Hướng dẫn sử dụng máy tính cầm tay giải nhanh bài toán số phức – Trần Bá Hưng - Thư viện tải tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia

(1)

I) KIӂN THӬC NӄN TҦNG 1. Các khái niӋm thѭӡng gһp

ҿŶǀҷңŽůăŵҾƚĜҢŝůӇӄŶŐĜӇӄĐŬşŚŝҵƵiǀăĐſƚşŶŚĐŚҤƚi² = −1

^ҺƉŚӈĐůăŵҾƚďŝҳƵƚŚӈĐĐſĚҢŶŐa bi+ ^{ƚƌŽŶŐĜſ}^{a b}^, ůăĐĄĐƐҺƚŚӌĐ͘dƌŽŶŐĜſaĜӇӄĐŐҸŝůă ƉŚҥŶƚŚӌĐǀăbĜӇӄĐŐҸŝůăƐҺңŽ

^ҺƉŚӈĐůŝġŶŚӄƉĐӆĂƐҺƉŚӈĐz= +a bi^{ůăƐҺƉŚӈĐ}z= −a bi

^ҺƉŚӈĐŶŐŚҷĐŚĜңŽĐӆĂƐҺƉŚӈĐz= +a bi^{ůăƐҺƉŚӈĐ}^z ¹ ¹ ¹ z a bi

− = =

+

DƀĚƵůĐӆĂƐҺƉŚӈĐz= +a biĜӇӄĐŬşŚŝҵƵůăz _{ǀăĐſĜҾůӀŶ} z = a²+b² 2. LӋnh Caso

ҳǆӊůǉƐҺƉŚӈĐƚĂƐӊĚӅŶŐůҵŶŚƚşŶŚƐҺƉŚӈĐDKϮ

>ҵŶŚƚşŶŚDƀĜƵŶĐӆĂƐҺƉŚӈĐůă^,/&d,zW

>ҵŶŚƚşŶŚƐҺƉŚӈĐůŝġŶŚӄƉzůă^,/&dϮϮ

>ҵŶŚƚşŶŚĐŐƵŵĞŶƚĐӆĂƐҺƉŚӈĐůă^,/&dϮϭ II) VÍ DӨ MINH HӐA

VD1-[ĈӅ minh hӑa THPT Quӕc Gia lҫn 1 năm 2017]

Cho hai sӕ phӭc z₁= +1 i^vàz₂ = −^{2 3}i^{.Tính Mô}ÿun cӫa sӕ phӭc z₁+z₂

A. z₁+z₂ = 13 B. z₁+z₂ = 5 C. z₁+z₂ =1 D. z₁+z₂ =5 GIҦI

¾ ĉŶŐŶŚҨƉůҵŶŚƐҺƉŚӈĐ

Z

;<ŚŝŶăŽŵĄǇƚşŶŚŚŝҳŶƚŚҷĐŚӋDW>yƚŚŞďҩƚĜҥƵƚşŶŚƚŽĄŶƐҺƉŚӈĐĜӇӄĐͿ

¾ ҳƚşŶŚDƀĜƵŶĐӆĂƐҺƉŚӈĐƚĂŶŚҨƉďŝҳƵƚŚӈĐǀăŽŵĄǇƚşŶŚƌһŝƐӊĚӅŶŐůҵŶŚ^,/&d,zW

ESE TF0

sҨǇ z₁+z₂ = 13 ĄƉƐҺĐŚşŶŚǆĄĐůă

VD2-[Thi thӱ báo Toán hӑc tuәi trҿ lҫn 3 năm 2017]

Sӕ phӭc liên hӧp vӟi sӕ phӭc ^z^{= +}

( )

¹ ⁱ ²⁻^{3 1 2}

(

⁺ ⁱ

)

²^{là :}

A.− −9 10i B.9 10i+ C.9 10i− D.− +9 10i

ЎЇϮБЌȂ GIẢI NHANH BÀI TOÁN SỐ PHỨC

A2ІϪЁЏǤ

(2)

9 10

z i

= −

¾ ^ҺƉŚӈĐůŝġŶŚӄƉĐӆĂz= +a bi^ůăz= −a bi^͗ sҨǇz= +9 10iĄƉĄŶůăĐŚşŶŚǆĄĐ

VD3-[Thi thӱ trung tâm DiӋu HiӅn – Cҫn thѫ lҫn 1 năm 2017]

Cho sӕ phӭc z= +a bi^{. S}ӕ phӭc z² có phҫn ҧo là : A.a b² ² B.2a b² ² C.2ab D.ab

GIҦI

¾ sŞĜҲďăŝĐŚŽӂĚҢŶŐƚҼŶŐƋƵĄƚŶġŶƚĂƚŝұŶŚăŶŚ͞ĐĄďŝҵƚŚſĂ͟ďăŝƚŽĄŶďҪŶŐĐĄĐŚĐŚҸŶŐŝĄƚƌҷĐŚŽ ,

a b;ůӇƵǉŶġŶĐŚҸŶĐĄĐŐŝĄƚƌҷůүĜҳƚƌĄŶŚǆңǇƌĂƚƌӇӁŶŐŚӄƉĜҭĐďŝҵƚͿ͘

ŚҸŶa=1.25^ǀăb=2.1^ƚĂĐſz=1.25 2.1+ i

¾ ^ӊĚӅŶŐŵĄǇƚşŶŚĂƐŝŽƚşŶŚz²

EG

sҨǇƉŚҥŶңŽůă21 4

¾ yĞŵĜĄƉƐҺŶăŽĐſŐŝĄƚƌҷůă 21

4 ƚŚŞĜĄƉĄŶĜſĐŚşŶŚǆĄĐ͘dĂĐſ͗

Vұy 21

2ab= 4 Ĉáp án C là chính xác

VD4-[Thi thӱ báo Toán hӑc tuәi trҿ lҫn 4 năm 2017]

ĈӇ sӕ phӭc ^z^{= + −}^a

(

^a ¹

)

ⁱ⁽^a^{là s}^ӕ^th^ӵ^{c) có} ^z ⁼¹^{thì :}

A. 1

a=2 B. 3

a= 2 C. 0

1 a a

= ª« =

¬ D.a= ±1 GIҦI

¾ ҳǆӊůǉďăŝŶăǇƚĂƐӊĚӅŶŐƉŚĠƉƚŚӊ͕ƚƵǇŶŚŝġŶƚĂĐŚҸŶaƐĂŽĐŚŽŬŚĠŽůĠŽŶŚҤƚĜҳƉŚĠƉƚŚӊƚŞŵ ĜĄƉƐҺŶŚĂŶŚŶŚҤƚ͘dĂĐŚҸŶa=1^{ƚƌӇӀĐ͕ŶұƵ}a=1ĜƷŶŐƚŚŞĜĄƉĄŶĜƷŶŐĐŚҶĐſƚŚҳůăŚŽҭĐ͕

ŶұƵa=1ƐĂŝƚŚŞǀăĜҲƵƐĂŝ͘

¾ sӀŝa=1^ӊĚӅŶŐŵĄǇƚşŶŚĂƐŝŽƚşŶŚz

SE TF0

(3)

sҨǇ z =1ĄƉĄŶĜƷŶŐĐŚҶĐſƚŚҳůăŚŽҭĐ

¾ dŚӊǀӀŝa=0^ӊĚӅŶŐŵĄǇƚşŶŚĂƐŝŽƚşŶŚz͗

SE TF0

sҨǇ z =1ĄƉĄŶĐŚşŶŚǆĄĐůă

VD5-[Thi thӱ THPT Phҥm Văn Ĉӗng – Ĉҳc Nông lҫn 1 năm 2017]

Sӕ phӭc ^z^{= + + + +}¹

( ) ( )

¹ ⁱ ¹ ⁱ ²^{+ + +}^...

( )

¹ ⁱ ²⁰^{có giá tr}^ӏ^b^ҵ^{ng :}

A.−2²⁰ B.⁻²¹⁰ ⁺

(

²²⁰⁺¹

)

ⁱ ^C^.²¹⁰⁺

(

²¹⁰⁺¹

)

ⁱ ^D^.²¹⁰⁺²¹⁰ⁱ

GIҦI

¾ EұƵƚĂŶŚҨƉĐңďŝҳƵƚŚӈĐ¹^{+ + + +}

( ) ( )

¹ ⁱ ¹ ⁱ ²^{+ + +}^...

( )

¹ ⁱ ²⁰ǀăŽŵĄǇƚşŶŚĂƐŝŽƚŚŞǀҧŶĜӇӄĐ͕

ŶŚӇŶŐŵҤƚŶŚŝҲƵƚŚĂŽƚĄĐƚĂǇ͘ҳƌƷƚŶŐҩŶĐƀŶŐĜŽҢŶŶăǇƚĂƚŝұŶŚăŶŚƌƷƚŐҸŶďŝҳƵƚŚӈĐ dĂƚŚҤǇĐĄĐƐҺŚҢŶŐƚƌŽŶŐĐƶŶŐďŝҳƵƚŚӈĐĜҲƵĐſĐŚƵŶŐŵҾƚƋƵǇůƵҨƚ͞ƐҺŚҢŶŐƐĂƵďҪŶŐƐҺŚҢŶŐ ƚƌӇӀĐŶŚąŶǀӀŝĜҢŝůӇӄŶŐ1+i͞ǀҨǇĜąǇůăĐҤƉƐҺŶŚąŶǀӀŝĐƀŶŐďҾŝ1+i

( ) ( ) ( ) ( )

( )

21

2 20

1

1 1

1 1 1 ... 1 1 1.

1 1 1 1

n i

i i i U q

i

− − − + + + + + + + = =

− − −

¾ sӀŝ

( )

1 1 21

1 1

z i

i

= − +

− + ^ӊĚӅŶŐŵĄǇƚşŶŚĂƐŝŽƚşŶŚz

DSEA5SE

dĂƚŚҤǇ^z^{= −}^{1024 1025}⁺ ⁱ^{= −}²¹⁰⁺

(

²¹⁰⁺¹

)

ⁱ

ĄƉĄŶĐŚşŶŚǆĄĐůă

VD6-[Thi thӱ chuyên KHTN lҫn 1 năm 2017]

NӃu sӕ phӭc z thӓa mãn z =1^{thì ph}ҫn thӵc cӫa 1

1−z bҵng : A.1

2 B. 1

−2 C. 2 D.Mӝt giá trӏ khác

GIҦI

¾ ҭƚƐҺƉŚӈĐz= +a biƚŚŞDƀĜƵŶĐӆĂƐҺƉŚӈĐǌůă z = a²+b² =1

¾ = ²+ ² =

(4)

>ӇƵŐŝĄƚƌҷŶăǇǀăŽb

T-[

¾ dƌӂůҢŝĐŚұĜҾDW>yĜҳƚşŶŚŐŝĄƚƌҷ 1 1−z ^͗

ZD5S4[E

sҨǇƉŚҥŶƚŚӌĐĐӆĂzůă1

2 ĄƉĄŶĐŚşŶŚǆĄĐůă VD7-[Thi thӱ nhóm toán Ĉoàn Trí DǊng lҫn 3 năm 2017]

Tìm sӕ phӭc z biӃt rҵng :

( )

¹⁺^{i z}⁻²^z^{= − +}^{5 11}ⁱ

A.z= −5 7i B.z= +2 3i C.z= +1 3i D.z= −2 4i GIҦI

¾ sӀŝz= −5 7iƚŚŞƐҺƉŚӈĐůŝġŶŚӄƉz= +5 7i͘EұƵĜĄƉĄŶĜƷŶŐƚŚŞƉŚӇҿŶŐƚƌŞŶŚ͗

( )(

¹⁺ⁱ ^{5 7}⁻ ⁱ

) (

⁻^{2 5 7}⁺ ⁱ

)

^{= − +}^{5 11}ⁱ^;ϭͿ

¾ ^ӊĚӅŶŐŵĄǇƚşŶŚĂƐŝŽŶŚҨƉǀұƚƌĄŝĐӆĂ;ϭͿ

ESESE

sŞ2 16− i≠ − +5 11iŶġŶĜĄƉĄŶƐĂŝ

¾ dӇҿŶŐƚӌŶŚӇǀҨǇǀӀŝĜĄƉĄŶ

EESSE

ҴƚŚҤǇǀұƚƌĄŝ;ϭͿсǀұƉŚңŝ;ϭͿс− +5 11i

ĄƉƐҺĐŚşŶŚǆĄĐůă

VD8-[ĈӅ minh hӑa cӫa bӝ GD-ĈT lҫn 2 năm 2017]

Cho sӕ phӭc z= +a bi^thӓa mãn

( )

¹⁺^{i z}⁺²^z^{= +}^{3 2}ⁱ^{. Tính}^P^{= +}^{a b}

A. 1

P=2 B.P=1 C.P= −1 D. 1

P= −2 GIҦI

¾ WŚӇҿŶŐƚƌŞŶŚ^{⇔ +}

( )

¹ ^{i z}⁺²^z^{− − =}^{3 2}ⁱ ⁰;ϭͿ͘<ŚŝŶŚҨƉƐҺƉŚӈĐůŝġŶŚӄƉƚĂŶŚҤŶůҵŶŚ

T

(5)

¾ ^ӊĚӅŶŐŵĄǇƚşŶŚĂƐŝŽŶŚҨƉǀұƚƌĄŝĐӆĂ;ϭͿ

E4T4SSE

¾ X ůăƐҺƉŚӈĐŶġŶĐſĚҢŶŐX = +a bi^͘EŚҨƉX =1000 100+ i^{;ĐſƚŚҳƚŚĂǇ}^{a b}^; ^{ůăƐҺŬŚĄĐͿ}

UE

sҨǇǀұƚƌĄŝĐӆĂ;ϭͿďҪŶŐ2897 898i+ ^͘dĂĐſ͗ ²⁸⁹⁷ 3.1000 100 3 3 3

898 1000 100 2 2

a b a b

= − − = − −

®

= − − = − −

¯

DҭƚŬŚĄĐĜĂŶŐŵƵҺŶǀұƚƌĄŝ=0 ³ ³ ⁰ ¹^; ³

2 0 2 2

a b a b

a b

− − =

₋

® _{⇔ =} ₌

− − =

¯ sҨǇa b+ = −1

ĄƉƐҺĐŚşŶŚǆĄĐůă VD9-Sӕ phӭc 5 3 3

1 2 3

z i

i

= +

− có mӝt Acgument là : A.

6

π B.

4

π C.

2

π D.8 3 π

GIҦI

¾ dŚƵŐҸŶzǀҲĚҢŶŐƚҺŝŐŝңŶz_{= − +}1 3i

DEV5SEV

¾ dŞŵĐŐƵŵĞŶƚĐӆĂzǀӀŝůҵŶŚ^,/&dϮϭ

TSVE

sҨǇzĐſϭĐŐƵŵĞŶƚůă2 3

π ͘dƵǇŶŚŝġŶŬŚŝƐŽƐĄŶŚŬұƚƋƵңƚĂůҢŝŬŚƀŶŐƚŚҤǇĐſŐŝĄƚƌҷŶăŽůă2 3

π _͘

<ŚŝĜſƚĂŶŚӀĜұŶƚşŶŚĐŚҤƚ͞EұƵŐſĐαůăŵҾƚĐŐƵŵĞŶƚƚŚŞŐſĐα+2πĐƹŶŐůăŵҾƚĐŐƵŵĞŶƚ͟

ĄƉƐҺĐŚşŶŚǆĄĐůăǀŞ 2 8

2 2 3

π + π = π III) BÀI TҰP TӴ LUYӊN

Bài 1-[Thi thӱ chuyên Lam Sѫn – Thanh Hóa lҫn 2 năm 2017]

(6)

Cho sӕ phӭc z= +a bi^{. S}ӕ phӭc z⁻¹ có phҫn thӵc là : A.a b+ B. ₂a ₂

a +b C. ₂ b ₂

a b

−

+ D.a b− Bài 3-[Thi thӱ nhóm toán Ĉoàn Trí DǊng lҫn 1 năm 2017]

Tìm môÿun cӫa sӕ phӭc 1

2 3 3

z= − i§¨©2+ i·¸¹ là : A. 103

2 B.3 103

2 C.5 103

2 D.Ĉáp án khác

Bài 4-[Thi thӱ chuyên Khoa hӑc tӵ nhiên lҫn 3 năm 2017]

Cho sӕ phӭc ^z^{= +}

( ) ( )

¹ ⁱ ²^{+ +}¹ ⁱ ³^{+ + +}^...

( )

¹ ⁱ ²²^{. Ph}^ҫ^{n th}^ӵ^{c c}^ӫ^{a s}^ӕ^ph^ӭ^c^z^{là :}

A.−2¹¹ B.− +2¹¹ 2 C.− −2¹¹ 2 D. 2¹¹ Bài 5-[Thi thӱ chuyên Khoa hӑc tӵ nhiên lҫn 3 năm 2017]

Cho sӕ phӭc z= −2 3i^{. Ph}ҫn ҧo cӫa sӕ phӭc ^w^{= +}

( ) (

¹ ^{i z}^{− −}² ^{i z}

)

^{là :}

A.−9i B. 9− C. 5− D. −5i Bài 6-[ĈӅ thi Ĉҥi hӑc –Cao ÿҷng khӕi A năm 2009]

Cho sӕ phӭc z= +a bi^thӓa mãn ÿiӅu kiӋn

(

^{2 3}⁻ ^{i z}

) (

^{+ +}⁴ ^{i z}

)

^{= − +}

(

^{1 3}ⁱ

)

²^{. Tìm}^P⁼²^{a b}⁺ ^A^{. 3}

B. 1− C.1 D.Ĉáp án khác

Bài 7-[Thi thӱ chuyên Lam Sѫn – Thanh Hóa lҫn 2]

(

^{2 3}⁻ ^{i z}

) (

^{+ +}⁴ ^{i z}

)

^{= − +}

(

^{1 3}ⁱ

)

²^{. Tìm}^P⁼²^{a b}⁺ ^A^{. 3}

LӠI GIҦI BÀI TҰP TӴ LUYӊN Bài 1-[Thi thӱ chuyên Lam Sѫn – Thanh Hóa lҫn 2 năm 2017]

Cho hai sӕ phӭc z₁= +1 i, z₂ = +2 3i . Tìm sӕ phӭc ^w⁼

( )

^z¹ ²^.^z²

A.w= +6 4i B.w= −6 4i C.w= − −6 4i D.w= − +6 4i GIҦI

^ӊĚӅŶŐŵĄǇƚşŶŚĂƐŝŽǀӀŝĐŚӈĐŶĉŶŐDKϮ;DW>yͿ

EG2E

Vұy w= − +6 4i^{ta ch}ӑn D là ÿáp án chính xác

Bài 2-[Thi thӱ THPT Phan Chu Trinh – Phú Yên lҫn 1 năm 2017]

Cho sӕ phӭc z= +a bi^{. S}ӕ phӭc z⁻¹ có phҫn thӵc là : A.a b+ B. ₂a ₂

a +b C. ₂ b ₂

a b

−

+ D.a b− GIҦI

sŞĜҲďăŝŵĂŶŐƚşŶŚĐŚҤƚƚҼŶŐƋƵĄƚŶġŶƚĂƉŚңŝĐĄďŝҵƚŚſĂ͕ƚĂĐŚҸŶa=1;b=1.25͘

sӀŝ ¹ 1

z z

− = ^ӊĚӅŶŐŵĄǇƚşŶŚĂƐŝŽ

D5E

(7)

Ta thҩy phҫn thӵc sӕ phӭc z⁻¹ là : 16

41 ÿây là 1 giá trӏ dѭѫng. Vì ta chӑn b> >a 0^{nên ta th}ҩy ngay ÿáp sӕC và D sai.

Thӱÿáp sӕA có 9 16

1 1.25

4 41

a b+ = + = ≠ vұy ÿáp sӕ A cǊng sai Ĉáp án chính xác là B Bài 3-[Thi thӱ nhóm toán Ĉoàn Trí DǊng lҫn 1 năm 2017]

Tìm môÿun cӫa sӕ phӭc 1

2 3 3

z= − i§¨©2+ i·¸¹ là : A. 103

2 B.3 103

2 C.5 103

2 D.Ĉáp án khác

'/ѵ/

dşŶŚƐҺƉŚӈĐ 1

2 3 3

z= − i§¨©2+ i·¸¹

SVED5VE

Vұy 3

5 2

z= − i

ƶŶŐůҵŶŚ^,/&d,zWƚşŶŚDƀĜƵŶĐӆĂƐҺƉŚӈĐzƚĂĜӇӄĐ

TFSDV5E

sҨǇ 103

z = 2 ĄƉƐҺĐŚşŶŚǆĄĐůă

Bài 4-[Thi thӱ chuyên Khoa hӑc tӵ nhiên lҫn 3 năm 2017]

Cho sӕ phӭc ^z^{= +}

( ) ( )

¹ ⁱ ²^{+ +}¹ ⁱ ³^{+ + +}^...

( )

¹ ⁱ ²²^{. Ph}^ҫ^{n th}^ӵ^{c c}^ӫ^{a s}^ӕ^ph^ӭ^c^z^{là :}

A.−2¹¹ B.− +2¹¹ 2 C.− −2¹¹ 2 D. 2¹¹ '/ѵ/

ĆǇƐҺƚƌġŶůăŵҾƚĐҤƉƐҺŶŚąŶǀӀŝ^U¹^{= +}

( )

¹ ⁱ ²͕ƐҺƐҺŚҢŶŐůă21ǀăĐƀŶŐďҾŝůă1+i^{͘dŚƵŐҸŶ}^z^ƚĂĜӇӄĐ

͗

( ) ( )

( )

21 2

1

1 1

.1 1 .

1 1 1

n i

z U q i

q i

− − +

= = +

− − +

^ӊĚӅŶŐŵĄǇƚşŶŚĂƐŝŽƚşŶŚz

EG2DSEA5S E

Vұy z= −2050 2048− i

WŚҥŶңŽƐҺƉŚӈĐzůă−2050= − −2¹¹ 2 ĄƉƐҺĐŚşŶŚǆĄĐůă

(8)

'/ѵ/

ĆǇƐҺƚƌġŶůăŵҾƚĐҤƉƐҺŶŚąŶǀӀŝ^U¹^{= +}

( )

¹ ⁱ ²͕ƐҺƐҺŚҢŶŐůă21ǀăĐƀŶŐďҾŝůă1+i^{͘dŚƵŐҸŶ}^z^ƚĂĜӇӄĐ

͗

( ) ( )

( )

21 2

1

1 1

.1 1 .

1 1 1

n i

z U q i

q i

− − +

= = +

− − +

^ӊĚӅŶŐŵĄǇƚşŶŚĂƐŝŽƚşŶŚz

EG2DSEA5S E

Vұy z= −2050 2048− i

WŚҥŶңŽƐҺƉŚӈĐzůă −2048= −2¹¹ĄƉƐҺĐŚşŶŚǆĄĐůă Bài 6-[ĈӅ thi Ĉҥi hӑc –Cao ÿҷng khӕi A năm 2009]

(

^{2 3}⁻ ^{i z}

) (

^{+ +}⁴ ^{i z}

)

^{= − +}

(

^{1 3}ⁱ

)

²^.Tìm^P⁼²^{a b}⁺ ^A^{. 3}

'/ѵ/

WŚӇҿŶŐƚƌŞŶŚ^⇔

(

^{2 3}⁻ ^{i z}

) (

^{+ +}⁴ ^{i z}

) (

^{+ +}^{1 3}ⁱ

)

² ⁼⁰

EŚҨƉǀұƚƌĄŝǀăŽŵĄǇƚşŶŚĂƐŝŽǀă>ǀӀŝX =1000 100+ i

SE4ET4 EGUE

Vұy vӃ trái =6392 2194i− ^vӟi 6392 6.1000 4.100 8 6 4 8 2194 2.1000 2.100 6 2 2 6

a b

= + − = + −

®

= + − = + −

¯

ҳǀұƚƌĄŝ=0^ƚŚŞ ⁶ ⁴ ⁸ ⁰

2 2 6 0

a b

+ − =

®

+ − =

¯ ⇔ = −a 2;b=5 sҨǇz= − +2 5i P=2a b+ =1ĄƉƐҺĐŚşŶŚǆĄĐůă Bài 7-[Thi thӱ chuyên Lam Sѫn – Thanh Hóa lҫn 2]

(

^{2 3}⁻ ^{i z}

) (

^{+ +}⁴ ^{i z}

)

^{= − +}

(

^{1 3}ⁱ

)

²^{. Tìm}^P⁼²^{a b}⁺ ^A^{. 3}

'/ѵ/

WŚӇҿŶŐƚƌŞŶŚ^⇔

(

^{2 3}⁻ ^{i z}

) (

^{+ +}⁴ ^{i z}

) (

^{+ +}^{1 3}ⁱ

)

² ⁼⁰

EŚҨƉǀұƚƌĄŝǀăŽŵĄǇƚşŶŚĂƐŝŽǀă>ǀӀŝX =1000 100+ i

SE4ET4 EGUE

Vұy vӃ trái =6392 2194i− ^vӟi 6392 6.1000 4.100 8 6 4 8 2194 2.1000 2.100 6 2 2 6

a b

= + − = + −

®

= + − = + −

¯

(9)

ЎІȂ

Ϻϻ@ϿЍЁЏ

I) KIӂN THӬC NӄN TҦNG 1. Các khái niӋm thѭӡng gһp

,ҵƚƌӅĐƚŚӌĐңŽŐһŵĐſϮƚƌӅĐǀƵƀŶŐŐſĐǀӀŝŶŚĂƵ͗dƌӅĐŶҪŵŶŐĂŶŐůăƚƌӅĐƚŚӌĐ͕ƚƌӅĐĜӈŶŐĚҸĐůă ƚƌӅĐңŽ

^ҺƉŚӌĐz= +a biŬŚŝďŝҳƵĚŝҴŶƚƌġŶŚҵƚƌӅĐƚŚӌĐңŽůăĜŝҳŵ^{M a b}

( )

^;

DƀĜƵŶĐӆĂƐҺƉŚӈĐz= +a biůăĜҾůӀŶĐӆĂǀĞĐƚŽOMJJJJG 2. LӋnh Caso

ҳǆӊůǉƐҺƉŚӈĐƚĂƐӊĚӅŶŐůҵŶŚƚşŶŚƐҺƉŚӈĐDKϮ

>ҵŶŚŐŝңŝƉŚӇҿŶŐƚƌŞŶŚďҨĐŚĂŝDKϱϯ

>ҵŶŚŐŝңŝƉŚӇҿŶŐƚƌŞŶŚďҨĐďĂDKϱϰ II) VÍ DӨ MINH HӐA

VD1-[Câu 31 ĈӅ minh hӑa THPT Quӕc Gia lҫn 1 năm 2017]

Cho sӕ phӭc z thӓa mãn

( )

¹⁺^{i z}^{= −}³ ⁱ^{. H}^ӓⁱ^ÿⁱ^Ӈ^{m bi}^Ӈ^{u di}^Ӊ^{n s}^ӕ

phӭc z là ÿiӇm nào trong các ÿiӇm M N P Q, , , A.ÿiӇm P B.ÿiӇm Q C.ÿiӇm MD.ÿiӇm N

GIҦI

¾ ƀůҨƉ 3 1 z 1

i

= − +

^ӊĚӅŶŐŵĄǇƚşŶŚĂƐŝŽƚƌŽŶŐŵƀŝƚƌӇӁŶŐDW>yĜҳƚŞŵz

ZDSE5E

1 2

z i

= − ǀăĜŝҳŵďŝҳƵĚŝҴŶzƚƌŽŶŐŚҵƚƌӅĐƚŚӌĐңŽĐſƚҸĂĜҾ

(

^{1; 2}⁻

)

͘ŝҳŵĐſƚŚӌĐĚӇҿŶŐǀă ңŽąŵƐҰŶҪŵӂŐſĐƉŚҥŶƚӇƚŚӈ/s

ŝҳŵƉŚңŝƚŞŵůăQǀăĜĄƉĄŶĐŚşŶŚǆĄĐůă

VD2-[Thi thӱ trung tâm DiӋu HiӅn – Cҫn thѫ lҫn 1 năm 2017]

ĈiӇm biӇu diӉn sӕ phӭc z= +7 bi^vӟi b∈R^{, n}ҵm trên ÿѭӡng thҷng có phѭѫng trình là : A.x=7 B.y=x C.y= +x 7 D.y=7

GIҦI

¾ ŝҳŵďŝҳƵĚŝҴŶƐҺƉŚӈĐz= +7 bi^ůăĜŝҳŵ^M ^{ĐſƚҸĂĜҾ}^M

( )

^7;^b

dĂďŝұƚĜŝҳŵM ƚŚƵҾĐĜӇӁŶŐƚŚҫŶŐdŶұƵƚҸĂĜҾĜŝҳŵM ƚŚҹĂŵĆŶƉŚӇҿŶŐƚƌŞŶŚĜӇӁŶŐƚŚҫŶŐ d

¾ dŚӊĜĄƉĄŶƚĂĐſx= ⇔7 1.x+0.y− =7 0͘dŚұƚҸĂĜҾĜŝҳŵM ǀăŽƚĂĜӇӄĐ͗

1.7 0.+ b− =7 0^;ĜƷŶŐͿ

Vұy ÿiӇm M thuӝc ÿѭӡng thҷng x=7 Ĉáp án A là chính xác VD3-[Thi thӱ Group Nhóm toán – Facebook lҫn 5 năm 2017]

(10)

GIҦI

¾ ZƷƚŐҸŶ z₁ďҪŶŐĂƐŝŽ

DE5ES

dĂĜӇӄĐz₁= −2 2i^{ǀҨǇĜŝҳŵ}^M

(

^{2; 2}⁻

)

¾ ZƷƚŐҸŶz2ďҪŶŐĂƐŝŽ

SEE

dĂĜӇӄĐz2 = +3 iǀҨǇĜŝҳŵ^N

( )

^3;1

dӇҿŶŐƚӌz₂ = − +1 2iǀăĜŝҳŵ^P

(

⁻^{1; 2}

)

¾ ҳƉŚĄƚŚŝҵŶƚşŶŚĐŚҤƚĐӆĂƚĂŵŐŝĄĐMNPƚĂŶġŶďŝҳƵĚŝҴŶϯĜŝҳŵM N P, , ƚƌġŶŚҵƚƌӅĐƚҸĂĜҾ

DӉ thҩy tam giác MNP vuông cân tҥi P ÿáp án C chính xác VD4-[Thi thӱ báo Toán hӑc Tuәi trҿ lҫn 4 năm 2017]

Trong mһt phҷng Oxy, gӑi các ÿiӇm M N, lҫn lѭӧt là ÿiӇm biӇu diӉn sӕ phӭc z₁ = −1 i,z₂ = +3 2i . Gӑi G là trӑng tâm tam giác OMN , vӟi O là gӕc tӑa ÿӝ. Hӓi G là ÿiӇm biӇu diӉn cӫa sӕ phӭc nào sau ÿây.

A. 5−i B. 4+i C.4 1

3+3i D. 1

2+2i GIҦI

¾ ŝҳŵM ďŝҳƵĚŝҴŶƐҺƉŚӈĐ z₁= −1 iƚҸĂĜҾ^M

(

^{1; 1}⁻

)

ŝҳŵN ďŝҳƵĚŝҴŶƐҺƉŚӈĐ z₂ = +3 2iƚҸĂĜҾ^N

( )

^{3; 2}

'ҺĐƚҸĂĜҾ^O

( )

^{0; 0}

(11)

¾ dҸĂĜҾĜŝҳŵ 4 1

; ;

3 3 3 3

M N O M N O

x x x y y y

G§¨© + + + + · §¹¸=¨© ·¸¹

sҨǇGůăĜŝҳŵďŝҳƵĚŝҴŶĐӆĂƐҺƉŚӈĐ4 1

3+3i ůăĜĄƉĄŶĐŚşŶŚǆĄĐ

VD5-[Thi thӱ THPT Hàm Rӗng – Thanh Hóa lҫn 1 năm 2017]

Trong mһt phҷng tӑa ÿӝ Oxy, gӑi M là ÿiӇm biӇu diӉn sӕ phӭc z= −3 4i^,ÿiӇm M' là ÿiӇm biӇu diӉn sӕ phӭc 1

' 2

z = +iz. Tính diӋn tích ΔOMM'

A. _' 25

OMM 4

S_Δ = B. _' 25

OMM 2

S_Δ = C. _' 15

OMM 4

S_Δ = D. _' 15

OMM 2 S_Δ = GIҦI

¾ ŝҳŵM ďŝҳƵĚŝҴŶƐҺƉŚӈĐ z₁= −3 4i ƚҸĂĜҾ^M

(

^{3; 4}⁻

)

ŝҳŵM'ďŝҳƵĚŝҴŶƐҺƉŚӈĐ 1

' 2

z = +iz ƚҸĂĜҾ 7 1 2; 2 N§¨© − ·¸¹

DE52SE

'ҺĐƚҸĂĜҾ^O

( )

^{0; 0}

¾ ҳƚşŶŚĚŝҵŶƚşĐŚƚĂŵŐŝĄĐOMM'ƚĂӈŶŐĚӅŶŐƚşĐŚĐſŚӇӀŶŐĐӆĂϮǀĞĐƚŽƚƌŽŶŐŬŚƀŶŐŐŝĂŶ͘dĂƚŚġŵ ĐĂŽĜҾϬĐŚŽƚҸĂĜҾŵҽŝĜŝҳŵO M M, , 'ůăǆŽŶŐ

(

^{3; 4; 0}

)

OMJJJJG −

͕ 7 1

' ; ; 0

2 2

OM §¨© − ·¸¹

JJJJJG 1

; '

S 2 ªOM OM º

= ¬ ¼

JJJJG JJJJJG

dşŶŚ ª¬OM OM; 'º¼ JJJJG JJJJJG

Z S T3 S 3 &TTT

sҨǇ 25 _' 1 25

; ' 12.5 ; '

2 ^OMM 2 4

OM OM S OM OM

ª º = = = ª º =

¬ ¼ ¬ ¼

JJJJG JJJJJG JJJJG JJJJJG

ůăĜĄƉĄŶĐŚşŶŚǆĄĐ

VD6-[ĈӅ thi minh hӑa bӝ GD-ĈT lҫn 2 năm 2017]

Kí hiӋu z₀ là nghiӋm phӭc có phҫn ҧo dѭѫng cӫa phѭѫng trình 4z²−16z+17=0 . Trên mһt phҷng tӑa ÿӝ, ÿiӇm nào dѭӟi ÿây là ÿiӇm biӇu diӉn sӕ phӭc w=iz₀

A. 1 2; 2

M§ ·

¨ ¸

2; 2

M§¨©− ·¸¹ C. 1 4;1

§− ·

¨ ¸

4;1 M§ ·

¨ ¸

¾ ^ӊĚӅŶŐůҵŶŚŐŝңŝƉŚӇҿŶŐƚƌŞŶŚďҨĐŚĂŝDKϱϯĜҳŐŝңŝƉŚӇҿŶŐƚƌŞŶŚ4z²−16z+17=0

Z S

(12)

sҨǇƉŚӇҿŶŐƚƌŞŶŚ4z²−16z+17=0ĐſŚĂŝŶŐŚŝҵŵ 1 2 2

z= + iǀă 1

2 2 z= − i

¾ ҳ z₀ĐſƉŚҥŶңŽĚӇҿŶŐ 1 2 2

z i

= − ^͘dşŶŚ w=z i0

ZD5EE

sҨǇƉŚӇҿŶŐƚƌŞŶŚ 1 2 2

w= − + iŝҳŵďŝҳƵĚŝҴŶƐҺƉŚӈĐwůă 1 2; 2 M§¨©− ·¸¹

ůăĜĄƉĄŶĐŚşŶŚǆĄĐ

II) BÀI TҰP TӴ LUYӊN

Cho sӕ phӭc z= +2 i . Hãy xác ÿӏnh ÿiӇm biӇu diӉn hình hӑc cӫa sӕ phӭc ^w^{= −}

( )

¹ ^{i z}

A.ĈiӇm M B.ĈiӇm N

C.ĈiӇm P D.ĈiӇm Q

Bài 2-[Thi thӱ facebook nhóm toán lҫn 5 năm 2017]

(

²⁻^{i z}

)

⁼^{4z 5}⁺ ^{. H}^ӓⁱ^ÿⁱ^Ӈ^{m bi}^Ӈ^{u di}^Ӊ^{n c}^ӫ^a^z^là^ÿⁱ^Ӈm nào trong các ÿiӇm , , ,

M N P Q ӣ hình bên . A.ĈiӇm N B.ĈiӇm P C.ĈiӇm M D. ĈiӇm Q

(13)

Bài 3-[Thi thӱ báo Toán hӑc tuәi trҿ lҫn 4 năm 2017]

Trên mһt phҷng tӑa ÿӝ các ÿiӇm , ,A B C lҫn lѭӧt là ÿiӇm biӇu diӉn cӫa sӕ phӭc 4

2 4

5 5i

− + ,

( )(

¹⁻ⁱ ^{1 2}⁺ ⁱ

)

^, ⁻²ⁱ³^Khi^ÿó tam giác ABC

A.Vuông tҥi C B.Vuông tҥi A C.Vuông cân tҥi BD. Tam giác ÿӅu Bài 4-Các ÿiӇm , ,A B C, A B C', ', ' trong mһt phҷng phӭc theo thӭ tӵ biӇu diӉn các sӕ : 1−i, 2 3 , 3+ i +i và

3 , 3 2 , 3 2i − i + i có ,G G' lҫn lѭӧt là trӑng tâm tam giác ABC và A B C' ' '. Khҷng ÿӏnh nào sau ÿây ÿúng

A.G trùng G' B. Vecto ^GG^JJJJG^'⁼

(

^{1; 1}⁻

)

C.GAJJJG=3GAJJJG'

D. Tӭ giác GAG B' lұp thành mӝt hình bình hành LӠI GIҦI BÀI TҰP TӴ LUYӊN Bài 1-[Thi thӱ chuyên Khoa hӑc tӵ nhiên lҫn 2 năm 2017]

Cho sӕ phӭc z= +2 i . Hãy xác ÿӏnh ÿiӇm biӇu diӉn hình hӑc cӫa sӕ phӭc ^w^{= −}

( )

¹ ^{i z}

A.ĈiӇm M B.ĈiӇm N

C.ĈiӇm P D.ĈiӇm Q

'/ѵ/

dşŶŚƐҺƉŚӈĐ^w^{= −}

( )

¹ ^{i z}ďҪŶŐŵĄǇƚşŶŚĂƐŝŽ

SEE

Vұy tӑa ÿӝ cӫa ÿiӇm thӓa mãn sӕ phӭc w là

(

^{3; 1}⁻

)

^.^Ĉ^{ây là t}^ӑ^a^ÿӝ^ÿⁱ^Ӈ^m^Q

Bài 2-[Thi thӱ facebook nhóm toán lҫn 5 năm 2017]

(

²⁻^{i z}

)

⁼^{4z 5}⁺ ^{. H}^ӓⁱ^ÿⁱ^Ӈ^{m bi}^Ӈ^{u di}^Ӊ^{n c}^ӫ^a^z^là^ÿⁱ^Ӈm nào trong các ÿiӇm , , ,

M N P Q ӣ hình bên . A.ĈiӇm N B.ĈiӇm P C.ĈiӇm MD. ĈiӇm Q

(14)

'/ѵ/

ƀůҨƉ

(

²⁻^{i z}

)

⁻^4z^{= ⇔ − +}⁵

(

² ^{i z}

)

^{= ⇔ =}⁵ ^z ₂⁻₊⁵_i

dŞŵƐҺƉŚӈĐ 5 z 2

i

= −

DS5E

+

Vұy tӑa ÿӝ cӫa ÿiӇm thӓa mãn sӕ phӭc z là

(

⁻^2;1

)

^.^Ĉ^{ây là t}^ӑ^a^ÿӝ^ÿⁱ^Ӈ^m^M

Bài 3-[Thi thӱ báo Toán hӑc tuәi trҿ lҫn 4 năm 2017]

Trên mһt phҷng tӑa ÿӝ các ÿiӇm , ,A B C lҫn lѭӧt là ÿiӇm biӇu diӉn cӫa sӕ phӭc 4 2 4 5 5i

− + ,

( )(

¹⁻ⁱ ^{1 2}⁺ ⁱ

)

^, ⁻²ⁱ³^Khi^ÿó tam giác ABC

A.Vuông tҥiCB.Vuông tҥiAC.Vuông cân tҥiBD. Tam giác ÿӅu '/ѵ/

ZƷƚŐҸŶ 4

2 4

5 5i

− +

ĜӇӄĐ− −2 4iǀҨǇƚҸĂĜҾĜŝҳŵ^A

(

^{− −}^{2; 4}

)

D5SD5D5E

ZƷƚŐҸŶ

( )(

¹⁻ⁱ ^{1 2}⁺ ⁱ

)

^ĜӇӄĐ³⁺ⁱǀҨǇƚҸĂĜҾĜŝҳŵ^B

( )

^3;1

SEE

ZƷƚŐҸŶ−2i³ = −2 .i i² =2iǀҨǇƚҸĂĜҾĜŝҳŵ^C

( )

^{0; 2}

ҳƉŚĄƚŚŝҵŶƚşŶŚĐŚҤƚĐӆĂƚĂŵŐŝĄĐABCƚĂĐŚҶĐҥŶďŝҳƵĚŝҴŶƚƌġŶŚҵƚƌӅĐƚҸĂĜҾůăƚŚҤǇŶŐĂǇ

(15)

DӉ thҩy tam giác ABC vuông tҥi C

Bài 4-Các ÿiӇm , ,A B C, A B C', ', ' trong mһt phҷng phӭc theo thӭ tӵ biӇu diӉn các sӕ : 1−i, 2 3 , 3+ i +i và

3 , 3 2 , 3 2i − i + i có ,G G' lҫn lѭӧt là trӑng tâm tam giác ABC và A B C' ' '. Khҷng ÿӏnh nào sau ÿây ÿúng

A.G trùng G' B. Vecto ^GG^JJJJG^'⁼

(

^{1; 1}⁻

)

C.GAJJJG=3GAJJJG'

D. Tӭ giác GAG B' lұp thành mӝt hình bình hành '/ѵ/

dĂĐſƚҸĂĜҾĐĄĐĜҶŶŚ^A

(

^{1; 1 ,}⁻

) ( ) ( )

^B ^{2;3 ,}^C ^3;1 dҸĂĜҾƚƌҸŶŐƚąŵ^G

( )

^2;1

3 2 3 1

A B C

G

A B C

G

x x x

x

y y y

y

+ +

= =

°°®

+ +

° = =

°¯

dĂĐſƚҸĂĜҾĐĄĐĜҶŶŚ^A^{' 0;3 ,}

( ) (

^B^{' 3; 2 ,}⁻

) ( )

^C^{' 3; 2} dҸĂĜҾƚƌҸŶŐƚąŵ^G

( )

^2;1

' ' '

'

' ' '

'

3 2 3 1

A B C

G

A B C

G

x x x

x

y y y

y

+ +

= =

°°®

+ +

° = =

°¯

Rõ ràng G≡G' Ĉáp sӕ chính xác là A

(16)

ЎЇϮБЌȂ

ЖA0ϺϺϻЍЁЏ

I) KIӂN THӬC NӄN TҦNG 1. Mҽo giҧi nhanh

ăŝƚŽĄŶƋƵӎƚşĐŚůƵƀŶĜŝůġŶƚӉĜҷŶŚŶŐŚšĂ͘dĂůƵƀŶĜҭƚz= +x yi͕ďŝҳƵĚŝҴŶƐҺƉŚӈĐƚŚĞŽǇġƵĐҥƵ ĜҲďăŝ͕ƚӉĜſŬŚӊiǀăƚŚƵǀҲŵҾƚŚҵƚŚӈĐŵӀŝ͗

EұƵŚҵƚŚӈĐĐſĚҢŶŐAx+By+ =C 0ƚŚŞƚҨƉŚӄƉĜŝҳŵůăĜӇӁŶŐƚŚҫŶŐ

EұƵŚҵƚŚӈĐĐſĚҢŶŐ

(

^x⁻^a

) (

²⁺ ^{y b}⁻

)

² ⁼^R²ƚŚŞƚҨƉŚӄƉĜŝҳŵůăĜӇӁŶŐƚƌžŶƚąŵ^{I a b}

( )

^; ^ďĄŶ

ŬşŶŚR

2 2

2 2 1

x y

a +b = ƚŚŞƚҨƉŚӄƉĜŝҳŵĐſĚҢŶŐŵҾƚůŝƉ

2 2

2 2 1

x y

a −b = ƚŚŞƚҨƉŚӄƉĜŝҳŵůăŵҾƚ,ǇƉĞƌďŽů

EұƵŚҵƚŚӈĐĐſĚҢŶŐy= Ax²+Bx C+ ƚŚŞƚҨƉŚӄƉĜŝҳŵůăŵҾƚWĂƌĂďŽů 2. Phѭѫng pháp Caso

dŞŵĜŝҳŵĜҢŝĚŝҵŶƚŚƵҾĐƋƵӎƚşĐŚĐŚŽӂĜĄƉĄŶƌһŝƚŚұŶŐӇӄĐǀăŽĜҲďăŝ͕ŶұƵƚŚҹĂŵĆŶƚŚŞůăĜƷŶŐ II) VÍ DӨ MINH HӐA

VD1-[Thi thӱ chuyên Khoa hӑc tӵ nhiên lҫn 3 năm 2017]

Tұp hӧp các ÿiӇm biӇu diӉn sӕ phӭc z thӓa mãn z− − = +2 i z 2i

A.4x−2y+ =1 0 B. 4x−2y− =1 0 C. 4x+2y− =1 0D.4x−6y− =1 0 GIҦI

ĄĐŚĂƐŝŽ

¾ 'ҸŝƐҺƉŚӈĐzĐſĚҢŶŐz= +a bi͘dĂŚŝҳƵ͗ĜŝҳŵMďŝҳƵĚŝҴŶƐҺƉŚӈĐzƚŚŞM ĐſƚҸĂĜҾ

( )

^;

M a b ͘

'ŝңƐӊĜĄƉĄŶĜƷŶŐƚŚŞM ƚŚƵҾĐĜӇӁŶŐƚŚҫŶŐ4x−2y+ =1 0ƚŚŞ4a− + =2b 1 0 ŚҸŶa=1ƚŚŞ 5

b= 2 z= +1 2.5i͘^ҺƉŚӈĐzƚŚҹĂŵĆŶ z− − = +2 i z 2i ƚŚŞ

2 2 0

z− − − +i z i =

¾ ^ӊĚӅŶŐŵĄǇƚşŶŚĂƐŝŽĜҳŬŝҳŵƚƌĂ

TFESSESTFS EE

dĂƚŚҤǇƌĂŵҾƚŬұƚƋƵңŬŚĄĐϬǀҨǇ z− − − +2 i z 2i =0ůăƐĂŝǀăĜĄƉĄŶƐĂŝ

¾ dӇҿŶŐƚӌǀӀŝĜĄƉƐҺĐŚҸŶa=1^ƚŚŞb=1.5^ǀăz= +1 1.5i

TFESSESTFS

EE

(17)

dĂƚŚҤǇŬұƚƋƵңƌĂϬǀҨǇ z− − − +2 i z 2i =0ůăĜƷŶŐǀăĜĄƉĄŶĐŚşŶŚǆĄĐůă

ĄĐŚŵҮŽ

¾ ҭƚz= +x yi;ƚĂůƵƀŶĜŝůġŶƚӉĜҷŶŚŶŐŚšĂͿ͘

¾ dŚұǀăŽ z− − = +2 i z 2i ^ƚĂĜӇӄĐ

(

^x^{− +}²

) (

^y⁻¹

)

ⁱ ⁼ ^x²^{+ − +}

(

^y ²

)

ⁱ

(

^x ²

) (

² ^y ¹

)

² ^x²

(

^y ²

)

²

⇔ − + − = + − +

(

^x ²

) (

² ^y ¹

)

² ^x²

(

^y ²

)

²

⇔ − + − = + − +

2 2 2 2

4 4 2 1 4 4

x x y y x y y

⇔ − + + − + = + − + 4x 2y 1 0

⇔ − − =

sҨǇƚҨƉŚӄƉĐĄĐĜŝҳŵďŝҳƵĚŝҴŶƐҺƉŚӈĐzůăĜӇӁŶŐƚŚҫŶŐ4x−2y− =1 0

ĜĄƉĄŶůăĐŚşŶŚǆĄĐ

ŞŶŚůƵҨŶ

¾ dƌŽŶŐĚҢŶŐƚŽĄŶŶăǇƚĂŶġŶӇƵƚŝġŶĚƶŶŐŵҮŽǀŞƚşŶŚŶŚĂŶŚŐҸŶĐӆĂŶſ

¾ EŚҩĐůҢŝŵҾƚůҥŶŶӋĂ͕ůƵƀŶĜҭƚz= +x yiƌһŝďŝұŶĜҼŝƚŚĞŽĜҲďăŝ VD2-[Thi thӱ sӣ GD-ĈT Hà Tƭnh lҫn 1 năm 2017]

Cho sӕ phӭc z thӓa mãn 2+ = −z 1 i ^{. Ch}ӑn phát biӇu ÿúng A.Tұp hӧp ÿiӇm biӇu diӉn sӕ phӭc z là mӝt ÿѭӡng thҷng B.Tұp hӧp ÿiӇm biӇu diӉn sӕ phӭc z là mӝt ÿѭӡng Parabol C.Tұp hӧp ÿiӇm biӇu diӉn sӕ phӭc z là mӝt ÿѭӡng tròn D.Tұp hӧp ÿiӇm biӇu diӉn sӕ phӭc z là mӝt ÿѭӡng Elip

GIҦI

ĄĐŚŵҮŽ

¾ ҭƚz= +x yi͘

¾ dŚұǀăŽ2+ = −z 1 i ^ƚĂĜӇӄĐ

2 1

x+ +yi = −i

(

^x ²

)

² ^y² ¹²

( )

¹ ²

⇔ + + = + −

(

^x ²

)

² ^y²

( )

² ²

⇔ + + =

sҨǇƚҨƉŚӄƉĐĄĐĜŝҳŵďŝҳƵĚŝҴŶƐҺƉŚӈĐzůăĜӇӁŶŐƚƌžŶƚąŵ^I

(

⁻^2;0

)

^{ďĄŶŬşŶŚ}^R⁼ ²

sҨǇĜĄƉĄŶůăĐŚşŶŚǆĄĐ

VD3-[ĈӅ thi minh hӑa cӫa bӝ GD-ĈT lҫn 1 năm 2017]

Cho các sӕ phӭc z thӓa mãn z =4^{. Bi}Ӄt rҵng tұp hӧp các ÿiӇm biӇu diӉn các sӕ phӭc

(

^{3 4}

)

w= + i z i+ ^{là m}ӝt ÿѭӡng tròn. Tính bán kính r cӫa ÿѭӡng tròn ÿó.

A.r=4 B.r=5 C.r=20D.r=22 GIҦI

ĄĐŚĂƐŝŽ

¾ ҳǆąǇĚӌŶŐϭĜӇӁŶŐƚƌžŶƚĂĐҥŶϯĜŝҳŵďŝҳƵĚŝҴŶĐӆĂw͕ǀŞzƐҰƐŝŶŚƌĂwŶġŶĜҥƵƚŝġŶƚĂƐҰ ĐŚҸŶϯŐŝĄƚƌҷĜҢŝĚŝҵŶĐӆĂzƚŚҹĂŵĆŶ z =4

¾ ŚҸŶz= +4 0i^{;ƚŚҹĂŵĆŶ} z =4^Ϳ͘dşŶŚ^w¹^{= +}

(

^{3 4}ⁱ

)(

^{4 0}⁺ ⁱ

)

⁺ⁱ

E2E

(18)

dĂĐſĜŝҳŵďŝҳƵĚŝҴŶĐӆĂz₁ůă^M

(

^12;17

)

¾ ŚҸŶz=4i^{;ƚŚҹĂŵĆŶ} z =4^Ϳ͘dşŶŚ^w² ^{= +}

(

^{3 4}ⁱ

)( )

⁴ⁱ ⁺ⁱ

E2EE

dĂĐſĜŝҳŵďŝҳƵĚŝҴŶĐӆĂz₂ůă^N

(

⁻^16;13

)

¾ ŚҸŶz= −4i^{;ƚŚҹĂŵĆŶ} z =4Ϳ͘dşŶŚ^w³^{= +}

(

^{3 4}ⁱ

)( )

⁻⁴ⁱ ⁺ⁱ

ESEE

dĂĐſĜŝҳŵďŝҳƵĚŝҴŶĐӆĂz₃ůă^P

(

^{16; 11}⁻

)

sҨǇƚĂĐſϯĜŝҳŵM N P, , ƚŚƵҾĐĜӇӁŶŐƚƌžŶďŝҳƵĚŝҴŶƐҺƉŚӈĐw

¾ ӇӁŶŐƚƌžŶŶăǇƐҰĐſĚҢŶŐƚҼŶŐƋƵĄƚx²+y²+ax by+ + =c 0^͘ҳƚŞŵa b c, , ƚĂƐӊĚӅŶŐŵĄǇ ƚşŶŚĂƐŝŽǀӀŝĐŚӈĐŶĉŶŐDKϱϯ

¾

Z SGSG S SGSG S SGSG

sҨǇƉŚӇҿŶŐƚƌŞŶŚĜӇӁŶŐƚƌžŶĐſĚҢŶŐ^x²⁺^y²⁻²^y⁻³⁹⁹^{= ⇔}⁰ ^x²⁺

(

^y⁻¹

)

² ⁼²⁰²

ĄŶŬşŶŚĜӇӁŶŐƚƌžŶƚҨƉŚӄƉĜŝҳŵďŝҳƵĚŝҴŶƐҺƉŚӈĐwůăϮϬĄƉĄŶĐŚşŶŚǆĄĐůă

ĄĐŚŵҮŽ

¾ ҲďăŝǇġƵĐҥƵƚŞŵƚҨƉŚӄƉĐĄĐĜŝҳŵďŝҳƵĚŝҴŶƐҺƉŚӈĐwǀҨǇƚĂĜҭƚw= +x yi^͘

¾ dŚұǀăŽ

(

_{3 4}

) (

¹

)

3 4 3 4

x y i

w i z i z w i

i i

+ −

= + + ⇔ = − =

+ + ͘dŝұƉƚӅĐƌƷƚŐҸŶƚĂĜӇӄĐ

( ) ( )

(

¹

)(

^{3 4}

)

³ ⁴ ⁴

(

⁴ ³ ³

)

3 4 3 4 25

x y i i x y x y i

z i i

+ − −

ª º + − + − + −

¬ ¼

= =

+ −

2 2

2 3 4 4 4 3 3

4 16 16

25 25

x y x y

z = ⇔ z = ⇔§¨© + − ·¸¹ +§¨©− + − ·¸¹ =

2 2

2

25 25 25 50

25 16

x + y + − y

⇔ =

2 2

2 399

x y y

⇔ + − =

( )

²

2 2

1 20

x y

⇔ + − =

sҨǇƚҨƉŚӄƉĐĄĐĜŝҳŵďŝҳƵĚŝҴŶƐҺƉŚӈĐwůăĜӇӁŶŐƚƌžŶďĄŶŬşŶŚr =20

ĜĄƉĄŶůăĐŚşŶŚǆĄĐ

ŞŶŚůƵҨŶ

(19)

¾ ŚӈĐŶĉŶŐDKϱϮĜҳƚŞŵƉŚӇҿŶŐƚƌŞŶŚĜӇӁŶŐƚƌžŶĜӇӄĐŐŝңŝƚŚşĐŚŶŚӇƐĂƵ͗

ӇӁŶŐƚƌžŶĐſĚҢŶŐx²+y²+ax by+ + =c 0

sӀŝM ƚŚƵҾĐĜӇӁŶŐƚƌžŶƚŚŞ12a+17b+ = −c 12²−17² sӀŝN ƚŚƵҾĐĜӇӁŶŐƚƌžŶƚŚŞ−16a+13b+ = −c 16²−13² sӀŝPƚŚƵҾĐĜӇӁŶŐƚƌžŶƚŚŞ16a−11b+ = −c 16²−11² sҨǇƚĂůҨƉĜӇӄĐŚҵƉŚӇҿŶŐƚƌŞŶŚϯҦŶďҨĐŶŚҤƚ

2 2

12 17 12 17

16 13 16 13

16 11 16 11

a b c

+ + = − −

°− + + = − −

®° − + = − −

¯

săƚĂƐӊĚӅŶŐĐŚӈĐŶĉŶŐŐŝңŝŚҵƉŚӇҿŶŐƚƌŞŶŚϯҦŶďҨĐŶŚҤƚDKϱϮĜҳǆӊůǉ

¾ ,ĂŝĐĄĐŚĜҲƵŚĂǇǀăĐſӇƵĜŝҳŵƌŝġŶŐ͕ƚӌůƵҨŶƐҰƚŝұƚŬŝҵŵƚŚӁŝŐŝĂŶŵҾƚĐŚƷƚŶŚӇŶŐǀŝҵĐƚşŶŚƚŽĄŶ ƌƷƚŐҸŶĚҴŶŚҥŵůҧŶ͕ĐžŶĐĂƐŝŽĐſǀүďҤŵŵĄǇŶŚŝҲƵŚҿŶŶŚӇŶŐƚƵǇҵƚĜҺŝŬŚƀŶŐƐĂŝ͘

VD4-[Thi thӱ chuyên Khoa hӑc tӵ nhiên lҫn 3 năm 2017]

Tұp hӧp các ÿiӇm biӇu diӉn các sӕ phӭc z thӓa mãn phҫn thӵc cӫa z 1 z i

−

− bҵng 0 là ÿѭӡng tròn tâm I bán kính R (trӯÿi mӝt ÿiӇm)

A. 1 1 2; 2

I§¨©− − ·¸¹, 1 2

R= B. 1 1

2 2; I§ ·

¨ ¸

2 R=

C. 1 1 2 2; I§ ·

¨ ¸

R=2 D. 1 1 2; 2 I§¨− − ·¸

R= 2

GIҦI

ĄĐŚŵҮŽ

¾ ҭƚz= +x yi^͘

¾ dŚұǀăŽz 1 z i

−

− ^ƚĂĜӇӄĐ

( ) ( ) ( )

( ) ( )

1 1

1

1 1 1

x yi x y i

x yi

x y i x y i x y i

− + ª − − º

− + = ¬ ¼

+ − ª¬ + − º ª¼ ¬ − − º¼

( )( ) ( )

2 2

1 1

1

x x y y xyi x y i

x y

− + − + − − −

= + −

ҳƉŚҥŶƚŚӌĐĐӆĂz 1 z i

−

− ^{ďҪŶŐϬƚŚŞ}

2 2

2 2 1 1 1

0 2 2 2

sҨǇƚҨƉŚӄƉĜŝҳŵĐҥŶƚŞŵůăĜӇӁŶŐƚƌžŶƚąŵ 1 1 2 2; I§ ·

¨ ¸

2

R= ĜĄƉĄŶůăĐŚşŶŚǆĄĐ III) BÀI TҰP TӴ LUYӊN

Bài 1-[Thi thӱ chuyên Khoa hӑc tӵ nhiên lҫn 2 năm 2017]

Cho các sӕ phӭc z thӓa mãn z+ − = − +1 i z 1 2i ^{. T}ұp hӧp các ÿiӇm biӇu diӉn sӕ phӭc z trên mһt phҷng tӑa ÿӝ là mӝt ÿѭӡng thҷng. ViӃt phѭѫng trình ÿѭӡng thҷng ÿó.

A. 4x+6y− =3 0 B. 4x−6y− =3 0 C. 4x+6y+ =3 0 D. 4x−6y+ =3 0 Bài 2-[Thi thӱ THPT TriӋu Sѫn – Thanh Hóa lҫn 1 năm 2017]

Tұp hӧp các ÿiӇm M biӇu diӉn sӕ phӭc z : z = − +z 3 4i là phѭѫng trình có dҥng A. 6x+8y−25=0 B. 3x+4y− =3 0 C.x² + =y 25

D.

(

^x⁻³

) (

²⁺ ^y⁻⁴

)

² ⁼²⁵

Bài 3-[Thi thӱ THPT NguyӉn Ĉình ChiӇu – Bình Ĉӏnh lҫn 1 năm 2017]

(20)

Bài 4-[Thi thӱ THPT Hàm Rӗng – Thanh Hóa lҫn 1 năm 2017]

Trong mһt phҷng Oxy, tìm tұp hӧp ÿiӇm biӇu diӉn sӕ phӭc z thӓa mãn ^z^{− = +}¹

( )

¹ ^{i z}

A.Tұp hӧp các ÿiӇm biӇu diӉn sӕ phӭc z là ÿѭӡng tròn tâm ^I

(

^{2; 1}⁻

)

, bán kính R= 2 A.Tұp hӧp các ÿiӇm biӇu diӉn sӕ phӭc z là ÿѭӡng tròn tâm ^I

( )

^{1; 0} , bán kính R= 3 A.Tұp hӧp các ÿiӇm biӇu diӉn sӕ phӭc z là ÿѭӡng tròn tâm ^I

(

^{0; 1}⁻

)

(

^{0; 1}⁻

)

, bán kính R= 2 Bài 5-[Thi thӱ THPT Quҧng Xѭѫng I – Thanh Hóa lҫn 1 năm 2017]

Tұp hӧp ÿiӇm biӇu diӉn sӕ phӭc z thӓa mãn z² =z² là :

A.Cҧ mһt phҷng B.Ĉѭӡng thҷng C.Mӝt ÿiӇm D.Hai ÿѭӡng thҷng

Bài 6-Tұp hӧp ÿiӇm biӇu diӉn sӕ phӭc z thӓa mãn 2z− = − +1 z z 2i là mӝt Parabol có dҥng:

A.y=3x²−6x+2B.

2

y= x −x C.

2

3 4

y= x − D. ² 1

2 3

y=x + x+ LӠI GIҦI BÀI TҰP TӴ LUYӊN

Cho các sӕ phӭc z thӓa mãn z+ − = − +1 i z 1 2i ^{. T}ұp hӧp các ÿiӇm biӇu diӉn sӕ phӭc z trên mһt phҷng tӑa ÿӝ là mӝt ÿѭӡng thҷng. ViӃt phѭѫng trình ÿѭӡng thҷng ÿó.

A. 4x+6y− =3 0 B. 4x−6y− =3 0 C. 4x+6y+ =3 0 D. 4x−6y+ =3 0 '/ѵ/

ĄĐŚϭ͗ĂƐŝŽ

'ŝңƐӊĜĄƉĄŶĜƷŶŐ͕ĜŝҳŵďŝҳƵĚŝҴŶƐҺƉŚӈĐz= +x yiƚŚƵҾĐĜӇӁŶŐƚŚҫŶŐ4x+6y− =3 0 Chӑn x=1^thì ¹

y= −6 và sӕ phӭc 1 1 6 z= − i .

yĠƚŚŝҵƵ z+ − − − +1 i z 1 2i͘EұƵŚŝҵƵƚƌġŶ=0ƚŚŞĜĄƉĄŶĜƷŶŐ͘ҳůăŵǀŝҵĐŶăǇƚĂƐӊĚӅŶŐŵĄǇƚşŶŚ ĂƐŝŽ

TFSD5ESESTFSD5 ESE

HiӋu trên khác 0 vұy ÿáp án A sai

dŚӊǀӀŝĜĄƉĄŶ͘ŚŽŶx=1^ƚŚŞ ¹

y= 6^{ǀăƐҺƉŚӈĐ} 1 1 6

x= + i^{͘yĠƚŚŝҵƵ͗}

TFD5ESESTFD5 ESE

Vұy hiӋu z+ − − − +1 i z 1 2i = ⇔ + − = − +0 z 1 i z 1 2i Ĉáp án chính xác là B

ĄĐŚϮ͗dӌůƵҨŶ

sŞĜҲďăŝǇġƵĐҥƵƚŞŵƚҨƉŚӄƉĜŝҳŵďŝҳƵĚŝҴŶƐҺƉŚӈĐzŶġŶƚĂĜҭƚz= +x yi

dŚĞŽĜҲďăŝ z+ − = − +1 i z 1 2i ^x^{+ +}¹

(

^y⁻¹

)

ⁱ ^{= − +}^x ¹

(

^y⁺²

)

ⁱ

(

^x ¹

) (

² ^y ¹

) (

² ^x ¹

) (

² ^y ²

)

²

⇔ + + − = − + +

(21)

2 2 2 2

2 1 2 1 2 1 4 4

x x y y x x y y

⇔ + + + − + = − + + + + 4x 6y 3 0

⇔ − − = . Vұy ÿáp án chính xác là B

Bài 2-[Thi thӱ THPT TriӋu Sѫn – Thanh Hóa lҫn 1 năm 2017]

Tұp hӧp các ÿiӇm M biӇu diӉn sӕ phӭc z : z = − +z 3 4i là phѭѫng trình có dҥng A. 6x+8y−25=0 B. 3x+4y− =3 0 C.x² + =y 25

D.

(

^x⁻³

) (

²⁺ ^y⁻⁴

)

² ⁼²⁵

'/ѵ/

ҭƚƐҺƉŚӈĐz= +x yi͘

Ta có : z = − +z 3 4i ^{⇔ +}^x ^yi ^{= − + −}^x ³

(

⁴ ^{y i}

)

^⇔ ^x²⁺^y² ⁼

(

^x⁻³

) (

²^{+ −}⁴ ^y

)

²

2 2 2 2

6 9 8 16 6 8 25 0

x y x x y y x y

⇔ + = − + + − + ⇔ + − =

Vұy tұp hӧp các ÿiӇm M biӇu diӉn sӕ phӭc z là ÿѭӡng thҷng 6x+8y−25=0

Ĉáp án chính xác là A

Bài 3-[Thi thӱ THPT NguyӉn Ĉình ChiӇu – Bình Ĉӏnh lҫn 1 năm 2017]

( )

3 2 2

w= − + −i i z^{là m}ӝt ÿѭӡng tròn. Tính bán kính r cӫa ÿѭӡng tròn ÿó.

A.r=20 B.r= 20 C.r= 7 D.r=7 '/ѵ/

ĄĐŚϭ͗ĂƐŝŽ

ŚҸŶƐҺƉŚӈĐz=2ƚŚҹĂŵĆŶ z =2ǀҨǇ^w¹^{= − + −}^{3 2}ⁱ

(

² ⁱ

)

^.2^{= −}^{7 4}ⁱ͘dĂĐſĜŝҳŵďŝҳƵĚŝҴŶĐӆĂw₁ůă

(

^{7; 4}

)

M −

ŚҸŶƐҺƉŚӈĐz= −2^{ƚŚҹĂŵĆŶ} z =2^ǀҨǇ^w² ^{= − + −}^{3 2}ⁱ

(

² ⁱ

) ( )

^. ^{− = − +}² ^{1 0}ⁱ͘dĂĐſĜŝҳŵďŝҳƵĚŝҴŶƐҺ ƉŚӈĐw₂ůă^N

(

⁻^1;0

)

ŚҸŶƐҺƉŚӈĐz=2i^{ƚŚҹĂŵĆŶ} z =2^ǀҨǇ^w³ ^{= − + −}^{3 2}ⁱ

(

² ⁱ

) ( )

^{. 2}ⁱ ^{= +}^{5 2}ⁱ͘dĂĐſĜŝҳŵďŝҳƵĚŝҴŶƐҺ ƉŚӈĐw3_ůă^P

( )

^{5; 2}

SESE2E

^ӊĚӅŶŐŵĄǇƚşŶŚƚŞŵƉŚӇҿŶŐƚƌŞŶŚĜӇӁŶŐƚƌžŶĚŝƋƵĂϯĜŝҳŵM N P, ,

Z S SGSG S SG SGSG

Vұy phѭѫng trình ÿѭӡng tròn cҫn tìm là ^x²⁺^y²⁻⁶^x⁺⁴^y^{− = ⇔}⁷ ⁰

(

^x⁻³

) (

²⁺ ^y⁺²

)

² ⁼

( )

²⁰ ²^s^Ӂ

(22)

sŞĜҲďăŝǇġƵĐҥƵƚŞŵƚҨƉŚӄƉĜŝҳŵďŝҳƵĚŝҴŶƐҺƉŚӈĐwŶġŶƚĂĜҭƚw= +x yi

dŚĞŽĜҲďăŝ^w^{= − + −}^{3 2}ⁱ

(

² ^{i z}

)

^z⁼ ^w^{− +}₂^{3 2}₋_i ⁱ

( ) ( ) ( )

( )( )

3 2 2

3 2

2 2 2

x y i i

x y i

z i i i

− + + +

ª º

− + + ¬ ¼

⇔ = =

− − +

( )

2 8 2 1

3

x y x y

z − − + + +

⇔ =

dĂĐſ z =2

2 2

2 8 2 1

5 5 4

x− −y x+ y+

§ · § ·

¨© ¸¹ +¨© ¸¹ =

(

²^x ^y ⁸

) (

² ^x ²^y ¹

)

² ¹⁰⁰

⇔ − − + + + =

2 2

5x 5y 30x 20y 65 100

⇔ + − + + =

2 2

6 4 7

x y x y

⇔ + − + =

(

^x ³

) (

² ^y ²

)

²

( )

²⁰ ²

⇔ − + + =

Bài 4-[Thi thӱ THPT Hàm Rӗng – Thanh Hóa lҫn 1 năm 2017]

Trong mһt phҷng Oxy, tìm tұp hӧp ÿiӇm biӇu diӉn sӕ phӭc z thӓa mãn ^z^{− = +}¹

( )

¹ ^{i z}

A.Tұp hӧp các ÿiӇm biӇu diӉn sӕ phӭc z là ÿѭӡng tròn tâm ^I

(

^{2; 1}⁻

)

( )

^{1; 0} , bán kính R= 3 A.Tұp hӧp các ÿiӇm biӇu diӉn sӕ phӭc z là ÿѭӡng tròn tâm ^I

(

^{0; 1}⁻

)

(

^{0; 1}⁻

)

, bán kính R= 2

'/ѵ/

dĂĐſ͗ ^z^{− = +}¹

( )

¹ ^{i z} ^{⇔ + − =}^x ^yi ¹

(

^x⁺^yi

)( )

¹⁺ⁱ ^{⇔ − +}^x ¹ ^yi ^{= − + +}^x ^y

(

^x ^{y i}

) (

^x ¹

)

² ^y²

(

^x ^y

) (

² ^x ^y

)

²

⇔ − + = − + +

2 2 2 2 2 2

2 1 2 2

x x y x xy y x xy y

⇔ − + + = − + + + +

2 2

2 1 0

x y x

⇔ + + − =

(

^x ¹

)

² ^y²

( )

² ²

⇔ + + =

Vұy tұp hӧp các ÿiӇm M biӇu diӉn sӕ phӭc z là ÿѭӡng tròn tâm ^I

(

⁻^{1; 0}

)

, bán kính R= 2

Ĉáp án chính xác là D

Bài 5-[Thi thӱ THPT Quҧng Xѭѫng I – Thanh Hóa lҫn 1 năm 2017]

Tұp hӧp ÿiӇm biӇu diӉn sӕ phӭc z thӓa mãn z² =z² là :

A.Cҧ mһt phҷng B.Ĉѭӡng thҷng C.Mӝt ÿiӇm D.Hai ÿѭӡng thҷng '/ѵ/

ҭƚƐҺƉŚӈĐz= +x yi^͘

dĂĐſ z² =z²^{⇔ +}^x ^yi² ⁼

(

^x⁺^yi

)

²^⇔ ^x²⁺^y² ⁼^x²⁺²^xyi⁺

( )

^yi ²

( )

2 0

2 2 0

0 y xyi y y xi y

y ix

=

− = ⇔ − ⇔ª«¬ − =

Vұy tұp hӧp các ÿiӇm M biӇu diӉn sӕ phӭc z là hai ÿѭӡng thҷng y=0 và y ix− =0

Ĉáp án chính xác là D

Bài 6-Tұp hӧp ÿiӇm biӇu diӉn sӕ phӭc z thӓa mãn 2z− = − +1 z z 2i là mӝt Parabol có dҥng:

(23)

A.y=3x²−6x+2B.

2

y= x −x C.

2

3 4

y= x − D. ² 1

2 3

y=x + x+ '/ѵ/

EұƵĜĄƉƐҺĜƷŶŐƚŚŞĜƷŶŐǀӀŝŵҸŝz= +x yiƚŚҹĂŵĆŶy=3x²−6x+2͘ Chӑn mӝt cһp

( )

^{x y}^; ^b^ҩ^{t kì th}^ӓ^a ^y⁼³^x²⁻⁶^x⁺²^{ví d}^ө ^A

( )

^{0; 2} ^z⁼²ⁱ

Xét hiӋu 2 z− − − +1 z z 2i

TFESSTFESSEE

Vұy 2 z− − − +1 z z 2i = − +6 2 5≠0 2 z 1 z z 2i

− ≠ − + Ĉáp sӕA sai

dӇҿŶŐƚӌǀӀŝĜĄƉƐҺĐŚҸŶ 1 1 2

z= − i͘yĠƚŚŝҵƵ2 z− − − +1 z z 2i

TFSDE5SSTFSDE5 SDE5E

Vұy 2 z− − − +1 z z 2i =0 2 z− = − +1 z z 2i Ĉáp sӕB chính xác

(24)

ЎІȂ

ГϾЍЁЏ

I) KIӂN THӬC NӄN TҦNG 1. Bҩt ÿҷng thӭc thѭӡng gһp

ҤƚĜҫŶŐƚŚӈĐƵŶŚŝĂĐŽƉǆŬŝ͗ŚŽĐĄĐƐҺƚŚӌĐa b x y, , , ƚĂůƵƀŶĐſ

(

^{ax by}⁺

)

² ^≤

(

^a²⁺^b²

)(

^x²⁺^y²

)

^{͘ҤƵсǆңǇƌĂ}^{⇔ =}^a_x ^b_y

ҤƚĜҫŶŐƚŚӈĐsĞĐƚҿ͗ŚŽϮǀĞĐƚŽ^{u x y}^G

( )

^; ^ǀă^{v x y}^G

(

^{'; '}

)

^{ƚĂůƵƀŶĐſ}^u^G ^{+ ≥ +}^v^G ^u^JJJJG^v

( ) (

²

)

²

2 2 2 2

' ' ' '

x y x y x x y y

⇔ + + + ≥ − + −

ҤƵсǆңǇƌĂ 0

' '

x y

⇔ = <

2. Phѭѫng pháp mҽo sӱ dөng sӱ tiӃp xúc

ҢŶŐϭ͗ŚŽƐҺƉŚӈĐzĐſƚҨƉŚӄƉĐĄĐĜŝҳŵďŝҳƵĚŝҴŶƐҺƉŚӈĐzůăĜӇӁŶŐƚƌžŶ

( )

^C ^{ďĄŶŬşŶŚZ͘}

sӀŝŵҽŝĜŝҳŵM ƚŚƵҾĐĜӇӁŶŐƚƌžŶ

( )

^C ƚŚŞĐƹŶŐƚŚƵҾĐĜӇӁŶŐƚƌžŶ

( )

^C^' ƚąŵŐҺĐƚҸĂĜҾďĄŶŬşŶŚ

2 2

OM = a +b ^͘

нͿҳ z _{ůӀŶŶŚҤƚƚŚŞ}OM ůӀŶŶŚҤƚĜҢƚĜӇӄĐŬŚŝĜӇӁŶŐƚƌžŶ

( )

^C^' ƚŝұƉǆƷĐƚƌŽŶŐǀӀŝĜӇӁŶŐƚƌžŶ

( )

^C ^ǀă^OM ⁼^OI⁺^R

нͿҳ z ŶŚҹŶŚҤƚƚŚŞOMŶŚҹŶŚҤƚĜҢƚĜӇӄĐŬŚŝĜӇӁŶŐƚƌžŶ

( )

^C^' ƚŝұƉǆƷĐŶŐŽăŝǀӀŝĜӇӁŶŐƚƌžŶ

( )

^C ^ǀă^OM ⁼^OI⁻^R

ҢŶŐϮ͗ŚŽƐҺƉŚӈĐzĐſƚҨƉŚӄƉĐĄĐĜŝҳŵďŝҴƵĚŝҴŶƐҺƉŚӈĐzůăĜӇӁŶŐƚŚҫŶŐ

( )

^d ^{͘sӀŝŵҽŝ}

ĜŝҳŵM ƚŚƵҾĐ

( )

^d ƚŚŞĐƹŶŐƚŚƵҾĐĜӇӁŶŐƚƌžŶ

( )

^C^'

нͿҳ z ŶŚҹŶŚҤƚƚŚŞOMŶŚҹŶŚҤƚŬŚŝĜſOM ǀƵƀŶŐŐſĐǀӀŝ

( )

^d