Xét dấu của tam thức bậc hai áp dụng vào giải bất phương trình bậc hai đơn giản 1. Phương pháp

Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133

Trang 392 Bất phương trình bậc hai ẩn x là bất phương trình dạng ax²+bx+ <c 0 (hoặc ax²+bx+ £c 0,

2 0,

ax +bx+ >c ax²+bx+ ³c 0), trong đó a b c, , là những số thực đã cho, a¹0.

2. Giải bất phương trình bậc hai

Giải bất phương trình bậc hai ax²+bx+ <c 0 thực chất là tìm các khoảng mà trong đó

( ) ²

f x =ax +bx+c cùng dấu với hệ số a (trường hợp a<0) hay trái dấu với hệ số a (trường hợp

0 a> ).

B. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

Dạng 1. Xét dấu của tam thức bậc hai áp dụng vào giải bất phương trình bậc hai đơn giản

Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133

Trang 393 Dựa vào bảng xét dấu ^f( )^{x ³  £ £0 1 x 2}.

Ví dụ 3: Tập nghiệm của bất phương trình ^2x2-

(

^{2 1+}

)

^{x+ <1 0 là:}

A. ²;1 . 2 æ ö÷

ç ÷

ç ÷

ç ÷÷

çè ø B. Æ.

C. ²;1 . 2

é ù

ê ú

ê ú

ê ú

ë û D. ; ² (1; ).

2

æ ö÷

ç ÷

ç-¥ ÷È +¥

ç ÷÷

çè ø

Lời giải Chọn C

Ta có ( ) ^{2 2}

(

^{2 1}

)

^{1 0} 2

1 x 2

f x x x

x éê =

= - + + =  êê ê =ë

. Bảng xét dấu

Dựa vào bảng xét dấu ( ) 0 ² 1 f x <  2 < <x . Ví dụ 4: Tập nghiệm của bất phương trình 6x²+ - £x 1 0 là

A. ^{1 1}; 2 3

é ù

ê- ú

ê ú

ë û. B. ^{1 1};

2 3 æ ö÷

ç- ÷

ç ÷

çè ø.

C. ; ^{1 1};

2 3

æ ö æ÷ ö÷ ç-¥ - ÷Èç +¥÷

ç ÷ ç ÷

ç ç

è ø è ø. D. ; ^{1 1};

2 3

æ ù é ö÷

ç-¥ - Èú ê +¥÷

ç ÷

ç ú ê

è û ë ø.

Lời giải Chọn A

Ta có ( ) ²

1

6 1 0 3

1 2 x

f x x x

x éê =

= + - ê

=

=

ë

- êê êê

.

Bảng xét dấu

Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133

Trang 394 Dựa vào bảng xét dấu ( ) 0 ^{1 1}

2 3

f x £ - £ £x .

3. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Cho f x( )=ax²+bx+c a 0 .( ¹ ) Điều kiện để f x( )>0, " Îx  là A. ⁰ .

0 ì >a ïïíïD £

ïî B. ⁰ .

0 ì >a ïïíïD ³

ïî C. ⁰ .

0 ì >a ïïíïD <

ïî D. ⁰ .

0 ì <a ïïíïD >

ïî Lời giải

Chọn C ( ) 0,

f x > " Îx  khi a>0 và D <0.

Câu 2: Cho f x( )=ax²+bx+c a( ¹0). Điều kiện để f x( )^{³ " Î}0, x  là A. ⁰

0 ì >a ïïíïD£

ïî . B. ⁰

0 ì >a ïïíïD³

ïî C. ⁰

0 ì >a ïïíïD<

ïî D. ⁰

0 ì <a ïïíïD>

ïî . Lời giải

Chọn A ( )^³0, ^{" Î}

f x x khi a>0 và D £0.

Câu 3: Cho f x( )=ax²+bx+c a( ¹0). Điều kiện để f x( )< " Î0, x  là A. ^{ì <ïï}_íïD£

ïî 0

0

a . B. ⁰

0 ì <a ïïíïD =

ïî C. ⁰

0 ì >a ïïíïD<

ïî D. ^{ì <ïï}_íïD<

ïî 0

0 a . Lời giải

Chọn D ( )^<0, ^{" Î}

f x x khi a<0 và D <0.

Câu 4: Cho f x( )=ax²+bx+c a( ¹0). Điều kiện để f x( )£0," Îx  là A. ⁰

0 ì <a ïïíïD£

ïî . B. ⁰

0 ì <a ïïíïD³

ïî C. ⁰

0 ì >a ïïíïD<

ïî D. ⁰

0 ì <a ïïíïD>

ïî . Lời giải

Chọn A ( ) 0,

f x £ " Îx  khi a<0 và D £0.

Câu 5: Cho f x( )=ax²+bx+c a( ¹0) có D =b²-4ac<0. Khi đó mệnh đề nào đúng?

A. ^{f x}( )>^0, " Î^x . B. ^{f x}( )<^0, " Î^x . C. f x( ) không đổi dấu. D. Tồn tại x để f x( )=0.

Lời giải Chọn C

Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133

Trang 395 Vì D <0 và a¹0 nên f x( ) không đổi dấu trên .

Câu 6: Tam thức bậc hai f x( )=2x²+2x+5 nhận giá trị dương khi và chỉ khi

A. ^xÎ(^0;+¥)^. B. ^{xÎ - +¥}( ^2; )^. C. xÎ. D. ^{xÎ -¥}( ^{;2 .}) Lời giải

Chọn C

Ta có ^{2 0} ( ) ^{0, .}

' 1 2.5 9 0

a f x x

ì = >

ïï  > " Î

íïD = - =- <

ïî 

Câu 7: Số giá trị nguyên của x để tam thức ^{f x}( )^=2x2-7x-9 nhận giá trị âm là

A. ^3. B. ^4. C. 5. D. ^6.

Lời giải Chọn B

Ta có ( ) 0 9¹ 2 x

f x x

é = -êê

= ê = êë

. Bảng xét dấu

Dựa vào bảng xét dấu ( ) 0 1 ⁹.

f x < - < <x 2 Mà ^x nguyên nên xÎ{0;1; 2;3; 4}. Câu 8: Tam thức bậc hai ^{f x}( )^{=x2+ -}

(

^{1 3}

)

^{x- -8 5 3:}

A. Dương với mọi xÎ. B. Âm với mọi xÎ. C. Âm với mọi ^{xÎ - -}

(

^{2 3;1 2 3+}

)

^. D. Âm với mọi xÎ -¥( ;1).

Lời giải Chọn B

Ta có ( ) ²

0 2 33

1 x f x x

= + é =

-=  êê

êë .

Bảng xét dấu

Dựa vào bảng xét dấu f x( )< - -0 2 3< < +x 1 2 3.

Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133

Trang 396 Câu 9: Tam thức bậc hai ^{f x}( )^{= -}

(

^{1 2}

)

^{x2+ -}

(

^{5 4 2}

)

^{x-3 2+6}

A. Dương với mọi xÎ. B. Dương với mọi ^{xÎ -}

(

^{3; 2}

)

^.

C. Dương với mọi ^{xÎ -}

(

^{4; 2}

)

^. D. Âm với mọi xÎ. Lời giải

Chọn B

Ta có ( ) 0 ³

2 x f x x

= é =

-=  êêêë . Bảng xét dấu

Dựa vào bảng xét dấu f x( )> - < <0 3 x 2.

Câu 10: Cho f x( )=x²-4x+3. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề đúng là:

A. f x( )< " Î -¥ È0, x ( ;1] [3;+¥) B. f x( )£ " Î0, x [1;3] C. ^{f x}( )³ " Î -¥^{0, x} ( ^;1) (È ^3;+¥) D. ^{f x}( )^{>0," Îx} [^1;3]

Lời giải Chọn B

Ta có ( ) 0 ³

1 x f x x

= é =ê

= êë . Bảng xét dấu

Dựa vào bảng xét dấu f x( )£  £ £0 1 x 3.

Câu 11: Dấu của tam thức bậc 2: f x( )=–x²+5 – 6x được xác định như sau:

A. ^{f x}( )<⁰với 2< <x 3 và ^{f x}( )>⁰với x<2hoặcx>3. B. f x( )<0với –3< <x –2và f x( )>0với x<–3hoặcx>–2. C. f x( )>0với 2< <x 3và f x( )<0với x<2hoặcx>3. D. ^{f x}( )^>0với –3< <x –2và ^{f x}( )^<0với x<–3hoặcx>–2.

Lời giải Chọn C

Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133

Trang 397

Ta có ( ) 0 ³

2 x f x x

= é =ê

=  êë . Bảng xét dấu

Dựa vào bảng xét dấu ta được ( )^>0

f x với 2<x <3 và ^{f x}( )^<0 với x<2 hoặc x>3. Câu 12: Tập nghiệm của bất phương trình: 2x²– 7 – 15 0 x ³ là:

A. – ; –³ [5; ) 2

æ ù

ç ú È

çç ú

è ¥ û +¥ . B. – ;5³ 2 é ù ê ú ê ú

ë û. C. ( ; 5] ³; 2 é ö÷

ê

-¥ - Èêë +¥÷÷ø. D. 5;³ 2 é ù ê- ú ê ú ë û. Lời giải

Chọn A

Ta có 2 ²– 7 –15 3

2 5 0

x x

x x

é =ê

= ê

êêë = - . Bảng xét dấu

Dựa vào bảng xét dấu ²

5 2 – 7 –15 0 3.

2 x

x x

x

 

 

  

 Câu 13: Tập nghiệm của bất phương trình: –x²+6x+ ³7 0 là:

A. (-¥ - È; 1] [7;+¥). B. [-1;7]. C. (-¥ - È +¥; 7] [1; ). D. [-7;1]. Lời giải

Chọn B

Ta có – ² 6 7 0

1 7 x x x+ = é =êx

ë =

-+ ê .

Bảng xét dấu

Dựa vào bảng xét dấu –x²6x     7 0 1 x 7.

Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133

Trang 398 Câu 14: Tìm tập nghiệm của bất phương trình ^{-2x2+3x- ³7 0.}

A. S=^0. B. S={ }0 . C. S= Æ. D. S=. Lời giải

Chọn C

Ta có –2x²+3x- =7 0vô nghiệm.

Bảng xét dấu

Dựa vào bảng xét dấu 2x²3x   7 0 x . Câu 15: Tập nghiệm của bất phương trình x²-3x+ <2 0 là:

A. (-¥^;1) (È ^2;+¥)^. B. (^2;+¥)^. C. ( )^{1;2 .} D. (-¥^{;1 .}) Lời giải

Chọn C

Ta có ( ) ² 3 2 0 ²

1

f x x x

x - x

= é =ê

= + =  êë . Bảng xét dấu

Dựa vào bảng xét dấu f x( )<  < <0 1 x 2. Câu 16: Tập nghiệm của bất phương trình - +x² 5x- <4 0 là

A. [ ]1;4 . B. ( )^{1; 4} .

C. (-¥;1) (È 4;+¥). D. (-¥ È;1] [4;+¥). Lời giải

Chọn C

Ta có ( ) ² 5 4 0 ⁴

1 x x x

f x é =x

= - = ê

 =

-+ êë .

Bảng xét dấu

Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133

Trang 399 Dựa vào bảng xét dấu ( ) 0 ¹

4 f x x

x é <

<  ê >êë .

Câu 17: Số thực dương lớn nhất thỏa mãn x²- -x 12£0 là ?

A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.

Lời giải Chọn D

Ta có ( ) ² 12

3 0 4

x x

f x x é =x

= - = ê

ë =

-- ê .

Bảng xét dấu

Dựa vào bảng xét dấu f x( )£0- £ £3 x 4. Suy ra số thực dương lớn nhất thỏa

2 x 12 0

x - - £ là 4.

Câu 18: Cho bất phương trình x²-8x+ ³7 0. Trong các tập hợp sau đây, tập nào có chứa phần tử không phải là nghiệm của bất phương trình.

A. (^{-¥;0 .}] B. [^8;+¥)^. C. (^{-¥;1 .}] D. [^6;+¥)^. Lời giải

Chọn D

Ta có ( ) ^{2 8 7 0 1}

7

f x x x

x - + x

= é =ê

= =  êë .

Bảng xét dấu

Dựa vào bảng xét dấu ( ) 0 ¹ 7 f x x

x

 £

³ ³

éê êë .

Tập nghiệm của bất phương trình là S= -( ¥ È;1] [7;+¥). Vì ¹³ [6; )

2 Î +¥ và ¹³

2 ÏS nên [^6;+¥) thỏa yêu cầu bài toán.

Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133

Trang 400 Dạng 2. Ứng dụng về dấu của tam thức bậc hai để giải phương trình tích

1. Phương pháp

2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng

Ví dụ 1: Biểu thức

(

^3x2-^10x+^{3 4}

)

( ^x-⁵) âm khi và chỉ khi A. ;⁵ .

xÎ -¥ ÷æçççè 4ö÷÷ø B. ;^{1 5};3 .

3 4

xÎ -¥æçççè ö æ÷÷÷ø èÈççç ö÷÷÷ø C. ^{1 5}; (3; ).

xÎæçççè3 4ö÷÷÷øÈ +¥ D. ¹;3 . xÎæçççè3 ö÷÷÷ø Lời giải

Chọn B

Đặt f x( )=

(

³x²-¹⁰x+^{3 4}

)

( x-⁵)

Phương trình 3 ² 10 3 0 ³1 3 x

x x

x é =ê ê

- + = 

ê =êë

và 4 5 0 ⁵.

x- =  =x 4 Lập bảng xét dấu

x -¥ ¹₃ 5

4 ³ +¥

3x2-10x+3 + 0 - - 0 +

4x-5 - - 0 + +

( )

f x _{- 0} + 0 - 0 +

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy ( ) 0 ;^{1 5};3 .

3 4

f x <  Î -¥x æçççè ö æø è÷÷÷Èççç ö÷÷÷ø Ví dụ 2: Tập nghiệm của bất phương trình x³+3x²-6x- ³8 0 là

A. xÎ - - È[ 4; 1] [2;+¥). B. xÎ - - È( 4; 1) (2;+¥). C. xÎ - +¥[ 1; ). D. xÎ -¥ - È -( ; 4] [ 1;2 .]

Lời giải Chọn A

Bất phương trình ^{x3+3x2-6x- ³ 8 0} (^x-2)

(

^x2+5x+4

)

^³0.

Phương trình ² 5 4 0 ⁴

1 x x x

x é =

-+ + =  ê =-êë và x- =  =2 0 x 2.

Lập bảng xét dấu

x -¥ -4 -1 2 +¥

Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133

Trang 401

2 5 4

x + x+ + 0 - 0 + +

2

x- - - - 0 +

(^x-2)

(

^x2+5x+4

)

- 0 + 0 - 0 +

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy rằng (x-2)

(

x²+5x+4

)

³  Î - - È0 x [ 4; 1] [2;+¥).

3. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Giải bất phương trình ^{x x}( ^{+ £5}) ²

(

^{x2+2 .}

)

A. x£1. B. 1£ £x 4. C. xÎ -¥ È( ;1] [4;+¥). D. x³4.

Lời giải Chọn C

Bất phương trình ^{x x}( ⁺⁵)^£2

(

^x2+2

)

^{x2+5x£2x2+ 4 x2-5x+ ³4 0}

Xét phương trình ² 5 4 0 ( 1)( 4) 0 ¹. 4

x x x x x

x é =ê

- + =  - - = 

ê =ë

Lập bảng xét dấu

x -¥ 1 4 ^+¥

2 5 4

x - x+ + 0 - 0 +

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy x²-5x+ ³  Î -¥ È4 0 x ( ;1] [4;+¥). Câu 2: Biểu thức

(

^4-x2

)(

^x2+2x-3

)(

^x2+5x+9

)

^{âm khi}

A. xÎ( )1;2 . B. xÎ - - È( 3; 2) ( )1;2 .

C. x³4. D. ^{xÎ -¥ - È -}( ^{; 3}) ( ^2;1) (^{È 2;+¥}). Lời giải

Chọn D

Đặt ^{f x}( )⁼

(

^4-x2

)(

^x2+2x-3

)(

^x2+5x+9

)

Phương trình ^{4 2 0 2 .}

2 x x

x é =ê

- = 

ê = -ë

Phương trình ² 2 3 0 ¹ .

3 x x x

x é =ê

+ - = 

ê = -ë

Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133

Trang 402

Ta có ² 5 9 ^{5 2 11} 0 ² 5 9 0 .

2 4

x + x+ =æçççèx+ ö÷÷÷ø + > x + x+ =  Î Æx Lập bảng xét dấu:

x -¥ -3 -2 1 2 +¥

4-x2 - - 0 + 0 + 0

-2 2 3

x + x- + 0 - - 0 + +

2 5 9

x + x+ + + + + +

( )

f x _{- 0} + 0 - 0 + 0

-Dựa vào bảng xét dấu ta thấy

(

^{4 2}

)(

^{2 2 3}

)(

^{2 5 9}

)

^{0 2 3 1}

2 x

x x x x x x

x é < -êê

- + - + + <  - < <ê ê >

ë

( ; 3) ( 2;1) (2; ).

 Î -¥ - È -x È +¥

Dạng 3. Ứng dụng về dấu của tam thức bậc hai để giải phương trình chứa ẩn ở mẫu

Trong tài liệu Phân loại và phương pháp giải bài tập bất đẳng thức – bất phương trình - Học Tập Trực Tuyến Cấp 1,2,3 - Hoc Online 247 (Trang 132-142)