Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 392 Bất phương trình bậc hai ẩn x là bất phương trình dạng ax2+bx+ <c 0 (hoặc ax2+bx+ £c 0,
2 0,
ax +bx+ >c ax2+bx+ ³c 0), trong đó a b c, , là những số thực đã cho, a¹0.
2. Giải bất phương trình bậc hai
Giải bất phương trình bậc hai ax2+bx+ <c 0 thực chất là tìm các khoảng mà trong đó
( ) 2
f x =ax +bx+c cùng dấu với hệ số a (trường hợp a<0) hay trái dấu với hệ số a (trường hợp
0 a> ).
B. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Dạng 1. Xét dấu của tam thức bậc hai áp dụng vào giải bất phương trình bậc hai đơn giản
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 393 Dựa vào bảng xét dấu f( )x ³ £ £0 1 x 2.
Ví dụ 3: Tập nghiệm của bất phương trình 2x2-
(
2 1+)
x+ <1 0 là:A. 2;1 . 2 æ ö÷
ç ÷
ç ÷
ç ÷÷
çè ø B. Æ.
C. 2;1 . 2
é ù
ê ú
ê ú
ê ú
ë û D. ; 2 (1; ).
2
æ ö÷
ç ÷
ç-¥ ÷È +¥
ç ÷÷
çè ø
Lời giải Chọn C
Ta có ( ) 2 2
(
2 1)
1 0 21 x 2
f x x x
x éê =
= - + + = êê ê =ë
. Bảng xét dấu
Dựa vào bảng xét dấu ( ) 0 2 1 f x < 2 < <x . Ví dụ 4: Tập nghiệm của bất phương trình 6x2+ - £x 1 0 là
A. 1 1; 2 3
é ù
ê- ú
ê ú
ë û. B. 1 1;
2 3 æ ö÷
ç- ÷
ç ÷
çè ø.
C. ; 1 1;
2 3
æ ö æ÷ ö÷ ç-¥ - ÷Èç +¥÷
ç ÷ ç ÷
ç ç
è ø è ø. D. ; 1 1;
2 3
æ ù é ö÷
ç-¥ - Èú ê +¥÷
ç ÷
ç ú ê
è û ë ø.
Lời giải Chọn A
Ta có ( ) 2
1
6 1 0 3
1 2 x
f x x x
x éê =
= + - ê
=
=
ë
- êê êê
.
Bảng xét dấu
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 394 Dựa vào bảng xét dấu ( ) 0 1 1
2 3
f x £ - £ £x .
3. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1: Cho f x( )=ax2+bx+c a 0 .( ¹ ) Điều kiện để f x( )>0, " Îx là A. 0 .
0 ì >a ïïíïD £
ïî B. 0 .
0 ì >a ïïíïD ³
ïî C. 0 .
0 ì >a ïïíïD <
ïî D. 0 .
0 ì <a ïïíïD >
ïî Lời giải
Chọn C ( ) 0,
f x > " Îx khi a>0 và D <0.
Câu 2: Cho f x( )=ax2+bx+c a( ¹0). Điều kiện để f x( )³ " Î0, x là A. 0
0 ì >a ïïíïD£
ïî . B. 0
0 ì >a ïïíïD³
ïî C. 0
0 ì >a ïïíïD<
ïî D. 0
0 ì <a ïïíïD>
ïî . Lời giải
Chọn A ( )³0, " Î
f x x khi a>0 và D £0.
Câu 3: Cho f x( )=ax2+bx+c a( ¹0). Điều kiện để f x( )< " Î0, x là A. ì <ïïíïD£
ïî 0
0
a . B. 0
0 ì <a ïïíïD =
ïî C. 0
0 ì >a ïïíïD<
ïî D. ì <ïïíïD<
ïî 0
0 a . Lời giải
Chọn D ( )<0, " Î
f x x khi a<0 và D <0.
Câu 4: Cho f x( )=ax2+bx+c a( ¹0). Điều kiện để f x( )£0," Îx là A. 0
0 ì <a ïïíïD£
ïî . B. 0
0 ì <a ïïíïD³
ïî C. 0
0 ì >a ïïíïD<
ïî D. 0
0 ì <a ïïíïD>
ïî . Lời giải
Chọn A ( ) 0,
f x £ " Îx khi a<0 và D £0.
Câu 5: Cho f x( )=ax2+bx+c a( ¹0) có D =b2-4ac<0. Khi đó mệnh đề nào đúng?
A. f x( )>0, " Îx . B. f x( )<0, " Îx . C. f x( ) không đổi dấu. D. Tồn tại x để f x( )=0.
Lời giải Chọn C
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 395 Vì D <0 và a¹0 nên f x( ) không đổi dấu trên .
Câu 6: Tam thức bậc hai f x( )=2x2+2x+5 nhận giá trị dương khi và chỉ khi
A. xÎ(0;+¥). B. xÎ - +¥( 2; ). C. xÎ. D. xÎ -¥( ;2 .) Lời giải
Chọn C
Ta có 2 0 ( ) 0, .
' 1 2.5 9 0
a f x x
ì = >
ïï > " Î
íïD = - =- <
ïî
Câu 7: Số giá trị nguyên của x để tam thức f x( )=2x2-7x-9 nhận giá trị âm là
A. 3. B. 4. C. 5. D. 6.
Lời giải Chọn B
Ta có ( ) 0 91 2 x
f x x
é = -êê
= ê = êë
. Bảng xét dấu
Dựa vào bảng xét dấu ( ) 0 1 9.
f x < - < <x 2 Mà x nguyên nên xÎ{0;1; 2;3; 4}. Câu 8: Tam thức bậc hai f x( )=x2+ -
(
1 3)
x- -8 5 3:A. Dương với mọi xÎ. B. Âm với mọi xÎ. C. Âm với mọi xÎ - -
(
2 3;1 2 3+)
. D. Âm với mọi xÎ -¥( ;1).Lời giải Chọn B
Ta có ( ) 2
0 2 33
1 x f x x
= + é =
-= êê
êë .
Bảng xét dấu
Dựa vào bảng xét dấu f x( )< - -0 2 3< < +x 1 2 3.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 396 Câu 9: Tam thức bậc hai f x( )= -
(
1 2)
x2+ -(
5 4 2)
x-3 2+6A. Dương với mọi xÎ. B. Dương với mọi xÎ -
(
3; 2)
.C. Dương với mọi xÎ -
(
4; 2)
. D. Âm với mọi xÎ. Lời giảiChọn B
Ta có ( ) 0 3
2 x f x x
= é =
-= êêêë . Bảng xét dấu
Dựa vào bảng xét dấu f x( )> - < <0 3 x 2.
Câu 10: Cho f x( )=x2-4x+3. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề đúng là:
A. f x( )< " Î -¥ È0, x ( ;1] [3;+¥) B. f x( )£ " Î0, x [1;3] C. f x( )³ " Î -¥0, x ( ;1) (È 3;+¥) D. f x( )>0," Îx [1;3]
Lời giải Chọn B
Ta có ( ) 0 3
1 x f x x
= é =ê
= êë . Bảng xét dấu
Dựa vào bảng xét dấu f x( )£ £ £0 1 x 3.
Câu 11: Dấu của tam thức bậc 2: f x( )=–x2+5 – 6x được xác định như sau:
A. f x( )<0với 2< <x 3 và f x( )>0với x<2hoặcx>3. B. f x( )<0với –3< <x –2và f x( )>0với x<–3hoặcx>–2. C. f x( )>0với 2< <x 3và f x( )<0với x<2hoặcx>3. D. f x( )>0với –3< <x –2và f x( )<0với x<–3hoặcx>–2.
Lời giải Chọn C
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 397
Ta có ( ) 0 3
2 x f x x
= é =ê
= êë . Bảng xét dấu
Dựa vào bảng xét dấu ta được ( )>0
f x với 2<x <3 và f x( )<0 với x<2 hoặc x>3. Câu 12: Tập nghiệm của bất phương trình: 2x2– 7 – 15 0 x ³ là:
A. – ; –3 [5; ) 2
æ ù
ç ú È
çç ú
è ¥ û +¥ . B. – ;53 2 é ù ê ú ê ú
ë û. C. ( ; 5] 3; 2 é ö÷
ê
-¥ - Èêë +¥÷÷ø. D. 5;3 2 é ù ê- ú ê ú ë û. Lời giải
Chọn A
Ta có 2 2– 7 –15 3
2 5 0
x x
x x
é =ê
= ê
êêë = - . Bảng xét dấu
Dựa vào bảng xét dấu 2
5 2 – 7 –15 0 3.
2 x
x x
x
Câu 13: Tập nghiệm của bất phương trình: –x2+6x+ ³7 0 là:
A. (-¥ - È; 1] [7;+¥). B. [-1;7]. C. (-¥ - È +¥; 7] [1; ). D. [-7;1]. Lời giải
Chọn B
Ta có – 2 6 7 0
1 7 x x x+ = é =êx
ë =
-+ ê .
Bảng xét dấu
Dựa vào bảng xét dấu –x26x 7 0 1 x 7.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 398 Câu 14: Tìm tập nghiệm của bất phương trình -2x2+3x- ³7 0.
A. S=0. B. S={ }0 . C. S= Æ. D. S=. Lời giải
Chọn C
Ta có –2x2+3x- =7 0vô nghiệm.
Bảng xét dấu
Dựa vào bảng xét dấu 2x23x 7 0 x . Câu 15: Tập nghiệm của bất phương trình x2-3x+ <2 0 là:
A. (-¥;1) (È 2;+¥). B. (2;+¥). C. ( )1;2 . D. (-¥;1 .) Lời giải
Chọn C
Ta có ( ) 2 3 2 0 2
1
f x x x
x - x
= é =ê
= + = êë . Bảng xét dấu
Dựa vào bảng xét dấu f x( )< < <0 1 x 2. Câu 16: Tập nghiệm của bất phương trình - +x2 5x- <4 0 là
A. [ ]1;4 . B. ( )1; 4 .
C. (-¥;1) (È 4;+¥). D. (-¥ È;1] [4;+¥). Lời giải
Chọn C
Ta có ( ) 2 5 4 0 4
1 x x x
f x é =x
= - = ê
=
-+ êë .
Bảng xét dấu
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 399 Dựa vào bảng xét dấu ( ) 0 1
4 f x x
x é <
< ê >êë .
Câu 17: Số thực dương lớn nhất thỏa mãn x2- -x 12£0 là ?
A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Lời giải Chọn D
Ta có ( ) 2 12
3 0 4
x x
f x x é =x
= - = ê
ë =
-- ê .
Bảng xét dấu
Dựa vào bảng xét dấu f x( )£0- £ £3 x 4. Suy ra số thực dương lớn nhất thỏa
2 x 12 0
x - - £ là 4.
Câu 18: Cho bất phương trình x2-8x+ ³7 0. Trong các tập hợp sau đây, tập nào có chứa phần tử không phải là nghiệm của bất phương trình.
A. (-¥;0 .] B. [8;+¥). C. (-¥;1 .] D. [6;+¥). Lời giải
Chọn D
Ta có ( ) 2 8 7 0 1
7
f x x x
x - + x
= é =ê
= = êë .
Bảng xét dấu
Dựa vào bảng xét dấu ( ) 0 1 7 f x x
x
£
³ ³
éê êë .
Tập nghiệm của bất phương trình là S= -( ¥ È;1] [7;+¥). Vì 13 [6; )
2 Î +¥ và 13
2 ÏS nên [6;+¥) thỏa yêu cầu bài toán.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 400 Dạng 2. Ứng dụng về dấu của tam thức bậc hai để giải phương trình tích
1. Phương pháp
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng
Ví dụ 1: Biểu thức
(
3x2-10x+3 4)
( x-5) âm khi và chỉ khi A. ;5 .xÎ -¥ ÷æçççè 4ö÷÷ø B. ;1 5;3 .
3 4
xÎ -¥æçççè ö æ÷÷÷ø èÈççç ö÷÷÷ø C. 1 5; (3; ).
xÎæçççè3 4ö÷÷÷øÈ +¥ D. 1;3 . xÎæçççè3 ö÷÷÷ø Lời giải
Chọn B
Đặt f x( )=
(
3x2-10x+3 4)
( x-5)Phương trình 3 2 10 3 0 31 3 x
x x
x é =ê ê
- + =
ê =êë
và 4 5 0 5.
x- = =x 4 Lập bảng xét dấu
x -¥ 13 5
4 3 +¥
3x2-10x+3 + 0 - - 0 +
4x-5 - - 0 + +
( )
f x - 0 + 0 - 0 +
Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy ( ) 0 ;1 5;3 .
3 4
f x < Î -¥x æçççè ö æø è÷÷÷Èççç ö÷÷÷ø Ví dụ 2: Tập nghiệm của bất phương trình x3+3x2-6x- ³8 0 là
A. xÎ - - È[ 4; 1] [2;+¥). B. xÎ - - È( 4; 1) (2;+¥). C. xÎ - +¥[ 1; ). D. xÎ -¥ - È -( ; 4] [ 1;2 .]
Lời giải Chọn A
Bất phương trình x3+3x2-6x- ³ 8 0 (x-2)
(
x2+5x+4)
³0.Phương trình 2 5 4 0 4
1 x x x
x é =
-+ + = ê =-êë và x- = =2 0 x 2.
Lập bảng xét dấu
x -¥ -4 -1 2 +¥
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 401
2 5 4
x + x+ + 0 - 0 + +
2
x- - - - 0 +
(x-2)
(
x2+5x+4)
- 0 + 0 - 0 +Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy rằng (x-2)
(
x2+5x+4)
³ Î - - È0 x [ 4; 1] [2;+¥).3. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1: Giải bất phương trình x x( + £5) 2
(
x2+2 .)
A. x£1. B. 1£ £x 4. C. xÎ -¥ È( ;1] [4;+¥). D. x³4.
Lời giải Chọn C
Bất phương trình x x( +5)£2
(
x2+2)
x2+5x£2x2+ 4 x2-5x+ ³4 0Xét phương trình 2 5 4 0 ( 1)( 4) 0 1. 4
x x x x x
x é =ê
- + = - - =
ê =ë
Lập bảng xét dấu
x -¥ 1 4 +¥
2 5 4
x - x+ + 0 - 0 +
Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy x2-5x+ ³ Î -¥ È4 0 x ( ;1] [4;+¥). Câu 2: Biểu thức
(
4-x2)(
x2+2x-3)(
x2+5x+9)
âm khiA. xÎ( )1;2 . B. xÎ - - È( 3; 2) ( )1;2 .
C. x³4. D. xÎ -¥ - È -( ; 3) ( 2;1) (È 2;+¥). Lời giải
Chọn D
Đặt f x( )=
(
4-x2)(
x2+2x-3)(
x2+5x+9)
Phương trình 4 2 0 2 .
2 x x
x é =ê
- =
ê = -ë
Phương trình 2 2 3 0 1 .
3 x x x
x é =ê
+ - =
ê = -ë
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 402
Ta có 2 5 9 5 2 11 0 2 5 9 0 .
2 4
x + x+ =æçççèx+ ö÷÷÷ø + > x + x+ = Î Æx Lập bảng xét dấu:
x -¥ -3 -2 1 2 +¥
4-x2 - - 0 + 0 + 0
-2 2 3
x + x- + 0 - - 0 + +
2 5 9
x + x+ + + + + +
( )
f x - 0 + 0 - 0 + 0
-Dựa vào bảng xét dấu ta thấy
(
4 2)(
2 2 3)(
2 5 9)
0 2 3 12 x
x x x x x x
x é < -êê
- + - + + < - < <ê ê >
ë
( ; 3) ( 2;1) (2; ).
Î -¥ - È -x È +¥
Dạng 3. Ứng dụng về dấu của tam thức bậc hai để giải phương trình chứa ẩn ở mẫu