SĐT: 01234332133. ĐC: Phòng 5, dãy 22 Tập thể xã tắc.TP HUẾ Biên soạn: Ths. Trần Đình Cư

SĐT: 01234332133. ĐC: Phòng 5, dãy 22 Tập thể xã tắc.TP HUẾ Biên soạn: Ths. Trần Đình Cư

Bài giảng Giải tích11 Chương IV

TÀI LIỆU THÂN TẶNG CÁC EM HỌC SINH LỚP TOÁN 11-THẦY CƯ

HUẾ, NGÀY 4/1/2017

Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Môn Toán, TP Huế.

1

MỤC LỤC

CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN ... 2

BÀI 1. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ ... 2

Dạng 1. Sử dụng định nghĩa tìm giới hạn 0 của dãy số ... 3

Dạng 2. Sử dụng định lí để tìm giới hạn 0 của dãy số ... 4

Dạng 4. Sử dụng các giới hạn đặc biệt và các định lý để giải các bài toán tìm giới hạn dãy. ... 5

Dạng 5. Sử dụng công thức tính tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn, tìm giới hạn, biểu thị một số thập phân vô hạn tuần hoàn thành phân số ... 6

Dạng 6. Tìm giới hạn vô cùng của một dãy bằng định nghĩa ... 9

Dạng 7. Tìm giới hạn của một dãy bằng cách sử dụng định lý, quy tắc tìm giới hạn vô cực ... 10

MỘT SỐ DẠNG TOÁN NÂNG CAO {Tham khảo} ... 12

BÀI 2. GIỚI HẠN HÀM SỐ ... 20

Dạng 1. Dùng định nghĩa để tìm giới hạn ... 23

Dạng 2. Tìm giới hạn của hàm số bằng công thức ... 26

Dạng 3. Sử dụng định nghĩa tìm giới hạn một bên ... 27

Dạng 4. Sử dụng định lý và công thức tìm giới hạn một bên ... 27

Dạng 5. Tính giới hạn vô cực ... 29

Dạng 6. Tìm giới hạn của hàm số thuộc dạng vô định 0 0 ... 29

Dạng 7. Dạng vô định   ... 31

Dạng 8. Dạng vô định     ... 32 ;0. MỘT SỐ DẠNG TOÁN NÂNG CAO {Tham khảo} ... 35

BÀI 3. HÀM SỐ LIÊN TỤC ... 38

Dạng 1. Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại điểm x⁰ ... 38

Dạng 2. Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm ... 41

Dạng 3. Xét tính liên tục của hàm số trên một khoảng K ... 43

Dạng 4. Tìm điểm gián đoạn của hàm số f(x) ... 45

Dạng 5. Chứng minh phương trình f(x)=0 có nghiệm ... 45

MỘT SỐ BÀI TẬP LÝ THUYẾT {Tham khảo} ... 51

ÔN TẬP CHƯƠNG 4 ... 53

2

CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN

BÀI 1. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM

1. Định nghĩa dãy số cĩ giới hạn 0

Dãy (u )_n cĩ giới hạn là 0 khi n dần đến dương vơ cực, nếu mỗi số dương bé tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ số hạng nào đĩ trở đi, |uⁿ| đều cĩ thể nhỏ hơn một số dương đĩ.

Kí hiệu: lim u

 

n 0 hay limun0 hoặc un0

n 0 0 n

lim u        0 0, n , n n  u   (Kí hiệu "lim u_n0" cịn được viết



n 

n

"lim u 0", đọc dãy số (u )_n cĩ giới hạn là 0 khi n dần đến dương vơ cực)

Nhận xét: Từ định nghĩa ta suy ra rằng

a) Dãy số (u )_n cĩ giới hạn là 0 khi và chỉ khi dãy số

 

un cĩ giới hạn 0 b) Dãy số khơng đổi (u )_n , với u_n 0 cĩ giới hạn 0.

2. Các định lí

* Định lí 1: Cho hai dãy số

 

un và

 

vn . Nếu u_n v_n với mọi n và limv_n 0 thì lim u_n 0

* Định lí 2: Nếu q 1 thì limqⁿ 0 3. Định nghĩa dãy cĩ giới hạn hữu hạn

* Định nghĩa 1: Ta nĩi dãy (v )_n cĩ giới hạn là số L ( hay v_n dần tới L) nếu nlim v



n L



0

   . Kí hiệu: limv_nL hay v_n L

Ngồi ra ta cũng cĩ thêm định nghĩa như sau (Ngơn ngữ ):

n 0 0 n

limv        L 0, n , n n v   L 4. Một số định lí

* Định lí 1: Giả sử lim u_n L. Khi đĩ

 lim u_n  L và lim u³ _n ³L

 Nếu u_n 0 với mọi n thì L 0 và lim u_n  L

* Định lí 2: Giả sử limu_n L và lim v_n M 0, c là một hằng số. Ta có:



n n

  

n n n n n ^{n n}

n n

u lim u a lim u v a b; lim cu cL; lim u .v lim u .limv ; lim ;

v limv b

      

5. Tổng của cấp số nhân lùi vơ hạn

 Cấp số nhân lùi vơ hạn là cấp số nhân vơ hạn và cĩ cơng bội q thỗ mãn q 1

 Cơng thức tính tổng cấp số nhân lùi vơ hạn: _{1 2 n} u¹ S u u .... u ...

     1 q

 6. Dãy cĩ giới hạn 

Định nghĩa: Ta nĩi dãy số (u )_n cĩ giới hạn  , nếu với mỗi số dương tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ số hạng nào đĩ trở đi, đều lớn hơn số dương đĩ.

Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Mơn Tốn, TP Huế.

3

Kí hiệu: lim u_n   hay u_n  

n 0 0 n

lim u         M 0, n , n n u M 7. Dãy cĩ giới hạn 

Định nghĩa: Ta nĩi dãy số (u )_n cĩ giới hạn  , nếu với mỗi số âm tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ số hạng nào đĩ trở đi, đều nhỏ hơn số dương đĩ.

Kí hiệu: lim u_n   hoặc u_n  

n 0 0 n

lim u         M 0, n , n n u  M

Chú ý: Các dãy số cĩ giới hạn  và  được gọi chung là dãy số cĩ giới hạn vơ cực hay dần đến vơ cực

8. Một vài quy tắc tính giới hạn vơ cực

n n n

n

n n n n

n

n n n n

a)Nếu lim u a và lim v thì limu 0

v u

b)Nếu lim u a 0 và lim v 0 và v 0 với mọi n thì lim Tương tự ta lập luận các trường hợp còn lại v

c) Nếu lim u và lim v a 0 thì lim u v

   

     

    

Tương tự ta lập luận các trường hợp còn lại 

B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP

Dạng 1. Sử dụng định nghĩa tìm giới hạn 0 của dãy số

Phương pháp: lim u_n 0 khi và chỉ khi |uⁿ| cĩ thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ số hạng nào đĩ trở đi.

Ví dụ 1. Biết dãy số (uⁿ) thỗ mãn u_n n 1₂ n

  với mọi n. Chứng minh rằng lim u_n0 Giải

Đặt v_n n 1₂ n

  .

  

 

n 2 n

n n n

n

Ta có lim v limn 1 0. Do đó, v có thể nhỏ hơn một số dương tùy ý kể từ một số hạng nào đó trở đi (1) Mặt khác, theo giả thiết ta có un v v (2)

Từ (1) và (2) suy ra u có thể

n 

nhỏ hơn một số dương tùy ý kể từ một số hạng nào đó trở đi, nghĩa là lim u 0

Ví dụ 2. Biết rằng dãy số (uⁿ) cĩ giới hạn là 0. Giải thích vì sao dãy số (vⁿ) với vⁿ=|uⁿ| cũng cĩ giới hạn là 0. Chiều ngược lại cĩ đúng khơng?

Hướng dẫn

n n

n n n n

Vì (u ) có giới hạn là 0 nên u có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ số hạng nào đó trở đi.

Mặt khác, v  u  u . Do đó, v cũng có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy y

n n

ù, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Vậy (u ) có thể nhoe hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Vậy (v ) cũng có giới hạn là 0.

(Chứng minh tương tự, ta có chiều ngược lại cũng đúng).

Ví dụ 3. Vì sao dãy (u )_n với un  

 

1ⁿ khơng thể cĩ giới hạn là 0 khi n ?

4

Ví dụ 4. Sử dụng đỉnh nghĩa chứng minh rằng limsinn 0 n Hướng dẫn Ta cĩ

n 0

0 0 n n

sinn 1 1

u 0 n ,n . Khi đó:

n n

>0, n : n n u 0 . Vậy :lim u 0

       

         

Dạng 2. Sử dụng định lí để tìm giới hạn 0 của dãy số

Phương pháp: Ta dụng định lí 1 và 2 và một số giới hạn thường gặp

 

    

 

  

  

k n

1 A

lim 0 haylim 0

n n

1 1

lim 0 ; lim 0 với k nguyên dương n

lim qn 0 nếu q 1

Ví dụ 1.

a) Cho hai dãy số (u ) và (v )_{n n} . Chứng minh rằng nếu limv_n 0 và u_n v_n với mọi n thì lim u_n 0 b) Áp dụng kết quả câu a) để tính giới hạn của các dãy số cĩ số hạng tổng quát như sau:

n

n n n 2

n n

n n

1 ( 1) 2 n( 1)

a) u b) u c) u

n! 2n 1 1 2n

d)u (0,99) cosn e) u 5 cos n

  

  

 

   

Ví dụ 2. Tình giới hạn sau:

 

 

  

 

 

  

    

n n

n 1 n 1 n n n 1

n n n n n n 1 n 1

2 3

3 2 5 1 4.3 7

a) lim ; b)lim ; c)lim ; d)lim

3 2 5 1 2.5 7 2 3

Hướng dẫn và đáp số: Sử dụng cơng thức limqⁿ0, q 1

a) 3 b)1 c)7 d)1

3

Dạng 3. Sử dụng định nghĩa tìm giới hạn hữu hạn Phương pháp: nlim vn a nlim v



n a



0

      Ví dụ 1. Sử dụng định nghĩa chứng minh 

  lim3n 2 3

n 1

Hướng dẫn

n 0 0

0 0 n n

1 1 1 1

u 3 n ; chọn n ,n . Khi đó:

n 1 n

>0, n : n n u 3 . Vậy :lim u 3

        

  

         

Ví dụ 2. Sử dụng định nghĩa chứng minh

( 1)n

lim 1 1

n

   

 

 

 

Ví dụ 3. Cho dãy (uⁿ) xác định bởi: u_n 3n 2 n 1

 

 a) Tìm số n sao cho u_n 3 1

 1000

Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Mơn Tốn, TP Huế.

5

b) Chứng minh rằng với mọi n > 999 thì các số hạng của dãy (uⁿ) đều nằm trong khoảng (2,999;3,001).

Hướng dẫn

n

n n n

1 1

a) u 3 n 999

n 1 1000

1 1 1

b) Khi n 999 u 3 3 u 3 2,999 u 3,001

1000 1000 1000

    



           

BTTT: Cho dãy (uⁿ) xác định bởi: u_n 2n 1 n 2

 

 a) Tìm số n sao cho u_n 2 1

 100

b) Chứng minh rằng với mọi n > 2007 thì các số hạng của dãy (uⁿ) đều nằm trong khoảng (1,998;2,001).

Dạng 4. Sử dụng các giới hạn đặc biệt và các định lý để giải các bài tốn tìm giới hạn dãy.

Phương pháp

 Ta thường sử dụng: _{n n}

n n

n n

A A

lim 0 lim v ; lim lim v 0

v   ^   v    ^ 

 Nếu biểu thức cĩ dạng phân thức tử số và mẫu số chứa luỹ thừa của n thì chia tử và mẫu cho n^k với k là mũ cao nhất bậc ở mẫu.

 Nếu biểu thức chứa căn thức cần nhân một lượng liên hiệp để đưa về dạng cơ bản.

3 3 2 3 2

3 3 2 3 2

A B lượng liên hiệp là: A B A B lượng liên hiệp là: A B A B lượng liên hiệp là: A B

A B lượng liên hiệp là: A B A B A B lượng liên hiệp là: A B A B

 

 

 

 

    

 

    

 

Ví dụ 1. Tính  

  

3 2

3 2

3n 5n 1

lim2n 6n 4n 5.

Giải



     

     

3 2 3

3 2 n

2 3

5 1

3n 5n 1 3 n n 3

lim lim

6 4 5 2

2n 6n 4n 5 2

n n n

Ví dụ 2. Tính

2 2

2n 1 5n lim 1 3n

 

 .

Giải

2 2

2

2

1 2 1 5

n n

2n 1 5n n 0

lim lim 0

1 3

1 3n 3

n

 

    

  

Ví dụ 3. Tính lim n² 7 n²5

 

6

Giải

2 2

2 2

2 2 2 2

n 7 n 5 2

lim n 7 n 5 lim lim 0

n 7 n 5 n 7 n 5

  

      

 

       

Ví dụ 4. Tính lim n²3n n²

Giải

2 2

2 2

3n 3 3

lim n 3n n lim lim

3 2

n 3n n 1 1

n

     

 

     

BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1. Tính các giới hạn sau:

 

 



 

   

   

   

   

   

 

 

 



2 2

2

2 3

m m 1

0 1 m 1 m

p p 1

n 0 1 p 1 p

4n n 1 n n 1 2

a)lim b)lim c)lim n

3 2n 2n 5 n 1

a n a n ... a n a Tính giới hạn: lim

b n b n ... b n b Xét p m

HướngDẫn: Xét n p .Chia cả tử và mẫu cho Xé

Tổng qua

t t:

p ù

n



^



^



^



^

 

^{ }

 

^



p

3 2

4 2

2 5

n ,p là bậc cao nhất ở mẫu Tính giới hạn sau:

2 3n n 1 2n n 1

d) lim e) lim

2n 1 3 n n 2 1 4n

Đáp số: a) 2 b)0 c) d) 1 e)27

   4

Bài 2. Tính các giới hạn:



       

   

4 2 2 2 2 3 3

2 n 2

2n n 7 3n 1 n 1 3n 14 n 2n n

a)lim ; b)lim ; c) lim ; d)lim

n n 2

2n n 3 1 2n

Đáp số: a) 2 b) 3 1 c)0 d) 2³

2 

Bài 4. Tính các giới hạn sau:



^{ }



^_ ^{   }_ ^_ ^{  }_

  

        

   

     

    

 

 

2 3 3 2

2 2 2 2

2

3 3

a)lim n 1 n b)lim n 3n n 2 c) lim n 2n n

4n 1 2n 1

d)lim n n n e)lim f)lim n n 1 n 2

n 2n n g) lim n n n 2

Hướng dẫn và đáp số: Nhân lượng liên hiệp

7 2 1 3

a)0 b) c) d) e)1 f) g)3

2 3 2 2

Dạng 5. Sử dụng cơng thức tính tổng của một cấp số nhân lùi vơ hạn, tìm giới hạn, biểu thị một số thập phân vơ hạn tuần hồn thành phân số

Phương pháp: Cấp số nhân lùi vơ hạn là cấp số nhân vơ hạn và cĩ cơng bội là |q|<1.

 Tổng các số hạng của một cấp số nhân lùi vơ hạn (uⁿ)

Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Môn Toán, TP Huế.

7

1 2 n 1

S u u ... u ... u

     1 q



 Mọi số thập phân đều được biểu diễn dưới dạng luỹ thừa của 10

3 n

1 2

1 2 3 n 2 3 n

a

a a a

X N,a a a ...a ... N ... ...

10 10 10 10

       

I. Các ví dụ mẫu

Ví dụ 1. Viết số thập phân m=0,030303...( chu kỳ 03) dưới dạng số hữu tỉ.

Giải

n

3 3 3 1003 3 1 100

m 3 ... 3 3 3

100 10000 100 1 1 99 33 33

100

           



Ví dụ 2. Tính tổng S 2 2 1 1 1 ...

2 2

     

Giải Xét dãy: 2,- 2,1, 1

 2 ,... là cấp số nhân

 

^{22 1 1}

q ; q 1

2 2

2

     

Vậy S 2 2 2 4 2 2

1 2 1

1 2

   

 

II. Bài tập rèn luyên

Bài 1. Hãy viết số thập phân vô hạn tuần hoàn sau dưới dạng một phân số.  34,1212...(chu kỳ 12).

Hướng dẫn và đáp số

2 n

12 12 12 1001 1134

34,1212... 34 ... 34 12

1

100 100 100 1 33

100

 

 

          

  

 

 

Bài 2. Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn:

n 1

1 1 1 2 1 1 1

a)S 1 ... ... b) S ...

4 16 4 ^ 2 1 2 2 2

          

 

Hướng dẫn :a)q 1; S 4

4 3

  b)q 2 2;S 4 3 2 2

   

Bài 3. Tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân lùi vô hạn có tổng S=3 và công bội q 2

3. Đáp số: Cấp số nhân lùi vô hạn đó là: 1;

2 4; ;... 2 n 1

3 9 3

  

  

Bài 4. Tìm cấp số nhân lùi vô hạn, biết tổng S=6. Tìm hai số hạng đầu u₁ u₂ 41

  2

8

Hướng dẫn:

 

 

1 1

1 1 1

u u 6 1 q

S 1 q 61 u 1 q 41 q 21

u u q 42 2

     

     

   

   



Bài 5. Giải phương trình sau: ^{2x 1 x  2x3x4x5  ...}

 

^{1 xn n ... 13}₆ ^{với x 1}

Hướng dẫn: Dãy số x , x ,x , x ,..., 1 x ...²  ^{3 4}  ⁵

 

 ^{n n} là một cấp số nhân với cơng bội q x. ĐS: x 1; x 7

2 9

   Bài 6.

a) Tính tổng ^{S 1 0,9  }

   

^{0,9 2 0,9 3.... 0,9}

 

^{n 1 ...}

b) Cho 0 .

4

   Tính tổng S 1 tan   tan² tan³ ...

c) Viết số thập phân vơ hạn tuần hồn sau dưới dạng phân số hữu tỉ a = 0,272727... b = 0,999999999...

d) Cho dãy

 

bn sin sin² sin³  ... sinⁿ với k 2

    . Tìm giới hạn dãy bⁿ. Hướng dẫn:

a) S 1 10

1 0,9

 



b) S 1

1 tan

  

2 3 4

3 2n 1 2 4

2 2

2 7 2 7

a 0 ...

10 10 10 10

1 1

2 2 ... 2 ... 7 7 .... 2 10 7 10 3

1 1

10 10 10 10 10 1 1 11

10 10

9 1

b . 1

10 1 1 10



     

          

 

 



c) Cấp số nhân lùi vơ hạn d) lim b_n sin

1 sin

 

 

Bài 9. Tính

n số hạng

n n

a aa ... aaa...a lim^ 10

  

Hướng dẫn: Ta cĩ

Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Mơn Tốn, TP Huế.

9

 

n số hạng n số hạng n

n

n số hạng

n

n n

n

10 1 100 1 10 1 a aa ... aaa..a a 1 11 ... 111..1 a ...

9 9 9

10 10 1 9n

a 81

a aa ... aaa..a 10a 10 1 9n 10a Vậy lim

81 81

10 10



      

 

             

  

 

    

  

Dạng 6. Tìm giới hạn vơ cùng của một dãy bằng định nghĩa

Phương pháp

 lim u_n  khi và chỉ khi uⁿ cĩ thể lớn hơn một số dương lớn tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đĩ trở đi.

 limu_n  lim( u ) _n  

Ví dụ 1. Dùng định nghĩa giới hạn của dãy số. Chứng minh:

2 3 3

n 2

a)lim b)lim 1 n

n 1

     

 Hướng dẫn:

2 2

n

2

0 0 0 n n

3 2

3 3

n

a)Lấy số dương M lớn tùy ý.

n 2 n 1

u n 1 M n M 1;

n 1 n 1

n 2

Chọnn M 1,n . Khiđó: n n n M 1 u M.Vậy lim u

b)Ta có: 1-n (1 n)(n n 1) 1 n; n n 1 Lấy số dương M lớn tùy ý.

u 1 n

 

       

 

             

        

  ^{3 3 3} ₀ ³ ₀

3 3 3

0 n n

1 n M n M 1;chọnn M 1,n .

Khi đó: n n n M 1 u 1 n M. Vậy :lim u

        

           

Ví dụ 2. Cho dãy (uⁿ) thoả mãn u_n  n với mọi n. Chứng minh rằng lim u_n  

Giải

n n

n n

lim n vì vậy n lớn hơn một số dương bất kì kể từ một số hạng nào đó trở đi. mặt khác u n nên u lớn hơn một số dương bất kì kể từ một số hạng nào đó.

Vậy lim u



 



 

Ví dụ 3. Biết dãy số (uⁿ) thỗ mãn u_nn² với mọi n. Chứng minh rằng lim u_n  

Giải

2 2

n 2 n

Vì lim n nên n có thể lớn hơn một số dương tùy ý, kể từ số hạng nào đó trở đi Mặt khác, theo giả thiết u n với mọi n, nên u cũng có thể lớn hơn một số dương tùy y,ù k

 



ể từ số hạng nào đó trở đi. Vậy lim un  .

Ví dụ 4. Cho biết limu_n   và v_nu_n với mọi n. Cĩ kết luận gì về giới hạn vⁿ. Hướng dẫn

n n n n n

n

lim u lim( u ) v u lim( v )

Vậy limv             

 

10

Ví dụ 5. Cho dãy số (uⁿ) hội tụ, dãy (vⁿ) khơng hội tụ. Cĩ kết luận gì về sự hội tụ của dãy



un vn



. Hướng dẫn: Kết luận dãy



unvn



khơng hội tụ

Thật vậy:

   

 

n n n n n

n n

n n

n n

n

n n

Xét dãy u v , giả sử nó hội tụ nghĩa là lim u v a và limu b.

Khi đó limu limv a Vậy limv a limu

Vì limu b limv a b

Vậy(v ) là hội tụ, điều này không đúng.

Vậy dãy u v

   

 

    

 không hội tụ.

Ví dụ 6.

a) Cho hai dãy (uⁿ) và (vⁿ). Biết limu_n   và v_n u với mọi n. _n Có kết luận gì về giới hạn của dãy (v ) khi nn  + ?

b) Tìm limv với v_{n n}  n!

Hướng dẫn

a) Vì limu_n  nên lim(-u )_n  . Do đĩ, (uⁿ) cĩ thể lớn hơn một số dương lớn tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đĩ trở đi. (1)

Mặt khác, vì v_nu với mọi n nên (-v ) ( u )với mọi n._{n n}   _n (2)

Từ (1) và (2) suy ra (-vⁿ) cĩ thể lớn hơn một số dương lớn tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đĩ trở đi. Do đĩ, lim( v ) _n  hay limv_n  .

b) Xét dãy số (uⁿ)=-n.

Ta cĩ:   n! n hay v_n u với mọi n. Mặt khác limu_{n n} lim( n)  . Từ kết quả câu a) suy ra limvn lim( n!)  

Dạng 7. Tìm giới hạn của một dãy bằng cách sử dụng định lý, quy tắc tìm giới hạn vơ cực

Phương pháp

Ví dụ 1. Tìm các giới hạn của các dãy số

 

un với

8 3 2 3 2 3 2

n n n n

a)u   n 50n 11; b)u  109n n ; c)u  105n 3n 27 ; d)u  8n n 2 Đáp số: a) ; b) ; c) ; d) 

Ví dụ 2. Tìm các giới hạn của các dãy số

 

un với

  

3 4 2 2

n n n 2 n 3 3 2

2n 1 1 3n

3n n 2n n 7 2n 15n 11

a)u ; b)u ; c)u ; d)u

2n 19 3n 5 3n n 3 n 7n 5

 

    

   

     

Đáp số: a) ; b) ; c) ; d)  Ví dụ 3: Tính các giới hạn

2 2

2 2

a)lim 1 ; b) lim 2n 3 n 1

n 2 n 4

    

 

 

  

Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Môn Toán, TP Huế.

11

Ví dụ 4: Tính các giới hạn



^{n n 1}



ⁿ n ^{n 1}n ⁿ n

3 11 2 3.5 3

a)lim 3.2 5 10 ; b) lim ; c)lim

1 7.2 3.2 7.4

    

 

 

Đáp số: a) ; b) ; c) ;

12

MỘT SỐ DẠNG TỐN NÂNG CAO {Tham khảo}

Dạng 1. Tính giới hạn của dãy số cĩ quy luật Ví dụ 1 :Tính các giới hạn sau:

2 2

n n

n 1 2 3 ... n 1 2 3 ... n

a) lim b) lim

n n 1 n

 

       

 

Hướng dẫn

 

2

2 2 2

n n n

n n 1 n

n 1 2 3 ... n 2 n n n 1

a) lim lim lim

n n 1 n n 1 n n 1 2 2

  

  

 

         

     

b) 1 2

Ví dụ 2. Tính các giới hạn sau

2 n

2 n 2

1 a a ... a n 1 3 ... 2n 1

a) lim với a 1, b 1; b)lim

1 b b ... b 2n n 1

         

     

Hướng dẫn

a) n

1 1 b

S lim 1 a

1 1 a

1 b



 

 





b)

 

2 2

n n

1 2n 1 n

n 1 3 ... 2n 1 n 2 1

S lim lim

2n n 1 2n n 1 2

 

 

   

  

   

Ví dụ 3. Tính giới hạn sau: ^{nlim} 1.2.3 2.3.4 3.4.5^{1 1 1 ...} n(n 1) n 2¹

 

 

     

   

 

Hướng dẫn

       

     

    

n n

1 1 1 1

Sử dụng:

k k 1 k 2 2 k k 1 k 1 k 2

1 1 1 1 1 1

Vậy: ...

1.2.3 2.3.4 n. n 1 n 2 2 2 n 1 n 2

1 1 1 1 1 1 1 1

Vậy lim ... lim

1.2.3 2.3.4 3.4.5 n(n 1) n 2 2 2 n 1 n 2 4

 

 

   

      

 

      

     

   

         

       

   

Ví dụ 4. Tính giới hạn ^{lim 1 2.32 1 3.42 ... 1}



^{n 1 n 2}



²



 

  

 

  

      

    

Hướng dẫn

    

 

k 1 k 2 Ta thấy: 1 2

k k 1 k k 1

 

 

 

   

  

    

 

  

n

2 2 2 2

Vậy: 1 1 ... 1 ... 1

2.3 3.4 k. k 1 n. n 1

k 1 k 2 n 1 n 2

1.4 2.5. ... ... 1 n 3

2.3 3.4 k k 1 n n 1 3 n 1

2 2 2 1

Vậy lim 1 1 ... 1

2.3 3.4 n 1 n 2 3



   

  

   

   

        

      

      

      

 

  

 

   

      

    

Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Mơn Tốn, TP Huế.

13

Bài tập áp dụng: Tính các giới hạn sau

 

n 2 2 2

n 4

n

*

2 3 n

n

1 1 1 1

a) lim ...

1.3 3.5 5.7 (2n 1)(2n 1) 2.1 3.2 ... n 1 n

b) lim

1 n 1 1

c) lim ...

2 1 2 3 2 2 3 (n 1) n n n 1

1 3 5 2n 1

d ) lim ...

2 2 2 2









 

   

   

 

   

 

  

 

      

 

  

   

 

 

Hướng dẫn và đáp số

n

n

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

a)S ... 1 ...

1.3 3.5 5.7 (2n 1)(2n 1) 2 3 3 5 2n 1 2n 1 1 1 1 nên limS 1

2 2n 1 2

 

                 

 

     

       

    

    

2 2 2 2 2 2

n 2

3 3 3 2 2 2

n

2 2 n

4 4 4

b)Ta có: S 2.1 3.2 ... n 1 n 1 1 1 2 1 2 ... n 1 n n n 1 n n 1 2n 1 S 1 2 ... n 1 2 .... n

2 6

n n 1 n n 1 2n 1

S 1

lim lim

n 4n 6n 4

           

    

           

 

 

    

 

   

 

 

   

   

 

2 2

n

n

n 1 n n n 1

1 1 1

c)Ta có:

n 1 n n n 1 n 1 n n n 1 n n 1

1 1 1

S ...

2 1 2 3 2 2 3 n 1 n n n 1

1 1 1 1 1 1

1 ... 1 limS 1

2 2 3 n n 1 n 1

  

  

      

   

    

          

 

n 2 3 n

n n 2 2 3 3 n n n 1

n 1

2 n 1 n 1 n 1 n 2 n 1

n n

1 3 5 2n 1

d)Ta có: S ...

2 2 2 2

1 1 3 1 5 3 2n 1 2n 3 2n 1

S S ...

2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 1

1 1 1 ... 1 2n 1 1 2 2 2n 1 1 1 1 2n 1

1

2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2

1 1 1 2

Suy ra: S 1

2 2 2





    

     

        

          

     

   

            



  

 

2 n 1 n n 3 n n

n n n n n

n n

2n 1 S 3 1 2n 1

2 2 2 2

n n 2 2 n

Mặt khác: . Mà lim 0 lim 0

n 1 n 1

2 1 1 2

Vậy lim S 3

  

 



      

    

 





14

Dạng 2. Dùng nguyên lí kẹp Phương pháp

Cho ba dãy số (uⁿ), (vⁿ) và (wⁿ). Nếu

n n n

u v w với mọi n Và limu_nlimw_n L(L ) thìlimv_n L

Ví dụ mẫu. Tính _{2 2 2}

n

1 2 n

lim ....

n 1 n 2 n n



 

  

 

  

 .

Giải Ta thấy:

 

   

   

 

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

n 2

2 2 2

n

1 2 .... n 1 2 ... n 1

n 1 n 2 n n n n 2

n n 1

1 2 n 1 2 n

Và .... ...

n 1 n 2 n n n 1 n 1 n 1 2 n 1

n n 1

1 1 2 n

Vậy ....

2 n 1 n 2 n n 2 n 1

n n 1 1 Mà lim

2 n 1 2

1 2 n 1

Vậy lim ....

n 1 n 2 n n 2





  

    

   

        

      

     

   

 



 

   

 

  

 

BÀI TẬP RÈN LUYÊN

Bài 1. Tính giới hạn của các giới hạn sau:

 

n

n n n

n 2

n n 2

n 2 2 2

1 1 3sinn 4cosn n sinn

a) lim b) lim c) lim

2 3n n+1 3n+4

1 3n sin2n cos2n

d) lim e) lim

3n+1 cosn+5n

1 1 1

f) lim ...

n 1 n 2 n n

  

 



   

  

 

 



 

    

    

 

Hướng dẫn và đáp số

Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Mơn Tốn, TP Huế.

15

n n

*

n

2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1

a)0 0 , n .Đs : 0

2 3n 2 2 3n 2

5 5

b) u .Đs :0

n 1 n 1

n 1 n sinn n 1 1

c) 1 sinn 1 .ĐS:

3n 4 3n 4 3n 4 3

d)Tươngtự câu b

1 cosn 1 1 1 cosn

e)- . Tacó:lim lim 0 lim 0

n n n n n n

Nên :l

   

          

   

  

 

  

     

  

   

       

   

n

n 2 2

2

2

2 2 2 n 2 2 2

2 n 2 2 2

( 1) 3

( 1) 3n n 3

im lim

cosn 5

cosn 5n 5

1 1 n 1 1 1 1

f) ... u ...

n n n n n n n 1 n 1 n 1

n u n .Tacó:lim n lim n 1

n n n 1 n n n 1

 

   

 

       

     

    

   

Dạng 3. Chứng minh một dãy số cĩ giới hạn Phương pháp

1. Áp dụng định lý Vâyơstraxơ:

 Nếu dãy số (uⁿ) tăng và bị chặn trên thì nĩ cĩ giới hạn.

 Nếu dãy số (uⁿ) giảm và bị chặn dưới thì nĩ cĩ giới hạn.

2. Chứng minh một dãy số tăng và bị chặn trên ( dãy số tăng và bị chặn dưới) bởi số M ta thực hiện: Tính một vài số hạng đầu tiên của dãy và quan sát mối liên hệ để dự đốn chiều tăng (chiều giảm) và số M.

3. Tính giới hạn của dãy số ta thực hiện theo một trong hai phương pháp sau:

* Phương pháp 1:

 Đặt lim u_n a

 Từ limu_{n 1} limf(u )_n ta được một phương trình theo ẩn a.

 Giải phương trình tìm nghiệm a và giới hạn của dãy (uⁿ) là một trong các nghiệm của phương rình. Nếu phương trình cĩ nghiệm duy nhất thì đĩ chính là giới hạn cảu dãy cần tìm. cịn nếu phương trình cĩ nhiều hơn một nghiệm thì dựa vào tính chất của dãy số để loại nghiệm.

 Chú ý: Giới hạn của dãy số nếu cĩ là duy nhất.

* Phương pháp 2:

 Tìm cơng thức tổng quát uⁿ của dãy số bằng cách dự đốn./

 Chứng minh cơng thức tổng quát uⁿ bằng phương pháp quy nạp tốn học.

 Tính giới hạn của dãy thơng qua cơng thức tổng quát đĩ.

I. Các ví dụ mẫu

Ví dụ 1. Chứng minh dãy (uⁿ) bởi cơng thức truy hồi ¹

n 1 n

u 2

u _ 2 u với n 1

    

 .

Chứng minh dãy cĩ giới hạn, tìm giới hạn đĩ.

Giải

16

Ta cĩ: u₁ 2 và u_{n 1}  2 u ,u _{n n} 0 với n N 

 Ta chứng minh : u_n2 với n N (1) 

1

k n

Với n=1, ta có u 2 2 thì (1) đúng

Giả sử bất bất đẳng thức đúng với n=k thì u 2.

Vậy u 2, n N

 

   

 Chứng minh dãy (uⁿ) tăng:

n 1 n n n 2n n n

n n 1 n n

n

Xét u u 2 u u u u 2 0 1 u 2

Mà 0 u 2 nên u u . Vậy (u ) là dãy tăng (2) Từ (1) và (2) suy ra (u ) có giới hạn.





           

  

 Đặt _n

nlim u athì 0 a 2

   

Ta cĩ:

n 1 n n n 1 n n

2

n n n n n

Lưu ý:

u 2 u lim u lim 2 u

a 2 a a a 2 0 a 1hoặc a=2

Vì u 0nên lim u a 0.Vậy lim u =2

Trong lời giải trên, ta đã áp dụng tính chất sau:

" Nếu l

   

 

    

         

  

n n 1

nim u a thì lim un _ a"

   

Ví dụ 2. Cho dãy (uⁿ) bởi cơng thức truy hồi ¹

n 1 n

u 2 u 2 1

 u

 

  

 .

Chứng minh rằng dãy số (uⁿ) cĩ giới hạn và tìm giới hạn đĩ.

Giải Ta cĩ :

1 2 3 4 n

1

1 3 2 1 4 3 1 5 n 1

u 2;u 2 ;u ;u .Từ đó ta dự đoán: u (1)

2 2 2 3 3 4 n

Chứng minh dự đoán trên bằng quy nạp:

Với n=1, ta có: u 2 (đúng)

Giả sử đẳng thức (1) đúng với n=k (k 1), nghĩa là

  

        

 

  u_k k 1.

k

 

n *

n

...Vậy u n , n .

n 1 n 1

Từ đó ta có lim u lim 1 n

   

 

 

BTTT. Cho dãy (uⁿ) bởi cơng thức truy hồi ¹

n 1 n

u 1

2 1

u nếu n 1

 2 u

 



 

 



.

Chứng minh rằng dãy số (uⁿ) cĩ giới hạn và tìm giới hạn đĩ.

Hướng dẫn: lim u_n lim n 1

 n 1



Ví dụ 3. Chứng minh dãy (uⁿ) được cho bởi cơng thức u_n sinn;n ^*. Chứng minh dãy khơng cĩ giới hạn.

Hướng dẫn

Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Mơn Tốn, TP Huế.

17

   

   

 

n n n n n

n n n

n n

Giả sử lim u lim sinn a.Khiđó lim sin n 2 a lim sin n 2 sinn 0 2 lim cos n 1 sin1 0 lim cos n 1 0 lim cosn 0

mặt khác: cos n 1 cosncos1 sinnsin1,Suy ra lim sinn 0 Suy ra : lim

   

  





 

        

       

   



^{2 2}



n n

cos n sin n 0, vô lý

Vậy dãy số (u ) với u sinn không có giới hạn.

 

 II. Bài tập rèn luyện

Bài 1. Chứng minh dãy (uⁿ) với _n

n dấu căn

u  2 2 ...  2 2 là dãy hội tụ.

Hướng dẫn

 Bước 1: Chứng minh dãy (uⁿ) tăng

 Bước 2: Chứng minh (uⁿ) bị chặn trên

Bài 2. Cho dãy truy hồi ¹ _{n 1}

n

u 0

u 3

u (n 2)

4

  

  

 . Tìm giới hạn của dãy.

Hướng dẫn và đáp số

1 1

2

2 2

n 1 n

n 1 n

n 1 n

u 0

3 1

u 1

4 4

15 1

u 1

16 4

.. . u 1 1

4

bằng phương pháp quy nạp chứng minh u 1 1 4

Vậy lim 1 1 1

4











     

 

     

 

    

 

    

     

   

   

 

Bài 3. Cho dãy truy hồi ¹ _{n 1}

n

u 2

u 1

u (n 2)

2

  

  

 . Chứng minh dãy (uⁿ) cĩ giới hạn, tìm giới hạn đĩ.

Hướng dẫn và đáp số Cách 1

n 1

n n

n 1

n n

n n

2 1

Dự đoán u

2 1

2 1

lim u lim 1

2 1





 

 



 

 Cách 2

 Chứng minh dãy giảm và bị chặn dưới.

18

 Giả sử

n n

n n 1

n n

n n

lim u a, tìm a

lim u lim u a a 1 a 1 lim u 1 2



  





     



Bài 4.

a) Cho dãy truy hồi ¹ _n

n 1

u 2 u 1

u (n 1)

 2

  

  

 . Chứng minh dãy (uⁿ) cĩ giới hạn và tìm giới hạn đĩ.

b) Cho dãy (uⁿ) xác định bởi: n 1



ⁿ n



0 u 1

u 1 u 1 (n 1)

 4

  

   

 . Chứng minh dãy (uⁿ) cĩ giới hạn và tìm

giới hạn đĩ.

Hướng dẫn và đáp số

   

n n

n 1 n n 1 n n 1 n *

n n

b) * Chứng minh (u ) là dãy tăng và bị chặn trên Ta có: 0 u 1,n N

Áp dụng bất đẳng thức cauchy

u 1 u 2 u 1 u 2 1 1 u u ,n N

Vậy (u ) là dãy tăng và bị chặn trên thì (u ) thì 4

  

  

        

     

n n

2

n 1 n n n 1 n

n n

dãy có giới hạn

* Đặt lim u a,a 0

1 1 1 1 1

Tacó: u 1 u lim u 1 u a 1 a a 0 a

4 4 4 2 2

Vậy lim u 1 2



  



 

 

 

              



Bài 5. Cho dãy (uⁿ) xác định bởi _{n 1 n 1}

n

1 2

u u và u 0

2 u



 

    

a) Chứng minh rằng u_n 2 với mọi n 2

b) Chứng minh dãy (uⁿ) cĩ giới hạn và tìm giới hạn đĩ.

Hướng dẫn và đáp số

 

1 n 1 n n *

n

n 1 n n

n n

n

n n

1 2

a) Ta có: u 0,u u u 0, n N

2 u

Áp dụng bất đẳng thức Cô si:

1 2 2

u u u . 2 , n 1,n

2 u u

Suy ra u 2, n 2,n N

b)Ta có: u 2,n 2,n N nên u là dãy bị chặn dưới Xét





 

       

 

        

   

  

2 *

n 1 n n n n n 1 n

n n

n n

n 1 n n n n 1 n n n 2

1 2 1 u

u u u u 1 0, n 2,n N nên u u , n N

2 u u 2

* Đặt lim u a,a 2.Ta có:

1 2 1 2 1 2 a 2

u u lim u lim u a a a 2

2 u 2 u 2 a a 2

Vậy l

 



   

 

 

 

              

 

       

               

nim un 2

 

Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Mơn Tốn, TP Huế.

19

Bài 6. Chứng minh dãy (uⁿ) được cho bởi cơng thức u_n cosn;n ^*. Chứng minh dãy khơng cĩ giới hạn.

Hướng dẫn

   

   

 

n n n n n

n n n

2 n n

Giả sử lim u lim cosn a lim cos n 2 a lim cos n 2 cosn 0 2 lim sin n 1 sin1 0 lim sin n 1 0 lim sinn 0

mặt khác: sin n 1 sinncos1 cosnsin1,Suy ra lim cosn 0 Suy ra : lim cos n

   

  





 

         

        

   



²



n n

sin n 0, vô lý

Vậy dãy số (u ) với u cosn không có giới hạn.

 



Bài 7. Chứng minh các dãy sau hội tụ:

n 2 2 2

n 2 3 n

1 1 1

a) 1 ... ; n N

2 3 n

1 1 1

b) 1 ... ; n N

2 3 n

      

      

Hướng dẫn a) Ta thấy

n 2 2 2

2 2 2

1 1 1

Dãy 1 ... là dãy tăng, ta chỉ cần chứng minh dãy bị chặn.

2 3 n

1 1 1 1 1 1 1

1 ... 1 ... 2 2

1.2 2.3 (n 1)n n

2 3 n

Vậy dãy hội tụ.

     

           

 b)

n 2 3 n

n 2 3 n 2 2 2

1 1 1

Dãy 1 ... là dãy tăng, ta chỉ cần chứng minh dãy bị chặn.

2 3 n

1 1 1 1 1 1

1 ... 1 ... 2

2 3 n 2 3 n

Vậy dãy bị chặn trên nên hội tụ.

     

           

20

BÀI 2. GIỚI HẠN HÀM SỐ A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1. Giới hạn hàm số tại một điểm a) Giới hạn hữu hạn

Định nghĩa: Cho khoảng K chứa điểm x⁰ và hàm số y=f(x) xác định trên K hoặc trên K \ {x }. ₀

Ta nĩi hàm số y=f(x) cĩ giới hạn là số L khi x dần đến x⁰ nếu với dãy số (xⁿ) bất kì,

n 0 n 0 n

x K \ {x } và x x ,tacó f(x )L.

Kí hiệu: ₀

x x0lim f(x) L hay f(x) L khix x

   

n n 0 n 0 n

x x0lim f(x) L (x ),x K \ {x },limx x limf(x ) L

       

b) Giới hạn vơ cực

Các định nghĩa về giới hạn  ( hoặc ) của hàm số được phát biểu tương tự các định ở trên Chẳng hạn, giới hạn  của hàm số y=f(x) khi x dần đến dương vơ vực được định nghĩa như sau:

Định nghĩa: Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng



^a;



^.

Ta nĩi hàm số y=f(x) cĩ giới hạn là  khi x  nếu với mọi dãy số (x )_n bất kì,

n n n

x a và x  , ta có: f(x ) . Kí hiệu:

xlim f(x) hay f(x) khi x

      

n n n n

xlim f(x) (x ),x a,limx limf(x )

          

Nhận xét:

xlim f(x) xlim f( x)

       

* Các giới hạn đặc biệt:

 

x x

x k

x k x

1. lim c c lim c 0 với c là hằng số 2. lim x x

nếu k nguyên dương 3. lim x 0 nếu k nguyên âm

nếu k chẵn 4. lim x nếu k lẻ

 







 

 

 

 

2. Giới hạn hàm số tại vơ cực Định nghĩa

 Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng (a;). Ta nĩi hàm số y=f(x) cĩ giới hạn là số L khi khi x  nếu với mọi dãy số (xⁿ) bất kì, x_na và x_n  ta có: f(x )_n L.

Kí hiệu:

xlim f(x) L hay f(x) Lkhix

    

 

n n n n

xlim f(x) L x ,x a, lim xn nlim f(x ) L

          

 Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng ( ;a) . Ta nĩi hàm số y=f(x) cĩ giới hạn là số L khi khi x  nếu với mọi dãy số (xⁿ) bất kì, x_na và x_n  ta có: f(x )_n L.

Kí hiệu:

xlim f(x) L hay f(x) Lkhix

    

 

n n n n

xlim f(x) L x ,x a, lim xn nlim f(x ) L

           3. Một số định lí về giới hạn hữu hạn

Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Mơn Tốn, TP Huế.

21

Định lý 1:

 

x x0 x x0

x x0 x x0 x x0

Giải sử lim f(x) L và lim g(x) M.Khi đó:

* lim f(x) g(x) L M

* lim f(x).g(x) L.M f(x) L

* lim nếuM 0

g(x) M

 







 

   

 

  

 

 

 

 

  Định lý 2:

x x0 x x0

Giải sử lim f(x) L và lim g(x) M.Khi đó:

   

 

x x03 3

x x0

x x0 x x0

0

a) lim f(x) L b) lim f(x) L

c)Nếuf(x) 0 và lim f(x) L thì :L 0 và lim f(x) L

Dấu của f(x) được xác định trên khoảng đang tìm giới hạn, với x x





 �