c Ví dụ 23. Trong không gian với hệ tọa độOxyz, viết phương trình mặt phẳng(P)song song với mặt phẳng(Q):x+2y−2z+1=0và tiếp xúc với mặt cầu(S):x2+y2+z2+2x−4y−2z−3=0.
ÊLời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c Ví dụ 24. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình:
x2+y2+z2−2x+6y−4z−2=0. Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với giá của véc tơ
#»v = (1; 6; 2), vuông góc với mặt phẳng(α):x+4y+z−11=0và tiếp xúc với(S).
ÊLời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c Ví dụ 25. Trong không gian với hệ tọa độOxyz,cho mặt cầu(S):x2+y2+z2+2x−4y−4=0và mặt phẳng(P):x+z−3=0. Viết phương trình mặt phẳng(Q)đi qua điểmM(3; 1;−1)vuông góc với mặt phẳng(P)và tiếp xúc với mặt cầu(S).
ÊLời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu hỏi tương tự
Với(S):x2+y2+z2−2x+4y−4z+5=0,(P): 2x+y−6z+5=0,M(1; 1; 2).
ĐS:(Q): 2x+2y+z−6=0hoặc(Q): 11x−10y+2z−5=0.
p Th.S Nguyễn Hoàng Việt – Ô0905.193.688
c Ví dụ 26. Trong không gian với hệ tọa độOxyz, cho mặt cầu(S):x2+y2+z2−2x+4y+2z−3=0.
Viết phương trình mặt phẳng(P)chứa trụcOxvà cắt mặt cầu(S)theo một đường tròn có bán kínhr=3.
ÊLời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c Ví dụ 27. Trong không gian với hệ tọa độOxyz, cho mặt cầu(S):x2+y2+z2+2x−2y+2z−1=0 và đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳngx−y−2=0,2x−z−6=0. Viết phương trình mặt phẳng(P)chứad và cắt mặt cầu(S)theo một đường tròn có bán kínhr=1.
ÊLời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c Ví dụ 28. Trong không gian với hệ toạ độOxyz, cho mặt cầu(S):x2+y2+z2−2x+4y−6z−11=0 và mặt phẳng(α)có phương trình2x+2y−z+17=0. Viết phương trình mặt phẳng(β)song song với (α)và cắt mặt cầu(S)theo giao tuyến là đường tròn có chu vi bằng2p=6π.
ÊLời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Câu hỏi tương tự:
Mặt cầu(S):x2+y2+z2+2x+4y−6z−11=0,(α): 2x+y−2z+19=0,p=8π.
ĐS:(β): 2x+y−2z+1=0 2. Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến khoảng cách.
c Ví dụ 29. Trong không gian với hệ tọa độOxyz,cho các điểm A(1; 0; 0),B(0;b; 0),C(0; 0;c) trong đób,cdương và mặt phẳng(P):y−z+1=0.Viết phương trình mặt phẳng(ABC)biết mặt phẳng(ABC) vuông góc với mặt phẳng(P)và khoảng cách từ điểmOđến mặt phẳng(ABC)bằng 1
3. ÊLời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c Ví dụ 30. Trong không gian với hệ tọa độOxyz,cho hai mặt phẳng (P):x+y+z−3=0 và(Q): x−y+z−1=0. Viết phương trình mặt phẳng(R)vuông góc với(P)và (Q)sao cho khoảng cách từ O đến(R)bằng√
2.
ÊLời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c Ví dụ 31. Trong không gian với hệ tọa độOxyz, viết phương trình mặt phẳng(P)song song với mặt phẳng(Q):x+2y−2z+1=0và cách(Q)một khoảng bằng 3.
ÊLời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c Ví dụ 32. Trong không gian với hệ toạ độOxyz, viết phương trình mặt phẳng(P)đi quaO, vuông góc với mặt phẳng(Q):x+y+z=0và cách điểmM(1; 2;−1)một khoảng bằng√
2.
ÊLời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
p Th.S Nguyễn Hoàng Việt – Ô0905.193.688
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c Ví dụ 33. Trong không gian với hệ tọa độOxyz, cho mặt cầu(S)có phương trìnhx2+y2+z2−4x− 4y−4z=0 và điểm A(4; 4; 0). Viết phương trình mặt phẳng (OAB) biếtB thuộc(S) và tam giácOAB đều.
ÊLời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c Ví dụ 34. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm M(0;−1; 2) và N(−1; 1; 3). Viết phương trình mặt phẳng (P)đi qua M,N sao cho khoảng cách từ điểmK(0; 0; 2)đến mặt phẳng (P)là lớn nhất.
ÊLời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
cBài 39. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng(P) song song với mặt phẳng(Q):x+2y−2z+1=0và(P)cách điểmM(1;−2; 1)một khoảng bằng 3.
ÊLời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . cBài 40. Trong không gian với hệ toạ độOxyz, cho các điểmM(−1; 1; 0),N(0; 0;−2),I(1; 1; 1). Viết phương trình mặt phẳng(P)quaMvàN, đồng thời khoảng cách từIđến(P)bằng√
3.
ÊLời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . cBài 41. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD với A(1;−1; 2), B(1; 3; 0), C(−3; 4; 1), D(1; 2; 1). Viết phương trình mặt phẳng(P)đi qua A,Bsao cho khoảng cách từCđến (P) bằng khoảng cách từDđến(P).
ÊLời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu hỏi tương tựVớiA(1; 2; 1),B(−2; 1; 3),C(2;−1; 1),D(0; 3; 1).
ĐS:(P): 4x+2y+7z−15=0hoặc(P): 2x+3z−5=0.
cBài 42. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD với A(1;−1; 2), B(1; 3; 0), C(−3; 4; 1), D(1; 2; 1). Viết phương trình mặt phẳng(P)đi qua A,Bsao cho khoảng cách từCđến (P) bằng khoảng cách từDđến(P).
ÊLời giải.
p Th.S Nguyễn Hoàng Việt – Ô0905.193.688
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu hỏi tương tựVớiA(1; 2; 1),B(−2; 1; 3),C(2;−1; 1),D(0; 3; 1).
ĐS:(P): 4x+2y+7z−15=0hoặc(P): 2x+3z−5=0.
cBài 43. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(1; 2; 3),B(0;−1; 2), C(1; 1; 1). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi quaA và gốc tọa độOsao cho khoảng cách từ Bđến (P)bằng khoảng cách từCđến(P).
ÊLời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu hỏi tương tự:VớiA(1; 2; 0),B(0; 4; 0),C(0; 0; 3).
ĐS:−6x+3y+4z=0hoặc6x−3y+4z=0.
cBài 44. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1; 1;−1),B(1; 1; 2),C(−1; 2;−2) và mặt phẳng(P):x−2y+2z+1=0. Viết phương trình mặt phẳng(α)đi quaA, vuông góc với mặt phẳng (P), cắt đường thẳngBCtạiIsao choIB=2IC.
ÊLời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . cBài 45. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A(0;−1; 2),B(1; 0; 3)và tiếp xúc với mặt cầu(S):(x−1)2+ (y−2)2+ (z+1)2=2.
ÊLời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . cBài 46. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểmA(2;−1; 1). Viết phương trình mặt phẳng (P)đi qua điểmAvà cách gốc tọa độOmột khoảng lớn nhất.
ÊLời giải.
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
| Dạng 15. Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến góc hoặc liên quan đến tam giác
Giải bài toán viết phương trình mặt phẳng liên quan đến góc hoặc liên quan đến tam giác thường phải sử dụng công thức tính góc giữa hai mặt phẳng và phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn dưới đây:
○ Giả sử(α):Ax+By+Cz+D=0và(β):A0x+B0y+C0z+D0=0có các véc-tơ pháp tuyến tương ứng là #»nα = (A;B;C)và #»nβ = (A0;B0;B0). Khi đó, gócϕgiữa hai mặt phẳng(α)và(β)được tính theo công thức
cosϕ =|cos(#»nα,#»nβ)|= |#»nα·#»nβ|
|#»nα| · |#»nβ|.
○ Phương trình mặt phẳng(P)đi qua ba điểmA(a; 0; 0),B(0;b; 0)vàC(0; 0;c)(vớiabc6=0) có dạng x
a+y b+z
c =1.
c Ví dụ 35. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (α) : 2x−y+3z−5= 0 và A(3;−2; 1). Viết phương trình mặt phẳng(P)quaAvà song song với(α).
ÊLời giải.
. . . . . . . .
. . . . . . . . c Ví dụ 36. Trong không gian với hệ tọa độOxyz, cho hai điểmA(3; 1;−1),B(2;−1; 4) và(α):x− 2y+3z−1=0. Viết phương trình mặt phẳng(β)qua hai điểmA,Bvà vuông góc với mặt phẳng(α).
ÊLời giải.
p Th.S Nguyễn Hoàng Việt – Ô0905.193.688
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . c Ví dụ 37. Trong không gian với hệ tọa độOxyz, viết phương trình mặt phẳng(α)chứa trụcOx và tạo với mặt phẳng(P):√
5x+y+2z=0một góc bằng60◦. ÊLời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c Ví dụ 38. Trong không gian với hệ tọa độOxyz, cho(P): 5x−2y+5z−1=0và(Q):x−4y−8z+ 12=0. Lập phương trình mặt phẳng(α)đi qua gốc tọa độO, vuông góc với mặt phẳng(P)và hợp với mặt phẳng(Q)một góc45◦.
ÊLời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c Ví dụ 39. Trong không gian với hệ tọa độOxyz, viết phương trình mặt phẳng(α)đi qua hai điểm A(3; 0; 0),C(0; 0; 1)và cắt trụcOytại điểmBsao cho tam giácABCcó diện tích bằng 7
2. ÊLời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
cBài 47. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm M(2;−1; 4)và song song với mặt phẳng(P): 3x−y+2z=0.
ÊLời giải.
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . cBài 48. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua hai điểm A(1; 1;−1),B(5; 2; 1)và vuông góc với mặt phẳng(β):−x+z+10=0.
ÊLời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . cBài 49. Trong không gian với hệ tọa độOxyz, viết phương trình mặt phẳng(P)đi qua giao tuyếndcủa hai mặt phẳng(α): 2x−y−1=0,(β): 4x−3y+z−3=0và tạo với mặt phẳng(Q):x−2y+2z+1=0 một gócϕ màcosϕ= 2√
2 9 .
ÊLời giải.
p Th.S Nguyễn Hoàng Việt – Ô0905.193.688
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . cBài 50. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểmM(−1;−1; 3),N(3; 1; 5) và mặt phẳng (Q):x+2y−z+3=0. Viết phương trình mặt phẳng(P)đi quaM,N và tạo với(Q)một góc nhỏ nhất.
ÊLời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
cBài 51. Trong không gian với hệ tọa độOxyz, viết phương trình mặt phẳng(P)biết nó đi qua điểm G(−1; 2;−3)và cắt các trụcOx,Oy,Ozlần lượt tại các điểmA,B,Csao choGlà trọng tâm của tam giác ABC.
ÊLời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
| Dạng 16. Các dạng khác về viết phương trình mặt phẳng a) Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn
Giả sử mặt phẳng(P)cắt ba trục tọa độ tạiA(a; 0; 0),B(0;b; 0),C(0; 0;c)
⇒(P): x a+y
b+z c =1.
○ (P)cắt tiaOx⇒a>0,(P)cắt tia đối của tiaOx⇒a<0.
○ OA=|a|;Ob=|b|;OC=|c|.
○ S4OAB= 1
2.OA.OB=1
2|a| · |b|= 1 2|ab|.
○ VOABC= 1
6OA.OB.OC= 1 6|abc|.
b) Một số bất đẳng thức cơ bản
○ Bất đẳng thức Cauchy.
Cho2số thực không âmx,y.Khi đóx+y≥2√
xy. Dấu bằng xảy ra khix=y.
Cho3số thực không âmx,y,z.Khi đóx+y+z≥3√3
xyz. Dấu bằng xảy ra khix=y=z.
○ Bất đẳng thức B-C-S (Bunyakovski) Cho các số thựcx,y,z,a,b,c.Khi đó
(ax+by+cz)2≤Ä
a2+b2+c2ä Ä
x2+y2+z2ä .
Dấu bằng xảy ra khi a x = b
y = c z.
c Ví dụ 40. Trong không gian với hệ tọa độOxyz,cho hai điểmM(1; 2; 1);N(−1; 0;−1).Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M, N cắt trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B,C khác gốc tọa độ O sao cho AM=√
3BN.
ÊLời giải.
. . . . . . . .
. . . . . . . .
p Th.S Nguyễn Hoàng Việt – Ô0905.193.688
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c Ví dụ 41. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,cho các điểmB(0; 3; 0),M(4; 0;−3).Viết phương trình mặt phẳng(P)chứaB,M và cắt các tiaOx,Ozlần lượt tạiA,Csao cho thể tích khối tứ diệnOABC bằng3.
ÊLời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c Ví dụ 42. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,cho điểmM(2; 4; 1).Viết phương trình mặt phẳng (P)quaMvà cắt các tiaOx,Oy,OztạiA,B,Csao cho4OA=2OB=OC.
ÊLời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c Ví dụ 43. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi(P) là mặt phẳng đi qua điểmM(1; 2; 3),cắt các tiaOx,Oy,Ozlần lượt tạiA,B,Csao cho biểu thức
1
OA2+ 1
OB2+ 1
OC2 có giá trị nhỏ nhất. Viết phương trình mặt phẳng(P).
ÊLời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c Ví dụ 44. Trong không gian với hệ tọa độOxyz, gọi(P) là mặt phẳng đi qua điểm M(1; 4; 9), cắt các tiaOx,Oy,Ozlần lượt tạiA,B,Csao cho biểu thứcOA+OB+OCcó giá trị nhỏ nhất. Viết phương trình mặt phẳng(P).
ÊLời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
BÀI TẬP TỔNG HỢP
cBài 52. Trong không gian với hệ tọa độOxyz,cho điểmA(1; 1; 1).Gọi(P)là mặt phẳng đi qua điểm Avà cách gốc tọa độOmột khoảng lớn nhất. Viết phương trình mặt phẳng(P).
ÊLời giải.
. . . . . . . .
. . . . . . . .
p Th.S Nguyễn Hoàng Việt – Ô0905.193.688
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . cBài 53. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2; 5;−3), B(−2; 1; 1),C(2; 0; 1) và mặt phẳng (α): 3x+4y+5z+1=0. GọiD là điểm thuộc(α)và có tung độ dương sao cho có vô số mặt phẳng (P) đi quaC,D thỏa mãn khoảng cách từ A đến (P) gấp3 lần khoảng cách từ B đến (P). Viết phương trình mặt phẳng(BCD).
ÊLời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . cBài 54. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,cho mặt phẳng (P):x−y+2z+1=0và mặt phẳng (Q): 2x+y+z−1=0.Gọi(S)là mặt cầu có tâm thuộc trục hoành đồng thời(S)cắt mặt phẳng(P)theo giao tuyến là một đường tròn bán kính bằng 2 và (S)cắt mặt phẳng (Q)theo giao tuyến là một đường tròn bán kínhr.Tìmrsao cho chỉ có đúng một mặt cầu(S)thỏa mãn yêu cầu.
ÊLời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . cBài 55. Trong không gian với hệ tọa độOxyz,cho mặt phẳng(P):x+2y+2z+18=0,M là điểm di động trên mặt phẳng(P), N là điểm thuộc tia OM sao cho OM.ON =24. Tìm giá trị nhỏ nhất của khoảng cách từ điểmN đến mặt phẳng(P).
ÊLời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . cBài 56. Trong không gian với hệ tọa độOxyz,cho mặt cầu(Sm):(x+m)2+ (y−2m)2+z2−5m2+ 4m−1=0.Biết khimthay đổi thì(Sm)luôn giao với mặt phẳng(P)có định với giao tuyến là một đường tròn(C)cố định. Tính bán kính của đường tròn(C).
ÊLời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
| Dạng 17. Ví trí tương đối của hai mặt phẳng Cho hai mặt phẳng(P1)A1x+B1y+C1z+D1=0và(P2)A2x+B2y+C2z+D2=0.
Khi đó ta có ba trường hợp
p Th.S Nguyễn Hoàng Việt – Ô0905.193.688
1. (P1)≡(P2)⇔ A1 A2 = B1
B2 =C1 C2 = D1
D2· 2. (P1)∥(P2)⇔ A1
A2 = B1 B2 =C1
C2 6= D1 D2· 3. (P1)cắt(P2)⇔A1:B1:C16=A2:B2:C2. Lưu ý:A1.A2+B1.B2+C1.C2=0⇔(P1)⊥(P2).
c Ví dụ 45. Xét vị trí tương đối của mặt phẳng(P)x+y+z−1=0và(Q)2x−1=0.
ÊLời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c Ví dụ 46. Xét vị trí tương đối của mặt phẳng(P)2x−3y+5z−1=0và(Q)x−y−z+2=0.
ÊLời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c Ví dụ 47. Cho(P) (m+1)x+ (n+3)y+2z−1=0và(Q)x+2y+z+3=0. Tìmm,n∈Rđể(P) song song với(Q).
ÊLời giải.
. . . . . . . .
. . . . . . . . c Ví dụ 48. Cho (P) (m+2n)x+ (2n2+3)y+z−8=0 và (Q)x−my+ (n2−5m+15)z−3=0.
Chứng tỏ(P)và(Q)cắt nhau.
ÊLời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c Ví dụ 49. Viết phương trình mặt phẳng(P)quaA(1; 2; 3)và song song với mặt phẳng(Q)x+2y− 3z+3=0.
ÊLời giải.
. . . . . . . .
. . . . . . . .
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
cBài 57. Cho(P)x+2y−2z−3=0 và(Q) (m+1)x−(m−5)y−4mz+1+m=0. Tìmmđể (P) song song với(Q).
ÊLời giải.
. . . .
cBài 58. Viết phương trình mặt phẳng(P)quaA(1; 2; 3)song song với mặt phẳng(Oxy).
ÊLời giải.
. . . .
| Dạng 18. Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu Cho mặt cầuS(I;R)và mặt phẳng(P). Ta có ba trường hợp
1. d(I,(P)) =R⇔(P)tiếp xúc(S).
2. d(I,(P))<R⇔(P)cắt(S)theo đường tròn(C).
3. d(I,(P))>R⇔(P)không cắt(S).
c Ví dụ 50. Cho mặt cầu(S) (x−1)2+ (y−2)2+ (z−3)2=16và mặt phẳng(P)x+2y+2z+1=0.
Xác định vị trí tương đối của(S)và(P).
ÊLời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c Ví dụ 51. Cho(P)3x+4y+4=0vàA(1; 2; 3). Viết phương trình mặt cầu tâmAcắt mặt phẳng(P) theo đường tròn giao tuyến(C)có chu vi bằng8π.
ÊLời giải.
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
p Th.S Nguyễn Hoàng Việt – Ô0905.193.688
. . . . . . . .
. . . . . . . . c Ví dụ 52. Cho mặt phẳng (P)x+y+2z+3=0 và (Q) 2x−y−z+3=0. Gọi(S)là mặt cầu có tâm thuộc trục hoành, đồng thời giao tuyến của(S)với các mặt phẳng(P), (Q)là các đường tròn có bán kính lần lượt là
√ 46
2 , r. Xác địnhrsao cho có đúng một mặt cầu thoả mãn yêu cầu bài toán.
ÊLời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c Ví dụ 53. ChoA(a; 0; 0),B(0;b; 0),C(0; 0;c),a,b,c>0thoả mãna+2b+3c=4. Xác định phương trình mặt phẳng chứa đường tròn lớn của mặt cầu ngoại tiếp hình chópOABCđộc lập vớia,b,c.
ÊLời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
cBài 59. Cho phương trình mặt cầu (S) x2 +y2+z2 −2x+4y−2z−3 = 0 và hai điểm A(0;−1; 0), B(1; 1;−1). Viết phương trình mặt phẳng(P)quaA,Bvà cắt mặt cầu(S)theo giao tuyến là đường tròn có bán kính lớn nhất.
ÊLời giải.
. . . . . . . .
. . . . . . . . cBài 60. Cho phương trình mặt cầu(S)(x−3)2+ (y+2)2+ (z+1)2=4. Viết phương trình tiếp diện với mặt cầu(S)tạiM(3; 0;−1).
ÊLời giải.
. . . . cBài 61. Cho phương trình mặt phẳng(P)x+2y−2z+6=0và mặt cầu(S) (x−1)2+ (y+2)2+z2= 1. Viết phương trình mặt phẳng(Q)song song với(P)và tiếp xúc với(S).
ÊLời giải.
. . . .
cBài 62. Viết phương trình mặt cầu(S)quaA(3;−3; 4)tiếp xúc đồng thời với các mặt phẳng(α)x− 2=0,(β)y+2=0và(γ)z−2=0.
ÊLời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
| Dạng 19. Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. Tìm hình chiếu của một điểm trên mặt phẳng. Tìm điểm đối xứng của một điểm qua mặt phẳng.
○ Khoảng cách từ điểmM(x0;y0;z0)đến mặt phẳng(P)có phương trìnhAx+By+Cz+D=0là d(M,(P)) = |Ax0+By0+Cz0+D|
√
A2+B2+C2 .
○ Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song: Chọn một điểm trên mặt phẳng (choy=z=0). Tính khoảng cách từ điểm đó đến mặt phẳng kia.
c Ví dụ 54. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):x−2y+2z= 0 và điểm M(1; 2; 3). Tính khoảng cách từMđến(P).
ÊLời giải.
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
c Ví dụ 55. Trong không gian với hệ tọa độOxyz, cho các điểmA(2; 0; 0),B(0;−1; 0),C(0; 0; 3). Tính khoảng cách từ gốc tọa độ đến mặt phẳng(ABC).
ÊLời giải.
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
c Ví dụ 56. Trong không gian với hệ tọa độOxyz, cho hai mặt phẳng song song(P):x+2y−2z+7= 0và(Q):x+2y−2z−4=0. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng.
ÊLời giải.
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
p Th.S Nguyễn Hoàng Việt – Ô0905.193.688
c Ví dụ 57. Trong không gian với hệ tọa độOxyz, tìm điểm thuộc trụcOxsao cho khoảng cách đến mặt phẳng(α):x−y+z+1=0bằng√
3.
ÊLời giải.
. . . . . . . .
. . . . . . . .
c Ví dụ 58. Trong không gian với hệ tọa độOxyz, tìm điểm thuộc trụcOycách đều điểmA(1; 1;−1) và mặt phẳng(α):x+y+z−5=0.
ÊLời giải.
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
c Ví dụ 59. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểmA(1; 0; 0), B(0;b; 0),C(0; 0;c). Biết b,c>0, phương trình mặt phẳng(P):y−z+1=0. Biết rằng mặt phẳng(ABC)vuông góc với mặt phẳng (P)và khoảng cách từOđến mặt phẳng(ABC)bằng 1
3. Tìm tọa độ các điểmBvàC.
ÊLời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
cBài 63. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng(P): 3x+4y+2z+4=0 và điểm A(1;−2; 3). Tính khoảng cách từAđến(P)
ÊLời giải.
. . . . . . . .
. . . . . . . .
cBài 64. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (α):x+2y−2z+5= 0 và điểm B(−1; 2;−3). Tính khoảng cách từBđến(α)
ÊLời giải.
. . . .
cBài 65 (ĐH-2013NC-Khối D). Trong không gian với hệ tọa độOxyz, cho mặt phẳng(P):x−2y− 2z+5=0và điểmC(−1; 3;−2). Tính khoảng cách từCđến(P). Viết phương trình mặt phẳng đi quaC và song song với(P).
ÊLời giải.
. . . . cBài 66. Trong không gian với hệ tọa độOxyz, cho mặt cầu(S):x2+y2+z2−4x+2y+4z−7=0 và mặt phẳng(P):x−2y+2z+3=0. Tính khoảng cách từ tâmI của mặt cầu(S)đến mặt phẳng(P).
ÊLời giải.
. . . .
| Dạng 20. Tìm tọa độ hình chiếu của điểm trên mặt phẳng. Điểm đối xứng qua mặt phẳng
○ Để tìm hình chiếuH của điểmAtrên mặt phẳng(P):
GọiH(x;y;z). Tính véc-tơ # »
AH. Sử dụng điều kiện # »
AH=k·#»n(P) vàH∈(P).
○ Để tìm tọa độ điểmBđối xứng vớiAqua(P):
Sử dụng điều kiệnH là trung điểmAB.
c Ví dụ 60. ChoA(1;−1; 1)và mặt phẳng(P): 2x−2y+z+4=0.
a) Tìm tọa độ điểmH là hình chiếu vuông góc của điểmAtrên mặt phẳng(P).
b) Tìm tọa độ điểmA0là điểm đối xứng của điểmAqua mặt phẳng(P).
ÊLời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c Ví dụ 61. Trong không gian với hệ tọa độOxyzcho điểmA(1;−1; 1),B(0; 1;−2). Tìm tọa độ điểm Mthuộc mặt phẳng(Oxy)sao cho|MA−MB|đạt giá trị lớn nhất.
ÊLời giải.
p Th.S Nguyễn Hoàng Việt – Ô0905.193.688
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
cBài 67. Tìm tọa độ hình chiếuH của điểmM(2;−3; 5)trên mặt phẳng(P): 2x−y+2z−26=0.
ÊLời giải.
. . . . . . . .
. . . . . . . .
cBài 68. Trong không gian với hệ tọa độOxyz, cho điểmM(1;−2; 1)và mặt phẳng(P): 3x+y+2z+ 11=0. Tìm tọa độ điểmM0là điểm đối xứng với điểmMqua mặt phẳng(P).
ÊLời giải.
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
cBài 69. Trong không gian với hệ tọa độOxyz, cho điểmA(4; 1;−2). Tìm tọa độ điểmA0là điểm đối xứng với điểmAqua mặt phẳng(Oxz).
ÊLời giải.
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
cBài 70. Trong không gian với hệ tọa độOxyz, cho ba điểm không thẳng hàngA(2; 0;−1),B(1;−2; 3), C(0; 1; 2). Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của gốc tọa độOlên mặt phẳng(ABC).
ÊLời giải.
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
cBài 71. Trong không gian với hệ tọa độOxyz, cho điểmM(1;−2;−2)và mặt phẳng(P):x+y−z− 4=0. Tìm tọa độ điểmNlà điểm đối xứng với điểmMqua mặt phẳng(P).
ÊLời giải.
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . cBài 72 (TN-2011-Ban cơ bản). Cho điểmA(3; 1; 0)và mặt phẳng(P): 2x+2y−z+1=0. Tính khoảng cách từAđến(P). Viết phương trình mặt phẳng(Q)quaAvà song song với(P). Xác định tọa độ hình chiếu của điểmAtrên mặt phẳng(P).
ÊLời giải.
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . cBài 73 (CĐ-2014). Trong không gian với hệ tọa độOxyz, cho các điểm A(2; 1−1), B(1; 2; 3) và mặt phẳng (P):x+2y−2z+3=0. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc củaA trên mặt phẳng(P). Viết phương trình mặt phẳng(Q)chứaA,Bvà vuông góc với mặt phẳng(P).
ÊLời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . cBài 74 (ĐH-2013-Khối D). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(−1;−1;−2), B(0; 1; 1)và mặt phẳng(P):x+y+z−1=0. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của Atrên mặt phẳng (P). Viết phương trình mặt phẳng(Q)chứaA,Bvà vuông góc với mặt phẳng(P).
ÊLời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . cBài 75. Trong không gian với hệ tọa độOxyz, cho các điểmA(1;−2;−5),B(1; 4; 5),C(1; 4; 3)và mặt phẳng(P): 7x+5y+z+57=0. Tìm tọa độ điểmMthuộc mặt phẳng(P)sao cho|# »
MA+# »
MB+MC|# » đạt
p Th.S Nguyễn Hoàng Việt – Ô0905.193.688
giá trị nhỏ nhất.
ÊLời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . cBài 76. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(3; 1; 0), B(−9; 4; 9) và mặt phẳng (P): 2x−y+z+1=0. Tìm tọa độ điểmMthuộc mặt phẳng(P)sao cho|MA−MB|đạt giá trị lớn nhất.
ÊLời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .