ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM Câu Ý Nội dung trình bày Điểm 1 2,0 a Thay m1 vào hệ ta có x y x y

(1)

1 SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC

———————

(Hướng dẫn chấm có 03 trang)

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2015-2016 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN

Dành cho tất cả các thí sinh

—————————

A. LƯU Ý CHUNG

- Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có. Khi chấm bài học sinh làm theo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa.

- Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn.

- Với bài hình học nếu thí sinh không vẽ hình phần nào thì không cho điểm tương ứng với phần đó.

B. ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM

Câu Ý Nội dung trình bày Điểm

1 2,0

a

Thay m1 vào hệ ta có: ₂ 1

1 2

2 x y

x y

  

  

 ^0,25

 

² ² ²

1 1 1

1 3 3

1 2 1 0 1 0

2 2 2

x y x y x y

y y y y y y

     

  

  

  

        

  

  

0,75 1

1 2

2 3

1 2

2 1

2 x

x y y

y x

y

  



  

   

 

   

   

Vậy, hệ có nghiệm

 

x y; là 3 1 2 2;

 

 

  và



 1; 2



.

0,5

b

Thay y3x1 vào hệ có:

 

2 2

(3 1) 1

( 3) 2

1 3 1 2 2 3 5 0

2 mx x

m x

x x x x

  

   

 

       

 ^0,25

( 3) 2

1 1 5 19 2 5

m x

x m

 

  

   

   

Vậy, m1 hoặc 19 m 5 .

0,25

2 2,0

a Đường thẳng

 

^d đi qua điểm 1 1; 2 A  

1 3

2 m

     0,5

5 m 2

  . Vậy, 5

m2 thì

 

d đi qua điểm 1 1; 2

A  . 1,0 b

 

d cắt các trục toạ độ tại các điểm A



0;m



và ; 0

3 Bm 

 

  0,25

9 . 18 . 18 2 54 3 6

OAB 3

S_  OA OB  m m  m    m 0,25

(2)

2

3 2,0

a Điều kiện: 0 x 1 0,5

  

15 11 3 2 2 3 15 11 3 2 2 3

2 3 1 3 1 3 1 3

x x x x x x

P x x x x x x x x

     

     

        0,25

        

  

3 2 3 2 3 1

15 11

1 3 1 3

x x x x

x

x x x x

    

  

    ^0,25



^x¹⁵¹



^x^¹¹^x ³

 

⁵^x^x^¹⁸



^x^x^⁹³



 

    0,25

  

1 2 5 2 5

1 3 3

x x x

  

 

   ^0,25

b



³

 

³



^{2 5} ⁵ ² ² ₅

3

x m

x P m x m x m x

x

 

         

 ^0,25

Đối chiếu ĐK có: 2

0 1 3 2

5

m m

       . Vậy,   3 m 2 0,25

4 3,0

C' B'

K A1 O

A' F

E

D H B C

A

a Do BECBFC90^o suy ra tứ giác BFEC nội tiếp 0,5

AEF ABC

  (cùng bù với góc CEF) và BACFAE

Từ đó suy ra AEF∽ ABC(đpcm). 0,5

b Ta có BCK90 ,^o AHBCAH/ /KC Lại có BAK90 ,^o CH ABCH/ /AK

tứ giác AHCK là hình bình hành

0,5

Ta có: ¹ (1)

' AA AEF ABC AE

AB AA

 ∽    , trong đó: AA’ là trung tuyến ABC, AA1

là trung tuyến AEF

Do ^'

 

²

2 ' 2

AE AB AE AB AE OA KBC KC KB OA

BAC BKC ABE

R AB R

   ∽       

0,25

Từ (1) và (2) suy ra: ¹ ' ₁

. '. '

' AA OA

R AA OA AA

AA  R   . 0,25

c Gọi B’, C’ lần lượt là trung điểm của AC, AB

Ta có: OB'AC OC, ' ABOA OB OC', ', ' lần lượt là đường cao của các tam giác OBC, OCA, OAB.

0,25

(3)

3

1( '. '. '. )

ABC OBC OCA OAB 2

S_ S_ S_ S_  OA BCOB ACOC AB 2S__ABC OA BC'. OB AC'. OC AB'.

    (3)

0,25

Theo phần b suy ra: ' . ¹ ' OA R AA

 AA , mà ¹ ' AA

AA là tỷ số giữa 2 trung tuyến của 2 tam giác đồng dạng AEF và ABC nên ¹

' AA EF AA BC . Tương tự có: ' .FD; ' .ED

OB R OC R

AC AB

  ,

thay vào (3) ta được: 2S__ABC R EF( FDDE)

0,25

Do ADAA'AO OA 'AD R OA', dấu bằng xảy ra khi A là điểm chính giữa cung lớn BC

Mà R không đổi, nên EFFDDE lớn nhất  S__ABC lớn nhất ADlớn nhất

A là điểm chính giữa của cung lớn BC.

0,25

5 1,0

Với n  3 n! 6

Ta có: 3 1 2; 4 1 3;5     2 3; 6   1 2 3 khẳng định đúng với n3. 0,25 Giả sử khẳng định đúng với nk k



3,k



.

Ta đi chứng minh khẳng định đúng với n k 1. Thật vật:

Giả sử a là số nguyên dương tuỳ ý và ^a^



ⁿ^^{1 !}



, chia a cho n1 với số dư r và thương d. Khi đó: ad n



 1



r, 0  r n 1.

Theo giả thiết, do

1

!

m i i

d n d d



  



^{trong đó}^dⁱ

^

¹^{ }ⁱ ^m

^

là các số tự nhiên khác nhau từng đôi một, và là ước của n!.

0,25

Đồng thời mn. Khi đó: ad n1



  1



... d_m



n 1



r và tổng này có không quá n1 số khác nhau từng đôi một và đều là ước của



ⁿ^^{1 !}



^(đpcm). ^0,5

---Hết---