−−−−−−−−−−−−− đáp án −thang điểm

(1)

−−−−−−−−−−−−− đáp án −thang điểm

đề thi chính thức Môn thi : toán Khối A

Nội dung điểm

Câu 1. 2điểm

1) Khi

2 1 1

1 .

1 1

x x

m y x

x x

− + −

= − ⇒ = = − −

− −

+ Tập xác định: R\{ 1 }.

+

2

2 2

1 2 0

' 1 . ' 0

( 1) ( 1) 2.

x x x

y y

x x x

 =

− +

= − + − = − = ⇔  =

+

[ ]

= ⇒

= −

−

− →∞

∞

→ 0

1 lim 1 ) (

lim y x x

x

x tiệm cận xiên của đồ thị là: y=−x.

=∞⇒

→ y

xlim1 tiệm cận đứng của đồ thị là: x=1 . Bảng biến thiên:

Đồ thị không cắt trục hoành.

Đồ thị cắt trục tung tại điểm (0; 1).

1 điểm

0,25 đ

0,5 đ

0, 25 đ

x − ∞ 0 1 2 + ∞

y’ − 0 + + 0 −

+∞ +∞ −3

y CT CĐ

1 − ∞ − ∞

y

O 1 2

x

−3 1

−1

(2)

2)

Đồ thị hàm số

1 2

ư +

= + x

m x

y mx cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt có hoành độ dương ⇔phương trình f x( )=mx²+ + =x m 0 có 2 nghiệm dương phân biệt khác 1

2 0

1 4 0

(1) 2 1 0

1 0, 0

m m

f m

S P m

m m

 ≠

 ∆ = ư >

⇔  = + ≠

 = ư > = >



0 1 2 1

0

1 2

2 0 m m

m m

m

 ≠

 <

⇔  ⇔ ư < <

 ≠ ư

 <



.

Vậy giá trị m cần tìm là: 1

0

2 m

ư < < .

1 điểm

0,25 đ

0,75 đ

Câu 2. 2điểm

1)

Điều kiện

sin 0

cos 0 (*) tg 1

x x x

 ≠

 ≠

 ≠ ư



.

Khi đó phương trình đã cho sin (sin cos )

cos 1 sin

sin 1 cos

sin

cos ² ²

x x x x

x x x

x

x + ư

+

= ư

ư

⇔

cos sin cos (cos sin ) sin (sin cos ) sin

x x x x x x x x

x

⇔ ư = ư + ư

(cosx sin )(1 sin cosx x x sin2x) 0

⇔ ư ư + =

2

cos sin 0

1 sin cos sin 0.

x x

x x x

ư =

⇔ 

ư + =



TH1: π

sin cos tg 1 π ( )

x= x⇔ x= ⇔ = +x 4 k k∈Z thỏa mãn điều kiện (*).

TH2: ² 1 ²

1 sin cos sin 0 1 sin 2 sin 0 :

x x x 2 x x

ư + = ⇔ ư + = vô nghiệm.

Vậy nghiệm của phương trình là: π

π ( ) x= +4 k k∈Z . 2) Giải hệ

3

1 1 (1)

2 1 (2).

x y

y x

 ư = ư



 = +

 + Điều kiện xy≠0.

+ Ta có (1) ( )(1 1 ) 0

1.

x y

x y xy xy

 =

⇔ ư + = ⇔  = ư

TH1

:

₃ ₃ ₂

2 1 2 1 ( 1)( 1) 0

x y x y x y

y x x x x x x

= = =

  

 ⇔ ⇔

  

= + = + ư + ư =

  

  

1

1 5

2

1 5

2 . x y x y

x y

 = =

 ư +

⇔ = =

 ư ư

 = =



1 điểm

0, 25 đ

0, 25 đ 0, 25 đ

1 điểm

0, 25 đ

0,5 đ

(3)

TH2: ₃

3 4

1 1

1 (3)

2 1 2 1 2 0 (4).

xy y x y x

y x x x x

x

 = ư 



= ư = ư

 ⇔ ⇔

  

= +

  

 ư = +  + + =

Ta chứng minh phương trình (4) vô nghiệm.

Cách 1.

2 2

4 2 1 1 3

2 0,

2 2 2

   

+ + = ư  + +  + > ∀

x x x x x.

Cách 2. Đặt ⁴

3

( ) 2 ( ) min ( ) 1 0

4

∈

 ư 

= + + ⇒ ≥ =  >

  f x x x f x x f x f

R .

Trường hợp này hệ vô nghiệm.

Vậy nghiệm của hệ phương trình là:

1 5 1 5 1 5 1 5

( ; ) (1;1), ; , ;

2 2 2 2

x y = ư + ư +     ư ư ư ư .

0, 25 đ

Câu 3. 3điểm

1)

Cách 1. Đặt AB a= . Gọi H là hình chiếu vuông góc của B trên A’C, suy ra BH ⊥ A’C, mà BD ⊥ (A’AC) ⇒ BD ⊥ A’C, do đó A’C ⊥ (BHD) ⇒ A’C ⊥ DH. Vậy góc phẳng nhị diện

[

^{B A C D}^{, ' ,}

]

là góc nBHD.

Xét ∆A DC' vuông tại D có DH là đường cao, ta có DH A C CD A D. ' = . ' . '

' CD A D DH A C

⇒ = . 2 2

3 3

a a a

= a = . Tương tự, ∆A BC' vuông tại B có BH là đường

cao và 2

3 BH =a . Mặt khác:

n ² ² ² n

2 2 2 2 2 2 2

2 2 . cos 2. cos

3 3 3

a a a

a =BD =BH +DH ư BH DH BHD= + ư BHD,

do đó n 1

cosBHD= ư2 ⇒BHDn=120^o.

Cách 2. Ta có BD ⊥ AC ⇒ BD ⊥ A’C (Định lý ba đường vuông góc).

Tương tự, BC’⊥ A’C ⇒ (BC’D) ⊥ A’C . Gọi H là giao điểm của A C' và (BC D' )

⇒ BHDn là góc phẳng của

[

^{B A C D}^{; ' ;}

]

^.

Các tam giác vuông HA’B, HA’D, HA’C’ bằng nhau ⇒ HB = HC’ = HD

1 điểm

0, 25 đ

0, 25 đ 0, 25 đ hoặc 0, 25đ

0,25 đ A

A’

B’ C’

D’

D B C

H

I

(4)

2)

a) Từ giả thiết ta có

2) ; ; ( ) ; ; ( ' 0);

; ;

(a a C a a b M a a b

C ⇒ .

Vậy ( ; ; 0), (0; ; ) 2 BD= −a a BM = a b

JJJG JJJJG

, ; ; 2

2 2

ab ab

BD BM  a 

 

⇒  = −  JJJG JJJJG

.

( )

³ ²

' ; 0; , . ' .

2 BA = −a b ⇒BD BM BA = − a b JJJG JJJG JJJJG JJJG

Do đó

2

' 1

, . '

6 4

BDA M a b

V = BD BM BA = JJJG JJJJG JJJG

. b) Mặt phẳng (BDM) có véctơ pháp tuyến là ₁ , ; ; ²

2 2

ab ab

n =BD BM = −a  JJG JJJG JJJJG

, mặt phẳng ( 'A BD)có véctơ pháp tuyến là n₂ =BD BA, '=( ; ab ab a; ²)

JJG JJJG JJJG

. Do đó

2 2 2 2 1 2 4

( ) ( ' ) . 0 0

2 2

a b a b

BDM ⊥ A BD ⇔n nJJG JJG= ⇔ + −a = ⇔ =a b a 1

⇔ =b .

2 điểm

0, 25 đ

0, 5 đ 0, 5 đ

Câu 4. 2điểm

1)

Ta có ^Cⁿⁿ⁺⁺¹⁴⁻^Cⁿⁿ⁺³⁼⁷⁽ⁿ^{+ ⇔}³⁾

(

^Cⁿⁿ⁺⁺³¹⁺^Cⁿⁿ⁺³

)

⁻^Cⁿⁿ⁺³⁼⁷⁽ⁿ⁺³⁾

( 2)( 3) 7( 3) 2 7.2! 14 12.

2!

n+ n+ n n n

⇔ = + ⇔ + = = ⇔ =

Số hạng tổng quát của khai triển là ^C¹²^k

( )

^x⁻³ ^k^.^^_^x⁵²^^_¹²⁻^k ⁼^C¹²^k ^x^{60 11}⁻² ^k

 

.

Ta có 60 11

2 8 60 11

8 4.

2

− = ⇒ − = ⇔ =

k k

x x k

Do đó hệ số của số hạng chứa x⁸ là 495. )!

4 12 (

! 4

! 4 12

12 =

= − C

2) Tính tích phân

2 3

2 2

5 4

I xdx

x x

=

∫

+ ^.

Đặt ²

4 2

4 t x dt xdx

x

= + ⇒ =

+ vàx² =t²−4.

Với x= 5 thì t=3, với x=2 3 thì t=4. Khi đó

2 3 4 4

2 2 2

3 3

5

1 1 1

4 2 2

4 4

xdx dt

I dt

t t

x x t

 

=

∫

+ =

∫

− =

∫

 − − + 

4

3

1 2 1 5

ln ln .

4 2 4 3

t t

−

 

=  +  =

1 điểm 0, 5 đ

0, 25 đ 0, 25 đ

1 điểm

0, 25 đ 0, 25 đ

0,25 đ

0, 25 đ A

A’

B’ C’

D’

D

B C

y

x

z

(5)

Câu 5. 1điểm Với mọi u vG G,

(vì ^|u vG G+ ^|²=uG²+vG²+^{2 . | |}u vG G ≤ uG ²+^{| |}vG ²+2 | | .| | | | | |uG vG =

(

uG + vG

)

²

)

Đặt 1 ,

; 



 



=

→ x x

a 

 



=

→ y y

b 1

; , 



 



=

→ z z

c 1

; .

2 2 2 2 2

2 2 2

1 1 1 1 1 1

( )

P x y z x y z

x y z

 

= + + + + + ≥ + + + + + 

  .

Cách 1. Ta có

( )

²

2 2

2 1 1 1 3 3 1 9

( ) 3 3 9

P x y z xyz t

x y z xyz t

 

≥ + + + + +  ≥ +  = + , với

(

³

)

² ⁰ ^{x y z}₃ ² ¹₉

t= xyz ⇒ < ≤t  + +  ≤ .

Đặt ( ) 9 9 '( ) 9 9₂ 0, 0;1 ( )

Q t t Q t t 9 Q t

t t

 

= + ⇒ = − < ∀ ∈ ⇒ giảm trên 0;1 9

 

 

 

( ) 1 82.

Q t Q 9

⇒ ≥   = Vậy P≥ Q t( )≥ 82.

(

Dấu “=” xảy ra khi 1

x= = =y z 3

)

^.

Cách 2.

Ta có

2 2

2 1 1 1 2 1 1 1 2

(x y z) 81(x y z) 80(x y z)

x y z x y z

   

+ + + + +  = + + + + +  − + +

   

1 1 1 2

18(x y z) 80(x y z) 162 80 82.

x y z

 

≥ + +  + + − + + ≥ − =

 

Vậy P≥ 82.

(

Dấu “=” xảy ra khi 1

x= = =y z 3

)

^.

Ghi chú: Câu này còn có nhiều cách giải khác.

0, 25 đ

0, 25 đ 0, 25 đ

hoặc 0,25 đ

0,5 đ