ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
BÁO CÁO TÓM TẮT
ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẤP ĐẠI HỌC HUẾ
SUY LUẬN NGOẠI SUY TRÊN CÁC BIỂU DIỄN TOÁN ĐỘNG Mã số: DHH2016-03-94
Chủ nhiệm đề tài: TS. Nguyễn Đăng Minh Phúc
Huế, tháng 12/2017
ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
BÁO CÁO TÓM TẮT
ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẤP ĐẠI HỌC HUẾ
SUY LUẬN NGOẠI SUY TRÊN CÁC BIỂU DIỄN TOÁN ĐỘNG Mã số: DHH2016-03-94
Xác nhận của cơ quan chủ trì đề tài Chủ nhiệm đề tài
TS. Nguyễn Đăng Minh Phúc
DANH SÁCH NHỮNG THÀNH VIÊN THAM GIA NGHIÊN CỨU ĐỀ TÀI
1. ThS. Phạm Đình Đồng Khoa Toán, Trường ĐHSP, ĐH Huế 2. ThS. Nguyễn Hiền Linh HV Cao học khoá 2014-2016 3. ThS. Lê Thị Khánh Duyên HV Cao học khoá 2014-2016 4. ThS. Nguyễn Thị Việt Trinh HV Cao học khoá 2014-2016
ĐƠN VỊ PHỐI HỢP CHÍNH 1. Khoa Toán, trường Đại học Sư phạm, Đại học Huế 2. Trường THPT Gia Hội, Thành phố Huế
3. Trường THPT Phan Đăng Lưu, Thành phố Huế 4. Trường THCS-THPT Bàu Hàm, tỉnh Đồng Nai
MỤC LỤC
MỤC LỤC ... 4
THÔNG TIN KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU ... 5
INFORMATION ON RESEARCH RESULTS ... 9
MỞ ĐẦU ... 13
1. Tổng quan tình hình nghiên cứu ... 13
1.1. Ngoài nước ... 13
1.2. Trong nước ... 13
2. Tính cấp thiết của đề tài ... 14
3. Mục tiêu của đề tài ... 14
3.1. Mục tiêu chung ... 14
3.2. Mục tiêu cụ thể ... 14
4. Câu hỏi nghiên cứu ... 14
4. Phương pháp nghiên cứu ... 15
5. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu ... 15
5.1. Đối tượng nghiên cứu ... 15
5.2. Phạm vi nghiên cứu ... 15
Chương 1. Tổng quan vấn đề nghiên cứu ... 15
1.1. Lịch sử vấn đề nghiên cứu ... 15
1.1.1. Các dạng thực nghiệm toán học ... 15
1.1.2. Thực nghiệm toán học trên máy tính ... 16
1.1.3. Giao tiếp toán học ... 16
1.1.4. Các mức độ thể hiện giao tiếp toán học ... 16
1.1.5. Bài toán quỹ tích có điều kiện ... 16
1.1.6. Suy luận ngoại suy ... 17
1.2. Khung lý thuyết ... 17
Chương 2. Thiết kế nghiên cứu ... 18
2.1. Thiết kế quy trình nghiên cứu ... 18
2.2. Đối tượng nghiên cứu ... 18
2.3. Đối tượng học sinh thực nghiệm ... 18
Chương 3. Kết quả nghiên cứu ... 19
3.1. Kết quả cho câu hỏi nghiên cứu thứ nhất ... 19
3.2. Kết quả cho câu hỏi nghiên cứu thứ hai ... 20
3.3. Kết quả cho câu hỏi nghiên cứu thứ ba ... 20
Chương 4. Kết luận, lý giải và ứng dụng ... 21
4.1. Kết luận và lý giải cho câu hỏi nghiên cứu thứ nhất ... 21
4.2. Kết luận và lý giải cho câu hỏi nghiên cứu thứ hai ... 21
4.3. Kết luận và lý giải cho câu hỏi nghiên cứu thứ ba ... 21
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ ... 22
THÔNG TIN KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU
1. Thông tin chung
- Tên đề tài: Suy luận ngoại suy trên các biểu diễn toán động - Mã số: DHH2016-03-94
- Chủ nhiệm: TS. Nguyễn Đăng Minh Phúc
- Cơ quan chủ trì: Trường Đại học Sư phạm, Đại học Huế - Thời gian thực hiện: 24 tháng (1/2016-12/2017)
2. Mục tiêu
• Phát triển lý luận về ngoại suy trong giáo dục toán, đặc biệt là ngoại suy toán học trên các biểu diễn toán động thông qua các hoạt động thực nghiệm toán học.
• Phân tích quá trình hình thành các giả thuyết ngoại suy của học sinh thông qua khảo sát trên các biểu diễn toán động.
• Phân tích khả năng giao tiếp của học sinh khi làm việc trên các biểu diễn toán động và sự hỗ trợ của giao tiếp trong quá trình hình thành và phát triển suy luận ngoại suy.
3. Tính mới và sáng tạo
Sử dụng các hoạt động thực nghiệm toán học trên biểu diễn toán động để phát triển suy luận ngoại suy; Xây dựng biểu diễn toán động hỗ trợ việc hình thành giả thuyết ngoại suy; Khảo sát quá trình giao tiếp trong các hoạt động học toán có sử dụng biểu diễn toán động.
4. Kết quả nghiên cứu
• Thực nghiệm toán phổ thông trên các biểu diễn toán động có thể phân thành ba dạng là Aristotle, Bacon và Galilei; các dạng thực nghiệm này cho phép khảo sát toán hiệu quả: trực tiếp thao tác trên mô hình động để quan sát hiện tượng xảy ra, dự đoán quy luật, tìm kiếm lời giải thích, đưa ra giả thuyết ngoại suy, kiểm chứng giả thuyết, từ đó thu được những kết quả toán học cho bản thân và hiểu được bản chất toán học của vấn đề đặt ra.
• Khi học sinh tương tác với biểu diễn toán động với bài toán quỹ tích có điều kiện mà nhóm nghiên cứu đặt ra, những giả thuyết mà các em đề xuất là phong phú, được hình thành, phát triển, tinh chỉnh đến những giả thuyết có tính chắc chắn cao, tạo niềm tin vững chắc để tiến hành các chứng minh hình thức nhằm khẳng định giả thuyết. Các dạng kéo rê cũng được các em sử dụng một cách đầy đủ, có hiệu quả trong quá trình làm việc với biểu diễn toán động thông qua bài toán quỹ tích có điều kiện.
• Thông qua giao tiếp toán học khi học sinh làm việc trên những biểu diễn toán động, các em củng cố tư duy toán học của bản thân, phân tích và tiếp thu những giả thuyết được đề xuất của các bạn khác, chia sẻ những hiểu biết, phản biện các giả thuyết đề xuất, hỗ trợ và tiến hành các chứng minh để giải thích, để giải quyết vấn đề.
5. Sản phẩm
5.1. Bài báo đăng ở tạp chí
1. Phuc Minh Nguyen-Dang, Hau Huu Nguyen, Hang Thi Ai Huynh (2017). Generating abductive conjectures through conditional locus mathematics problems in dynamic mathematics representations, Tạp chí Khoa học, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, Số 62(12), tr. 62-73.
2. Nguyễn Đăng Minh Phúc, Lê Thị Khánh Duyên (2017). Khả năng giao tiếp của học sinh khi làm việc trên các biểu diễn toán động, Tạp chí Giáo dục, Bộ Giáo dục và Đào tạo, Số 419.
5.2. Bài báo đăng ở hội nghị hội thảo
1. Cao Thanh Hoàn, Nguyễn Đăng Minh Phúc (2017). Khai thác các dạng kéo rê để phát triển suy luận ngoại suy cho học sinh qua bài
toán quỹ tích có điều kiện, Kỷ yếu Hội nghị Khoa học trẻ, CYS 2017, Trường ĐHSP, Huế.
2. Phúc Minh Nguyễn-Đăng, Hậu Hữu Nguyễn, Linh Hiền Nguyễn (2017). Computer-based Assessment in Mathematics Literacy of Students related to Abductive Reasoning, Hội thảo khoa học quốc tế “Phát triển năng lực giáo viên và cán bộ quản lý giáo dục trong bối cảnh toàn cầu hoá”, Trường Đại học Sư phạm, Thái Nguyên, 28-29/11, 2017.
5.3. Đào tạo Thạc sĩ
1. Nguyễn Nhơn Nghĩa, Sử dụng biểu diễn bội động để phát triển suy luận ngoại suy cho học sinh trung học cơ sở về mối quan hệ hàm, 2016.
2. Nguyễn Trung Hậu, Các dạng suy luận ngoại suy của học sinh khi khảo sát bài toán toạ độ phẳng trong môi trường hình học động, 2016.
3. Nguyễn Hiền Linh, Đánh giá dựa trên máy tính hiểu biết toán của học sinh lớp 10 trong chủ đề hình học, 2016.
4. Lê Thị Khánh Duyên, Phát triển kỹ năng giao tiếp cho học sinh trong môi trường dạy học toán điện tử, 2016.
5. Nguyễn Thị Việt Trinh, Các dạng thực nghiệm toán phổ thông trên môi trường hình học động, 2016.
5.4. Đào tạo cử nhân
1. Nguyễn Thị Thanh Diệu, Hai tiếp cận trong dạy học hàm số lượng giác có sử dụng biểu diễn toán động, 2016.
2. Phạm Thị Hoà Nhi, Các dạng kéo rê trong môi trường hình học động và ứng dụng, 2016.
3. Võ Thị Luân, Khảo sát hiểu biết của học sinh về mối quan hệ giữa các đồ thị hàm số trong môi trường hình học động, 2016.
4. Đoàn Thị Phương Dung, Phương pháp tựa thực nghiệp và sự hỗ trợ của biểu diễn toán động, 2017.
5. Lê Thị Hằng Trâm, Biểu diễn toán động trong đánh giá dựa trên máy tính về chủ đề hàm số, 2017.
6. Từ Thị Thanh Xuân, Giải thích, chứng minh và bác bỏ trên các biểu diễn toán động trong chủ đề hình học phẳng, 2017.
7. Lê Trung Châu, Các dạng lưới toạ độ trong môi trường hình học động, 2017.
6. Hiệu quả, phương thức chuyển giao kết quả nghiên cứu và khả năng áp dụng
Các kết quả có tính mới, sản phẩm chất lượng cao; chuyển giao thông qua các bài báo, báo cáo; khả năng áp dụng cao cho thực tiễn dạy học toán ở phổ thông và nghiên cứu giáo dục toán học.
Ngày 03 tháng 12 năm 2017
Cơ quan chủ trì Chủ nhiệm đề tài
INFORMATION ON RESEARCH RESULTS
1. General information
- Project title: Abductive reasoning on dynamic mathematics representations
- Code number: DHH2016-03-94
- Coordinator: Dr. Phuc Minh Nguyen-Dang
- Implementing institution: Hue University of Education - Duration: 24 months (from 1/2016 to 12/2017)
2. Objectives
• Develop theory of abduction in mathematical education, especially mathematical abduction on dynamic mathematical representations through mathematical experiments.
• Analyze the process of creating abduction hypotheses of students through investigation on dynamic mathematical representations.
• Analyze students' communication abilities when working on dynamic mathematical representations and the support of communication in the formation and development of abductive reasoning.
3. Creativeness and innovativeness
Use mathematical experiments on dynamic mathematical representation to develop abductive reasoning. Construct dynamic mathematical representations supporting the formation of abduction hypotheses; Investigate the communication process in math learning activities using dynamic mathematical representations.
4. Research results
• Experiment mathematics on dynamic mathematical representations can be categorized into Aristotle, Bacon and Galilei; These types of experiments allow for efficient mathematical investigation: direct manipulation of dynamic models to observe phenomena occurring, predicting the rule, seeking explanations, generating abduction hypotheses, verifying hypotheses, from which to obtain mathematical results for
themselves and understand the mathematical nature of the given problem.
• When students interact with the dynamic mathematical representations with the conditional locus problem set by the research team, the hypotheses that students proposed are plentiful, formed, developed, refined to the hypotheses that had a high certainty, creating a firm belief in conducting formal proofs to assert the hypotheses. Dragging forms are also used effectively by the students in the process of working with the dynamic mathematical representation through the conditional locus problem.
• Through mathematical communication when students worked on mathematical representations, they reinforced their own mathematical thinking, analyzed and absorbed other suggested hypotheses, shared the understanding, deflected proposed hypotheses, supported and conducted proofs to explain, to solve problems.
5. Products 5.1. Papers
1. Phuc Minh Nguyen-Dang, Hau Huu Nguyen, Hang Thi Ai Huynh (2017). Generating abductive conjectures through conditional locus mathematics problems in dynamic mathematics representations, Journal of Science, Hanoi National University of Education, No. 62(12), pp. 62-73.
2. Nguyễn Đăng Minh Phúc, Lê Thị Khánh Duyên (2017).
Communication ability of students when working on dynamic mathematics representations, Journal of Education, Ministry of Education and Training, No 419.
5.2. Conferences
1. Cao Thanh Hoàn, Nguyễn Đăng Minh Phúc (2017). Exploiting dragging modalities in developing abductive reasoning for students through conditional locus mathematics problems, Proceedings of The Conference for Young Scientists, CYS 2017, Hue University of Education.
Students related to Abductive Reasoning, International conference “Teachers and Educational administrators’
competence in the context of Globalisation”, Thai Nguyen University of Education, 28-29/11, 2017.
5.3. Masters
1. Nguyễn Nhơn Nghĩa, Using multiple dynamic representations for developing abductive reasoning on function relations, 2016.
2. Nguyễn Trung Hậu, Abduction formations of students when investigating the planar coordination problems in dynamic geometry environment, 2016.
3. Nguyễn Hiền Linh, Computer-based assessment on mathematical literacy of students grade 10 in geometry subject, 2016.
4. Lê Thị Khánh Duyên, Developing communication skills for students in electric teaching and learning mathematics environment, 2016.
5. Nguyễn Thị Việt Trinh, The forms of general mathematical experiment on dynamic geometry environment, 2016.
5.4. Bachelors
1. Nguyễn Thị Thanh Diệu, The two approaches on teaching and learning trigonometric functions using dynamic mathematics representations, 2016.
2. Phạm Thị Hoà Nhi, Dragging modalities in dynamic geometry environment and applications, 2016.
3. Võ Thị Luân, Investigating students’ literacy about the relationship among graphs of functions in dynamic geometry environment, 2016.
4. Đoàn Thị Phương Dung, The quasi-empirical method and the support of dynamic mathematics representations, 2017.
5. Lê Thị Hằng Trâm, Dynamic mathematics representations in computer-based assessment on function subjects, 2017.
6. Từ Thị Thanh Xuân, Explanation, proving and refutation on dynamic mathematics representations on planar geometry subject, 2017.
7. Lê Trung Châu, The forms of coordinate systems in dynamic geometry environment, 2017.
6. Effects, transfer alternatives of research results and applicability
The results are new, high quality products; transfer through papers, reports; highly applicable to the practice of mathematics teaching in general and research in mathematics education.
MỞ ĐẦU
1. Tổng quan tình hình nghiên cứu 1.1. Ngoài nước
Các nghiên cứu gần đây về suy luận ngoại suy tập trung vào việc khẳng định vai trò của ngoại suy trong quá trình phát hiện và tìm kiếm các giải thích cho các kết quả cho trước. Điển hình như nghiên cứu của các tác giả Atocha Aliseda (2006), Josephson R. & Josephson J. (1996).
Nghiên cứu về các dạng của ngoại suy và vai trò của nó trong tương tác kỹ thuật số được đề cập trong Erkki Patokorpi (2006). Magnani (2002) nhấn mạnh vai trò của ngoại suy thao tác còn Reid, D. (2003) nghiên cứu các dạng và sử dụng suy luận ngoại suy. Quá trình tổng quát hóa với sự kết hợp của ngoại suy và quy nạp được các tác giả Rivera, F. &
Becker J. (2007) nhấn mạnh trong các nghiên cứu của mình. Tuy vậy, các nghiên cứu chưa đưa ra cách thức để có thể phát triển suy luận ngoại trên các biểu diễn toán động cho học sinh THPT.
1.2. Trong nước
Trần Vui (2009) khẳng định vai trò của các biểu diễn bội, đặc biệt là biểu diễn trực quan động trong việc học toán của học sinh. Các tác giả Trần Vui, Lê Quang Hùng (2007), Nguyễn Đăng Minh Phúc (2008) nghiên cứu thiết kế các mô hình thao tác động hỗ trợ học sinh kiến tạo tri thức toán ứng dụng vào dạy học toán ở THPT. Mặc dù vậy, các nghiên cứu này chưa đề cập đến vai trò hỗ trợ phát triển suy luận ngoại suy và quy nạp cho học sinh THPT của các mô hình thao tác động điện tử.
Các nghiên cứu hiện tại ở trong và ngoài nước về suy luận ngoại suy đang ở mức độ triết học và chưa có nghiên cứu về phát triển suy luận quy nạp kết hợp với ngoại suy cho học sinh THPT thông qua các biểu diễn toán động. Các mô hình thao tác động điện tử thiết kế bằng các phần mềm thao tác động trên máy tính đang thể hiện nhiều ưu thế trong dạy học toán. Với định hướng phát triển suy luận ngoại suy và quy nạp, chúng tôi tin tưởng rằng việc thiết kế các biểu diễn toán động sẽ hỗ trợ tốt cho học sinh THPT phát triển suy luận ngoại suy.
2. Tính cấp thiết của đề tài
Suy luận ngoại suy và quy nạp đóng vai trò quan trọng việc tìm kiếm các giải thích tốt nhất và góp phần phát hiện những kết quả mới. Tuy nhiên việc hình thành, phát triển và rèn luyện suy luận ngoại suy cho học sinh đang chưa được chú trọng đúng mức trong nhà trường THPT.
Hơn nữa, với những thế mạnh của các phần mềm có thể xây dựng được các biểu diễn toán động, có thể thiết kế được các mô hình hỗ trợ học sinh phát triển suy luận ngoại suy và tiến hành các thực nghiệm toán học.
3. Mục tiêu của đề tài 3.1. Mục tiêu chung
Nghiên cứu để phát triển lý luận về ngoại suy trong giáo dục toán, đặc biệt là ngoại suy toán học trên các biểu diễn toán động thông qua hoạt động thực nghiệm toán học. Đồng thời, đề tài cũng nghiên cứu những tác động của giao tiếp toán học lên quá trình hình thành và phát triển suy luận ngoại suy của học sinh.
3.2. Mục tiêu cụ thể
• Phát triển lý luận về ngoại suy trong giáo dục toán, đặc biệt là ngoại suy toán học trên các biểu diễn toán động thông qua các hoạt động thực nghiệm toán học phổ thông.
• Phân tích con đường hình thành và phát triển suy luận ngoại suy cho học sinh khi các em khảo sát trên các biểu diễn toán động.
• Phân tích khả năng giao tiếp của học sinh khi làm việc với các biểu diễn toán động và những ảnh hưởng của chúng đối với quá trình suy luận ngoại suy của học sinh.
4. Câu hỏi nghiên cứu
Nghiên cứu nhằm trả lời các câu hỏi sau đây:
Câu hỏi nghiên cứu thứ nhất. Thực nghiệm toán học phổ thông trên các biểu diễn toán động có những dạng gì và ảnh hưởng của chúng như thế nào đến suy luận ngoại suy của học sinh?
Câu hỏi nghiên cứu thứ hai. Các giả thuyết ngoại suy được hình thành như thế nào thông qua khảo sát trên các biểu diễn toán động?
Câu hỏi nghiên cứu thứ ba. Khả năng giao tiếp của học sinh khi làm việc trên các biểu diễn toán động hỗ trợ quá trình suy luận ngoại suy như thế nào?
4. Phương pháp nghiên cứu
Trong quá trình thực hiện đề tài, chúng tôi sử dụng các phương pháp nghiên cứu sau:
• Nghiên cứu lý luận, khảo cứu
• Điều tra, quan sát.
• Thực nghiệm sư phạm.
5. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 5.1. Đối tượng nghiên cứu
• Suy luận ngoại suy: các dạng suy luận ngoại suy, cấu trúc logic, sự phổ dụng
• Biểu diễn toán động: các biểu diễn toán, biểu diễn trực quan động, mối quan hệ trong mô hình, vai trò của biểu diễn toán
• Suy luận ngoại suy của học sinh trên các biểu diễn toán động:
những thao tác tư duy, suy luận trên các biểu diễn toán động.
5.2. Phạm vi nghiên cứu
• Các từ khoá: Suy luận ngoại suy, biểu diễn toán động, thực nghiệm toán, giao tiếp toán học.
• Đối tượng thực nghiệm: Một số nhóm lớp HS THCS & THPT ở TP Huế và ở Tỉnh Đồng Nai
• Phần mềm: The Geometer’s Sketchpad
Chương 1. Tổng quan vấn đề nghiên cứu
1.1. Lịch sử vấn đề nghiên cứu
1.1.1. Các dạng thực nghiệm toán học
Trong quá trình nghiên cứu các loài động vật, Aristotle đã sử dụng cách tiếp cận của riêng ông ở thời điểm đó, mà ở đây ta gọi là thực nghiệm Aristotle. Tiếp theo là nhà triết học người Anh, Francis Bacon (1561–
1626). Kế đến là nhà vật lí học, thiên văn học, toán học người Ý Galileo Galilei (1564 – 1642). Cuối cùng phải kể đến Immanuel Kant (1724 – 1804). Aristotle vẫn là người tiên phong có công nhen nhóm cho sự hình thành của thực nghiệm trong nghiên cứu khoa học. Trong Cogitata et Visa (1607), Bacon đã đề cập đến phương pháp nghiên cứu khoa học của ông, phương pháp đã trở nên nổi tiếng với cái tên quy nạp. Hầu hết các nhà khoa học sử dụng từ “thực nghiệm” như ngày nay không phải là từ dạng Aristotle hay Bacon, mà là dạng Galilei. Thực nghiệm Galilei
là thực nghiệm quan trọng – phân biệt các khả năng với nhau, và khi làm như vậy, sẽ cho chúng ta niềm tin vào quan điểm chúng ta đang theo đuổi hoặc giúp cho chúng ta biết rằng nó cần được điều chỉnh.
Galilei đã thấy loại này của thực nghiệm là thử thách, trong đó chúng ta tiếp xúc với giả thuyết của chúng ta hoặc là với những tác động theo sau chúng. Kant đề nghị rằng thay vì bằng lòng với ý kiến thông thường rằng trực giác của chúng ta thường bị đi theo khuôn mẫu, chúng ta nên có quan điểm rằng thế giới của thực nghiệm mới là khuôn mẫu cho các đặc tính của khả năng trực giác của chúng ta.
1.1.2. Thực nghiệm toán học trên máy tính
Thuật ngữ “toán học thực nghiệm” được giới thiệu lần đầu tiên vào năm 1969 tại lễ khánh thành Viện Hàn lâm Khoa học Nga, Chi nhánh Ural.
Tuy nhiên, ý nghĩa của thuật ngữ này mới được đem ra tranh luận chỉ trong thập kỉ qua. Nó đề cập đến các nghiên cứu liên quan đến việc thu được các mệnh đề toán học bằng cách sử dụng công nghệ máy tính.
1.1.3. Giao tiếp toán học
Nhiều nhà giáo dục toán cho rằng để học sinh phát triển kỹ năng giao tiếp tốt hơn, nên thực hiện các chiến lược sau:
a. Hoạt động nhóm:
b. Câu hỏi kết thúc mở:
c.Vấn đề gắn liền với thực tế:
d. Sử dụng công nghệ thông tin:
e. Không khí lớp học cởi mở và thân thiện:
1.1.4. Các mức độ thể hiện giao tiếp toán học
Mức 0. Không thể hiện giao tiếp toán học; Mức 1. Thể hiện ban đầu;
Mức 2. Có khả năng giao tiếp toán học; Mức 3. Thành thạo trong giao tiếp toán học
1.1.5. Bài toán quỹ tích có điều kiện
Cũng như các bài toán quỹ tích thông thường trên môi trường giấy – bút mà học sinh đã được làm quen ở bậc THCS, bài toán quỹ tích có điều kiện trong môi trường hình học động cũng là bài toán đi tìm tập hợp những điểm thỏa mãn một điều kiện đã cho. Trong hình học, tìm tập hợp điểm tức là mô tả tập hợp đó. Tuy nhiên, điều khác biệt giữa
luôn cố định, mà khi di chuyển một yếu tố, học sinh phải xét xem yếu tố đó làm cho yếu tố nào thay đổi, yếu tố nào không thay đổi, yêu cầu tìm quỹ tích yếu tố cần di chuyển sao cho vẫn giữ được tính chất nào đó.
1.1.6. Suy luận ngoại suy
Ngoại suy là một loại suy luận có lý, trong đó tạo nên những giả thuyết để giải thích các hiện tượng, kết quả, phát hiện với tính không chắc chắn. “Một cách tổng quát, ngoại suy là quá trình suy luận nhằm đưa ra giả thuyết tốt nhất để giải thích cho một kết quả quan sát được. Một quy trình cho suy luận ngoại suy được thể hiện qua các bước như sau (Nguyễn Đăng Minh Phúc, 2010):
(1) Một Sự kiện (hiện tượng, kết quả…) S được quan sát (2) Xuất hiện Giả thuyết G giải thích cho S
(3) Không có giả thuyết nào khác giải thích tốt cho S như G --- (4) Vậy G là lời giải thích tốt nhất cho S.
Erkki Patokorpi (2006) phân chia ngoại suy thành bốn dạng cơ bản:
Ngoại suy chọn lựa, Ngoại suy sáng tạo, Ngoại suy quan sát, Ngoại suy thao tác.
1.2. Khung lý thuyết
Theo Bailey và Borwein (2004), máy tính cung cấp cho các nhà toán học một “phòng thí nghiệm” mà trong đó họ có thể tiến hành các thực nghiệm: phân tích các ví dụ, kiểm tra các ý tưởng mới, hoặc tìm kiếm các dạng mẫu.
Với việc nghiên cứu Mô hình kéo rê duy trì, Baccaglini – Frank và Mariotti đã đưa ra bốn phương thức xây dựng: Kéo rê tự do/ngẫu nhiên (tiếng Ý: “trascinamento libero”): kéo rê một cách ngẫu nhiên các điểm trên màn hình, tìm kiếm những hình dạng thú vị hoặc qui luật của hình; Kéo rê duy trì (tiếng Ý: “trascinamento di mantenimento”):
kéo rê một điểm cơ bản để các hình duy trì một tính chất nhất định; Kéo rê với dấu vết kích hoạt (tiếng Ý: “trascinamento con traccia”): kéo rê một điểm cơ bản với các dấu vết; Kéo rê thử nghiệm (tiếng Ý: “test di trascinamento”): kéo rê điểm cơ bản để xem liệu hình được dựng có duy trì các tính chất mong muốn không. Trong cách thức này, nó có thể thực hiện một xây dựng mới hoặc xác định lại một điểm trên một đối tượng để thử nghiệm một giả thuyết mới.
Chương 2. Thiết kế nghiên cứu
2.1. Thiết kế quy trình nghiên cứu
Để lần lượt trả lời các câu hỏi nghiên cứu đã đề ra, quy trình nghiên cứu được tiến hành theo các bước sau đây:
• Khảo cứu các bài báo, các kết quả nghiên cứu đã có từ trước để nêu ra các dạng thực nghiệm toán phổ thông, tìm hiểu và xác định vai trò của giao tiếp trong việc học toán.
• Khảo cứu các tài liệu liên quan đến hình học động để thiết kế các bài toán và mô hình thao tác động nhằm hỗ trợ học sinh thực nghiệm toán học, phát triển kỹ năng giao tiếp toán học.
• Khi tiến hành thực nghiệm chúng tôi hướng dẫn học sinh làm quen với các mô hình dựng sẵn bằng phần mềm GSP. Sau đó chúng tôi cho học sinh tương tác với các mô hình đó. Chúng tôi quan sát quá trình của học sinh làm việc cá nhân hay theo nhóm để thu thập thông tin, tìm hiểu quá trình thực nghiệm theo các dạng, và giải quyết các nhiệm vụ của học sinh. Chúng tôi phỏng vấn quá trình cũng như bài làm của học sinh để thu thập thông tin, tìm hiểu quá trình giao tiếp, giải quyết các nhiệm vụ của học sinh.
2.2. Đối tượng nghiên cứu
Nghiên cứu này lấy các dạng thực nghiệm toán học, biểu diễn toán, giao tiếp toán học và suy luận ngoại suy làm các đối tượng nghiên cứu chủ chốt. Trong các đối tượng đó, chúng tôi có sự phân chia thành các đối tượng nhỏ hơn.
2.3. Đối tượng học sinh thực nghiệm
Đối tượng thực nghiệm cho phiếu học tập Đi bộ và Khối lập phương bao gồm 8 học sinh lớp 12B11 trường THPT Gia Hội và 12 học sinh 12B2 trường THPT Phan Đăng Lưu, tỉnh Thừa Thiên Huế. Thực nghiệm cho phiếu học tập Quỹ tích đã được tiến hành vào đầu năm học 2017-2018 trên đối tượng là học sinh lớp 11 của trường THCS-THPT Bàu Hàm, tỉnh Đồng Nai. Đối tượng tham gia thực hiện phiếu học tập Hươu ăn cỏ là 12 em học sinh lớp 10, trường trung học phổ thông (THPT) Phan Đăng Lưu.
2.4. Công cụ nghiên cứu
• Các mô biểu diễn toán động mà chúng tôi thiết kế trên phần mềm GSP;
• Các phiếu học tập có tích hợp các biểu diễn toán động: Đi bộ, Khối lập phương, quỹ tích, Hươu ăn cỏ
2.5. Thu thập và phân tích dữ liệu
Để phân tích dữ liệu, chúng tôi sử dụng tiếp cận học sinh học toán với các biểu diễn toán động dưới sự hỗ trợ của giáo viên. Tiếp cận này được thể hiện qua mô hình sau:
Mô hình phân tích dữ liệu thực nghiệm.
Chương 3. Kết quả nghiên cứu
3.1. Kết quả cho câu hỏi nghiên cứu thứ nhất
Ở Nhiệm vụ 1, sau khi giáo viên đưa ra mô hình toán của tình huống và hướng dẫn cách kéo rê điểm C, tạo vết điểm E, học sinh thực hiện theo.
Học sinh khi nhìn vào vết của điểm E đều nhận ra các vết của nó nằm trên đường thẳng song song với a. Ngoại trừ một nhóm cho rằng phải dự đoán điểm E nằm trên đường thẳng vuông góc với AB.
Ở nhiệm vụ đầu tiên, sau khi kéo rê điểm C và kích hoạt dấu vết E, học sinh đều dự đoán được quỹ tích của E là đường thẳng song song với đường thẳng a. Tuy nhiên, để kiểm chứng được dự đoán của mình trong nhiệm vụ tiếp theo, không phải học sinh nào cũng làm được.
Đối với phiếu học tập Khối lập phương, khi kéo rê thanh trượt tham số n, các khối lập phương sẽ chỉ lần lượt xuất hiện hoặc biến mất. Mô hình của bài toán này khá đơn giản, học sinh thao tác rất dễ dàng. Tuy nhiên, qua quá trình thực nghiệm, chúng tôi nhận thấy rằng một nhóm học sinh loay hoay một lúc mới hiểu chính xác thông tin đề bài cung cấp. Đối với phiếu học tập này, chỉ một phần ba số học sinh đưa ra được giả thiết quy nạp. Trong một phần ba số học sinh đưa ra được giả thuyết quy nạp, tất cả đều nói rằng tuy nhớ quy trình của một phép chứng minh quy nạp toán học nhưng không hoàn toàn chắc chắn. Khi giáo viên yêu
cầu, một học sinh đã nhắc lại rất tốt. Tuy nhiên tất cả đều chờ đợi giáo viên khẳng định lại một lần nữa mới bắt đầu chứng minh.
3.2. Kết quả cho câu hỏi nghiên cứu thứ hai
Thông qua việc kéo rê tự do, các học sinh có thể dễ dàng nhận thấy được các bất biến cấp 1 như khi kéo rê điểm M thì các điểm A, H và O không di chuyển. Hơn nữa, theo như cách dựng thì ta có H luôn là trung điểm của đoạn thẳng AO và hai đoạn thẳng BM và AO cắt nhau tại H.
Điều này quyết định mấu chốt đến phần dự đoán về các loại tứ giác đặc biệt mà AMOB sẽ trở thành.
Sau khi quan sát về những yếu tố thay đổi và không thay đổi khi kéo rê điểm M, học sinh bắt đầu kéo rê theo hướng dẫn để dự đoán các trường hợp đặc biệt mà tứ giác AMOB có thể trở thành. Học sinh ở cả ba nhóm đều đưa ra giả thuyết “tứ giác AMOB là hình bình hành”.
Trong quá trình thực nghiệm, học sinh cũng gặp một số khó khăn trong việc khảo sát các bài toán hình học phẳng trong môi trường hình học động, chẳng hạn như: Việc lần đầu tiên tiếp xúc và tương tác với phần mềm GSP làm cho các em tốn thời gian để khám phá cách sử dụng những thao tác trên phần mềm này. Ngoài ra, vẫn còn một số học sinh chưa thực sự nghiêm túc và tập trung trong quá trình khảo sát trên phần mềm GSP, chẳng hạn như các em tò mò về phần mềm nên kích hoạt dấu vết lộn xộn, hoặc không đọc kĩ yêu cầu bài toán cũng như các nhiệm vụ nên đi sai hướng.
3.3. Kết quả cho câu hỏi nghiên cứu thứ ba
Ở nhiệm vụ này, nhóm 4 đã thể hiện giao tiếp thông qua việc đưa ra những câu hỏi và trả lời những câu hỏi đó, từ đó xác định hướng giải quyết nhiệm vụ. Để giải thích tại sao góc của mỗi hình quạt tròn là 120°
, học sinh Phụng đã kết hợp cả biểu diễn hình ảnh và biểu diễn kí hiệu.
Tuy nhiên dohọc sinh Hùng nhầm lẫn công thức tính diện tích hình quạt tròn mà các học sinh khác không chú ý và nhận ra nên kết quả của nhóm 4 không chính xác, điều này là cản trở lớn để các em thực hiện hai nhiệm vụ kế tiếp. Như vậy, theo các mức độ thể hiện giao tiếp toán học, học sinh Phụng đạt mức 2, học sinh Hùng và Nhi đạt mức 1.
Từ nhiệm vụ tính diện tích với kích thước cho sẵn, chuyển sang diện tích với tam giác bất kì, học sinh đưa ra khá nhiều giả thuyết: không thể xác định được cụ thể nhưng diện tích phải thay đổi, không biết là diện
Học sinh làm việc vớibiểu diễn toán độngtam giác bất kì có chu vi 24m và phần ăn cỏ lớn nhất mà hươu cao cổ ăn được, biểu diễn toán động diện tích phần ăn cỏ trường hợp tam giác bất kì.
Có một vài học sinh còn mạnh dạn đưa ra câu hỏi liệu nếu chuồng có dạng ngũ giác, lục giác..., thậm chí là hình tròn thì diện tích phần ăn cỏ đó có thay đổi hay không? Đây là một cơ hội tốt để học sinh tiếp tục giao tiếp nhưng điều kiện thời gian không cho phép nên chúng tôi không thể tiếp tục cho học sinh thực hiện. Và xem như đó là một vấn đề mở ra dành cho học sinh thật sự hứng thú và mong muốn có được lời giải đáp.
Chương 4. Kết luận, lý giải và ứng dụng
4.1. Kết luận và lý giải cho câu hỏi nghiên cứu thứ nhất Kết quả thực nghiệm cũng cho thấy, học sinh đi theo đúng con đường thực nghiệm và giáo viên vạch ra từ trước, các nhóm có thời gian hoàn thành thực nghiệm khác nhau, tùy vào kĩ năng làm việc nhóm và mức độ nhận thức của học sinh. Phiếu học tập được thiết kế kĩ lưỡng, vì vậy giáo viên không cần can thiệp quá nhiều, trừ việc giúp học sinh gợi nhớ một vài kiến thức cũ và xử lí tình huống khi học sinh có nhầm lẫn trong thao tác khiến mô hình bị xáo trộn.
4.2. Kết luận và lý giải cho câu hỏi nghiên cứu thứ hai Trong quá trình thực nghiệm, chúng tôi đã phân tích rõ từ dữ liệu các phiếu học tập, các quá trình và hoạt động tương tác theo mô hình phân tích ở trên, giữa giáo viên với học sinh, học sinh với biểu diễn toán động ở mục trước. Các giả thuyết ngoại suy được hình thành trong quá trình khảo sát trên biểu diễn toán động, được đề xuất thông qua trao đổi giữa các học sinh trong nhóm. Những giả thuyết này được tiếp tục củng cố nhờ các các hoạt động kéo rê duy trì, kéo rê thử nghiệm.
Trong bài toán thực nghiệm của mình, chúng tôi thấy các giả thuyết ngoại suy được các em đề xuất, thay đổi khá nhiều. Nhưng kết luận cuối cùng các nhóm học sinh cũng đều có thể chỉ ra được dấu vết của điểm kéo rê khi giữ cho điểm đó thỏa mãn một tính chất nào đó.
4.3. Kết luận và lý giải cho câu hỏi nghiên cứu thứ ba Thông qua giao tiếp toán học, học sinh tổ chức và củng cố tư duy toán học của bản thân và phân tích, tiếp thu phương án của những bạn khác.
Những khía cạnh về giao tiếp toán học mà chúng tôi phân tích bao gồm:
thảo luận, giải thích và biểu diễn. Mỗi khía cạnh của giao tiếp toán học có một vai trò riêng, nhưng tóm lại đều có một vai trò chung là thúc đẩy
quá trình giải quyết vấn đề đạt kết quả tốt cũng như tạo điều kiện để học sinh tiếp nhận và xây dựng kiến thức. Qua phân tích dữ liệu, chúng tôi nhận thấy những nhóm học sinh giao tiếp nhiều hơn thì hoàn thành các phiếu học tập tốt hơn. Điều này khẳng định giao tiếp toán học thúc đẩy và hỗ trợ quá trình học tập toán học của học sinh.
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
Qua quá trình nghiên cứu đề tài: “Suy luận ngoại suy trên các biểu diễn toán động”, chúng tôi có các kết luận sau đây:
• Thực nghiệm toán phổ thông trên các biểu diễn toán động có thể phân thành ba dạng là Aristotle, Bacon và Galilei; các dạng thực nghiệm này cho phép khảo sát toán hiệu quả: trực tiếp thao tác trên mô hình động để quan sát hiện tượng xảy ra, dự đoán quy luật, tìm kiếm lời giải thích, đưa ra giả thuyết ngoại suy, kiểm chứng giả thuyết, từ đó thu được những kết quả toán học cho bản thân và hiểu được bản chất toán học của vấn đề đặt ra.
• Khi học sinh tương tác với biểu diễn toán động với bài toán quỹ tích có điều kiện mà nhóm nghiên cứu đặt ra, những giả thuyết mà các em đề xuất là phong phú, được hình thành, phát triển, tinh chỉnh đến những giả thuyết có tính chắc chắn cao, tạo niềm tin vững chắc để tiến hành các chứng minh hình thức nhằm khẳng định giả thuyết. Các dạng kéo rê cũng được các em sử dụng một cách đầy đủ, có hiệu quả trong quá trình làm việc với biểu diễn toán động thông qua bài toán quỹ tích có điều kiện.
• Thông qua giao tiếp toán học khi học sinh làm việc trên những biểu diễn toán động, các em củng cố tư duy toán học của bạn thân, phân tích và tiếp thu những giả thuyết được đề xuất của các bạn khác, chia sẻ những hiểu biết, phản biện các giả thuyết đề xuất, hỗ trợ và tiến hành các chứng minh để giải thích, để giải quyết vấn đề. Biểu diễn toán động cũng giúp cho học sinh hào hứng hơn, thích thú tham gia vào quá trình tương tác với các biểu diễn, tự tin đề xuất các giả thuyết. Giáo viên cũng có cơ hội quan sát quá trình tương tác, quá trình tư duy của học sinh rõ ràng hơn trong các hoạt động học tập của các em.
