Viết phương trình đường thẳng dạng cơ bản

BÀI �. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

Nhóm 1. Viết phương trình đường thẳng dạng cơ bản

��BÀI TẬP VẬN DỤNG��

Viết phương trình đường thẳng�dạng tổng quát và dạng tham số trong các trường hợp:

Bài 1. � quaM(2;−3), có VTPT # »

��= (3;−4).

�Lời giải

Phương trình tổng quát

�: 3(� −2)−4(�+ 3) = 0� �: 3� −4� −15 = 0�

Phương trình tham số:

Ta có # »

�� = (3;−4)� # »

�� = (4; 3).

Nên �quaM(2;−3), có VTCP# »

�� = (4; 3) nên có dạng

®�= 2 + 4�

�=−3 + 3� (� ∈R). � Bài 2. � quaM(−2; 3), có VTPT # »

��= (5; 1).

�Lời giải

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

� Bài 3. � quaM(4; 0), có VTPT # »

�� = (1; 2).

�Lời giải

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

� Bài 4. � quaM(1; 7), có VTPT # »

�� = (3; 2).

�Lời giải

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

�

�: 4·(� −1) + 3·(� −2) = 0� �: 4�+ 3� −10 = 0�

• Phương trình tham số:�:

®�= 1−3�

�= 2 + 4� (� ∈R).

� Bài 6. � quaM(2; 3), có VTCP # »

�� = (3;−1).

�Lời giải

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

� Bài 7. � quaM(4; 1), có VTCP # »

�� = (1;−2).

�Lời giải

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

� Bài 8. � quaM(2; 6), có VTCP # »

�� = (4; 2).

�Lời giải

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

� Bài 9. � đi qua hai điểmA(1; 2) và B(3; 4).

�Lời giải

• Đường thẳng �quađiểmA(1; 2), có VTCP # »

AB= (2; 2) = 2(1; 1), suy ra VTPT # »

��= (1;−1).

• Phương trình tổng quát

�: 1·(� −1)−1·(� −2) = 0� �:� − �+ 1 = 0�

• Phương trình tham số �: �= 1 +�

� = 1 +� (� ∈R).

� Bài 10. � đi qua haiđiểmA(2;−1) vàB(3;−5).

�Lời giải

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

� Bài 11. � quađiểm M(2;−1) và song songO�.

�Lời giải

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

� Bài 12. � quađiểm M(1; 3) và song songO�.

�Lời giải

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

� Bài 13. � đi qua M(1; 2) và �vuông góc với đường thẳngAB với A(−2; 1),B(1; 3)

�Lời giải

Vì� ⊥AB nên �có một VTPT là # »

��= # »

AB= (3; 2)� # »

�� = (2;−3).

• Phương trình tổng quát:

�: 3·(� −1) + 2·(� −2) = 0� �: 3�+ 2� −7 = 0�

• Phương trình tham số �:

®�= 1 + 2�

� = 2−3� (� ∈R).

� Bài 14. � đi qua gốc tọa độ và� vuông góc với đường thẳng AB với A(2;−3),B(1; 1).

�Lời giải

� Bài 15. � vuông góc vớiđường thẳng AB với A(4; 1),B(1; 5).

�Lời giải

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

� Bài 16. � đi qua điểm M(1; 2) và vuông góc với đường thẳng ABvới trục tung O�.

�Lời giải

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

� Bài 17. � vuông góc vớiđường thẳng AB tại trung điểm của AB với A(2;−3), B(1; 1).

�Lời giải

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

� Bài 18. � làđường trung trực củađoạn thẳng ABvớiA(1; 5) và B(3; 1).

�Lời giải

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

�

Bài 19. � đi qua điểm M(2; 4) và vuông góc với đường thẳng �^�:� − �+ 2 = 0.

�Lời giải Cách 1.

Ta có �^� : � − � + 2 = 0 � #»

��^� = (1;−1) và do

� ⊥ �^� � #»

�� = (1;−1)� #»

�� = (1; 1)�

• Phương trình tổng quát

�: 1·(� −2) + 1·(� −4) = 0� �:�+� −6 = 0

• Phương trình tham số �:

®�= 2 +�

� = 4− � (� ∈R)

�

�^�

�# »�

!

^{Nếu hai} đường thẳng vuông góc nhau thì VTPT của đường thẳng này là VTCP của đường

thẳng kia và ngược lại.

Cách 2.

Do � ⊥ �^� :� − �+ 2 = 0� �:�+�+�= 0 (*)

Ta có M(2; 4)∈ �:�+�+�= 0⇔2 + 4 +�= 0⇔ �=−6.

Thếvào (∗), suy ra�^�:�+� −6 = 0.

!

Cần nhớ: Cho đường thẳng�^� :��+��+�= 0.

• Nếu � � �^� � �:��+��+�= 0� (� �= 0).

• Nếu ⊥ �^��

ñ�:�� − ��+�= 0

�:−��+��+�= 0.

� Bài 20. � đi qua điểm A(−1; 2) và vuông góc với đường thẳng �^� :� −4�+ 1 = 0.

�Lời giải

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

!

^Nếu ^đề bài không nói viết phương trình đường thẳng dạng tham số hay chính tắc, ta nên

viết theo cách 2 ( lời giải 2). Nó sẽthuận lợi cho những bài học phía sau và tránh hs nhầm

lẫn.

� Bài 21. � đi qua điểm M(−5; 2) và vuông góc với đường thẳng �^� :� =� (phân giác góc phần tư

thứ I, thứ III).

�Lời giải

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

� Bài 23. � đi qua điểm M(−3; 4) và song song với đường thẳng �^� :�+ 3�+ 1 = 0.

�Lời giải Cách 1.

Ta có�^�:�+ 3�+ 1 = 0� #»

��^� = (1; 3) và do� � �^� �

�#»�= (1; 3)� #»

��= (3;−1)

Sau đó, viết phương trình tổng quát, phương trình tham số.

�

�^�

�# »^�_�

!

^{Nếu hai} đường thẳng song song nhau thì VTCP của đường thẳng này cũng là VTCP của

đường thẳng kia và VTPT của đường thẳng này cũng là VTPT của đường thẳng kia.

Cách 2.

Ta có � � �^� :�+ 3�+ 1 = 0� �:�+ 3�+�= 0� (� �= 1) (*)

Do M(−3; 4)∈ �:�+ 3�+�= 0⇔ −3 + 3�4 +�= 0⇔9 +�= 0⇔ �=−9 (thỏa mãn).

Thếvào (∗)� �:�+ 3� −9 = 0. �

Bài 24. � đi qua điểm M(1; 1) và song song với đường thẳng�^� :� −3�+ 7 = 0.

�Lời giải

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

� Bài 25. � đi qua điểm M(2; 4) và song song với đường thẳng�^� :

®� = 1 + 2�

� =−3− �.

�Lời giải

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

� Viết phương trình đường thẳng�dạng tổng quát và dạng tham số trong các trường hợp sau:

Bài 26. � đi qua M(1; 4) và có hệsố góc�= 3.

�Lời giải

Phương trình đường thẳng� quaM có hệsốgóc� có dạng �:�=�(� − �M) +�M

� �:�= 3(� −1) + 4� �:� = 3�+ 1� �: 3� − �+ 1 = 0.

Ta có #»

�� = (3;−1)� #»

�� = (1; 3).

Phương trình tham số �:

®�= 1 +�

� = 4 + 3�(� ∈R). �

Bài 27. � đi qua M(−3; 2) và có hệsốgóc� =−2.

�Lời giải

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

� Bài 28. � đi qua điểm A(1;−5) và �tạo với chiều dương trục O� một góc 45^◦.

�Lời giải

Ta có hệsố góc của � là�= tan 45^◦= 1.

Đường thẳng � đi qua điểm A(1;−5) và có hệ số góc � = 1 có dạng � :� = 1·(� −1)−5� � :

� − � −6 = 0 �

Bài 29. � đi qua điểm A(−1; 2) và �tạo với chiều dương trục O� một góc 60^◦.

�Lời giải

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

� Bài 30. � đi qua điểm A(1; 2) và � cắt trục O�, O� tại haiđiểm A,Bsao cho OB= 2OA.

�Lời giải

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

� Nhóm 2. Viết phương trìnhđường thẳng đoạn chắn.

Phương pháp:

• 1

OH² = 1OA² + 1OB².

• Nếu M cố định (cho trước) và M ∈ �(thayđổi) thì OHmax⇔H ≡M ⇔OM⊥ � tại M � #»

�� = # » OM

� �

��BÀI TẬP VẬN DỤNG��

Bài 1. Viết phương trình đường thẳng �cắt tia O� tại A�cắt tia O� tại Bvà thỏa mãn:

a � quađiểmM(1; 2) thỏa OA= 2OB.

�Lời giải

Gọi A(�; 0)∈tia O��B(0;�)∈tiaO� với�� >0 Khi đó � có dạng �: �

� +�

� = 1 VìM(1; 2)∈ �: �

� +�

� = 1⇔ 1

� + 2� = 1⇔ �+ 2�=�� (1)

Ta cóOA=|�|=�>0�OB= 2|�|= 2�>0 và doOA= 2OB� �= 2� (2)

Thế(2) vào (1)� �+ 2·2�= 2�·� ⇔2�²−5�= 0⇔ �= 0 (loại) hoặc�= 52

Với �= 52 thếvào (2)� �= 2·5

2 = 5

Suy ra�: �

5 +2�

5 = 1� �:�+ 2� −5 = 0 �

b � quađiểmM(2;−3) thỏa 2OA=OB. ĐS:�+� −1 = 0

�Lời giải

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

� c � đi qua điểm M(2; 1) thỏa OA=OB. ĐS:�+� −3 = 0

�Lời giải

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

� d � quađiểmA(1; 2) thỏa OA+OB= 6. ĐS: 2�+� −4 = 0 hoặc�+� −3 = 0

�Lời giải

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

�

e G(1; 2) là trọng tâm tam giácOAB. ĐS: 2�+� −6 = 0

�Lời giải

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

�

f G(3; 3) là trọng tâm tam giácOAB. ĐS:�+� −9 = 0

�Lời giải

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

�

2 2

Từ (1) và (2)� �: 2�+� −6 = 0 hoặc�: 6�+� −12 = 0 �

h � quaM(1; 2) và diện tích tam giác OABbằng 4. ĐS: �: 2�+� −4 = 0

�Lời giải

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

� i � quaM(2; 5) và diện tích tam giác OABđạt giá trị nhỏ nhất.

�Lời giải

Gọi A(�; 0)∈tia O��B(0;�)∈tiaO� với�� >0 Khi đó � có dạng �: �

� +�

� = 1 VìM(2; 5)∈ �: �

� +�

� = 1⇔ 2

� + 5� = 1

Hay 1 = 2� + 5�

Cauchy

≥ 2·

…2

� · 5

� ⇔1≥2

…10

�� ⇔1≥ 40

�� ⇔ �� ≥40⇔ 1

2�� ≥20

Mà S�OAB= 12OA�OB = 12|�||�|= 12��nên S�OAB= 12�� ≥20�minS�OAB= 20

Dấu ^��=^�� xảy ra khi 2� = 5� và 2� + 5� = 1� 2

� + 2� = 1� 4

� = 1�

®�= 4

�= 10

� �: �

4 + �

10 = 1� �: 5�+ 2� −20 = 0 �

j � quaM(2; 6) và diện tích tam giác OABđạt giá trị nhỏ nhất. ĐS:3�+� −12 = 0

�Lời giải

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . .

� k � quaM(1; 4) và diện tích tam giác OABđạt giá trị nhỏ nhất. ĐS: 4�+� −8 = 0

�Lời giải

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

� l � quaM(3; 2) và khoảng cách từgốc tọa độ O đến đường thẳng � là lớn nhất.

�Lời giải

Gọi H là hình chiếu của O lên �Do đó khoảng cách từ O đến� là�(O� �) =OH�

Vì� thay đổi và luôn đi qua M(3; 2) nên�(O� �) =OH ≤OM� �max�(O� �) = maxOH = OM ⇔H ≡M

Dođóđường thẳng�quađiểmM(3; 2) và nhận # »

OM = (3; 2) là một VTPT nên phương trình

có dạng �: 3�+ 2� −13 = 0. �

m � quaM(1; 2) và 1OA² + 1OB² nhỏ nhất. ĐS: �:�+ 2� −5 = 0

�Lời giải

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

� n � đi qua điểm M(2; 1) vàOA+OB đạt giá trị nhỏnhất. ĐS: �:�+√

2� −√

2−2 = 0

�Lời giải

. . . . . . . . . . . .

o � đi qua M(9; 1) vàđộ dài đoạn thẳng AB là nhỏ nhất. ĐS:�:�+ 2� −10 = 0

�Lời giải

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

� Bài 2 (HK2 - THPT Nguyễn Thượng Hiền - Tp. HồChí Minh). Cho điểm A(4; 1) Viết phương trình đường thẳng�cắt hai trụcO��O�lần lượt tại haiđiểmM�N sao cho tứgiácAMON là hình chữ nhật.

�Lời giải

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

� Bài 3. Viết phương trìnhđường thẳng�đi quađiểmM(2; 1) và cắt hai trục tọađộ tạiA�Bsao cho

tam giác OAB vuông cân.

�Lời giải

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

�

Bài 4. Viết phương trình đường thẳng� đi qua điểm M(−4; 10) và cắt hai trục tọa độ tại A�Bsao

cho tam giác OABcân.

�Lời giải

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

�

�DẠNG 2. Vịtrí tươngđối và bài toán tìmđiểm

Trong tài liệu Lý Thuyết Trọng Tâm Và Phương Pháp Giải Các Dạng Chuyên đề Toán 10 Học Kì 2 (Trang 173-185)