Một số mẹo giải phương thức chứa căn thức

Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn

1

BA TUYỆT CHIÊU GIẢI PHƯƠNG TRÌNH-BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (Cẩm nang ôn thi đại học!)

Các đề thi đại học những năm gần đây yêu cầu học sinh giải PT có chứa căn thức khá phức tạp, hơn nữa nhiều học sinh quên, yếu, thiếu phần kiến thức phần này. Do vậy tôi trình bày tương đối hệ thống để các bạn lớp 12 ôn lại, các bạn lớp 10 và 11 sớm làm quen và tập dượt, hy vọng từ những định hướng đó các bạn sẽ dễ dàng lĩnh hội kiến thức từ các tài liệu tham khảo và giáo viên trên lớp

 Rút gọn+luỹ thừa hai vế pt+Đưa thành PT tích 1. x 1 4x13 3x12

Điều kiện x 1

Pt (x1)(4x13)  x 1

 1 0 ₂

( 1)(4 13) ( 1) x

x x x

  

     

  x 1

2. (ĐH D 05) 2 x22 x1 x14 ĐS: x=3

Biến trong căn thành BP và bỏ khỏi căn được: 2( x11) x14

3. x x x 1x

1  1



 ĐK: x1

Bình phương hai vế do không âm….dại thế!

x x x x

x x x

x x x

Pt 1 1

1 1 2

1 1

:      ² ²     (Do x1 thì hai vế không âm )

2 5 0 1

) 1

( ^{2 2} 











 x x x

4. (ĐH A 04)

3 3 7

3 ) 16 (

2 ²



 



 



x x x

x x

ĐS: x10 34

ĐK, quy đồng MS, được: 2(x² 16) x37x, đây là bài cơ bản 5. (ĐH A 05) 5x1 x1 2x4

ĐS: [2; 10], Bài hai căn, bình phương hai lần ĐK: x2 Bpt:5x12x42 2x4 x1x1 x2 (2x4)(x1)

6. x² 3x2 x² 4x3 2 x² 5x4 Bpt: (x1)(x2) (x1)(x3)2 (x1)(x4) ĐK: x4;x1

TH1: x4; Pt: (x2) (x3)2 (x4) (Bình phương…dại thế!)

Vì (x2) (x4), (x3) (x4), Nên Pt VN ( khôn thế…!)

TH2: x1: Pt (2x) (3x)2 (4x) VN

Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn

2 ĐS: x=1

7. (Dự bị D 06) x2 7x2 x12 x²8x71

ĐS: x=4; x=5, đưa thành tích, nhờ phân tích trong căn và nhóm ĐK: 1x7

Pt: x12 7x2 x1 (x1)(7x)0 0 ) 2 1 ( 7 ) 2 1 (

1       



 x x x x

0 ) 2 1 ).(

7 1

(      

 x x x

8. (ĐH A 10) 1

) 1 (

2

1 ²

 





 x x

x x

ĐS: 2

5 3

 x ĐK: x 0

Để ý MS luôn dương vì căn nhỏ hơn 1, Bpt: 2(x² x1) x x 1

Đến đây dùng BĐT BNC 1.(1x)1. x (11)[(1x)²( x)²] hoăc BP và nhóm lại

0 1

0 1 ) (

2 )

( ²

















 x x

x x x

x

9. (ĐH B 10) 3x1 6x3x² 14x80 ĐS: x=5

ĐK: 1/3x6; Dự đoán nghiệm là 5, ta sẽ tạo ra hai liên hợp ứng với hai căn, sao cho có nhân tử x-5, ta làm như sau: ( 3x14)(1 6x)(3x²14x5)0 sau khi nhân liên hợp và ra PT tích được một nhân tử luôn dương trên D

0 ) 1 3 )(

5 6 (

1 5 4

1 3

15

3    





 





 x x

x x x

x













 

 









 (3 1) 0 ( )

6 1

1 4

1 3

3 0 5

VN x x

x x

 Rút gọn, phân tích rồi đặt ẩn phụ 10. x² x²3x 5 3x7

Ta đặt x²3x 5 t (t0) ta được t² t 120, ta được x 1 hoặc x4 11. (ĐH A 02) Error! Objects cannot be created from editing field codes.

ĐS: x=5 ĐK: 4x

Đặt x4 x4t0 t²2x2 x4 x4, ta được: t²-t-12=0t3(l);t 4

12. (ĐH NT ) _



 

 









 x x

x x 1

1 4 2

2 2

2

ĐS: x=1

Chia TH để xét. Bình phương để kết hợp các bộ nghịch đảo bằng cách đặt

x1x =t

ĐK _{0 2 3}

3 2

; 3 2 0

2 / 1 0

; 0 2 /

1    

























 x

x x

x x

Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn

3 Pt: 4(t²2)2 52(t²2)(4t)², 2t4

5 4 2

9 ²  ²  

 t t t

0 16 40 28

8^{3 2}

4    

t t t t (t2)[t(t3)²7t8]0t2x1 13. 5x²14x 9 x² x 205 x1

ĐK: x5. 5x²  14x 9 x²  x 20 5 x 1 5x²  14x 9 5 x 1 x² x 20

Bình phương.



 ^{ } 

 ^{ }

2 x 4x 5 3 x4 5 x 4x5 x4

Đặt ^{2 4 5}, 0.

4

x x

t t

x

 

 

 Ta được: 2 ² 5 3 0 1, ³

t     t t t2. Vậy PT có nghiệm 5 61

, 8

x 2 x .

14. ³ 2x  x11: ĐS: [1;2],[10;) ĐK: x1

Đặt ³ 2x t,t1,  x1 1t³ Bpt:











 





 ( 2) 0

1 1

1 ³ ₂

t t t t t

t

15. (4x1) x² 1 2x²2x1

Đặt x² 1 t (t0) ta được phương trình 2t2(4x   1)t 2x 1 0t2x1; t=1/2 Từ đó, giải tìm x ta được x=4/3

16. 2(x² 2)5 x³ 1 ĐS:

2 37 5

 x

Từ nhận xét HĐT trong căn, và ẩn bên ngoài căn ta đặt u= x1;v x²x1 sau đó biến đổi hợp lý để thay vào PT.

) 1 )(

1 ( 5 ) 1 1 (

2 x²x x  x x²x ĐK: x1

Pt: 2(u²v²)5uv2u(u2v)v(u2v)0 (Có thể dùng PT bậc hai)

u v v u2 ; 2



17. ⁴ 57x⁴ x40 5 ĐS: x=-24; x=41 Đặt ẩn phụ đưa về HPT đối xứng loại 1 ĐK: 40x57

Đặt: ⁴ 57xu0; ⁴ x40v0 Ta có:

 

 























97 2

2 5

2 2 2

4 2

4 v u v uv u v

u v u



















 

6 );

( 44 0

528 100

2 5

2

2v uv uv l uv

u v u

18. x³ 1 2 2³ x1

Đặt ³2x  1 y 2x 1 y³2x y³1 Phương trình tương đương với hệ sau:

Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn

4

3 3

1 2

1 2

x y

y x

  

  

 được x1; ^{1 5}

x 2

 Dùng hàm số+Đánh giá hai vế.

19. x²2x3 x² 6x11 3x x1 ĐS:



Xét hàm số: f(t)= t2 t ĐK: 1 x3

x x

x

x1) 2 1 (3 ) 2 3

( ^{2 2}

Xét hàm số: f(t)= t2 t có f’(t)>0 x-1>3-x hay x>2

20. 4x1 4x²11 ĐK: x1/2

VT’= 0 1/2

1 4

4 1 4

2

2   

 

 x

x x x

Nên x=1/2 là nghiệm duy nhất 21. x²2x 5 x 1 2

Nhận xét: VT  (x1)² 4 x 1 2 x Suy ra VT      2 x 1 0 x 1

Phương trình có nghiệm x1

22. x3 15x 2(x²7x24) ĐS: x=6 Đặt: ux3;v 15x và bình phương ĐK: x15

u+v 2(u² v²) suy ra: (u-v)²0 nên:

x

x3 15 hay x=6. Thử lại t/m