Đề Thi Học Sinh Giỏi Toán 9 Tỉnh Phú Yên 2020-2021

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH PHÚ YÊN

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THCS, NĂM HỌC 2020-2021

Môn thi: TOÁN Ngày thi: 30/03/2021

Câu 1. (5,00 điểm)

a) Chứng minh rằng ³5 2 13  ³5 2 13 1 

b) Biết đa thức x⁴ 4x³ 6px²4qxrchia hết cho đa thức x³ 3x² 9x3.

Tính giá trị biểu thức



^{pq r}



Câu 2. (3,50 điểm) Giải hệ phương trình :

5 5

2 2

2 10 4

xy

x y xy x y xy

xy

  

  



    



Câu 3. (2,50 điểm) Tìm nghiệm nguyên của phương trình : 2x² 5y² 13

Câu 4. (3,00 điểm) Cho tam giác nhọn ABCnội tiếp đường tròn

 

^O . Tiếp tuyến tại Bvà C cắt nhau ở D. Gọi E F, lần lượt là giao điểm của DAvới BC H, là giao điểm của ODvới BC

a) Chứng minh tam giác OAHđồng dạng với tam giác ODA

b) Đường thẳng qua A song song với BCcắt (O) tại K (khác ^A



^.Chứng minh rằng E H K, , thẳng hàng

Câu 5. (3,00 điểm) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :

2 2

Px  y với 1 1 1 1₂ 1 1₂ 0, 0,

x y

xy x y x xy y

 

      

 

Câu 6. (3,00 điểm) Cho tam giác ABCnhọn, có H là trực tâm,

 

^I là đường tròn nội tiếp. Gọi D E F, , lần lượt là tiếp điểm của

 

^{I với BC CA AB, , .Gọi Klà hình}

chiếu vuông góc của Dtrên EF

a) Chứng minh rằng FKB EKC

b) Gọi ,P Qlần lượt là giao điểm của HB HC, với EF . Chứng minh đẳng thức

. .

EK FPFK EQ

c) Chứng minh rằng KDlà phân giác của HKI

ĐÁP ÁN Câu 1.

a) Chứng minh rằng ³5 2 13  ³5 2 13 1  Ta thấy ^{A3 10 9}



^{35 2 13  3 5 2 13}



^{10 9 A}

  

²



2

1 10 0 1

10 0( ) A A A A

A A VN

 

          Vậy A1

b) Biết đa thức x⁴ 4x³ 6px²4qxrchia hết cho đa thức

3 3 2 9 3.

x  x  x Tính giá trị biểu thức



^{pq r}



Giả sử ^{x4 4x36px2 4qx r}



^xa

 

^{x33x2 9x3}



   

4 3 3 3 9 2 (9 3) 3

x a x a x a x a

       

Đồng nhất thức các hệ số cùng bậ hai vế, ta được :

4 3 1

6 3 9 2

4 9 3 3

3 3

a a

p a p

q a q

r a r

  

 

    

 

    

 

   

 

Suy ra



^{pq r}



^{. 15}

Câu 2.Giải hệ phương trình :

5 5

2 2

2 10 4

xy

x y xy x y xy

xy

  

  



    



Điều kiện : xy0,2x y xy0

Đặt ^{u xy v, 2x y xy u v}



^{, 0}



, hệ phương trình đã cho trở thành :

 

 

5 5 1 2

10 4 2 u

v v u

  



  



Từ (2) 10 4 10

4 u

v v

u u

     . Thay vào (1) ta được :

5 2

5 10 25 0 5 2

2 4 10

u u

u u u v

 u         

 . Ta được hệ phương trình :

 

2

7 2 5

5 5

2 2 2 7 2 7

1

2 7 5 0 5

7 2 5

2 2

x x

xy xy

x y xy x y x y

x x x y

y x x

y

  

 

 

 

         

  

 

 

    



    



 



Vậy hệ phương trình có hai nghiệm



^;

  

^{1;5 , 5;2}

x y  2 

  

 

 

Câu 3.Tìm nghiệm nguyên của phương trình : 2x² 5y² 13(*) Ta có :

 

^{* 2}



^{x2  1}

 

^{5 3 y2}



Do

 

^{2,5 1nên}



^{x2 1 5}



^{⋮ và}



^{3 y2}



^⋮2

Đặt x²  1 5 ,3k  y² 2l, ta có: ^{10k 10l k l k l}



^{, ℤ}



Do đó

2 2

1

5 1 0 5 1 2; 1

3 2 0 3

2 x k k

k l x y

y l

l

 

   

 

        

 

  

  



Phương trình có các nghiệm nguyên



x y^;

 

  



2; 1 ; 2;1 ; 2; 1 ; 2;1

 



 



   

Câu 4.Cho tam giác nhọn ABCnội tiếp đường tròn

 

^O . Tiếp tuyến tại Bvà C cắt nhau ở D. Gọi E F, lần lượt là giao điểm của DAvới BC H, là giao điểm của ODvới BC

a) Chứng minh tam giác OAH đồng dạng với tam giác ODA Theo tính chất tiếp tuyến thì BCOD

Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vuông OCD,với CH là đường cao ta có :

2 . 2 . OA OD

OC OH OD OA OH OD

OH OA

      OAH∽ODA c g c( . . )

K

F H

E

D O

A

B

C

b) Đường thẳng qua A song song với BCcắt (O) tại K (khác ^A



^.Chứng

minh rằng E H K, , thẳng hàng Từ câu a) ta có OAH∽ODA

 

¹

OHA OAD OEA OAEH

       là tứ giác nội tiếp

 

²

EHD EAO OAD

     

Từ (1) và (2) ^{ EHD OHA}

 

³

Dễ thấy ABH  KCH c g c( . . )HA HK hay AKH cân tại H (4) Vì ^{OH BC AK, / /BCOH  AK}

 

⁵

Từ (4) và (5) suy ra OH là phân giác ^{AHK  OHA OHK}

 

⁶

Từ (3) và (6) OHK  EHD

Suy ra EHO OHK  EHO EHD180 , hay 3điểm E H K, , thẳng hàng Câu 5. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :

2 2

P x  y với x 0,y 0, ^{1 1 1 1}₂ ^{1 1}₂ xy x y x xy y

 

      

 

Giả thiết ^{1 1 1 1}₂ ^{1 1}₂ ^{x y x2 xy y2}



^{x 0,y 0}



xy x y x xy y

 

          

 

 

Do đó ^{Px3  y3 }



^{x y}

 

^{x2 xy y2}



^



^{x y}



²

Để ý rằng : ^{x y x2  xy y2 }



^{x y}



^{2 3xyvà}

 

²

4 x y xy 



Suy ra

 

^{2 3}

 

²

   

^{4 0}

x y xy 4 x y  x y  xy   Hay ^{0    x y 4 0}



^{x y}



^{2 16}

Vậy Max P16  x y 2

Câu 6.Cho tam giác ABCnhọn, có H là trực tâm,

 

^I là đường tròn nội tiếp.

Gọi D E F, , lần lượt là tiếp điểm của

 

^{I với BC CA AB, , .Gọi K}là hình chiếu vuông góc của Dtrên EF

a) Chứng minh rằng FKB EKC

Gọi M N, theo thứ tự là hình chiếu của B C, lên EF . Khi đó :

BFM AFE AEF CEN BFM CEN

         ∽

BM BF BD CN CE CD

  

Mặt khác, BM / /DK / /CN , theo định lý Ta – let ta có : ( . . )

BD MK BM MK

BMK CNK c g c FKB EKC CD  NK  CN  NK   ∽    

b) Gọi P Q, lần lượt là giao điểm của HB HC, với EF . Chứng minh đẳng thức EK FP.  FK EQ.

N

M P

Q

F K

E

D I H A

B C

Dễ chứng minh được BFP CEQ,FBP  ECQ(cùng phụ BAC) Do đó ^{BFP CEQ g g( . ) FB FP}

 

¹

EC EQ

 ∽  

Theo a) FKB EKC. Kết hợp với BFK  CEK  BFK∽CEK g g( . ) Suy ra ^{FB FK}

 

²

EC  EK

Từ (1) và (2) FP FK . . ( )

EK FP FK EQ dfcm EQ EK

   

c) Chứng minh rằng KDlà phân giác của HKI

Theo ^{b) FP FK FP FK KP EK FK EK FK EF}

 

³

EQ EK EQ EK KQ QK PK QK PK QP

 

      

 

Hơn nữa, do IE/ /HP IF, / /HQ IE,  IF  IEF  HPQ IFE  HQP Do đó IEF∽HQP g g( . ).Ta có: ^{IEF HQP IE EF}

 

⁴

HQ QP

 ∽  

Từ (3) và (4) ta có : EK IE ( . . )

IKE HKQ c g c IKE HKQ QK  HQ   ∽     Suy ra IKD90  IKE90  HKQ HKD

Hay KDlà phân giác IKH