150 bài toán nhị thức Newton và xác suất – Lê Văn Đoàn - Học Tập Trực Tuyến Cấp 1,2,3 - Hoc Online 247

(1)

Chuyên đề

Bài 1. NHỊ THỨC NEWTON

I. Kiến thức cơ bản cần nắm vững

 Nhị thức Newton là khai triển tổng (hiệu) lũy thừa có dạng:

0 1 1 2 2 2 1 1

0

( ) . . .

n n k n k k n n n n n n n

n n n n n n

k

a b C a ⁻ b C a C a⁻b C a ⁻b C ⁻ab⁻ C b

=

+ =

∑

= + + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + +

 Nhận xét trong khai triển nhị thức:

+ Trong khai triển (a b± )ⁿ có n+1 số hạng và các hệ số của các cặp số hạng cách đều số hạng đầu và số hạng cuối thì bằng nhau: C_n^k=C_n^{n k}⁻ .

+ Số hạng tổng quát dạng: T_n₊₁=C a_n^k. ^{n k}⁻ .b^k và số hạng thứ N thì k=N−1. + Trong khai triển (a b− )ⁿ thì dấu đan nhau, nghĩa là ,+ rồi ,− rồi ,+ ….…

+ Số mũ của a giảm dần, số mũ của b tăng dần nhưng tổng số mũ a và b bằng n.

+ Nếu trong khai triển nhị thức Niutơn, ta gán cho a và b những giá trị đặc biệt thì sẽ thu được những công thức đặc biệt. Chẳng hạn như:

0 1 1 1 0 1

• (1+x)ⁿ=C x_n ⁿ+C x_n ⁿ⁻ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +C_nⁿ→^x⁼ C_n+C_n+ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +C_nⁿ=2 .ⁿ

0 1 1 1 0 1

(1 ) ( 1) ( 1) 0.

n n n n nx n n

n n n n n n

x C x C x C C C C

=−

• − = − − + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + − ⇒ − + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + − =

 Công thức hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp (thường cho kết hợp với khai triển):

+ Hoán vị: P_n=n! =n n.( −1).(n−2)...3.2.1, (n≥1).. + Chỉnh hợp: ^! ^{, 1}

( )

^.

( )!

k n

A n k n

= n k ≤ ≤

− .

+ Tổ hợp: !

, (1 )

!.( )! !

k

k n

n

A

C n k n

k n k k

= = ≤ ≤

− và C^k_n+C_n^k⁺¹=C_n^k⁺₊¹₁ . II. Tìm hệ số hoặc số hạng thỏa mãn điều cho trước

1) Khai triễn dạng: (ax^p+bx )^{q n} kết hợp với việc giải phương trình chứa A , C , P .^k_n ^k_n _n BT 1. Tìm số hạng không chứa x (độc lập với x) trong khai triễn của nhị thức:

a) 1 12

, 0.

x x

x

 

+ ∀ ≠

 

  ĐS: 924. b)

5 3

2

x 1 x

 

− ⋅

 

  ĐS: 10.−

c) 1 10

2x , x 0.

x

 

− ∀ ≠

 

  ĐS: 8064.− d)

3 12

3 x

x

 

+ ⋅

 

  ĐS: 924.

e) 1 12

, 0.

x x

x

 

+ ∀ >

 

  ĐS: 495. f)

( )

18 5

2x 1 , x 0 . x

 

+ >

 

  ĐS: 6528.

g)

7 3

4

1 , 0.

x x

x

 

+ ∀ >

 

  ĐS: 35. h)

17

4 3

3 2

1 x , x 0.

x

 

+ ∀ ≠

 

  ĐS: 24310.

BT 2. Tìm hệ số của số hạng M và cho biết đó là số hạng thứ mấy trong khai triễn nhị thức:

a) (2x−3 ) .y¹⁷ M=x y⁸ ⁹. ĐS: −3 .2 .⁹ ⁸C₁₇⁹.

b) (x y+ ) .²⁵ M=x y¹² ¹³. ĐS: C₂₅¹³.

c) (x−3) .⁹ M=x⁴. ĐS: −3 .⁵C₉⁵.

TỔ HỢP – XÁC SUẤT – NHỊ THỨC NEWTON

6

(2)

d) (1 3 ) .− x ¹¹ M=x⁶. ĐS: 3 .⁶C₁₁⁶.

e) (3x x− ^{2 12}) . M=x¹⁵. ĐS: −3 .⁹C₁₂³.

f) (x²−2 ) .x¹⁰ M=x¹⁶. ĐS: 3360.

g)

40 2

1 , 0.

x x

x

 

+ ∀ ≠

 

 

31.

M=x ĐS: C³₄₀.

h)

10

2 2

, 0.

x x

x

 

− ∀ ≠

 

 

11.

M=x ĐS: −2 .³C₁₀³.

i) (³x⁻² +x) .⁷ M=x². ĐS: 35.

j)

10

, 0, 0.

xy x xy y

y

 

+ ∀ ≥ ≠

 

 

6 2.

M=x y ĐS: 45.

k) (1+ +x x²+x^{3 5}) . M=x¹⁰. ĐS: 101.

l) x(1 2 )− x⁵+x²(1 3 ) .+ x¹⁰ M=x⁵. ĐS: 3320.

m) (2x+1)⁴+(2x+1)⁵+(2x+1)⁶+(2x+1) .⁷ M=x⁵. ĐS: 896.

BT 3. Tìm hệ số của số hạng thứ n trong khai triễn nhị thức, ứng với các trường hợp sau:

a) 1 5

, 0.

x x

x

 

+ ∀ ≠

 

  n=4. ĐS: 120.

b) (3−x) .¹⁵ n=13. ĐS: 12285.

c)

1 15

, 0.

x x

x

 

− ∀ >

 

  n=6. ĐS: C₁₅⁵.

d) (2 3 ) .− x ²⁵ n=21. ĐS: 2 .3 .⁵ ²⁰C²⁰₂₅.

BT 4. Tìm hệ số của một số hạng hoặc tìm một số hạng (dạng có điều kiện)

a) Cho số nguyên dương n thỏa mãn C_n³=5C¹_n. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Newton của ³

4

2 1

, 0 5

n

x x

n x

 

+ >

 

 −  ? ĐS: C₇⁴ =35.

b) Tìm hệ số của x⁴ trong khai triển biểu thức 2 ³

, 0,

n

x x

x

 

− ∀ ≠

 

  biết n là số tự nhiên thỏa mãn hệ thức: C_nⁿ⁻₋⁶₄ +n A. _n²=454 ? ĐS: n=8; 1792.− c) Tìm số hạng độc lập với x trong khai triển: ³

5 28

. 1 , 0,

n

x x x

x

 

+ ∀ ≠

 

  biết rằng n là số tự nhiên

thỏa mãn điều kiện: C_nⁿ+C_nⁿ⁻¹+C_nⁿ⁻² =79 ? ĐS: 792.

d) Cho a=5^log⁵³⁹^x⁻¹⁺⁷ và

1 5 1log ( 3 1)

5 5 x

b

− −+

= . Tìm các số thực ,x biết rằng số hạng chứa a³ trong khai triển Newton: (a b+ )⁸ bằng 224 . ĐS: x=1 ∨ x=2.

e) Tìm các giá trị của ,x biết trong khai triển 2^{lg(10 3 )}^x ⁵2⁽ ^{2)lg 3}

n x

− −

 

 + 

  có số hạng thứ 6 bằng 21

và C¹_n+C³_n=2C_n². ĐS: x=0 ∨ x=2.

f) Cho n là số nguyên dương thỏa mãn: 3C_n²+2A²_n=3n²+15. Tìm số hạng chứa x¹⁰ trong khai triển nhị thức Newton: ³ 3₂

2 , 0

n

x x

x

 

− ∀ ≠

 

  . ĐS: C₁₀⁴.2 .3 .⁶ ⁴x¹⁰.

g) Cho khai triển: (1 2 )+ xⁿ=a_o+a x a x₁ + ₂ ²+...+a x_n ⁿ với n∈ℕ^∗. Biết rằng a₃=2014a₂.

Tìm n ? ĐS: n=6044.

(3)

h) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển: ³ 2

, 0.

n

x x

x

 

+ >

 

  Biết rằng n thỏa mãn điều kiện: C⁶_n+3C⁷_n+3C_n⁸+C⁹_n=2C⁸_n₊₂. ĐS: C₁₅⁶.2⁶ =320320. i) Cho n∈ℤ⁺ và , , (a b b>0). Biết trong khai triển nhị thức Newton

a n

b b

 

 + 

  có hạng tử chứa

4 9,

a b tìm số hạng chứa tích a và b với số mũ bằng nhau ? ĐS: 5005a b^{6 6}. j) Cho n là số nguyên dương thỏa mãn: C_nⁿ⁻³−C²_n₋₁=C C¹_n₋₁ _nⁿ₊⁺²₃. Tìm hệ số của số hạng chứa x¹¹

trong khai triển: ³ ⁸ , 0.

3

n

n n

P x x x

x

 − 

=  −  ≠

  ĐS: C₁₂⁸.4 .⁸

k) Cho n là số nguyên dương thỏa mãn điều kiện: 6Cⁿ_n₊⁻¹₁=A_n²+160. Tìm hệ số của x⁷ trong

khai triển: (1 2 )(2− x³ +x)ⁿ ? ĐS: 2224− .

l) Cho P=(1− +x x²−x^{3 4}) =a_o+a x a x₁ + ₂ ²+ +.. a x₁₂ ¹². Tìm a₇ ? ĐS: 40− . m) Tìm hệ số của x⁵ trong khai triển: P=x(1 2 )− x ⁿ+x²(1 3 ) ,+ x²ⁿ biết rằng A_n²−Cⁿ_n⁻₊¹₁=5.

ĐS: 3320.

n) Cho P x( ) (= x+1) (¹⁰ x+2)=x¹¹+a x₁ ¹⁰+a x₂ ⁹+ +.. a x a₁₀ + ₁₁. Tìm a₅ ? ĐS: 672.

o) Cho:

( )

20 10

3 2

1 1

, 0.

P x x x x

x x

   

= −  + −  ∀ ≠ Sau khi khai triển và rút gọn thì biểu thức sẽ gồm

bao nhiêu số hạng ? ĐS: 29 số hạng.

2) Khai triễn dạng: (a+bx^p+cx )^{q n} kết hợp với việc giải phương trình chứa A , C , P .^k_n ^k_n _n Viết

0 0 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .( )

n n k

p q n p q n k n k p q k k n k i p k i q i

n n k

k k i

P x a bx cx a bx cx C a⁻ bx cx C a⁻ C bx ⁻ cx

= = =

 

= + + = + +  =

∑

+ =

∑ ∑

0 0

. .( ) .( ) ,

n k

p q

k n k i k i i

n k

k i

C a⁻ C bx ⁻ cx

= =

=

∑∑

với , k i∈ℕ.

BT 5. Tìm hệ số của số hạng M và cho biết đó là số hạng thứ mấy trong khai triễn nhị thức:

a) (1+ +x 3 ) .x^{2 10} M=x⁴. ĐS: 1695.

b) (1 2+ x+3 ) .x^{2 10} M=x⁴. ĐS: 8085.

c) (1+ +x 2 ) .x^{2 10} M=x¹⁷. ĐS: 38400.

d) (2+ x−3 ) , x^{2 5} ∀ ≥x 0. M=x². ĐS: 230.−

e) (x²+ −x 1) .⁵ M=x³. ĐS: 10.−

f) (1+x²−x^{3 8}) . M=x⁸. ĐS: 238.

g) (1+ +x x²+x^{3 5}) . M=x¹⁰. ĐS: 101.

h)

12

4 1

1 x , x 0.

x

 

− − ∀ ≠

 

 

8.

M=x ĐS: 27159.−

BT 6. Tìm hệ số của một số hạng hoặc tìm một số hạng (dạng có điều kiện)

a) Cho (1+ −x x^{2 10}) =a_o+a x a x₁ + ₂ ²+ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +a x₂₀ ²⁰. Tìm a₈ ? ĐS: a₈ =45. b) Cho

( )

¹ ⁽ ²⁾ ^, ^0.

n

P x x x x

x

 

= − +  ∀ ≠

  Xác định số hạng không phụ thuộc vào x khi khai triển ( )

P x biết n thỏa: C_n³+2n=A_n²₊₁. ĐS: 98.− c) Tìm hệ số x⁴ trong khai triển biểu thức 1

3 1 , ( 0)

n

x x

x

  

+ − >

  

 

  ? Biết rằng n là số nguyên

dương thỏa mãn 3C¹_n₊₁+8C_n²₊₂ =3C³_n₊₁. ĐS: 4422 .

(4)

d) Cho khai triển nhị thức: (1 2− x x+ ³)ⁿ=a_o+a x a x₁ + ₂ ²+ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +a x₃_n ³ⁿ. Xác định hệ số a₆, biết rằng:

15 3

1 2

2 3

1

2 2 2 2

n

o n

a a a

a  

+ + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + =  ⋅

  ĐS: a₆ = −150.

e) Cho: (1 2 ) (3 4+ x ¹⁰ + x+4 )x^{2 2}=a_o+a x a x₁ + ₂ ²+ ⋅ ⋅ ⋅ +a x₁₄ ¹⁴. Tìm a₆ ? ĐS: a₆ =482496. f) Tìm hệ số của x¹⁰ trong khai triển Newton:

2 2

1 .( 2)3

4 x n

x x

 

+ + +

 

  với n là số tự nhiên thỏa

mãn điều kiện: A_n³+Cⁿ_n⁻²=14n. ĐS: a₁₀=2956096. 3) Khai triển (ax^p+bx ) ; a^{q n} ( +bx^p+cx )^{q n} kết hợp tính tổng đơn giản

Khai triển Newton: (a b+ )ⁿ=C a⁰_n ⁿ+C a¹_n ⁿ⁻¹b+ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +Cⁿ_n⁻¹abⁿ⁻¹+C b_n^{n n}, với:

 Số mũ của a giảm dần và số mũ của b tăng dần. Nếu trong biểu thức không có số mũ tăng hoặc giảm thì nó (a hoặc b) có thể bằng 1 .

 Nếu dấu của biểu thức đan nhau thì khai triển sẽ có dạng (a b− ) .ⁿ

 Trong biểu thức có C_n⁰ +C_n²^k +C_n⁴^k... (toàn chẵn hoặc toàn lẻ) thì đó là dấu hiệu nhận dạng khai triển hai biểu thức dạng (a b− )ⁿ và (a b+ )ⁿ khi chọn , a b rồi cộng lại (khi toàn chẵn) hoặc trừ đi (khi toàn lẻ) theo từng vế.

BT 7. Biết tổng các hệ số trong khai triển (1+x²)ⁿ là 1024. Tìm hệ số của x¹² ? ĐS: n=10; 210.

BT 8. Tìm hệ số của x⁶ trong khai triển 1 ³ ,

n

x x

 

 + 

  với n là số nguyên dương và biết rằng tổng các hệ

số trong khai triển bằng 1024 ? ĐS: n=10; 210.

BT 9. Tìm hệ số của số hạng chứa x⁸ trong khai triển

( )

²₃ ⁵

n

P x x

x

 

= + 

  với x>0. Biết n thỏa mãn điều kiện: C¹_n+C²_n+ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +Cⁿ_n⁻¹+Cⁿ_n=4095. ĐS: C₁₂⁸.2⁴=7920. BT 10. Tìm hệ số của x¹⁰ trong khai triển nhị thức (2+x) ,ⁿ biết rằng n là số nguyên dương thỏa mãn

điều kiện: 3ⁿC_n⁰−3ⁿ⁻¹C¹_n+3ⁿ⁻²C²_n−3ⁿ⁻³C_n³+ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + −( 1)ⁿCⁿ_n=2048. ĐS: a₁₀ =C¹⁰₁₁.2=22. BT 11. Tìm hệ số của x¹⁰ trong khai triển ( x−3 ) , (x² ⁿ x>0), biết rằng n là số nguyên dương và tổng

các hệ số trong khai triển bằng 2048− ? ĐS: 4455.−

BT 12. Tìm hệ số của x¹⁰ trong khai triển nhị thức (2+x) ,ⁿ biết rằng n là số nguyên dương thỏa mãn điều kiện: ³ⁿCn⁰−³ⁿ⁻¹C¹n+³ⁿ⁻²C²n−³ⁿ⁻³Cn³+^...+ −

( )

¹ ⁿCnⁿ=²⁰⁴⁸. ĐS: 22 .

BT 13. Tìm hệ số của x¹⁹ trong khai triển biểu thức P=(2x−1) .(⁹ x+2) ,ⁿ biết rằng n là số nguyên dương: C_n⁰+C¹_n+C_n²+...+C_nⁿ=2048 ? ĐS: 8960 .

BT 14. Tìm hệ số của x⁷ trong khai triển đa thức (2 – 3 ) ,x²ⁿ trong đó n là số nguyên dương thỏa mãn điều kiện: C¹₂_n₊₁+C₂³_n₊₁+C⁵₂_n₊₁+ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +C₂²_nⁿ⁺₊¹₁=1024 ? ĐS : a₇ = −2099520. BT 15. Tìm hệ số x⁴ trong khai triển (1+ +x 2 ) ,x² ⁿ biết n là số nguyên dương thỏa mãn điều kiện:

0 2 4 2

2_n 2_n 2_n ... 2_nⁿ 512

C +C +C + +C = . ĐS: 105 .

BT 16. Hãy tìm hệ số của x⁵ trong khai triển: P x( ) (1 2= − x+4x^{2 3})ⁿ.

Biết rằng: C²₂₀₁₄+C₂₀₁₄⁴ +C₂₀₁₄⁶ +C⁸₂₀₁₄+ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +C¹⁰⁰⁶₂₀₁₄=2⁵⁰³ⁿ−1 với n là số nguyên dương.

ĐS: a₅= −2C C₁₂³ ¹₃4²−8C C₁₂⁴ ₄³4¹+ −( 2)⁵C C₁₂⁵ ₅⁵.

BT 17. Tìm hệ số chứa x¹⁸ trong khai triển P x( ) (= x+2) (¹³ x²−2x+4)ⁿ. Biết n nguyên dương thỏa mãn điều kiện: C¹₂_n₊₁+C₂²_n₊₁+ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +C₂ⁿ_n₊₁=2²⁰−1. ĐS: a₁₈ =15138816.

(5)

4) Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển (a+bx) .ⁿ

Xét khai triển nhị thức Newton (a bx+ )ⁿ có số hạng tổng quát: T_k₊₁=C a_n^{k n k k}⁻b x^k.

Đặt a_k=C a_n^{k n k k}⁻b , 0≤ ≤k n thì dãy hệ số là

{ }

ak . Khi đó hệ số lớn nhất trong khai triển này thỏa hệ phương trình: ¹

1

k k

o

k k

a a a a k

+

−

 ≥

 ⇒

 ≥

 ^max

o o o

o

k n k k

k n

a C a ⁻ b

⇒ = .

BT 18. Trong khai triển 1 2 11

3 3

 x

 + 

  thành a_o+a x a x₁ + ₂ ²+ ⋅ ⋅ ⋅ +a x₁₁ ¹¹. Hãy tìm k để hệ số a_k lớn nhất và

tính nó ? (0≤ ≤k 11, :k nguy n)ê ĐS:

8 8

max 11 11

2 .

k 3

a = C .

BT 19. Cho khai triển : (1 2 )+ xⁿ=a₀+a x₁ + ⋅ ⋅ ⋅ +a x_n ⁿ, trong đó n∈ℤ và các hệ số a a₀, ,...,₁ a_n thỏa mãn

hệ thức ₀ ¹ 4096

2 2

n n

a

a +a + ⋅ ⋅ ⋅ + = . Tìm số lớn nhất trong các số a a₀, ,...,₁ a_n ? ĐS: a_max =126720.

BT 20. Cho khai triển 1 ₀ ₁ ₂ ² 2 3

n

n n

x a a x a x a x

 

+ = + + + ⋅ ⋅ ⋅ +

 

  . Tìm số lớn nhất trong các số a a a₀, , ,...,₁ ₂ a_n ? Biết rằng n là số tự nhiên thỏa mãn C C_n² _nⁿ⁻²+2C_nⁿ⁻²C_nⁿ⁻¹+C C_n¹ _nⁿ⁻¹=11025 ? ĐS: _max 1001

62208

a = ⋅

BT 21. Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho khai triển (1+x)ⁿ có tỉ số hai hệ số liên tiếp trong khai triễn trên bằng 7

15 ? ĐS: n=21.

5) Tìm số hạng hữu tỉ ( hoặc số hạng là số nguyên) trong khai triển (a+b) .ⁿ Xét khai triển (a b+ )ⁿ có số hạng tổng quát: . .

m r p q

k n k k k

n n

C a⁻b =C α β với , α β là các số hữu tỉ. Số

hạng hữu tỉ cần tìm thỏa mãn hệ:

(

^{, 0}

)

o

m

p k k n k

r q

 ∈



∈ ≤ ≤ ⇒

 ∈



ℕ ℕ ℕ

o o o

k n k k

C an ⁻ b

⇒ là số hạng cần tìm.

BT 22. Tìm số hạng là số nguyên trong khai triển nhị thức: ( 3+³2) ,ⁿ biết rằng n là số nguyên dương thỏa mãn điều kiện:

( )

P_n ³.C C C_nⁿ. 2ⁿ_n. 3ⁿ_n=P27. ĐS: C₉³3 .2³ ¹ và C₉⁹2 .³ BT 23. Tìm số hạng hữu tỉ trong khai triển:

3 1

1 3

5 .

2

n+

 

 + 

  Biết rằng n là số nguyên dương thỏa mãn điều kiện: Cⁿ_n+2C_nⁿ⁻¹+C_nⁿ⁻² =C_n²₊ⁿ₂⁻³. ĐS:

0 6 3 2

10 102 .5

32; 32

C C

⋅

III. Chứng minh hoặc tính tổng

1) Sử dụng những nhận xét cơ bản hoặc tính chất, công thức A , C , P^k_n ^k_n _n.

• Trong khai triển (a b− )ⁿ thì dấu đan nhau, nghĩa là ,+ rồi ,− rồi ,+ ….…

• Số mũ của a giảm dần, số mũ của b tăng dần nhưng tổng số mũ a và b bằng n.

• Vận dụng linh hoạt tính chất: C_n^k+C_n^k⁺¹=C_n^k⁺₊₁¹, C_n^k=C_n^{n k}⁻ và 1 1 ¹₁

. .

1 1

k k

n n

C C

k n

+

= +

+ + .

• Khi gặp tổng giữa các tích của hai công thức tổ hợp (⋅ ⋅ ⋅ +C C_nⁱ. _n^j + ⋅ ⋅ ⋅), lúc đó thường so sánh hệ số của biến cùng bậc với nhau, chẳng hạn so sánh khai hệ số của số mũ cùng bậc của hai khai triển: (1−x²)ⁿ với (1−x) (ⁿ x+1) ...ⁿ

(6)

BT 24. Tính các tổng sau:

a) S C= ⁰₅+C₅¹+ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +C₅⁵. ĐS: S=2 .⁵

b) S C= ⁰₅+2C¹₅+2²C₅²+ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + 2⁵C₅⁵. ĐS: S=3 .⁵ c) S=4⁰C₈⁰+4¹C¹₈+ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + 4⁸C₈⁸. ĐS: S=5 .⁸ d) S C= ⁰₂₀₁₀+C¹₂₀₁₀+C₂₀₁₀² + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +C₂₀₁₀²⁰¹⁰. ĐS: S=2²⁰¹⁰. e) S C= ⁰₂₀₁₀+2C₂₀₁₀¹ +2²C²₂₀₁₀+ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + 2²⁰¹⁰C₂₀₁₀²⁰¹⁰. ĐS: S=3²⁰¹⁰. f) S C= ₁₀⁶ +C₁₀⁷ +C₁₀⁸ +C₁₀⁹ +C¹⁰₁₀. ĐS: S=386.

g) S C= ₁₀₀⁰ +C x₁₀₀² ²+C₁₀₀⁴ + ⋅ ⋅ ⋅ +C₁₀₀¹⁰⁰. ĐS: S=2 .⁹⁹ h) S=2.C¹₂₀₁₀+2 .³C₂₀₁₀³ +2 .⁵C⁵₂₀₁₀+ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +2²⁰⁰⁹.C²⁰⁰⁹₂₀₁₀. ĐS: 1 ²⁰¹⁰

(3 1).

S=2 −

BT 25. Tính ¹2 ²2

( )

2 ¹

( )

² ¹ 2²

1 1 1 1

1 . 1 .

2 3 2 1

k k n n

n n n n

S C C C C

k n

− +

= − + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + − + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + −

+ ĐS: 2

2 1

S n

= n

+ .

BT 26. Tính tổng: 1 1 1 1

2!.2012! 4!.2010! 2012!.2! 2014!

S= + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + + ⋅ ĐS:

22013 1 2014!

S −

= .

BT 27. Hãy tính các tổng sau:

a) S₁=1 .²C¹₂₀₁₃+2 .²C²₂₀₁₃+3 .²C₂₀₁₃³ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +2013 .²C₂₀₁₃²⁰¹³. ĐS: 2013.2014.2²⁰¹¹. . b) ₂ ⁰²⁰¹³ ¹²⁰¹³ ²²⁰¹³ ²⁰¹³²⁰¹³

1 2 3 2014

C C C C

S = + + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ĐS:

2014 2

2 1

S 2014−

= .

BT 28. Chứng minh: (C_n^{0 2}) +(C^{1 2}_n) + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +(Cⁿ_n)²=C₂ⁿ_n với n≥2, n∈ℕ. BT 29. Cho số tự nhiên n≥2, chứng minh đẳng thức:

2 2 2

0 1 1

2 2 2

1

1 2 1 ( 1)

n n

n n n n

C C C C

n n

+

      + −

+ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + = ⋅

     

     +  +

     

BT 30. Tính

12 12 12

12 12

13 2013 2014

12 14

11.12 11.12 11.12 2012.2013 2013.2014

C C C

C C

S= + + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + + ? ĐS: 1 ¹¹₂₀₁₃

S=132C . BT 31. Chứng minh ∀ ≥n 2, n∈ℕ, ta luôn có:

1

0 1 2 2

... 1

n n n

C C C n

 − −

≤ 

 −  . BT 32. Tìm số nguyên dương n thỏa mãn đẳng thức sau đây:

0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 15 16

2_n 2_n.3 2_n^k.3^k 2_nⁿ .3ⁿ 2ⁿ_n.3 ⁿ 2 .(2 1)

C +C + ⋅ ⋅ ⋅ +C + ⋅ ⋅ ⋅ +C ⁻ ⁻ +C = + . ĐS: n=8.

2) Khai triễn kết hợp với đạo hàm để chứng minh hoăc tính tổng a) Sử dụng đạo hàm cấp I

• Nhận dạng: các hệ số đứng trước tổ hợp tăng dần (1, 2, 3, ..., hay 1 , 2 , ..., )n ² ² n² hoặc giảm dần dạng ( , ..., 3, 2, 1 hay n n²,..., 2 , 1 )² ² (không kể dấu). Hay tổng quát hơn nó có dạng là .k C_n^k hoặc dạng k C a. _n^{k n k k}⁻b⁻¹.

• Phương pháp giải:

+ Bước 1. Xét khai triễn: (a x+ )ⁿ=C a_n⁰ ⁿ+C a¹_n ⁿ⁻¹x C a+ ²_n ⁿ⁻²x²+ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +C_nⁿ⁻¹axⁿ⁻¹+C x_nⁿ ⁿ. + Bước 2. Lấy đạo hàm hai vế được:

n a x( + )ⁿ⁻¹=C a_n¹ ⁿ⁻¹+2C a_n² ⁿ⁻²x+ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + (n−1)C_nⁿ⁻¹axⁿ⁻²+C xⁿ_n ⁿ⁻¹. ( )i + Bước 3. Chọn giá trị x và a thích hợp dựa vào đề bài để thế vào (i).

BT 33. Chứng minh ∀ ≥n 1, n∈ℕ^∗, thì: C¹_n.3ⁿ⁻¹+2.C_n².3ⁿ⁻²+3.C_n³.3ⁿ⁻³+ ⋅ ⋅ ⋅ +n C. _nⁿ=n.4 .ⁿ^–1 BT 34. Chứng minh ∀ ≥n 1, n∈ℕ^∗, thì: 2ⁿ⁻¹C¹_n+2ⁿ⁻¹C²_n+2ⁿ⁻³C_n³+2ⁿ⁻⁴C_n⁴+ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +nCⁿ_n=n.3 .ⁿ⁻¹

BT 35. Tìm n∈ℤ⁺, thỏa: C₂¹_n₊₁−2.2C²₂_n₊₁+3.2²C³₂_n₊₁−4.2³C₂⁴_n₊₁+ ⋅ ⋅ ⋅ +(2n+1).2²ⁿC²₂_nⁿ⁺₊¹₁=2005 ĐS: 1002.

BT 36. Tính tổng S trong các trường hợp sau:

(7)

a) S=4C₁₀₀² +8C₁₀₀⁴ +12C⁶₁₀₀+ ⋅ ⋅ ⋅ +200C₁₀₀¹⁰⁰. ĐS: S=100.2 .⁹⁹ b) S C= ⁰₂₀₀₀+2C¹₂₀₀₀+3C²₂₀₀₀+ ⋅ ⋅ ⋅ +2001C²⁰⁰⁰₂₀₀₀. ĐS: S=1001.2²⁰⁰⁰. c) S=2008C⁰₂₀₀₇+2007C₂₀₀₇¹ +2006C₂₀₀₇² + ⋅ ⋅ ⋅ +2C²⁰⁰⁶₂₀₀₇+C₂₀₀₇²⁰⁰⁷. ĐS: S=2009.2²⁰⁰⁶. BT 37. Cho ³ 2₂

( ) ,

n

P x x n

x

  ∗

= −  ∈

 

ℕ . Hãy tìm số hạng chứa x⁶, biết rằng n là số tự nhiên thỏa mãn đẳng thức: 1.2ⁿ⁻¹C¹_n+2.2ⁿ⁻²C_n²+3.2ⁿ⁻³C³_n+ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +nC_nⁿ=12.3ⁿ⁻¹. ĐS: 2⁶C x₁₂⁶ ⁶.

BT 38. Cho khai triển (x−1)¹⁰⁰=a x_o ¹⁰⁰+a x₁ ⁹⁹+ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +a x₉₈ ²+a x a₉₉ + ₁₀₀.

Tính tổng: S=100 .2a_o ¹⁰⁰+99 .2a₁ ⁹⁹+ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +2a₉₈.2²+1a₉₉.2¹+1. ĐS: S=201. BT 39. Cho khai triển (1 3 )− x²⁰¹⁴ =a_o+a x a x₁ + ₂ ²+ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +a₂₀₁₄x²⁰¹⁴.

Tính tổng S=a_o+2a₁+3a₁+ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +2015a₂₀₁₄ ? ĐS: S=3022.2²⁰¹⁴. BT 40. Tính tổng: S C= ₂₀₁₄⁰ +3C₂₀₁₄² +5C⁴₂₀₁₄+ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +2015.C²⁰¹⁴₂₀₁₄. ĐS: S=1008.2²⁰¹³. BT 41. Tính giá trị biểu thức: A C= ₂₀₁₄² +2C⁴₂₀₁₄+3C₂₀₁₄⁶ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +1007C₂₀₁₄²⁰¹⁴. ĐS: 1007 ²⁰¹³

2 .2

A= .

b) Sử dụng đạo hàm cấp II

• Nhận dạng: các hệ số đứng trước tổ hợp tăng dần 1.2, 2.3, ...,( n−1)n hoặc giảm dần (n 1) ,..., 2.3, 1.2n

 − 

  (không kể dấu), có dạng tổng quát: .k C a^{k n k}_n ⁻ hoặc (k k−1)C^k_n.

• Phương pháp giải: Các bước giải tương tự như đạo hàm cấp 1.

BT 42. Tính tổng: S=1²C¹₂₀₀₇+2²C₂₀₀₇² +3²C₂₀₀₇³ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +2006²C₂₀₀₇²⁰⁰⁶+2007²C₂₀₀₇²⁰⁰⁷. ĐS: 2007.2008.2²⁰⁰⁵. BT 43. Chứng minh: 1²C¹₂₀₁₃+2²C₂₀₃² + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +2012²C²⁰¹²₂₀₁₃+2013²C²⁰¹³₂₀₁₃=2013.2014.2²⁰¹¹.

BT 44. Cho n∈ℤ, thỏa mãn điều kiện:

3 3

35, ( 3).

( 1)( 2)

n n

A C

n n n

+ = ≥

− −

Hãy tính tổng: S=2 .²C_n²−3²C_n³+4²C_n⁴− ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + −( 1) . .ⁿn C² ⁿ_n ? ĐS: S=30. 3) Khai triễn kết hợp với đạo hàm để chứng minh hoăc tính tổng

• Nhận dạng: Số hạng tổng quát có dạng

1 1

1

k k

k n

a b

k C

+ +

− ⋅

+ ( có dạng phân số)

• Phương pháp giải:

+ Bước 1. Xét khai triễn: (cx d+ )ⁿ=C cx_n⁰( )ⁿ+C cx¹_n( )ⁿ⁻¹d+ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +C_nⁿ⁻¹cxdⁿ⁻¹+C d_n^{n n}. + Bước 2. Lấy tích phân hai vế với cận a và b

0 1 1 1 1

( ) ( ) ( ) .

b b

n n n n n n n

n n n n

a a

cx d dx+ = C cx +C cx ⁻ d+ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +C ⁻cxd⁻ +C d dx

∫ ∫

1 1 2

0 1 1 1

1 ( )

1 1 2

b b

n n n

n n n n n n

n n n n

a a

cx d x x x

c C c C cd C d C x

c n n n

+ +

− −

 

⇔ + = + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + +  ⋅

+  + 

+ Bước 3. Chọn , , , a b c d phù hợp dựa vào đề bài.

BT 45. Các bài toán mở đầu về sử dụng tích phân

a) Tính tổng: ⁰ 1 ¹ 1 ² 1

2 3 1

n

n n n n

S C C C C

= + + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +n ⋅ ⋅

+ ĐS:

2 1 1 1

n

S n

+ −

= ⋅

+ b) Tính tổng:

2 3 1

0 2 1 1 2 1 2 2 1

2 3 1

n n

n n n n

S C C C C

n

− − + −

= + + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅

+ ĐS:

1 1

3 2

1

n n

S n

+ +

= − ⋅

+ c) Tính tổng:

0 1 1 0

2 . 2 2

1 1

n n n

C C C

S n n

−

= + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅

+ ĐS:

3 1 1 2( 1)

n

S n

+ −

= ⋅

+

(8)

d) 2² 1 ¹₂₀₁₀ 2⁴ 1 ³₂₀₁₀ 2⁶ 1 ₂₀₁₀⁵ 2²⁰¹⁰ 1 ₂₀₁₀²⁰⁰⁹

2 4 6 2010

S − C − C − C − C

= + + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ĐS:

2011 2011

3 1 2

4022

− − ⋅

e) ⁰ 1 ¹ 1 ² ² 1 ³ ³ 1

.2 .2 .2 .2 .

2 3 4 1

n n

n n n n n

S C C C C C

= + + + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +n

+ ĐS:

3 1 1 2( 1)

n

S n

+ −

= ⋅

+ f) 1 ₂¹ 1 ₂³ 1 ⁵₂ 1 ²₂ ¹

2 4 6 2

n

n n n n

S C C C C

n

= + + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + − ⋅ ĐS:

22 1

2 1

n

S n

= − ⋅

−

g) 1 ¹ 2 ² 3 ³

2 3 4 1

n

n n n n

S C C C n C

= + + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +n ⋅

+ ĐS: ( 1)2 1

1 n n

S n

− +

= ⋅

+ h) Tìm n∈ℤ⁺ thỏa: 1 ¹₂ 2 ₂² 3 ₂³ 4 ₂⁴ 2 ₂² 1

2 3 4 5 2 1 123

n

n n n n n

C C C C n C

− + − + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − n = ⋅

+ ĐS: n=61.

BT 46. Tìm hệ số của x²⁰ trong khai triển Newton của biểu thức 2₃ ⁵ ,

n

x x

 

 + 

  biết rằng n là số nguyên

dương thỏa mãn: ⁰ ¹ ¹ ¹ ²

( )

¹ ¹ ¹

2 3 1 13

n n

n n n n

C C C C

− + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + − n = ⋅

+ ĐS: C₁₂⁷.2⁵=25344.

BT 47. Tìm h�