC ⊥ EF.

Do đóEFlà đoạn vuông góc chung củaOCvàAI.

Trong tam giác vuôngOAKta có: 1

OH² = ¹

OA² + ¹

OK² = ¹ a² + ⁴

a² = ⁵ a². Suy raEF=OH = ^a

√5 5 . Vậyd(AI,OC) = ^a

√5 5 .

VÍ DỤ 3. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A⁰B⁰C⁰ có đáy ABC là tam giác vuông tại A với AB =a, AC =2a; cạnh bên AA⁰ =2a. Hãy dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳngBC⁰ vàAA⁰.

L Lời giải

A⁰ C⁰

B

C F

A E

B⁰

H

Ta cóAA⁰ k BB⁰⇒ AA⁰ k (BB⁰C⁰C).

Vì(A⁰B⁰C⁰) ⊥ (BB⁰C⁰C) theo giao tuyến B⁰C⁰ nên trong mặt phẳng (A⁰B⁰C⁰), kẻ A⁰H ⊥ B⁰C⁰ tại H, ta có: A⁰H ⊥(BB⁰C⁰C) ⇒ A⁰H ⊥BC⁰.

Trong mặt phẳng(BB⁰C⁰C), kẻ HF k AA⁰ (F ∈ BC⁰). Trong mặt phẳng(HF,AA⁰), kẻ FE k A⁰H (E∈ AA⁰)⇒FE ⊥BC⁰.

Ta cóAA⁰ ⊥(A⁰B⁰C⁰)⇒ AA⁰ ⊥ A⁰H ⇒ AA⁰ ⊥ FE.

Do đóEFlà đoạn vuông góc chung của AA⁰vàBC⁰. Trong tam giác vuôngA⁰B⁰C⁰ ta có: 1

A⁰H² = ¹

A⁰B⁰² + ¹

A⁰C⁰² = ¹ a² + ¹

4a² = ⁵ 4a². Suy raEF =A⁰H= ^2a

√5 5 . Vậyd(AA⁰,BC⁰) = ^2a

√5

5 .

VÍ DỤ 4. Cho lăng trụ đều ABC.A⁰B⁰C⁰có tất cả các cạnh bằng nhau. Xác định đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng A⁰BvàB⁰C.

L Lời giải

N

E

B⁰ M

A⁰ C⁰

B

A C

I F

N⁰

GọiM, N, N⁰ lần lượt là trung điểm của AA⁰, AC, A⁰C⁰. Ta có

®BN ⊥ AC

BN ⊥ AA⁰ ⇒BN ⊥(ACC⁰A⁰)⇒BN ⊥C⁰M.

MàC⁰M⊥ A⁰NnênC⁰M⊥(A⁰BN). Do đóC⁰M⊥ A⁰B.

Tương tự ta cóC⁰M⊥(B⁰N⁰C)⇒C⁰M ⊥CB⁰.

Vậy ta có đường thẳngC⁰Mvuông góc với cả hai đường thẳngA⁰BvàB⁰C.

Lấy điểm IthuộcBB⁰. GọiElà giao điểm của MI vàA⁰B;Flà giao điểm của IC⁰ vàB⁰C.

Ta cần tìm vị trí của IđểEFk C⁰M.

Ta cóEFk C⁰M⇔ ^IE

ME = ^FI

FC⁰ ⇔ ^BI

MA⁰ = ^IB

0

CC⁰. DoCC⁰ =2MA⁰nên BI

MA⁰ = ^IB

0

CC⁰ ⇔ IB⁰ =2BI.

Vậy I là điểm thuộc đoạnBB⁰ sao cho IB⁰ =2BI thìEElà đoạn vuông góc chung của hai đường thẳngA⁰BvàB⁰Cvới Elà giao điểm của MI vàA⁰B;Flà giao điểm của IC⁰ vàB⁰C.

VÍ DỤ 5. Cho hình chópS.ABC có đáy là tam giác đều cạnha. SA = 2a và vuông góc với mặt đáy. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳngSBvàAC.

L Lời giải

B S

C A

D

H

I

Trong mặt phẳng(ABC), dựng hình thoiACBD, ta có: BDk AC ⇒ AC k(SBD).

⇒d(AC,SB) =d(AC,(SBD)) =d(A,(SBD)).

GọiIlà trung điểm của BD, ta có: BD⊥ AIvàBD⊥SA ⇒BD⊥(SAI).

⇒(SBD) ⊥(SAI)theo giao tuyếnSI.

Trong mặt phẳng(SAI), kẻ AH ⊥SItại H, ta có: AH ⊥(SBD)⇒ AH =d(A,(SBD)). Tam giácSAIvuông tại Acó đường cao AH.

⇒ ¹

AH² = ¹

SA² + ¹

AI² = ¹ 4a² + ⁴

3a² = ¹⁹ 12a².

⇒ AH²= ^12a

2

19 hay AH = ^2a

√57 19 . Vậyd(SB,AC) = ^2a

√57

19 .

VÍ DỤ 6. Cho hình chópS.ABCDcó đáy là hình vuông cạnh bằnga,SAvuông góc với đáy vàSA=a. Mlà trung điểm củaSB. Tính khoảng cách giữa các đường thẳng:

a) SCvàBD. b) ACvàSD. c) SDvàAM.

L Lời giải

C S

O H

B E

K

I

D

A

M

a) GọiOlà giao điểm của ACvàBD. Ta có:

®BD ⊥SA

BD ⊥ AC ⇒BD ⊥(SAC)tạiO.

Trong mặt phẳng(SAC), kẻOH⊥SC tạiH, ta cóOH ⊥SCvàOH ⊥BD(vìBD⊥(SAC)).

VậyOHlà đoạn vuông góc chung củaBDvàSC.

Ta cóOH

OC = ^SA

SC =sinACS‘ ⇒OH = ^OC.SA SC =

a√ 2 2 ·a a√

3 = ^a

√6 6 . Vậyd(SC,BD) =OH = ^a

√6 6 .

b) Dựng hình bình hànhACDE, ta có: AC k DE⇒ AC k (SDE).

⇒d(AC,SD) =d(AC,(SDE)) = d(A,(SDE)). Trong mặt phẳng(ABCD), kẻ AI ⊥DEtại I, ta có

®DE⊥ AI

DE⊥SA ⇒DE ⊥(SAI).

⇒(SDE)⊥(SAI)theo giao tuyếnSI.

Trong mặt phẳng(SAI), kẻ AK ⊥_SI tạiK, ta có: AK ⊥(SDE)⇒ _AK =d(A,(SDE)). Ta cóAIDOlà hình bình hành nên AI =OD = ^a

√2 2 . Trong tam giác vuôngSAIta có: 1

AK² = ¹

AI² + ¹

SA² = ² a² + ¹

a² = ³ a². Suy ra AK = ^a

√3 3 .

Vậyd(AC,SD) = d(A,(SDE)) = AK = ^a

√3 3 . c) Ta cóOMk SDvàAC k DEnên(AMC) k (SDE).

Suy rad(SD,AM) = d((AMC),(SDE)) =d(A,(SDE)) = AK = ^a

√3 3 .

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

BÀI 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng a; SA vuông góc với đáy và SA = a; M, N lần lượt là trung điểm của AB vàSC. Chứng minh rằng MN là đoạn vuông góc chung củaABvàSC. Tính khoảng cách giữa ABvàSC.

Lời giải.

S

M O

A D

N

B C

GọiOlà tâm của hình vuôngABCD, ta cóONlà đường trung bình của tam giácSAC⇒ON k SA

⇒ON ⊥(ABCD).

Suy ra MOlà hình chiếu của MNtrên mặt phẳng(ABCD). MàMO ⊥ABnên MN ⊥ AB(định lí ba đường vuông góc.

Tam giácMON vuông tạiO⇒ MN² = MO²+ON²= ^a

2

4 +^a

2

4 = ^2a

2

4 . Tam giácSAM vuông tạiM⇒SM² =SA²+AM²=a²+^a

2

4 = ^5a

2

4 . Ta cóSN² =

SC 2

2

= ^SA

2+AC²

4 = ^a

2+2a²

4 = ^3a

2

4 .

Suy raSM² =SN²+MN²hay tam giácSMN vuông tạiN⇒ MN ⊥SC.

Do đóMN là đoạn vuông góc chung củaABvàSC.

Vậyd(AB,SC) = MN = ^a

√2

2 .

BÀI 2. Cho hình lập phương ABCD.A⁰B⁰C⁰D⁰. Xác định đường vuông góc chung của hai đường thẳngBDvàB⁰C.

Lời giải.

A

A⁰ D

B⁰ N

I

C

D⁰

B

C⁰ M

Ta cóBD⊥(ACC⁰A”)⇒ BD⊥ AC⁰. Lại cóB⁰C⊥(ABC⁰)⇒ B⁰C ⊥ AC⁰.

Vậy ta có đường thẳngAC⁰vuông góc với cả hai đường thẳngB⁰CvàBD.

Lấy điểm IthuộcBC. GọiMlà giao điểm củaAI vàBD; Nlà giao điểm củaIC⁰vàB⁰C.

Ta cần tìm vị trí của IđểMN k AC⁰. Ta cóMN k AC⁰⇔ ^{I M}

MA = ^{I N}

NC⁰ ⇔ ^IB

AD = ^IC

B⁰C⁰ ⇔ IB= IC.

Vậy khiIlà trung điểm của BCthìMNlà đoạn vuông góc chung của hai đường thẳngBDvàB⁰C với Mlà giao điểm của AI vàBD; Nlà giao điểm của IC⁰vàB⁰C.

BÀI 3. Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình vuông tâmOcạnha,SOvuông góc với mặt phẳng đáy(ABCD)vàSO= a. Tính Khoảng cách giữa hai đường thẳngSCvàAB.

Lời giải.

O A

S

C H

B

I D

Ta có:DC k AB⇒ ABk (SCD) ⇒d(AB,SC) =d(AB;(SCD)) =d(A;(SCD)). GọiIlà trung điểm củaCD, ta cóCD ⊥OI.

MàCD ⊥SO⇒CD ⊥(SOI)⇒ (SCD) ⊥(SOI)theo giao tuyếnSI.

Trong mặt phẳng(SOI), kẻOH ⊥SI tạiH, ta cóOH ⊥(SOI). Trong tam giác vuôngSOI ta có 1

OH² = ¹

OI²+ ¹

SO² = ⁴ a² + ¹

a² = ⁵ a². Suy rad(O;(SCD)) =OH = ^a

√5 5 .

Vậyd(AB;(SCD)) = d(A;(SCD)) =2d(O;(SCD)) = ^2a

√5

5 .

BÀI 4. Cho hình chópS.ABCcó đáy là tam giác đều cạnha. Cạnh bênSAvuông góc với mặt đáy, mặt bênSBCtạo với đáy một góc60^◦. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng:

a) SAvàBC. b) SBvàAC.

Lời giải.

60^◦

B S

C

K A

D

H

I a) GọiKlà trung điểm củaBC, ta có

®AK ⊥ BC AK ⊥SA.

Do đóAKlà đoạn vuông góc chung của hai đường thẳngSAvàBC.

Vậyd(SA,BC) = AK = ^a

√3 2 . b) Ta có







(SBC)∩(ABC) = BC SA ⊥(ABC)

AK ⊥BC.

⇒SK ⊥BC ⇒SKA‘ là góc giữa hai mặt phẳng (SBC)và(ABC). Do đóSKA‘ =60^◦. Tam giácSAKvuông tạiAcóSKA‘ =60^◦ ⇒SA = AK. tan 60^◦ = ^3a

2 .

Trong mặt phẳng(ABC), dựng hình thoi ACBD, ta có: BDk AC⇒ ACk (SBD).

⇒d(AC,SB) = d(AC,(SBD)) = d(A,(SBD)).

GọiIlà trung điểm của BD, ta có:BD ⊥AI vàBD⊥SA⇒ BD⊥(SAI).

⇒(SBD)⊥(SAI)theo giao tuyếnSI.

Trong mặt phẳng(SAI), kẻ AH ⊥SI tạiH, ta có: AH ⊥(SBD)⇒ AH =d(A,(SBD)). Tam giácSAIvuông tạiAcó đường cao AH.

⇒ ¹

AH² = ¹

SA² + ¹

AI² = ⁴

9a² + ⁴

3a² = ¹⁶ 9a².

⇒ AH² = ^9a

2

16 hayAH = ^3a 4 . Vậyd(SB,AC) = ^3a

4 .

BÀI 5. Cho hình lập phương ABCD.A⁰B⁰C⁰D⁰ có cạnh bằnga. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳngBC⁰vàCD⁰.

Lời giải.

O

O⁰ A⁰

D

B⁰ C

D⁰

B A

C⁰ H

GọiO,O⁰lần lượt là tâm của hai hình vuông ABCDvàA⁰B⁰C⁰D⁰.

Ta có(ACD⁰)k (BA⁰C⁰)⇒ d(BC⁰,CD⁰) =d((ACD⁰),(BA⁰C⁰)) =d(O,(BA⁰C⁰)). Ta cóA⁰C⁰ ⊥(OBB⁰O⁰)⇒(BA⁰C⁰) ⊥(OBB⁰O⁰)theo giao tuyếnBO⁰.

Trong mặt phẳng(OBB⁰O⁰), kẻOH ⊥BO⁰ tạiH, ta cóOH ⊥(BA⁰C⁰)⇒d(O,(BA⁰C⁰)) =OH.

Tam giácOBO⁰vuông tạiOcóOHlà đường cao.

⇒ ¹

OH² = ¹

OB² + ¹

OO⁰² = ² a² + ¹

a² = ³ a².

⇒OH² = ^a

2

3 hayOH = ^a

√3 3 . Vậyd(BC⁰,CD⁰) = ^a

√3

3 .

BÀI TẬP TỔNG HỢP

BÀI 6. Cho hình lăng trụ ABC.A⁰B⁰C⁰ có đáy ABClà tam giác đều tâmO, A⁰A = A⁰B = A⁰C = a√

21

3 , khoảng cách từ điểmOđến mặt phẳng(ABB⁰A⁰)bằng a

2. Tính độ dài cạnh đáy của hình lăng trụ đã cho.

Lời giải.

A

I H

C

B O

C⁰ A⁰

B⁰

Ta cóOlà tâm của tam giác đềuABCvàA⁰A =A⁰B =A⁰Cnên A⁰Olà trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác đềuABC.

⇒ A⁰O⊥(ABC).

GọiIlà trung điểm của AB, ta có

®OI ⊥AB

A⁰O ⊥ AB ⇒ AB⊥(A⁰OI).

⇒(A⁰OI) ⊥(ABB⁰A⁰)theo giao tuyến A⁰I.

Trong mặt phẳng(A⁰OI), kẻOH ⊥ A⁰Itại H, ta cóOH ⊥(ABB⁰A⁰)

⇒OH =d(O,(ABB⁰A⁰) = ^a 2.

Gọi độ dài cạnh đáy làx(x >0) thì ta cóOI = ¹

3CI = ¹ 3· ^x

√3

2 = ^x

√3 6 . Tam giácA⁰OI vuông tạiOcóOHlà đường cao.

⇒ ¹

OH² = ¹

OI² + ¹

OA⁰² ⇒ ¹

OA⁰² = ¹

OH² − ¹

OI² = ⁴ a² −¹²

x² ⇒OA⁰²= ^a

2x²

4x²−12a². (1) Ta lại có tam giác A⁰OAvuông tạiO.

⇒OA⁰² = AA⁰²−OA² = ^7a

2

3 − ^x

2

3 = ^7a

2−x²

3 . (2)

Từ(₁)_&(₂), ta có:

a²x²

4x²−12a² = ^7a

2−x²

3 ⇔3a²x²=28a²x²−4x⁴−84a⁴+12a²x²

⇔4x⁴−37²x²+84a⁴=0⇔





x² =_4a² x² = ^21a

2

4

⇔





x =2a x = ^a

√21 2 . Vậy độ dài cạnh đáy của hình lăng trụ đã cho là2ahoặc a√

21

2 .

BÀI 7. Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a, cạnh bên bằng a√

5. Gọi (P) là mặt phẳng chứaABvà khoảng cách giữaCDvà(P)bằng a.

a) Tính góc giữa hai mặt phẳng(P)và(ABCD).

b) Xác định thiết diện của hình chópS.ABCDcắt bởi mặt phẳng(P). Tính diện tích của thiết diện này.

Lời giải.

S

N K

J

B M

H

D A

I C

a) Gọi I, Jlần lượt là trung điểm của AB,CD.

Ta có

®AB ⊥SI

AB ⊥I J ⇒ AB⊥(SI J)⇒(P) ⊥(SI J).

Lại cóCDk AB⇒CDk (P)⇒(SCD)∩(P) = MN k CD(M∈ SC,N ∈ SD). Trong mặt phẳng(SCD), gọiKlà giao điểm củaSJ vàMN, ta có(P)∩(SI J) = IK.

Trong mặt phẳng(SI J), kẻ JH ⊥ IKtạiH, ta có JH⊥(P)⇒ JH =d(J,(P)). VìCDk (P)nên d(CD,(P)) =d(J,(P)). Do đó, ta cóJH =a.

Ta có







(P)∩(ABCD) = AB AB⊥ I J

AB⊥ IK

⇒ ‘J I Hlà góc giữa hai mặt phẳng(P)và(ABCD). Tam giácI H Jvuông tạiHnêntan‘J I H= ^JH

I J = ¹

2 ⇒ ‘J I H =30^◦.

b) Thiết diện của hình chópS.ABCDcắt bởi mặt phẳng(P)là hình thang ABMN.

Tam giácSI Avuông tạiI nênSI² =SA²−I A² =5a²−a² =4a² ⇒SI =2a.

⇒SJ =SI = I J =2a⇒tam giácSI Jđều cạnh2a.

⇒ IKlà đường phân giác của tam giácSI Jnên IKcũng là đường trung tuyến, đường cao của tam giácSI J.

⇒Klà trung điểm củaSJ hayMNlà đường trung bình của tam giácSCD ⇒ MN =a.

Hình thangABMN có hai đáyMN, ABvà đường cao IKnên có diện tích là:

S_ABMN = ¹

2(AB+MN).IK = ^3a

2√ 3 2 .

Trong tài liệu Hướng dẫn giải các dạng toán vectơ trong không gian, quan hệ vuông góc - Học Tập Trực Tuyến Cấp 1,2,3 - Hoc Online 247 (Trang 91-104)