Hướng dẫn giải các dạng toán phép biến hình - Học Tập Trực Tuyến Cấp 1,2,3 - Hoc Online 247

CHƯƠNG 6 PHÉP BIẾN HÌNH

BÀI 1. MỞ ĐẦU VỀ PHÉP BIẾN HÌNH

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 Định nghĩa

Phép biến hình là một quy tắc để ứng với mỗi điểmMthuộc mặt phẳng, ta xác định được một điểm duy nhấtM⁰thuộc mặt phẳng ấy. ĐiểmM⁰gọi là ảnh của điểmMqua phép biến hình đó.

2 Kí hiệu và thuật ngữ Cho phép biến hìnhF.

— NếuM⁰ là ảnh của điểmMquaF thì ta viếtM⁰=F(M). Ta nói phép biến hìnhF biến điểmMthành điểmM⁰.

— NếuHlà một hình nào đó thìH⁰={M⁰|M⁰=F(M),M∈H}được gọi là ảnh của hìnhHquaF. Kí hiệu làH⁰=F(H).

3 Phép dời hình

Phép dời hình là phép biến hình không làm thay đổi khoảng cách giữa hai điểm bất kì.

Phép dời hình biến

— ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự ba điểm đó.

— đường thẳng thành đường thẳng.

— tia thành tia.

— đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng đoạn thẳng đã cho.

— tam giác thành tam giác bằng tam giác đã cho.

— đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính với đường tròn ban đầu.

— góc thành góc bằng góc ban đầu.

BÀI 2. PHÉP TỊNH TIẾN

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 Định nghĩa

Định nghĩa 1. Trong mặt phẳng cho vectơ #»_v. Phép biến hình biến mỗi điểmMthànhM⁰sao cho # » M M⁰=

#»_v được gọi là phép tịnh tiến theo vectơ#»_v.

Phép tịnh tiến theo vectơ#»_v thường được kí hiệu làT#»_v, #»_v được gọi làvectơ tịnh tiến.

T#»_v(M)=M⁰⇔# » M M⁰=#»_v. 2 Tính chất

Tính chất 1. NếuT#»_v(M)=M⁰, T#»_v(N)=N⁰thì # » M⁰N⁰=# »

M Nvà từ đó suy raM⁰N⁰=M N.

Tính chất 2. Phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

3 Biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến

Trong mặt phẳng tọa độOx ycho vectơ#»_v=(a;b). Với mỗi điểmM(x;y)ta cóM⁰(x⁰;y⁰)là ảnh củaM qua phép tịnh tiến theo vectơ #»_v. Khi đó # »

M M⁰=#»_v⇔^(x0−x=a

y⁰−y=b. Từ đó suy ra

(x⁰=x+a y⁰=y+b. Biểu thức trên được gọi làbiểu thức tọa độcủa phép tịnh tiếnT#»_v.

287

B DẠNG TOÁN VÀ BÀI TẬP

{DẠNG 2.1. Xác định ảnh của một hình qua phép tịnh tiến

Phương pháp giải:GọiH⁰là ảnh của hìnhHqua phép tịnh tiến theo véc-tơ #»_v=(a;b). Với mọi điểmM(x;y)bất kì thuộcH, ta cóT#»_v(M)=M⁰(x⁰;y⁰)∈H⁰.

(x⁰=x+a y⁰=y+b⇒

(x=x⁰−a

y=y⁰−b⇒M(x⁰−a;y⁰−b)

Thay tọa độ điểmMvào phương trình biểu diễn hìnhHta thu được phương trình biểu diễn hìnhH⁰.

1

VÍ DỤ 1. Trong mặt phẳng tọa độOx y, cho #»_{v =(2; 1)}và điểmM(3; 2). Tìm tọa độ điểmAsao cho A=T#»_v(M). ĐS:A(5; 3)

1 2 M=T#»_v(A). ĐS:A(1; 1)

Lời giải.

Giả sửA(x;y)ta có A=T#»_v(M)⇒

(x=3+2 y=2+1⇒

(x=5

y=3⇒A(5; 3). 1

GọiA(x;y), ta cóM=T#»_v(A)⇒

(3=x+2 2=y+1⇒

(x=1

y=1⇒A(1; 1). 2

ä VÍ DỤ 2. Trong mặt phẳngOx y, cho đường thẳngd. Hãy tìm ảnh của đường thẳngdqua phép tịnh tiến theo véc-tơ#»_v.

1 d: 2x−3y+12=0và #»_v=(4;−3). ĐS:2x−3y−5=0

2 d: 2x+y−4=0và#»_{v =}# »

AB, A(3; 1),B(−1; 8). ĐS:2x+y−3=0 Lời giải.

Gọid⁰là ảnh của đường thẳngdqua phép tịnh tiến theo véc-tơ#»_v;M(x;y)là một điểm bất kì trên đường thẳngdvà M⁰(x⁰;y⁰)=T#»_v(M). Khi đó

(x⁰=x+4 y⁰=y−3⇒

(x=x⁰−4

y=y⁰+3⇒M(x⁰−4;y⁰+3). Mà điểmMthuộc đường thẳngdnên 2(x⁰−4)−3(y⁰+3)+12=0⇔2x⁰−3y⁰−5=0.

Suy ra phương trình đường thẳngd⁰là2x−3y−5=0. 1

Ta có #»_v=# »

AB=(−4; 7). Do đó

(x⁰=x−4 y⁰=y+7⇒

(x=x⁰+4

y=y⁰−7⇒M(x⁰+4;y⁰−7). Mà điểmMthuộc đường thẳngdnên

2(x⁰+4)+y⁰−7−4=0⇔2x⁰+y⁰−3=0 Suy ra phương trình đường thẳngd⁰là2x+y−3=0.

2

ä VÍ DỤ 3. Trong mặt phẳngOx y, cho đường tròn(C). Hãy tìm ảnh của đường tròn(C)qua phép tịnh tiến #»_v, biết

(C) : (x−4)²+(y+3)²=6và #»_{v =(3; 2)}. ĐS:(x−7)²+(y+1)²=6 1

(C) :x²+y²+4x−4y−1=0và #»_v=# »

ABvớiA(−1; 1),B(1;−2). ĐS:x²+y²+2y+16=0 2

2. PHÉP TỊNH TIẾN 289

Lời giải.

Gọi(C⁰)là ảnh của đường tròn(C)qua phép tịnh tiến theo véc-tơ #»_v,M(x;y)là một điểm bất kì trên đường tròn(C) vàM⁰(x⁰;y⁰)=T#»_v(M). Khi đó

(x⁰=x+3 y⁰=y+2⇒

(x=x⁰−3

y=y⁰−2⇒M(x⁰−3;y⁰−2). Mà điểmMthuộc đường tròn(C)nên (x⁰−3−4)²+(y⁰−2+3)²=6⇔(x⁰−7)²+(y⁰+1)²=6.

Hay phương trình đường tròn(C⁰)là(x−7)²+(y+1)²=6. 1

Ta có #»_{v =AB}# »

=(2;−3)và

(x⁰=x+2 y⁰=y−3⇒

(x=x⁰−2

y=y⁰+3⇒M(x⁰−2;y⁰+3). Mà điểmMthuộc đường tròn(C)nên (x⁰−2)²+(y⁰+3)²+4(x⁰−2)−4(y⁰−3)−1=0⇔x⁰²+y⁰²+2y⁰+16=0

Hay phương trình đường tròn(C⁰)làx²+y²+2y+16=0. 2

ä

VÍ DỤ 4. Tìm phương trình ảnh của các đường sau qua phép tịnh tiến theo #»_v. 1 Elip(E) : x²

9 +y²

4 =1và#»_{v=(−3, 4)}. ĐS:^(x+3)

2

9 +(y−4)²

4 =1

2 Parabol(P) : y=x²−2x, và #»_{v=(1; 1)}. ĐS:y=x²−4x+4 Lời giải.

Gọi (E⁰) là ảnh của elip (E) qua phép tịnh tiến theo véc-tơ #»_v, M(x;y) là một điểm bất kì trên elip (E) và M⁰(x⁰;y⁰)=T#»_v(M). Khi đó

(x⁰=x−3 y⁰=y+4⇒

(x=x⁰+3

y=y⁰−4⇒M(x⁰+3;y⁰−4).

Mà điểmMthuộc đường elip(E)nên ^(x

0+3)²

9 +(y⁰−4)² 4 =1. Hay phương trình đường elip(E⁰)là ^(x+3)

2

9 +(y−4)² 4 =1. 1

Gọi(P⁰)là ảnh của parabol(P)qua phép tịnh tiến theo véc-tơ #»_v,M(x;y)là một điểm bất kì trên parabol(P) vàM⁰(x⁰;y⁰)=T#»_v(M). Khi đó

(x⁰=x+1 y⁰=y+1⇒

(x=x⁰−1

y=y⁰−1⇒M(x⁰−1;y⁰−1).

Mà điểmMthuộc parabol(P)nên y⁰−1=(x⁰−1)²−2(x⁰−1)⇔y⁰=x⁰²−4x⁰+4. Hay phương trình parabol(P⁰)là y=x²−4x+4.

2

ä

2

BÀI 1. Trong mặt phẳng tọa độOx y, cho #»_{v =(−1; 3)}, điểmM(−1; 4). Tìm tọa độ điểmAsao cho

A=T₂#»_v(M) ĐS:A(−2; 7)

1 2 M=T₋#»_v(A) ĐS:M(−2; 7)

Lời giải.

Giả sửA(x;y).

Ta có2#»_{v=(−2; 6)}. Ta có

A=T₂#»_v(M)⇔

(x= −1−1= −2

y=4+3=7 ⇒A(−2; 7).

1

Ta có₋#»_{v =(1;−3)}. Ta có

M=T₋#»_v(A)⇔

(−1=x+1 4=y−3 ⇔

(x= −2

y=7 ⇒M(−2; 7).

2

ä BÀI 2. Trong mặt phẳng Ox y, cho A(3; 5), B(−1; 1), #»_{v =(−1; 2)}, đường thẳng d và đường tròn(C)có phương trình d:x−2y+3=0,(C) : (x−2)²+(y−3)²=25.

Tìm ảnh của các điểmA⁰,B⁰theo thứ tự là ảnh của A,Bqua phép tịnh tiến theo#»_v. ĐS:B⁰(−2; 3) 1

Tìm tọa độ điểmCsao choAlà ảnh củaCqua phép tịnh tiến theo#»_v. ĐS:C(4; 3) 2

Tìm phương trình đường thẳng d⁰, đường tròn (C⁰)lần lượt là ảnh của d, (C) qua phép tịnh tiến theo #»_v. ĐS:d⁰:x−2y+8=0và(C⁰) : (x−1)²+(y−5)²=25 3

Lời giải.

Ta có

(x_A0=3−1=2

y_A0=5+2=7⇒A⁰(2; 7)và

(x_B0= −1−1= −2

y_B0=1+2=3 ⇒B⁰(−2; 3). 1

Ta cóA=T#»_v(C)⇔

(3=x_C−1 5=y_C+2⇔

(x_C=4

y_C=3⇒C(4; 3). 2

GọiM(x;y)là một điểm bất kì trên đường thẳngdvàM⁰(x⁰;y⁰)=T#»_v(M). Ta có (x⁰=x−1

y⁰=y+2⇒

(x=x⁰+1

y=y⁰−2⇒M(x⁰+1;y⁰−2) Mà điểmMthuộc đường thẳngdnênx⁰+1−2(y⁰−2)+3=0⇔x⁰−2y⁰+8=0. Hay phương trình đường thẳngd⁰làx−2y+8=0.

GọiN(x;y)là một điểm bất kì trên đường tròn(C)vàN⁰(x⁰;y⁰)=T#»_v(N). Ta có (x⁰=x−1

y⁰=y+2⇒

(x=x⁰+1

y=y⁰−2⇒N(x⁰+1;y⁰−2)

Mà điểmMthuộc đường tròn(C)nên(x⁰+1−2)²+(y⁰−2−3)²=25⇔(x⁰−1)²+(y⁰−5)²=25. Hay phương trình đường tròn(C⁰)là(x−1)²+(y−5)²=25.

3

ä BÀI 3. Trong mặt phẳngOx y, cho tam giácABCcó ảnh qua phép tịnh tiến theo #»_{v=(2; 5)}là tam giácA⁰B⁰C⁰và tam giác A⁰B⁰C⁰ có trọng tâm là G⁰(−3; 4), biết rằng A(−1; 6), B(3; 4). Tìm tọa độ các điểm A⁰, B⁰, C⁰. ĐS:A⁰(1; 11),B⁰(5; 9),C⁰(−15;−8) Lời giải.

GọiGlà trọng tâm tam giácABC. Khi đó ta có +) A⁰=T#»_v(A)⇒

(x_A0= −1+2=1

y_A0=6+5=11 ⇒A⁰(1; 11). +) B⁰=T#»_v(B)⇒

(x_B0=3+2=5

y_B0=4+5=9⇒B⁰(5; 9). +) G⁰là trọng tâm tam giác A⁰B⁰C⁰nên

(x_C0=3x_G0−x_A0−x_B0

y_C0=3y_G0−y_A0−y_B0 ⇒

(x_C0= −9−1−5= −15 y_C0=12−11−9= −8 ⇒

(x_C0= −15

y_C0= −8 ⇒C⁰(−15;−8).

ä BÀI 4. Trong mặt phẳng tọa độ Ox y, hãy xác định tọa độ điểm M trên trục hoành sao cho phép tịnh tiến theo

#»_{v =(−2; 3)}biến điểmMthành điểmM⁰nằm trên trục tung. ĐS:M(2; 0)

Lời giải.

GọiM(x; 0)vàM⁰(x⁰;y⁰)=T#»_v(M). Ta có

(x⁰=x−2

y⁰=0+3⇒M⁰(x−2; 3).

Do điểmM⁰thuộc trụcO ynênx−2=0⇒x=2. Do đóM(2; 0). _ä

2. PHÉP TỊNH TIẾN 291

3

BÀI 5. Trong mặt phẳngOx y, cho đường thẳngd. Hãy tìm ảnh của đường thẳngdqua phép tịnh tiến theo#»_v trong các trường hợp sau:

1 d: 2x−3y+5=0, #»_{v =(3; 2)}. ĐS:2x−3y+5=0

2 d: 3x−y+2=0,#»_{v=(−4; 2)}. ĐS:3x−y+16=0

3 d: 3x+4y−5=0, #»_{v =}# »

AB, A(0; 2),B(2; 3). ĐS:3x+4y−15=0 4 d:x+3y−2=0,#»_v=2AB# »

, A(−2; 3),B(0, 2). ĐS:x+3y=0

5 dcắtOx,O ytạiA(−1; 0),B(0; 5)và #»_{v=(2; 2)}. ĐS:₋5x+y+17=0

BÀI 6. Trong mặt phẳng tọa độOx y, cho đường tròn (C). Hãy tìm ảnh của đường tròn(C)qua phép tịnh tiến theo

#»_v trong các trường hợp sau:

1 (C) : (x−2)²+(y+4)²=16, #»_{v =(2;−3)}. ĐS:(x−4)²+(y+7)²=16 2 (C) : (x+1)²+(y−3)²=25, #»_{v =AB}# »

,A(−1; 1),B(1;−2). ĐS:(x−1)²+y²=25

3 (C) : (x+2)²+(y+4)²=9, #»_{v = −}# »

CB,B(2;−3),C(−1; 5) ĐS:(x+5)²+(y−4)²=9

4 (C) :x²+y²−4x−6y−8=0, #»_{v =(5;−2)}. ĐS:(x−7)²+(y−1)²=21 5 (C) :x²+y²−2x+4y−4=0, #»_{v =(−2; 3)} ĐS:(x+1)²+(y−1)²=9 6 (C) :x²+y²+6x−2y+6=0, #»_v=3BC# »

,B(1;−2),C(−1;−5). ĐS:(x+9)²+(y+8)²=4 BÀI 7. Trong mặt phẳngOx y, Cho A(1; 3),B(−2; 2),C(3;−4). Gọi M là trung điểmBCvàG là trọng tâm tam giác ABC. Gọi(C)là đường tròn đi qua ba điểmA,B,C. Hãy xác định

1 A⁰=T_BC# »(A)vàB⁰=T_AC# »(B) ĐS: A⁰(6;−3),B⁰(0;−5)

2 A₁=T_CG# »(A)vàG₁=T_AM# »(G) ĐS:A₁

µ

−4 3;13

3

¶ ,G₁=

µ1 6;−11

3

¶

3 d⁰=T_BM# »(d)vớidlà đường thẳng đi qua A,M. ĐS:4x−1

2y−14=0 {DẠNG 2.2. Xác định phép tịnh tiến khi biết ảnh và tạo ảnh

Phương pháp giải: Giả sử M⁰(x⁰;y⁰)là ảnh của M(x;y)qua phép tịnh tiến theo vectơ #»_{v =(a;b)}. Khi đó, ta có

#»_{v =}# »

M M⁰và tọa độ #»_v được xác định như sau

(a=x⁰−x b=y⁰−y.

1

VÍ DỤ 1. Trong mặt phẳng tọa độOx y, cho một phép tịnh tiến biến đường tròn(C) : (x+1)²+(y−2)²=16thành đường tròn(C⁰) : (x−10)²+(y+5)²=16. Hãy xác định phép tịnh tiến đó. ĐS: #»_v=(11;−7) Lời giải.

Từ phương trình đường tròn(C)và(C⁰), ta suy ra tâm của hai đường tròn đó lần lượt làI(−1; 2)vàI⁰(10;−5). Ta có T#»_v(C)=(C⁰)⇒T#»_v(I)=I⁰⇒#»_{v =}# »

I I⁰=(11;−7).

ä VÍ DỤ 2. Trong mặt phẳng tọa độOx y, cho đường thẳngd: 2x−3y+3=0vàd⁰: 2x−3y−5=0. Tìm tọa độ của

#»_v có giá vuông góc với đường thẳngdđểd⁰là ảnh củadquaT#»_v.

ĐS:#»_v=^µ16 13;−24

13

¶

Lời giải.

Chọn điểmA(0; 1)∈d. Gọi∆là đường thẳng đi qua Avà vuông góc vớid

⇒∆^{: 3x}+2y−2=0.

GọiA⁰=d⁰∩∆. Tọa độ điểm^A0thỏa mãn hệ phương trình (2x−3y−5=0

3x+2y−2=0⇒









 x=16

13 y= −11

13

⇒A⁰ µ16

13;−11 13

¶ .

Vậy#»_u=# » A A⁰=

µ16 13;−24

13

¶ .

A

A⁰

#»_v

ä VÍ DỤ 3. Trong mặt phẳng tọa độOx y, cho hai đường thẳng lần lượt có phương trình làd: 3x−5y+3=0và d⁰: 3x−5y+24=0. Tìm #»_v,biết_|#»_{v| =}^p₁₃vàT#»_v(d)=d⁰.

ĐS:#»_{v=(−2; 3)}hay#»_v=^µ₋²⁹ 17;54

17

¶

Lời giải.

Chọn điểmA(−1; 0)∈d. GọiA⁰(−8+5t; 3t)∈d⁰là ảnh của AquaT#»_v. Khi đó, #»_v=# »

A A⁰=(−7+5t; 3t). Ta có_|#»_{v| =}^p_{13⇔ |}# »

A A⁰| =p 13⇔p

(−7+5t)²+(3t)²=p

13⇔34t²−70t+36=0⇔



 t=1 t=18 Vớit=1, ta có#»_{v =(−2; 3)}. 17

Vớit=18

17, ta có#»_v=^µ₋²⁹ 17;54

17

¶

. _ä

2

BÀI 1. Trong mặt phẳng tọa độOx y, cho đường thẳngd: 3x−y−9=0.

1 Tìm phép tịnh tiến theo vectơ #»_v có phương song song với trụcOx, biếndthành đường thẳngd⁰đi qua gốc tọa độ. Khi đó hãy viết phương trình đường thẳngd⁰. ĐS:#»_{v =(−3; 0)} 2 Tìm phép tịnh tiến theo vectơ#»_u có giá song song với trụcO y, biếndthànhd⁰⁰đi qua điểm A(1; 1).

ĐS:#»_v=^µ₋⁷ 3; 0

¶

Lời giải.

1 Oxcắtd vàd⁰lần lượt tại A(3; 0)vàO(0; 0). Ta cóT#»_v(A)=O⇒#»_{v =}# »

AO=(−3; 0)

2 Gọi∆là đường thẳng đi qua A(1; 1)và song song vớiO y⇒∆^:x=1. GọiB=∆∩d⇒B µ10

3; 1

¶ . Ta cóT#»_v(B)=A⇒#»_{v =}# »

B A= µ

−7 3; 0

¶

ä BÀI 2. Trong mặt phẳng tọa độOx y, phép tịnh tiến theo #»_v biến điểm M(3;−1) thành một điểm trên đường thẳng d:x−y−9=0.Tìm tọa độ #»_v, biết rằng|#»_{v| =5}. ĐS:#»_{v =(5; 0)}hay #»_v=(0;−5) Lời giải.

GọiM⁰là ảnh củaMqua phép tịnh tiến theo#»_v. Ta cóM⁰∈d⇒M(m,m−9). T#»_v(M)=M⁰⇒#»_{v =}# »

M M⁰=(m−3;m−8).

|#»_{v| =5⇔}p

(m−3)²+(m−8)²=5⇔2m²−22m+48=0⇔

"

m=3 m=8 Vớim=3, ta có#»_v=(0;−5).

Vớim=8, ta có#»_{v=(5; 0)}. _ä

BÀI 3. Trong mặt phẳng tọa độOx y, cho hình bình hành ABCDcó phương trình chứa cạnhABlà3x−2y+3=0và chứa cạnhCDlà3x−2y−6=0. Tìm tọa độ#»_v, biết rằngCD=T#»_v(AB)và #»_v⊥# »

AB.

ĐS:#»_{v =}^µ27 13;−18

13

¶

Lời giải.

2. PHÉP TỊNH TIẾN 293

Chọn điểmM(−1; 0) thuộc đường thẳng chứa cạnh ABvà M⁰là ảnh của M qua phép tịnh tiến theo vectơ #»_v.

Gọi∆là đương thẳng chứaM M⁰⇒∆⊥AB(doM M⁰⊥AB) và đi quaM. Suy ra phương trình đường thẳng∆^{: 2x}+3y+2=0.

Ta cóM⁰=∆∩CD⇒M⁰ µ14

13;−18 13

¶

Vậy #»_v=# » M M⁰=

µ27 13;−18

13

¶ .

M

M⁰ A

D

B

C

#»_v

ä

3

BÀI 4. Trong mặt phẳng tọa độOx y, hãy xác định phép tịnh tiến theo #»_v cùng phương với trục hoành biến đường thẳngd:x−4y+4=0thành đường thẳngd⁰quaA(1;−3). ĐS: #»_{v=(17; 0)} BÀI 5. Trong mặt phẳng tọa độOx y, cho hai đường thẳngd, d⁰lần lượt có phương trình làd: 3x−y−7=0,d⁰: 3x− y+13=0và vectơ #»_u=(1;−1). Tìm tọa độ của vectơ#»_v trong phép tịnh tiếnT#»_v biếndthànhd⁰, biết rằng vectơ #»_v và

#»_u cùng phương. ĐS:#»_{v=(−5; 5)}

BÀI 6. Cho(P) : y=x²−4x+7và(P⁰) :y=x². Tìm phép tịnh tiến biến(P)thành(P⁰).

ĐS:#»_{v=(−2;−7)} {DẠNG 2.3. Các bài toán ứng dụng của phép tịnh tiến

1 Chứng minh hoặc xác định các yếu tố hình học

Từ giả thiết tìm hai điểm cố định phù hợp để xây dựng một vectơ cố định.

Xác định một phép tịnh tiến phù hợp theo vectơ cố định vừa tìm được.

Dùng tính chất của phép tịnh tiến để chứng minh các tính chất hình học hoặc xác định các yếu tố của hình.

2 Tìm tập hợp điểmMthỏa mãn tính chất cho trước (Toán quỹ tích)

Chỉ ra phép tịnh tiến theo vecto #»_v biến điểmEnào đó thànhMmà quỹ tích điểmEđã biết hoặc dễ tìm hơn.

T#»_v :E7→M (H)7→(H⁰) Xác định hình(H)là quỹ tích của điểmE.

Khi đó tập hợp các điểmMlà hình(H⁰)với(H⁰)là ảnh của(H)qua phép tịnh tiến theo vectơ #»_v. Điều kiện áp dụng:Bài toán có yếu tố song song và bằng nhau, có vecto, . . .

1

VÍ DỤ 1. Cho tứ giácABCDcó A^b=60^◦,Bb=150^◦,Db=90^◦,CD=12và AB=6p

3. Tính độ dài các cạnhADvà

BC. ĐS:AD=6p

3,BC=6 Lời giải.

XétT_BC# »(A)=M⇒ABCMlà hình bình hành.

⇒BCMƒ=180^◦−ƒABC=30^◦

Ta có:BCD^ƒ=360^◦−(ƒD AB+ƒADC+ƒABC)=60^◦ ⇒MCDƒ =30^◦. Theo định lý cosin cho∆^MDC:

MD²=MC²+DC²−2MC·DC·cos 30^◦=36⇒MD=6.

MD=1

2CDvàMC=MDp

3⇒∆^MDClà nửa tam giác đều.

⇒D MCƒ=90^◦⇒MD Aƒ =30^◦.

⇒MD Aƒ=M ADƒ=M ABƒ=30^◦

⇒∆AMDcân tạiM⇒BC=M A=MD=6. Theo định lý sin cho∆^AMD: ^AD

sinAMDƒ = D M sinM ADƒ

⇔AD=D M·sinAMDƒ

sinM ADƒ =6·sin 120^◦ sin 30^◦ =6p

3.

A

B

C

D 12

6p 3

M

150

◦

ä VÍ DỤ 2. Cho hình bình ABCD, ABcố định,Ddi động trên đường thẳngdcố định. Tìm tập hợp điểmC.

ĐS:Tập hợp điểmClà đường thẳngd⁰, là ảnh củadqua phép tịnh tiến theo # » AB Lời giải.

A

B C

D ABCDlà hình bình hành_⇔AB# »

=_DC# » . Suy ra phép tịnh tiến theo_AB# »

biếnDthànhC, mà điểmDdi động trên đường thẳngdcố định, do đóCdi động trên d⁰là ảnh củadqua phép tịnh tiến theo# »_AB

. _ä

VÍ DỤ 3. Cho hình bình hànhABCDcó đỉnhAcố định,BDcó độ dài không đổi bằng2a, ba điểmA,B,Dnằm trên một đường tròn cố định(O;R). Tìm tập hợp điểmC.

ĐS:Tập hợp điểmClà đường tròn ảnh của đường tròn tâmA, bán kính2p

R²−a²qua phép tịnh tiến theo

# »

AK, vớiKlà giao điểm của AOvới đường tròn(O;R) Lời giải.

1 Cách 1

A

H

B K

D C

I O

GọiHlà trực tâm của∆^ABD,K là giao điểm củaAOvới đường tròn(O;R). Khi đóK cố định.

GọiI=AC∩BD. Ta có:OIlà đường trung bình của∆^{AK C}, suy ra # » K C=2# »

OI (1).

Mặt khác:HBDKlà hình bình hành, suy raIlà trung điểm củaHK, do đóOIlà đường trung bình của∆AHK. Suy ra# »

AH=2# » OI (2). Từ(1)và(2)suy ra # »

K C=# »

AHnênAHCKlà hình bình hành, suy ra # » AK=# »

HC. Xét∆^OBIvuông tạiIcóOI=p

OB²−IB²=p

R²−a². Suy raAH=2OI=2p

R²−a². Phép tịnh tiến theo_AK# »

biếnHthànhC,AthànhK.

Do đó tập hợp điểm C là đường tròn tâm K, bán kính2p

R²−a², là ảnh của đường tròn tâm A, bán kính 2p

R²−a²qua phép tịnh tiến theo# »_AK . 2 Cách 2

A B

K

D

E

C I

O

GọiK là giao điểm củaAOvới đường tròn(O;R). Khi đóK cố định.

GọiI=AC∩BD. Ta có:OIlà đường trung bình của∆^{AK C}, suy ra # » K C=2# »

OI. GọiEđối xứng vớiOquaI. Khi đóOE=2OI=2p

R²−a². Suy ra tập hợp điểmElà đường tròn tâmO, bán kính2p

R²−a².

2. PHÉP TỊNH TIẾN 295

Ta có:_{K C}# »

=2_OI# »

=_OE# »

, suy raOK CElà hình bình hành. Do đó_OK# »

=_EC# » . Suy ra phép tịnh tiến theo_OK# »

biến điểmEthànhC,OthànhK. Do đó tập hợp điểmClà đường tròn tâmK, bán kính2p

R²−a², là ảnh của đường tròn tâmO, bán kính2p

R²−a²qua phép tịnh tiến theo_OK# » .

ä

2

BÀI 1. Cho tứ giác lồi ABCDcóAB=BC=CD=a,^ƒB AD=75^◦,^ƒADC=45^◦. TínhAD. ĐS:AD=ap 2+p

3 Lời giải.

60^◦

45^◦ 75^◦

A

A⁰ D

C B

XétT_BC# »(A)=A⁰. Khi đó tứ giác ABC A⁰là hình bình hành.

Suy ra^ƒCB A+Aƒ⁰CB=180^◦vàA A⁰=C A⁰=B A=CD=a⇒∆^{C A0D}cân tạiC.

Ta có:B AD^ƒ+ƒADC+ƒDCB+ƒCB A=360^◦⇒ƒCB A+ƒDCB=240^◦⇒Aƒ⁰CD=60^◦⇒∆^{C A0D}đều.

⇒àA⁰D A=15^◦⇒àA A⁰D=150⁰(∆^A0ADcân tại A⁰).

Áp dụng định lý cosin cho tam giácA⁰AD:AD²=A⁰A²+A⁰D²−2·A⁰A·A⁰D·cosàA A⁰D=2a²+p 3a².

⇒AD=ap 2+p

3. _ä

BÀI 2. Cho hình bình hành ABCD, hai điểm A,Bcố định, tâm Icủa hình bình hành di động trên đường tròn(C). Tìm quỹ tích trung điểmMcủa cạnhBC.

ĐS:Tập hợp điểmMlà đường tròn(C⁰), là ảnh của(C)qua phép tịnh tiến theo ¹ 2

# » AB Lời giải.

A

B C

D M

I

Ta có:I Mlà đường trung bình của∆^{C AB}⇒_{I M}# »

=1 2

# » AB. Suy ra:M=T₁

2# »_AB(I)màIdi động trên đường tròn(C), do đóMdi động trên đường tròn(C⁰), là ảnh của(C)qua phép tịnh tiến theo ¹

2

# »

AB. _ä

3

BÀI 3. Cho hình bình hành ABCD và điểm M sao choC nằm trong tam giác MBD. Giả sử MBCƒ=MDCƒ. Chứng minh:AMDƒ =BMCƒ.

BÀI 4. Cho đoạn thẳng ABvà đường tròn(C)tâmObán kínhR nằm về một phía của đường thẳngAB. Lấy điểm Mtrên(C)rồi dựng hình bình hànhABM M⁰. Tìm tập hợp các điểmM⁰khiMdi động trên(C).

ĐS:Tập hợp điểmClà đường tròn(C⁰), là ảnh của(C)qua phép tịnh tiến theo# » B A

BÀI 3. PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC (BÀI ĐỌC THÊM)

A ĐỊNH NGHĨA

1 Điểm M⁰ được gọi là đối xứng với điểm M qua đường thẳng d nếu d là đường trung trực của đoạn thẳngM M⁰. Khi điểmMnằm trên dthì ta xemMđối xứng với chính nó qua đường thẳngd.

2 Phép biến hình biến mỗi điểmMthành điểmM⁰đối xứng vớiMqua đường thẳng dđược gọi là phép đối xứng qua đường thẳngd, hay gọi tắt là phép đối xứng trục.

3 Đường thẳngdđược gọi là trục đối xứng. Kí hiệuĐ_d. Như vậyM⁰=Đd(M)⇔# »

M₀M⁰= −_M# »

0M, vớiM₀là hình chiếu vuông góc củaMtrên d.

d M₀

M⁰ M

B BIỂU THỨC TỌA ĐỘ

Trong mặt phẳng tọa độOx y, với mỗi điểmM(xM;yM), gọiM⁰(x_M0;y_M0)=Đd(M). Nếu chọndlà trụcOxthì ta có

(x_M0=x_M y_M0= −yM.

Nếu chọndlà trụcO ythì ta có

(x_M0= −x_M y_M0=yM.

C TÍNH CHẤT

Phép đối xứng trục là một phép dời hình nên có đầy đủ tính chất của phép dời hình:

Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì;

Biến một đường thẳng thành đường thẳng;

Biến một đoạn thẳng thành một đoạn thẳng bằng đoạn thẳng đã cho;

Biến một tam giác thành một tam giác bằng tam giác đã cho;

Biến một đường tròn thành một đường tròn có cùng bán kính.

D TRỤC ĐỐI XỨNG CỦA MỘT HÌNH

Đường thẳng d gọi là trục đối xứng của hình H nếu phép đối xứng trụcĐ_d biến hình H thành chính nó, tức là H=Đ_d(H).

BÀI 4. ^{PHÉP QUAY}

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 Định nghĩa

4. PHÉP QUAY 297

Cho điểmOvà góc lượng giácα. Phép biến hình biếnOthành chính nó, biến mỗi điểm M khácO thành điểmM⁰ sao choOM⁰=OM và góc lượng giác^¡OM;OM⁰¢

bằngα được gọi là phép quay tâmO góc quayα.

ĐiểmOgọi là tâm quay,αgọi là góc quay. Phép quay tâmOgócα, kí hiệu làQ_(O;α).

Q_(O,α)(M)=M⁰⇔

((OM,OM⁰)=α

OM=OM⁰. _α

O M

M⁰

Phép quay nào biến là cờ(C)thành lá cờ(C⁰): Phép quay nào biến là cờ(C⁰)thành lá cờ(C): 2 Tính chất

Phép tịnh tiến là phép biến hình biến:

Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.

Biến một đường thẳng thành một đường thẳng.

Biến một đoạn thẳng thành một đoạn thẳng bằng đoạn thẳng đã cho.

Biến một tam giác thành một tam giác bằng tam giác đã cho.

Biến một đường tròn thành một đường tròn có cùng bán kính.

!

Giả sử phép quay tâmOgóc quayαbiến đường thẳngdthành đường thẳngd⁰. Khi đó:

Nếu0<α≤π

2 thì góc giữadvàd⁰bằngα. Nếu ^π

2<α<πthì góc giữadvàd⁰bằngπ−α. 3 Hai hình bằng nhau

Hai hình được gọi là bằng nhau nếu có phép dời hình biến hình này thành hình kia.

B DẠNG TOÁN VÀ BÀI TẬP

{DẠNG 4.1. Tìm tọa độ ảnh của một điểm qua phép quay

Phương pháp xác định ảnh của một điểm qua phép quay 1 Phương pháp 1.Sử dụng định nghĩa

Trong mặt phẳng tọa độOx y, gọiM⁰(x_M;y_M)là ảnh củaM(x_M;y_M)qua phép quay tâm I(a;b), góc quay α. Khi đó:

M⁰(x_M;y_M)=Q_(I;α)(M)⇒

(I M⁰=I M (1) àM I M⁰=α. (2)

Từ(1), sử dụng công thức tính độ dài, sẽ tìm được phương trình thứ nhất thưo hai ẩn.

Từ(2), sử dụng định lý hàm số cos, sẽ tìm được phương trình thứ hai theo hai ẩn.

Giải hệ phương trình này tìm đượcxM, yM, từ đó suy ra tọa độ điểmM⁰(xM;yM).

!

2 Phương pháp 2.Sử dụng công thức tọa độ

M⁰(x⁰_M;y⁰_M)=Q_(I;α)(M)⇔

(x⁰_M=(xM−a) cosα−(yM−b) sinα+a y⁰_M=(x_M−a) sinα+(y_M−b) cosα+b.

3 Phương pháp 3.Trong các trường hợp đơn giản sử dụng hệ trục tọa độ, thực hiện phép quay tìm ngay được tọa độ điểm ảnh.

1

VÍ DỤ 1. Trong mặt phẳng tọa độOx y, tìm tọa độA⁰,B⁰lần lượt là ảnh củaA,Bqua phép quay tâmO, góc quay90^◦. Biết

A(1; 0). ĐS:A⁰(0; 1)

1 2 B(0;−2). ĐS:B⁰(2; 0)

Lời giải.

Xét điểmA(1; 0).

GọiA⁰có tọa độ là(x⁰;y⁰). Khi đó A⁰(x⁰;y⁰)=Q_(O;90◦)(A)⇒

(O A=O A⁰ (1) AO Aƒ⁰=90^◦. (2) Từ(1), suy ra(x⁰)²+(y⁰)²=1.

Từ(2), suy ra1·x⁰+0·y⁰=0.

Vậy, thu được (x⁰;y⁰)=(0; 1) hoặc (x⁰;y⁰)=(0;−1). Vì góc quay dương nên thu được điểmA⁰(0; 1).

1 Xét điểmB(0;−2).

GọiB⁰có tọa độ là(x⁰;y⁰). Khi đó

(x⁰=(x_B−x_O) cos 90^◦−(y_B−y_O) sin 90^◦+x_O y⁰=(x_B−x_O) sin 90^◦+(y_B−y_O) cos 90^◦+y_O.

⇔

(x⁰=2 y⁰=0.

⇔ B⁰(2; 0).

2

!

ä

2

BÀI 1. Trong mặt phẳngOx y, cho tam giácABCcóA(1; 1),B(0; 5),C(−2;−1)và đường thẳngd: 2x−y−4=0. Hãy xác định tọa độ các đỉnh của tam giácA⁰B⁰C⁰ và phương trình đường thẳngd⁰theo thứ tự là ảnh của tam giác ABCvà đường thẳngdqua phép quay tâmO, góc quay90^◦.

Lời giải.

Phép quay tâm O, góc quay 90^◦ biến A(1; 1) thành A⁰(−1; 1), biến B(0; 5) thành B⁰(−5; 0), biếnC(−2;−1) thành C⁰(1;−2).

1 Phép quay tâm O, góc quay

90^◦ biến đường thẳng d: 2x− y−4=0 thành đường thẳng d⁰:x+2y+2=0.

2

x y

d: 2x₋y₋4₌0

d⁰:x₊2y₊2₌0 A⁰ A

B

B⁰

C

C⁰

ä

3

BÀI 2. Trong mặt phẳng tọa độOx ycho điểmA(2; 0)và đường thẳngd:x+y−2=0. Tìm ảnh của Avàdqua phép quay tâmOgóc90⁰.

Lời giải.

Ta có:Q_(O,900)(A)=BvớiB(0; 2). Q_(O,900)(B)=CvớiC(−2; 0).

Gọid⁰là ảnh củadquaQ_(O,900). VìA,Bthuộcd nênB,Cthuộcd⁰. Phương trình đường thẳngd⁰:x−y+2=0.

x y

d d⁰

O C

−2

A 2 B 2

ä

4. PHÉP QUAY 299

{DẠNG 4.2. Tìm phương trình ảnh của một đường tròn qua phép quay

Phương pháp xác định ảnh của một đường tròn qua phép quay

Vì phép quay biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính nên để tìm phương trình ảnh của đường tròn qua phép quay, chúng ta thực hiện qua ba bước sau đây:

1 Xác định tọa độ tâmIvà bán kínhRcủa đường tròn tạo ảnh từ phương trình đường tròn đã cho.

2 Tìm tọa độ tâmI⁰là ảnh của tâmIqua phép quay.

3 Viết phương trình đường tròn ảnh với tọa độ tâmI⁰và bán kínhR.

1

VÍ DỤ 1. Trong mặt phẳng tọa độOx y, hãy tìm ảnh của đường tròn(C⁰)qua phép quay tâmO, góc quayα trong các trường hợp sau đây:

1 (C) : (x−2)²+(y−1)²=1, α=90^◦. ĐS:(C⁰) : (x+1)²+(y−2)²=1

2 (C) :x²+y²−4x−5=0, α=90^◦. ĐS:(C⁰) :x²+(y−2)²=9

Lời giải.

Ta có:

+ Tâm I(2; 1),R=1. Suy ra:I⁰(−1; 2),R⁰=R=1. +(C⁰) : (x+1)²+(y−2)²=1.

1 Ta có:

+ Tâm I(2; 0),R=3. Suy ra:I⁰(0; 2),R⁰=R=3. +(C⁰) :x²+(y−2)²=9.

2

ä

2

BÀI 1. Trong mặt phẳng tọa độOx y, hãy tìm ảnh của đường tròn(C⁰)qua phép quay tâmO, góc quayαtrong các trường hợp sau đây:

(C) :x²+y²−2x+4y=1, α= −90^◦. ĐS:(C⁰) : (x+2)²+(y+1)²=6 1

(C) :x²+(y−1)²=1, α=60^◦. ĐS:(C⁰) :

à x+

p3 2

!2

+ µ

y−1 2

¶2

=1 2

Lời giải.

Ta có:

+ Tâm I(1;−2), R=p

6. Suy ra: I⁰(−2;−1), R⁰=R= p6.

+(C⁰) : (x+2)²+(y+1)²=6.

1 Ta có:

+ Tâm I(0; 1),R=1. Suy ra:I⁰ Ã

− p3

2 ;1 2

!

,R⁰=R=1. +(C⁰) :

à x+

p3 2

!2

+ µ

y−1 2

¶2

=1. 2

ä

3

BÀI 2. Trong mặt phẳng tọa độOx y, hãy tìm ảnh của đường tròn(C⁰)qua phép quay tâmO, góc quayαtrong các trường hợp sau đây:

(C) :x²+y²−4x+2y=0, α= −30^◦. ĐS:(C⁰) :

µ x−p

3+1 2

¶2

+ Ã

y+1+ p3

2

!2

=5 1

(C) :x²+y²+6x+5=0, α=90^◦. ĐS:(C⁰) :x²+(y+3)²=4

2

BÀI 3. Trong mặt phẳng tọa độOx y, hãy tìm ảnh của đường thẳngd qua phép quay tâmO, góc quayαtrong các trường hợp sau đây

1 d:x+y−2=0, α=90^◦; ĐS:x−y+2=0

2 d:x−3y+11=0, α= −90^◦; ĐS:3x+y−11=0

3 d:x−3y+5=0, α=60^◦; ĐS:^¡1+3p

3¢ x+¡p

3−3¢

y+10=0

4 d: 2x−y+6=0, α=45^◦. ĐS:3x+y+6p

2=0 Lời giải.

1 LấyM(0; 2),N(2; 0)∈d.

GọiM⁰,N⁰lần lượt là ảnh củaM,N qua phép quayQ_(O,90◦). Khi đó

(x_M0=0·cos 90^◦−2·sin 90^◦= −2 y_M0=0·sin 90^◦+2·cos 90^◦=0 và

(x_N0=2·cos 90^◦−0·sin 90^◦=0 y_N0=2·sin 90^◦+0·cos 90^◦=2.

Suy raM⁰(−2; 0),N⁰(0; 2).

Gọid⁰là ảnh củadqua phép quayQ_(O,90◦), khi đód⁰đi quaM⁰,N⁰. Ta có # »

M⁰N⁰=(2; 2)=2(1; 1).

Suy ra phương trình đường thẳngd⁰là1(x−0)−1(y−2)=0⇔x−y+2=0. 2 LấyM(−11; 0),N(1; 4)∈d.

GọiM⁰,N⁰lần lượt là ảnh củaM,N qua phép quayQ_(O,−90◦). Khi đó

(x_M0= −11·cos¡

−90^◦¢

−0·sin¡

−90^◦¢

=0 y_M0= −11·sin¡

−90^◦¢

+0·cos¡

−90^◦¢

=11 và

(x_N0=1·cos¡

−90^◦¢

−4·sin¡

−90^◦¢

=4 y_N0=1·sin¡

−90^◦¢

+4·cos¡

−90^◦¢

= −1.

Suy raM⁰(0; 11),N⁰(4;−1).

Gọid⁰là ảnh củadqua phép quayQ_(O,−90◦), khi đód⁰đi quaM⁰,N⁰. Ta có # »

M⁰N⁰=(4;−12)=4(1;−3).

Suy ra phương trình đường thẳngd⁰là3(x−0)+1(y−11)=0⇔3x+y−11=0. 3 LấyM(−5; 0),N(1; 2)∈d.

GọiM⁰,N⁰lần lượt là ảnh củaM,N qua phép quayQ_(O,60◦). Khi đó











x_M0= −5·cos 60^◦−0·sin 60^◦= −5 2 y_M0= −5·sin 60^◦+0·cos 60^◦= −5p

3 2

và











x_N0=1·cos 60^◦−2·sin 60^◦=1−2p 3 2 y_N0=1·sin 60^◦+2·cos 60^◦=2+p

3

2 .

Suy raM⁰ Ã

−5 2;−5p

3 2

! ,N⁰

Ã1−2p 3 2 ;2+p

3 2

! .

Gọid⁰là ảnh củadqua phép quayQ_(O,60◦), khi đód⁰đi quaM⁰,N⁰. Ta có # »

M⁰N⁰=¡ 3−p

3; 1+3p 3¢

.

Suy ra phương trình đường thẳngd⁰là^¡1+3p 3¢

µ x+5

2

¶ +¡p

3−3¢ Ã

y+5p 3 2

!

=0⇔¡ 1+3p

3¢ x+¡p

3−3¢

y+10=0. 4 LấyM(−3; 0),N(0; 6)∈d.

GọiM⁰,N⁰lần lượt là ảnh củaM,N qua phép quayQ_(O,45◦). Khi đó











x_M0= −3·cos 45^◦−0·sin 45^◦= −3p 2 2 y_M0= −3·sin 45^◦+0·cos 45^◦= −3p 2 2

và

(x_N0=0·cos 45^◦−6·sin 45^◦= −3p 2 y_N0=0·sin 45^◦+6·cos 45^◦=3p

2.

Suy raM⁰ Ã

−3p 2 2 ;−3p

2 2

! ,N⁰¡

−3p 2; 3p

2¢ .

Gọid⁰là ảnh củadqua phép quayQ_(O,45◦), khi đód⁰đi quaM⁰,N⁰. Ta có # »

M⁰N⁰= Ã

−3p 2 2 ;9p

2 2

!

= −3p 2 2 (1;−3). Suy ra phương trình đường thẳngd⁰là3(x+3p

2)+1(y−3p

2)=0⇔3x+y+6p 2=0.

ä BÀI 4. Trong mặt phẳng tọa độOx y, cho đường thẳngd: 2x−3y+2=0và đường tròn có phương trình là(C) : x²+ y²−4x−4y−1=0.

1 Viết phương trìnhd⁰là ảnh củadqua phépQ_(O,90◦). ĐS:3x+2y+2=0 2 Viết phương trình(C⁰)là ảnh của(C)qua phépQ(O,90^◦). ĐS:(x+2)²+(y−2)²=9 Lời giải.

4. PHÉP QUAY 301

1 LấyM(−1; 0),N(2; 2)∈d.

GọiM⁰,N⁰lần lượt là ảnh củaM,Nqua phép quayQ_(O,90◦). Khi đó

(x_M0= −1·cos 90^◦−0·sin 90^◦=0 y_M0= −1·sin 90^◦+0·cos 90^◦= −1 và

(x_N0=2·cos 90^◦−2·sin 90^◦= −2 y_N0=2·sin 90^◦+2·cos 90^◦=2.

Suy raM⁰(0;−1),N⁰(−2; 2).

Gọid⁰là ảnh củadqua phép quayQ_(O,90◦), khi đód⁰đi quaM⁰,N⁰. Ta có # »

M⁰N⁰=(−2; 3).

Suy ra phương trình đường thẳngd⁰là3(x−0)+2(y+1)=0⇔3x+2y+2=0. 2 Đường tròn(C)có tâmI(2; 2), bán kínhR=3.

GọiI⁰là ảnh củaIqua phép quayQ_(O,90◦). Khi đó

(x_I0=2·cos 90^◦−2·sin 90^◦= −2 y_I0=2·sin 90^◦+2·cos 90^◦=2 . Suy raI⁰(−2; 2).

Vì(C⁰)là ảnh của(C)qua phép quayQ_(O,90◦)nên(C⁰)có tâm làI⁰và bán kính bằng3. Vậy(C⁰) : (x+2)²+(y−2)²=9.

ä BÀI 5. Trong mặt phẳng tọa độOx y, cho điểmM(2; 2), đường thẳngd: 2x−y−2=0và đường tròn(C) : (x−1)²+(y−1)²= 4. Tìm ảnh củaM,d, (C)qua:

Phép quay tâmOgóc quay45^◦. ĐS:M⁰(0; 2p

2),d⁰: 3x+y−2p

2=0, (C⁰) :x²+(y−2)²=4 1

Phép quay tâmI(1; 2)góc quay45^◦. ĐS:M⁰⁰

Ãp 2 2 +1;

p2 2 +2

!

,d⁰⁰: 3x+y−2p

2−5=0, (C⁰⁰) : Ã

x− p2

2 −1

!2

+ Ã

y+ p2

2 −2

!2

=4 2

Lời giải.

1 GọiM⁰là ảnh củaMqua phép quayQ_(O,45◦). Khi đó

(x_M0=2·cos 45^◦−2·sin 45^◦=0 y_M0=2·sin 45^◦+2·cos 45^◦=2p

2.

Suy raM⁰(0; 2p 2). LấyA(1; 0),B(0;−2)∈d.

GọiA⁰,B⁰lần lượt là ảnh củaA,Bqua phép quayQ_(O,45◦). Khi đó











x_A0=1·cos 45^◦−0·sin 45^◦= p2

2 y_A0=1·sin 45^◦+0·cos 45^◦=

p2 2

và

(x_B0=0·cos 45^◦+2·sin 45^◦=p 2 y_B0=0·sin 45^◦−2·cos 45^◦= −p

2.

Suy raA⁰( p2

2 ; p2

2 ),B⁰(p 2;−p

2).

Gọid⁰là ảnh củadqua phép quayQ_(O,45◦), khi đód⁰đi quaA⁰,B⁰. Ta có # »

A⁰B⁰= Ãp

2 2 ;−3p

2 2

!

= p2

2 (1;−3).

Suy ra phương trình đường thẳngd⁰là3(x−p

2)+1(y+p

2)=0⇔3x+y−2p 2=0. Đường tròn(C)có tâmE(1; 1), bán kínhR=2.

GọiE⁰là ảnh củaEqua phép quayQ_(O,45◦). Khi đó

(x_E0=1·cos 45^◦−1·sin 45^◦=0 y_E0=1·sin 45^◦+1·cos 45^◦=p

2. Suy raE⁰(0;p

2).

Gọi(C⁰)là ảnh của(C)qua phép quayQ_(O,45◦)nên(C⁰)có tâm làE⁰và bán kính bằng2. Vậy(C⁰) :x²+(y−2)²=4.

2 GọiM⁰⁰ là ảnh củaMqua phép quayQ_(I,45◦). Khi đó











x_M00=(2−1)·cos 45^◦−(2−2)·sin 45^◦+1= p2

2 +1 y_M00=(2−1)·sin 45^◦+(2−2)·cos 45^◦+2=

p2 2 +2.

Suy raM⁰⁰ Ãp

2 2 +1;

p2 2 +2

! .