Toán 12 Bài 2: Khối đa diện lồi và khối đa diện đều | Hay nhất Giải bài tập Toán lớp 12

Bài 2: Khối đa diện lồi và khối đa diện đều

Hoạt động 1 trang 15 Toán lớp 12 Hình học: Tìm ví dụ về khối đa diện lồi và khối đa diện không lồi trong thực tế.

Lời giải:

Khối đa diện lồi trong thực tế: kim tự tháp Ai Cập, viên kim cương, rubic,…

Khối đa diện không lồi trong thực tế: cái bàn, cái ghế,…

Hoạt động 2 trang 16 Toán lớp 12 Hình học: Đếm số đỉnh, số cạnh của khối bát diện đều.

Lời giải:

Khối bát diện đều có 6 đỉnh và 12 cạnh (hình trên).

Hoạt động 3 trang 17 Toán lớp 12 Hình học: Chứng minh rằng tam giác IEF, IFM, IMN, INE, JEF, JFM, JMN và JNE là những tam giác đều cạnh bằng ^a

2.

Lời giải:

ABCD là tứ diện đều nên tam giác ABC đều AB = BC = CA = a

I, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, AB, BC nên ta có IE, IF, EF là các đường trung bình của tam giác ABC

Suy ra: IE = ¹

2 BC = ¹ 2 a IF = ¹

2 AB = ¹ 2 a EF = ¹

2 AC = ¹ 2 a

Nên tam giác IEF là tam giác đều cạnh bằng ^a 2.

Chứng minh tương tự ta có: IFM, IMN, INE, JEF, JFM, JMN và JNE là những tam giác đều cạnh bằng ^a

2.

Hoạt động 4 trang 18 Toán lớp 12 Hình học: Chứng minh rằng AB’CD’ là một tứ diện đều. Tính các cạnh của nó theo a.

Lời giải:

ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương cạnh a nên các mặt là các hình vuông cạnh a.

Tứ diện AB’CD’ có các cạnh là các đường chéo của các mặt bên hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ nên tứ diện AB’CD’ có các cạnh bằng nhau.

Do đó: AB’CD’ là tứ diện đều.

Cạnh của tứ diện đều AB’CD’ bằng độ dài đường chéo của hình vuông cạnh a và bằng a² +a² =a 2.

Bài tập

Bài 1 trang 18 Toán lớp 12 Hình học: Cắt bìa theo mẫu dưới đây (h.123), gấp theo đường kẻ, rồi dán các mép lại để được các hình tứ diện đều, hình lập phương và hình bát diện đều.

Lời giải:

+ Gấp hình đầu tiên (từ trái qua phải) ta được tứ diện đều:

+ Gấp hình tiếp theo, ta được hình lập phương:

+ Gấp hình cuối cùng ta được hình bát diện đều:

Bài 2 trang 18 Toán lớp 12 Hình học: Cho hình lập phương (H). Gọi (H’) là hình bát diện đều có các đỉnh là tâm các mặt của (H). Tính tỉ số diện tích toàn phần của (H) và (H’).

Lời giải:

Gọi a là cạnh của hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ (hình (H)).

Suy ra diện tích toàn phần của hình lập phương (H) là: SH = 6.a² (đvdt).

Gọi tâm các mặt của hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ lần lượt là E, F, M, N, P, Q như hình vẽ.

Suy ra (H’) là bát diện đều EMNPQF.

+ Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông AA’D  A’D = a 2. + EM là đường trung bình của ΔBA’D

1 1 a

EM A D a 2

2  2 2

 = = =

(H’) là bát diện đều gồm 8 mặt là các tam giác đều cạnh bằng a 2

Diện tích một mặt của (H’) là:

2 1H

1 a a a 3

S . . .sin 60

2 2 2 8

 =  =

Diện tích toàn phần của (H’) là:

2

2

H 1H

a 3

S 8S 8. a 3

 =  = 8 =

Vậy tỉ số diện tích cần tính là:

2 H

2 H

S 6a

S _ =a 3 =2 3.

Bài 3 trang 18 Toán lớp 12 Hình học: Chứng minh rằng tâm của các mặt của hình tứ diện đều là các đỉnh của một hình tứ diện đều.

Lời giải:

Xét tứ diện đều ABCD cạnh bằng a. Gọi G1, G2, G3 và G4 lần lượt là tâm của các tam giác BCD, ACD, ABD và ABC.

Gọi M là trung điểm của BC.

Xét tam giác AMD có:

4 1

MG 1 MG 1

MA = 3 MD; =3 (tính chất trọng tâm tam giác)

4 1

MG MG

MA MD

 =

1 4

G G //AD

 (định lý Ta – lét đảo)

4 1 1 4

MG MG G G 1

MA MD AD 3

 = = =

Mà AD = a

Nên G G^{1 4} 1 _{1 4} a a = 3 G G = 3

Tương tự ta có: G1G2 = G2G3 = G3G4 = G1G3 = G1G4 = G2G4 = a 3

Tâm các mặt của tứ diện đều ABCD tạo thành tứ diện G1G2G3G4 có độ dài mỗi cạnh là a

3.

Vậy tứ diện G1G2G3G4 là tứ diện đều.

Bài 4 trang 18 Toán lớp 12 Hình học: Cho hình bát diện đều ABCDEF.

Chứng minh rằng:

a) Các đoạn thẳng AF, BD và CE đôi một vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

b) ABFD, AEFC và BCDE là những hình vuông.

Lời giải:

Giả sử bát diện đều ABCDEF có cạnh bằng a.

a) B, C, D, E cách đều A và F suy ra B, C, D, E cùng nằm trên mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AF.

Trong mặt phẳng (BCDE), ta có BC = CD = DE = EB (= a)

 BCDE là hình thoi

BD ⊥ EC và BD, EC cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

Chứng minh tương tự ta suy ra AF và BD, AF và CE vuông góc nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

b) Gọi trung điểm BD, CE, AF là O.

Khi đó áp dụng định lý Py – ta – go ta có:

2 2

BO⊥AOAB= AO +BO

2 2

AO⊥OEAE= AO +OE

Mà AB = AE (= a)  BO = OE BD = EC

 Hình thoi BCDE là hình vuông.

Chứng minh tương tự: ABFD, AEFC đều là hình vuông.

Chú ý : Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau là hình vuông.