KỲ THI TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA NĂM 2021 MÔN THI: TOÁN
Đáp án chi tiết
Câu 1: Số các tập con gồm k phần tử của một tập hợp gồm n phần tử (n k, ,1 k n) là
A. Akn. B. Cnk. C. Ank. D. Pk.
Lời giải Chọn B
Số các tổ hợp chập k của n phần tử (n k, ,1 k n) là Cnk.
Câu 2: Cho cấp số nhân
un với u1 1 và công bội q 2. Hãy chọn khẳng định đúng.A. u5 9. B. u3 4. C. u6 13. D. u2 3. Lời giải
Chọn B
Áp dụng công thức un u q1 n1. Ta có u3 u14 4 .
Câu 3: Cho hàm số y ax 3 bx2 cx d a
0
có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?A.
0; 2 . B.
1;
. C.
2; 2 . D.
; 0
.Lời giải Chọn D
Nhìn vào đồ thị ta thấy hàm số y f x
nghịch biến trên khoảng
; 0
.Câu 4: Cho hàm số y f x
có bảng biến thiên như hình vẽ. Khẳng định nào sau đây là đúng?A. Hàm số đạt cực tiểu tại x 4 B. Hàm số đạt cực tiểu tại x 0. C. Hàm số đạt cực đại tại x 3. D. Hàm số đạt cực đại tại x 0.
Lời giải Chọn D
Dựa vào bảng biến thiên hàm số đạt cực đại tại x 0.
Câu 5: Cho hàm số y f x
có đạo hàm f x
x 2
x 1
x21 ,(
x ). Hàm số y f x
đạt cựcđại tại điểm
A. x 2. B. x 1. C. x 1. D. x 2. Lời giải
Chọn A
2
1
2 1
2
1 12f x x x x x x x .
0 211 x
f x x
x
.
Từ bảng xét dấu ta thấy hàm số đạt cực đại tại x 2
Câu 6: Cho hàm số y f x
có bảng biến thiên như sau. Tổng số đường tiệm cận ngang và đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số làA. 3.
B. 1.
C. 2.
D. 4.
Lời giải Chọn A
Ta có
lim1 1
x y x
là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Ta có xlimy 1, limxy 2, y 1;y 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Do đó có 3 tiệm cận.
Câu 7: Hàm số nào dưới đây có bảng biến thiên giống như hình bên?
A. y 3x39x22.
B. y2x33x2 2x 2.
C. y 2x36x22.
D. y x3 6x 2.
Lời giải Chọn C
Giả sử y ax 3 bx2 cx d y 3ax22bx c .
Ta có
0 2
0 0
2 6
2 0
y y y y
2 0
8 4 2 6
12 4 0
d c
a b c d
a b c
2 0
2 6 d c a b
3 2
2 6 2
y x x
.
Câu 8: Cho hàm số y f x
liên tục trên trục số thực và có đồ thị như hình bên. Số nghiệm thực phân biệt của phương trình f x
0 làA. 4. B. 2. C. 1. D. 3.
Lời giải Chọn A
Dựa vào đồ thị, nhận thấy đồ thị hàm số y f x
cắt trục Ox tại 4 điểm phân biệt nên phương trình đã cho có 4nghiệm.Câu 9: Với x 2,x 2, biểu thức 3
9
2 13
log x 2 log x2 log 8 bằng
A. log 83
x24
. B.
3
2 2
log 8
x x .
C.
3
2 2
log 8
x x
. D. log 83
x2
x2. Lời giảiChọn D
2
3 9 1 3 3 3
3
log 2 log 2 log 8 log 2 log 2 log 8
P x x x x
log 83 2 2 P x x
Câu 10: Đạo hàm của hàm số y log 25
x 2021 ,
x 20212 làA. y'
2x 2021 ln52
. B. y' 2x2ln52021.C. y'
2x 2021 ln51
. D. y'
2x 20212021 ln5
.Lời giải Chọn A
Ta có:
2 2021 '
2
' 2 2021 ln5 2 2021 ln5 y x
x x
.
Câu 11: Với alà một số thực dương tùy ý, a a3 bằng
A. a . B. 3 2a . C. a. D. a3 .
Lời giải Chọn B
Ta có P a a3 a a. 13 a43 3 2a . Câu 12: Nghiệm của phương trình 3x2 9 là
A. x 1. B. x 3. C. x 4. D. x 3.
Lời giải Chọn C
Ta có 3x2 9 3x2 32 x 2 2 x 4.
Câu 13: Số nghiệm của phương trình 22x2 5x 3 log 33 là
A. 0. B. 1. C. 3. D. 2.
Lời giải Chọn D
Ta có 2 2 5 3 2 1
2 1 2 5 3 0 3
2
x x x
x x
x
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm.
Câu 14: Cho hàm số f x
2xx11,( 1)x . Hãy chọn khẳng định đúng.A.
f x x x
d 2 3ln x 1 C . B.
f x x
d 2x 3ln x 1 C.C.
f x x x
d 2 3ln x 1 C . D.
f x x
d 2x 3ln x 1 C .Lời giải Chọn D
Câu 15: Cho hàm số f x
2xcosx. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?A.
f x x
d x22 sinx C . B.
f x x x
d 2 sinx C .C.
f x x
d x22 sinx C . D.
f x x x
d 2 sinx C .Lời giải Chọn D
Câu 16: Cho hàm số y f x
liên tục trên trục số thực. Nếu5
0
( ) 8
f x dx
và 53
( ) 2
f x dx
thì 30
( ) f x dx
bằng
A. 6. B. 6. C. 10. D. 10.
Lời giải Chọn C
Ta có: 3 5 5 3
0 3 0 0
( ) ( ) ( ) ( ) 10
f x dx f x dx f x dx f x dx
.Câu 17: Tích phân 2
2
1
1 d x x
bằngA. 15
3 . B. 11
3 . C. 10
3 . D. 4
3. Lời giải
Chọn C
Ta có 2
2
3 21 1
8 1 10
1 d 2 1
3 3 3 3
x x x x
.Câu 18: Cho hai số phức z1 2 3 ,i z2 4 5i. Số phức liên hợp của số phức z z 1 z2 là A. 2 2i. B. 2 2i. C. 2 2i . D. 6 8i.
Lời giải Chọn A
Ta có z z 1 z2 2 3 4 5i i 2 2i z 2 2i. Câu 19: Giải phương trình
1 2 i z
4 3i 2z.A. z 2 i. B. z 2 i. C. z 2 i. D. z 2 i. Lời giải
Chọn C
Ta có
1 2 i z
4 3i 2z z 4 31 2 ii 2 i Vậy z 2 .iCâu 20: Số phức nào dưới đây có điểm biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ là điểm M như hình bên?
A. z4 3 2i. B. z1 3 2i. C. z2 2 3i. D. z3 2 3i.
Lời giải Chọn C
Số phức z a bi được biểu diễn bởi điểm M a b
; .Điểm M
2; 3 z2 2 3i.Câu 21: Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, cạnh SB vuông góc với đáy và mặt phẳng
SAD tạo với đáy một góc 60. Thể tích của khối chóp S ABCD. bằngA. 3 3 3 4
a . B. 3 3 3 8
a . C. 8 3 3 3
a . D. 4 3 3 3 a . Lời giải
Chọn C
Ta có SABCD 4a2.
Ta có: SB
ABCD
SB AD và ABCD là hình vuông nên AB AD AD
SAB AD SA .
SAD ABC; D
SBASBA
vuông tại B nên
tan 2 tan60 2 3
SB AB SAB a a .
3
. 1 . 8 3
3 3
S ABCD ABCD a
V S SB
.
Câu 22: Cho khối lăng trụ đứng ABC A B C. có đáy là tam giác đều cạnh a và AA a 6. Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng
A. 2 3
4a . B. 3 2 3
2a . C. 3 2 3
4a . D. 2 3 2a . Lời giải
Chọn C
Chiều cao của khối trụ là h AA a 6
Diện tích đáy là tam giác đều cạnh a là 2 3 4 S a
Thể tích của khối lăng trụ đứng ABC A B C. là 3 2 3 4a V Sh . Câu 23: Thể tích của một khối chóp có diện tích đáy S và chiều cao h là
A. V S h. . B. V 3 . .S h C. 1 . .
V 9S h D. 1 . . V 3S h . Lời giải
Chọn D
Câu 24: Cắt hình nón ( )N bởi một mặt phẳng qua trục của nó, ta được thiết diện là một tam giác đều cạnh bằng 10. Diện tích xung quanh của ( )N bằng
A. 25 . B. 50 .
C. 100 D. 200
Lời giải Chọn B
Vì SAB là tam giác đều cạnh bằng 10 l SA10;r OA 5 Vậy Sxq rl 50 .
Câu 25: Trong không gian Oxyz, cho điểm A
1;1; 2
. Gọi M là hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng
Oxz . Hãy chọn khẳng định đúng.A. OM
1;1;0 . B. OM
1;0;2 . C. OM
1;0; 2 .
D. OM
1;0;2 .
Lời giải Chọn C
M là hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng
Oxz M
1;0; 2
OM
1;0; 2
Câu 26: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu ( ) :S x2 y2 z2 2x 2y 0. Bán kính của
S bằngA. 1. B. 2 2. C. 2. D. 2.
Lời giải Chọn D
Mặt cầu ( )S có tâm I
1;1;0 R 12 12 2Câu 27: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng
P x y: 2z 1 0. Điểm nào dưới đây không thuộc mặt phẳng
P ?A. M
1;0;0 . B. N
1;1;2 .
C. E
1;2;1 . D. Q
1; 2;0
.Lời giải Chọn B
Thế 4 điểm M N E Q, , , vào mặt phẳng
P N không thuộc mặt phẳng
P .Câu 28: Trong không gian Oxyz, vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua điểm
0;1;3M và vuông góc với mặt phẳng
P x: 2y 3z 4 0?A.
1 (1;2; 3)
u . B.
2 (1;1; 6)
u . C.
3 (0;1;3)
u . D.
4 (9; 3;1) u . Lời giải
Chọn A
đường thẳng d đi qua điểm M và vuông góc với mặt phẳng
Pd
có một vectơ chỉ phương là n P
1;2; 3
Câu 29: Gieo ngẫu nhiên một con súc sắc cân đối, đồng chất hai lần liên tiếp. Xác suất để số chấm xuất hiện ở lần đầu gấp 2 lần số chấm hiện ở lần sau bằng
A. 1.
2 B. 1 .
3 C. 1 .
12 D. 1.
6 Lời giải
Chọn C
Không gian mẫu 36
Gọi A là biến cố’ số chấm xuất hiện ở lần đầu gấp 2 lần số chấm hiện ở lần sau “
2;1 ; 4;2 ; 6;3
3A n A
n A 121 .p A
Câu 30: Hàm số nào dưới đây đồng biến trên ?
A. 1.
2 y x
x
B. y log .2x C. y x 33x2 2. D. y x 3 2x1. Lời giải
Chọn D
Hàm số nào dưới đây đồng biến trên D loại A và B Xét D có y' 3 x2 2 0, x Chọn D.
Câu 31: Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 1 2x 1 y x
trên đoạn 2;0. Giá trị của 15M m bằng
A. 0. B. 2. C. 76
5 . D. 74
5
. Lời giải
Chọn B Ta có
3
2
1
' 0, 2;0 2 ; 0 1
2 1 5
y x M y m y
x
15M m 2
Câu 32: Tập nghiệm của bất phương trình log9
x 8
log3
x 2
làA.
4;1 . B.
2;1 . C.
1;4 . D.
1;
.Lời giải Chọn B
Điều kiện 8 0 2 0 2
x x
x
2 29 3
log x 8 log x 2 x 8 (x 2) x 3x 4 0 4 x 1 Kết hợp điều kiện x
2;1Câu 33: Cho 2
1
d 5, f t t
2
1
d 3.
g s s
Tích phân 2
1
2f x 3g x xd
bằngA. 4. B. 1. C. 2. D. 8.
Lời giải Chọn B
2 2 2
1 1 1
2f x 3g x xd 2 f x xd 3 g x xd 1
Câu 34: Kí hiệu z z1 2, là hai nghiệm phức của phương trình z2 2z 4 0. Giá trị của
1 2
1 1
z z bằng
A. 2. B. 1
2 . C. 1
2. D. 1.
Lời giải Chọn D
2 1 2 1 2
1 2
1 1
2 4 0 1 3 ; 1 3 2 1
z z z i z i z z
z z
Câu 35: Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCDlà hình vuông cạnh a, cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA a 2. Gọi K là trung điểm của SC và là góc giữa đường thẳng BK và mặt phẳng (SCD) (tham khảo hình vẽ minh họa). Tính sin.
A. sin 6.
6 B. sin 3.
3 C. sin 6.
3 D. sin 3.
2 Lời giải
Chọn C
+) sin d B SCD( ,( )) d A SCD( ,( ))
BK BK
+) Kẻ AH vuông góc với SD, suy ra
( )
AH SCD ⇒ ( ,( )) . 6
3 SAAD a d A SCD AH
SD
+) SC 2a, ( ) 1
BC SAB BC SB BK 2SC a
Vậy sin ( ,( )) 6
3 d A SCD AH
BK BK
Câu 36: Cho hình hộp đứng ABCD A B C D. có tất cả các cạnh bằng 2a và ABC 600(tham khảo hình vẽ minh họa). Gọi M là trung điểm của cạnh AA Khoảng cách từ D đến mặt phẳng (MBC) bằng
A. a. B. 3 .
3
a C. 5 .
2
a D. 3 .
2 a Lời giải
Chọn D
+) (MBC) DD' { } N MN ⫽ AD
' { } '
AD MN I ID IAd D MBC( ',( ))d A MBC( ,( )) +) Dễ thấy tam giác ABC đều cạnh a,
kẻ AK BC AH, MK d A MBC( ,( ))AH
+) 3, 3
a2 AK a AM a AH
Câu 37: Trong không gian Oxyz, mặt cầu có tâm nằm trên trục Oy, đi qua hai điểm A(1;2; 2) và B(3;1; 1) có phương trình
A.
x12 y 12 z2 13. B. x2 (y 1)2 z2 6.C. x2 (y 1)2 z2 14. D. x2 (y 2)2 z2 9. Lời giải
Chọn C
Gọi tọa độ tâm mặt cầu là I a
0; ;0
Oy.Do mặt cầu này đi qua hai điểm A(1;2; 2) và B(3;1; 1) nên ta có IA IB Từ đó ta có phương trình 12 (a 2)2 22 32 (a 1)2 12 a 1. Bán kính mặt cầu bằng IA 12
3 2 22 14.Do đó phương trình mặt cầu là x2 (y 1)2 z2 14.
Câu 38: Trong không gian Oxyz, đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
P : 2x y 2z 4 0 và cắt haiđường thẳng 1 : 1 1 2
2 1 3
x y z
d , 2 : 2 1
1 2 2
x y z
d
có phương trình là
A. 1 2 3
2 1 2
x y z . B. 1 2 3
2 1 2
x y z .
C. 1 2 3
2 1 2
x y z . D. 1 2 3
2 1 2
x y z . Lời giải.
Chọn C
Gọi M a(2 1;a1;3a 2)
d1 ,N
2 b b;2 ; 1 2 b
d2 .Khi đó NM
2a b 3;a 2b 1;3a 2b 3
.Vì
P nên P 2 2 3 21 1 3 22 3a b a b a b
NM kn .
Do đó ta có hệ phương trình 2 4 2( 2 1) 3
2 4 2 3 2 3 1
a b a b a
a b a b b
.
Vậy tọa độ điểm N( 1; 2; 3)
Từ đó ta có phương trình đường thẳng : 1 2 3
2 1 2
x y z
.
Câu 39: Cho hàm số y f x( ) có đồ thị như hình vẽ bên. Tổng tất cả các giá trị của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số y
f x( ) m 2
2 trên đoạn [ 2;1] bằng 36 làA. 8.
B. 0.
C. 4.
D. 4.
Lời giải Chọn A
Xét hàm số g x( ) f x( ) m 2 trên đoạn [ 2;1] có 2;1
2;1
( ) 6
min ( ) 2. Max g x m
g x m
Do y g x( )2 g x( )2 và 2
[ 2;1] [ 2;1]
max ( ) g x 36max ( ) g x 6
2 8 4 0
6 8 8.
2
m m
m m
Câu 40: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để tập nghiệm của bất phương trình
3x m729
6m mx có đúng một số nguyên dương?
A. 3. B. 4. C. 2. D. 5.
Lời giải Chọn A
Do yêu cầu bài toán, ta chỉ cần xét x 0. Ta có:
Bất phương trình tương đương: m 3x 3m6mx6
6 6
3x 3m x
m
6 6
3x x 3m
m f x
f m6 , với f t
3t t, t 0.Ta có f t
3 ln 3 1 0,t t
0;
nên hàm số f đồng biến trên khoảng
0;
.Do đó: f x
f m6 x m6 . Suy ra, tập nghiệm là S 0; 6 m
. Khi đó :
YCBT xảy ra khi và chỉ khi 1 6 2 3 m 6
m .
Vì m nên m
3;4;5 .Vậy có 3 giá trị của tham số m thỏa YCBT.Câu 41: Cho hàm số 3 2 2 khi 1 ( ) 2 1 khi 1
x x
f x x x
. Giá trị của tích phân
0
sin . 2cos 1 d
I
x f x x bằng A. 293 . B. 17
3 . C. 2. D. 22
3 . Lời giải
Chọn B
+) Đặt 2cos 1 d 2.sin .d sin .d 1.dt
t x t x x x x 2 . Đổi cận: x 0 t 3, x t 1.
Khi đó
3
0 1
sin . 2cos 1 d 1. dt
I x f x x 2 f t
1 3 1 3
2
1 1 1 1
1 d d 1 3 2 d 2 1 d
2 f x x f x x 2 x x x x
=173 .Câu 42: Gọi S là tập hợp gồm các điểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn cho số phức z thoả mãn
1 4 13
z i và z 1 i 18. Diện tích của Sgần với số nào nhất trong các số sau đây?
A. 97. B. 45. C. 57. D. 16.
Lời giải Chọn B
+) Từ z 1 4i 13, ta có tập hợp điểm M là miền hình phẳng (kể cả biên) nằm bên ngoài đường tròn
C1 : x 12 y 4 2 13 có tâm I1
1;4 , bán kính R1 13.+) Từ z 1 i 18, ta có tập hợp điểm M là miền hình phẳng (kể cả biên) nằm bên trong đường tròn
C2 : x 1 2 y 12 18 có tâm I2
1; 1 , bán kính R2 18.Nên tập hợp các điểm M thoả mãn là miền tô đậm như hình vẽ.
Gọi S là diện tích miền tô đậm, S1 là diện tích hình tròn
C2 , S2 là diện tích phần hình phẳng khép kín giới hạn bởi 2 đường tròn (phần tô nhạt).Ta có:
4 2 2
1 2 22
2
. 1 18 1 4 13 1 d 44,64
S S S R x x x
(đvdt).Câu 43: Cho khối chóp S ABCD. có mặt bên
SBC vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết tam giác SBC là tam giác đều có cạnh bằng 2a, đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D có AB DC AD. Gọi DN là trung tuyến của tam giác BCD. Giả sử khoảng cách giữa hai đường thẳng DN và AS bằng 2a. Thể tích khối chóp S ABCD. bằngA. 3a3. B. 3 3
6a . C. 3 2a3. D. 2 3a3. Lời giải
Chọn D
Gọi M là trung điểm của AD, khi đó
2 2
AB CD AD
MN
do đó tam giác ADN vuông tại N .
Do tam giác SBC đều,
SBC ABCD
và N là trung điểm của BC nên SN
ABCD
và SN a 3.
Ta có DNDN ANSN DN
SAN
,
do đó hạ NH SA thì NH chính là đường vuông góc chung của SA và DN . Tam giác SAN vuông tại N , đường cao NH 2 ,a SN a 3 nên ta có
2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1
2 3 6
AN SN HN AN a a a AN a 6.
Gọi giao điểm của AN và DC là P. Khi đó tam giác ADP vuông cân tại D và có diện tích bằng diện tích hình thang ABCD, do đó diện tích SABCD AN2 6a2.
Thể tích khối chóp S ABCD. bằng 1 .6 . 3 2 32 3 3 a a a .
Câu 44: Người thợ một tấm kim loại hình chữ nhật chiều dài 1,8m, chiều rộng 50cm thành một chiếc rương để đựng đồ. Biết rằng mặt đáy và các mặt xung quanh của rương là các mặt của hình hộp chữ nhật và nắp rương là một phần của mặt xung quang hình trụ (tham khảo hình vẽ) . Sau khi ghép hai mặt còn lại để hoàn thành chiếc rương thì thể tích của chiếc rương đó gần với giá trị nào sau đây?
A. 111416
cm3 . B. 108582
cm3 . C. 108581
cm3 . D. 111415
cm3 .Lời giải Chọn C
Thể tích của rương được tính theo công thức V GH S . AFHJ. Trong đó SAFHJ là diện tích hình thang cong gới bạn bởi các đoạn
thẳngAF HF HJ, , và cung JA. Gọi
O R, là đường tròn chứa cung AJ và AOJ x rad x
, 0.Theo định lí cosin trong tam giác OAJ ta có
2 2 2 2 2 2 2 20
40 2 cos 40 2 1 cos 4 sin
2 sin
2
R R R x R x R x R
x .
Sử dụng công thức độ dài cung ta được Rx 60 R 60
x Từ đó suy ra 3sin 2.991563136
2
x x x
Khi đó 402 2 1 2sin 1600 1800 1800sin
2 2
AFHJ x x
S R R x
x x
.
Thay vào ta được V 108581
cm3 .Câu 45: Trong không gian Oxyz, cho điểm A
3;12;24
, B
19;40;8
. Viết phương trình đường thẳng d đi qua tâm đường tròn nội tiếp I của tam giác OAB và cắt đường thẳng AB tại điểm M có tọa độ nguyên sao cho IM 9.A.
4 7 4
4 8
x t
y t
z t
. B.
6 15 4 12 9
x t
y t
z t
. C.
7 19 4 20 10
x t
y t
z t
. D.
11 4 26 7 16 4
x t
y t
z t
.
Lời giải Chọn A
Ta có : OA27,OB 45,AB 36 do đó với I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác OAB thì ta
có :
36.IO45.IA27.IB 0 4.IO5.IA3.IB 0I
6;15;12
Ta có : AB
16;28; 16
4 4;7; 4
Suy ra phương trình đường thẳng
3 4
: 12 7
24 4
x t
AB y t
z t
M
3 4 ;12 7 ;24 4 t t t
Khi đó : IM
4t3;7t3;12 4 t
IM
4t3
2 7t3
2 12 4 t
281 81t2 162t 162
81t2162t 81 0 t 1 /
t mSuy ra : IM
1;4;8 nên phương trình đường thẳng6
: 15 4
12 8
x t
d y t
z t
.
Câu 46: Cho hàm số đa thức bậc bốn y f x( ) với đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số g x( ) x f x. ( )2 m có nhiều nhất bao nhiêu điểm cực trị ?
A. 9. B. 8. C. 7. D. 10.
Lời giải Chọn A
Ta có
2
22' ( ) '( ) ( ) ( )
( ) xf x m g x f x xf x f x
xf x m
Cho
2 2
( ) '( ) ( ) 0 1
' 0
( ) 0 2
f x xf x f x
g x xf x m
Xét
1 f x f x( ) ( )
xf x'( )
0 f xf x( ) 0( )xf x'( ) 0 h xx( ) 0 f xx( )2xf xx x'( ) 01 (3;4) Ta có h x'( ) 2 '( ) f x xf x"( ) là hàm số bậc 3 có h'(0) 0; '(1) 0; '(2) 0, '(4) 0 h h h Và h(0)h(2) 0 h x( ) 0 có 4 nghiệm 0; ; 2;x2 x3Vậy phương trình 1 có 5 nghiệm 0; ; 2; ;x2 x x3 1 trong đó x 0là nghiệm kép.
Xét
2 xf x2( ) m 0 f x2( )xm
x 0
3Hàm số có nhiều điểm cực trị nhất m 0:
3 ( )( ) f x m
x m
f x x
Vẽ hai đồ thị y m x
và y m x
cùng 1 hệ toạ độ với y f x( ) Ta thấy khi
3 có nhiều nhất là 5 nghiệmVậy hàm số có nhiều nhất là 9điểm cực trị.
Câu 47: Gọi S là tập hợp tất cả các số thực m sao cho bất phương trình
2 4. x . 2x 1 2 3x x x 1
m e m e m m e
e
vô nghiệm. Số phần tử của tập S là
A. 0. B. 1. C. 2. D. Vô số.
Lời giải Chọn C
Ta thấy, bất phương trình m e2 4. x m e. 2x 1
m2m e
3x xex 1 vô nghiệm
2 4. x . 2x 1 2 . 3x x x 1,
m e m e m m e x
e
2 5. x . 3x x 2 4x 1,
m e m e e m m e x x
2 5. x 2 4x . 3x x 1 0,
m e m m e m e e x x
Đặt ex t t, 0, ta có bài toán tương đương
“ Tìm mđể bất phương trình f t
m t2 5.
m2 m t
4 m t. 3 t lnt 1 0, t 0 ”Nhận xét: f
1 0 và hàm số y f t
liên tục trên khoảng
0;
nên điều kiện cần để bài toán xảy ra là t 1 phải là điểm cực tiểu của hàm số.Như vậy điều kiện cần là:f
1 0.Do f t
5 .m t2 44
m2m t
3 3mt2 1 1t m2 m 0 mm 10Điều kiện đủ:
+ ) Với m 0, ta có f t
t lnt 1 f t
1 1t f t
tt 1, ta có bảng biến thiênTheo BBT, ta thấy f t
0, t 0 nên m 0 thoả mãn yêu cầu của bài toán.+) Với m 1, ta có f t
t5 2t4 t3 t lnt 1 f t
t t
2t 2 t lnt1Dễ thấy t t
2t 2 0, t 0 và theo phần phía trên, ta đã có tlnt 1 0, t 0,như vậy f t
t t
2t 2 t lnt 1 0, t 0 nên m1 thoả mãn yêu cầu của bài toán.Kết luận: có 2 giá trị của m thoả mãn.
0 - 0 +
+∞
1 0
f(t) f '(t)
t
Câu 48: Cho hàm số y ex có đồ thị
C và đường thẳng
d cắt
C tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là x1, x2 sao cho x1 x2 0. Gọi S1 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi
C , trục hoành, và các đường thẳng x x 1, x x 2; S2 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi
d , trục hoành, và các đường thẳngx x 1, x x 2. Biết 2 1
2
3 2 x S
S . Hỏi diện tích hình phẳng giới hạn bởi
C và
d thuộc khoảng nào sau đây?A.
2;2,5 . B.
1,8;1,9
. C.
1,9;2 . D.
2,5;3 .Lời giải Chọn C
Gọi d y ax b: . Vì d C
A B, và x1 x2 0nên a 0, b 0.
Không mất tính tổng quát, ta xét x2 0.
Ta có: 2 2 2
1 xx2e dx ex e x
S
x , S2
xx22
ax b x
d 2bx2Vì x1 x2, x2 là nghiệm của phương trình: ex ax b
nên 2
2
2 2
e e
x x
ax b ax b
.
Suy ra: 2b ex2 ex2
ex2 ex2
2 4 S124
*+ Khi đó: 2 1 2 1 1 1 1
2 2 12
3 2 3
2 2 4 2
x S x S S S S
S bx b S
.
Thay S1 2 3 vào
* , ta được: và
2
2 2 2 2
2
2 2
2
ln 2 3
e 2 3
e e 4 e 4e 1 0
e 2 3 ln 2 3 0
x x x x x
x
x
x l
Vậy S S 2 S1 2bx2 S1 4 ln 2
3
2 3 1,804 .2 b
Câu 49: Xét các số phức z1, z2 thay đổi thỏa mãn đồng thời hai đẳng thức z1 2và z z2 1. 212z14z2 0.Giá trị nhỏ nhất của 3z1 z2 2 1i bằng
A. 9 5. B. 8 5. C. 10 5. D. 117 5.
Lời giải Chọn A
Đặt z1 a bi, z2 c id với a b c d R, , , . Khi đó ta có
2 2
2 1 1 2 2 1 1 2 1 1 2 1 2 1
2 2
2 2
1 1
. 12 4 0 . 12 . 0 . 12 6
4 4
2 2
ac bd
z z z z z z z z z z z z z z
a b a b
z z
.
Do
ac bd
2
a2b c2
2 d2
c2 d2
ac bda2b2
2 9.Ta có 3z1z2
3a c
i b d(3 ) 9
a2b2
c2 d2
6
ac bc
72
c2d2
72 9 9 .Mặt khác, áp dụng bất đẳng thức u v u v nên
1 2 1 2
3z z 2 1i 3z z 2i 1 9 5.
Vậy GTNN của 3z1 z2 2 1i bằng 9 5. Dấu bằng xảy ra khi
2 2
3 1
3 2
3 1
3 1
3 2
4 6 a cb d a c
a c a c
b d b d
a b ac bd
a b c d, , ,
2 4 3 65 5 5 5; ; ; .
Câu 50: Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng : 1 1 2
2 1 3
x y z
d và điểm M
1;2;3 . Mặt phẳng
P chứa d cắt các trục Ox Oy Oz, , lần lượt tại ba điểm A a
;0;0 , B b
0; ;0 , C
0;0;c với5; 3
a . Giá trị nhỏ nhất của thể tích khối tứ diện MABC bằng
A. 56
27. B. 35
27. C. 52
27. D. 61
27. Lời giải
Chọn A
Mặt phẳng
P có dạng a b cx y z 1.Ta có 1 . . 12 12 12 2
S ABC a b c
a b c
và
2 2 2
1 2 3 1
, 1 1 1
a b c d M P
a b c
.
1 1 2 3 1
V 6 abc
a b c
.
Ta lại có 1
31 1 27 1 11 3 731 1
2 2
a b c b a
d P
b c c a
.
Do đó
2 3 2
1 2 6 1 . . . 1 2
6 3 3 7 3 3 3 7
a a a a
V abc a
a a a a a
.
Khảo sát ta được 56
V 27 khi 14 a 3 .