Tìm giới hạn bằng máy tính cầm tay – Nguyễn Văn Phép - Thư viện tải tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia

(1)

GIẢI PHÁP THỰC HIỆN BẰNG MÁY TÍNH CẦM TAY (MTCT) ĐỂ TÍNH GIỚI HẠN

Kiến thức giới hạn dãy số và giới hạn hàm số là cơ sở của của hai phép tính đạo hàm và tích phân ở phổ thông trung học .Kiến thức vế giới hạn không những khó đối với người học mà còn khó đối với người dạy .Trong tình hình hiện nay để cập nhật phù hợp thi trắc nghiệm .Để giúp giăm bớt khó khăn nên tôi soạn đề tài này.

Giải pháp thực hiện bằng máy tính cầm tay (MTCT) để tính giới hạn Dãy số:

Quy ước : trong máy tính không có biến n nên ta ghi x thay cho n .

• Gặp hằng số : C10¹⁰,C10²⁰…. đọc là (dấu của C) nhân vô cực với C là hằng số ( chú ý có thể lớn hơn 10).

ví dụ -510¹⁰( đọc là âm vô cực ghi )

• Gặp hằng số C10^¹² đọc là 0 ( Chú ý số mũ có thể nhỏ hơn – 10 ).

ví dụ: 1510^¹² đọc là 0 A. Dãy có giới hạn là 0

• Ví dụ 1:  

5 lim 1



 n

n

máy ghi : 

5 1



 x

x

calc x ? nhập 10¹⁰

 

^

Kq :9.9999999510^¹¹ ta đọc là 0 Cách bấm máy:

 Nhập vào máy tính: (sau khi đã mở máy)

a(z1)^Q)RQ)+5 Màn hình sẽ xuất hiện:

 Sau đó nhập: r, màn hình sẽ xuất hiện: (có thể sẽ xuất hiện con số khác ở dòng hiển thị, không ảnh hưởng đến quá trình bấm máy)

(2)

 Ta nhập tiếp: 10^10=

Màn hình sẽ xuất hiện:

Kq :⁹^.^99999995¹⁰^¹¹ ta đọc là 0 Vậy  

5 0 lim 1 



 n

n

• Ví dụ 2:

1 cos ) 1 lim ( ₂



 n

n n

nếu nhập

1 cos ) 1 (

2 

 x

x x

calc như trên máy sẽ Math ERROR

- Vận dụng định lý 1 Nếu u_n v_n với mọi n và limv_n 0thì limu_n 0. - Ta chỉ cần ghi

1 1

2 

x calc x ? nhập 10¹⁰

 

 kết quả 110^²⁰ đọc là 0

Vậy ⁰

1 cos ) 1

lim ( ₂ 



 n

n n

• Ví dụ 3:  

1 2 lim 1





n n

máy ghi

1 2

) 1 (





x x

calc x ? 100 kq:3.84430...26x10^³¹ đọc là 0

Cách bấm máy:

 Nhập vào máy tính: (sau khi đã mở máy)

a(z1)^Q)R2^$Q)+1

(3)

 Ta nhập tiếp: 100=

Vậy  

1 0 2 lim 1 





x x

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ : Tìm các giới hạn 1.^lim ⁽ ₂ ¹⁾

n n

 2.

1 2

) 1 lim (



 n

n

3.

5 lim sin

 n

n 4.

1 2 lim cos₃

 n

n

B.Giới hạn hữu hạn :

• Ví dụ 1:  



 







  2 2 1

lim n

n

máy ghi:  

2 2 1



  n

n

calc x ? nhập 10¹⁰

 

 kq là 2

(4)

 Nhập vào máy tính: 2+a(z1)^Q)RQ)+2 Màn hình sẽ xuất hiện:

vậy  



 







  2 2 1

lim n

n

=2

• Ví dụ 2: 1 1

4 3

lim sin 



 



 

n

n vì

n n

n 1 4

3

sin  mà 1 0

lim 

n khi đó lim (-1)=-1 nên 1 1

4 3

lim sin 



 



 

n

• Ví dụ 3

1 2

5 lim 3₂

2





 n

n

(5)

 Nhập vào máy tính:

aQ)^2$p3Q)+5R2Q)^2$p1 Màn hình sẽ xuất hiện:

 Sau đó nhập: r, màn hình sẽ xuất hiện: (có thể sẽ xuất hiện con số khác ở dòng hiển thị, không ảnh hưởng đến quá trình bấm máy)

Màn hình sẽ xuất hiện:

vậy 2 1

5 lim 3₂

2





 n

n

n = 0.5

Với cách bấm máy tương tự cho các ví dụ sau:

• Ví dụ 4 :

7 5

3 3 4 lim 2 ₃

2 3









n n

n máy ghi

7 5

3 3 4 2

3 2 3









n n

n n n

calc x ? nhập 10¹⁵

 

^ Kq là – 2

Vậy ²

7 5

3 3 4 lim 2 ₃

2 3



 







n n

n n n

(6)

• Ví dụ 5: máy ghi

4 2

3

11 3 lim 2 ₂ ₃

1









 X X

X X

calc x=100 kq

9

1

Vậy :

9 1 4 2 3

11 3 lim 2 ₂ ₃

1  









 n n

n n

• Ví dụ 6: _n _n

n

5 . 4 2 . 3

15 3 . lim 13



 máy ghi _X _X

X

5 . 4 2 3

15 3 13







 calc X ? nhập 100

 

 10 17

...

19755 .

3 x ^ đọc là 0 .

Vậy ⁰

5 . 4 2 . 3

15 3 .

lim 13 





n n

n

( chú ý dấu nhân không ghi dấu chấm ) C. Giới hạn vô cực :

• Ví dụ 1:

11 2

5 lim ₂3

3





 n

n

n máy ghi

11 2

5 3

2 3





 n

n n

 

 kq 510¹⁴ đọc là âm vô cực

vậy 





11 2

5 lim ₂3

3

n n n

azQ)^3$p3Q)+5R2Q)d+11 Màn hình sẽ xuất hiện:

 Sau đó nhập: r, màn hình sẽ xuất hiện: (có thể sẽ xuất hiện con số khác ở dòng hiển thị, không ảnh hưởng đến quá trình bấm máy)

(7)

vậy ^^





11 2

5 lim ₂3

3

n n n

• Ví dụ 2 : ^lim



⁵ⁿ² ^³ⁿ^¹



máy ghi :



⁵ⁿ² ^³ⁿ^¹



 

^ kq là 510³⁰ (Đọc là dương vô cực ) Cách bấm máy:

5Q)dp3Q)+1 Màn hình sẽ xuất hiện:

(8)

Vậy ^^





11 2

5 lim ₂3

3

n n n

• Ví dụ 3: ^lim ³ⁿ⁴ ^⁵ⁿ² ^ⁿ^¹ máy ghi : ³ⁿ⁴ ^⁵ⁿ² ^ⁿ^¹ calc x ? nhập 10¹⁵

 

 kq :1.73205...0810³⁰ ( đọc là dương vô cực )

Vậy : ^lim ³ⁿ⁴ ^⁵ⁿ² ^ⁿ^¹^^

(Nhập tương tự ví dụ 2)

*Nếu  

 ⁿ

g n

f với f(n) ,g(n) là các đa thức theo n .Ta chú ý đến số hạng chứa mũ cao nhất của n trong từng biểu thức f(n) ,g(n)

• Ví dụ 1:

5 3

2 3 lim 2 ₂

3





 n

n

n máy ghi ₂

3

3 2 n

 n

calc x ? nhập ¹⁰¹⁵

 

 kq:

1014

66666667 .

6 

 (đọc là âm vô cực )

az2Q)^3R3Q)d Màn hình sẽ xuất hiện:

(9)

Vậy ^^







5 3

2 3 lim 2 ₂

3

n n n

Tương tự cho các ví dụ bên dưới

• Ví dụ 2:

12 8 5 lim 7

3 6





 n

n n

n máy ghi

n n⁶

 

 kq 110³⁰

( đọc là dương vô cực )

Vậy ^^





 12

8 5 lim 7

3 6

n

n n n

• Ví dụ 3:

1 2

1 lim 3





n n

máy

1 2

1 3





x x

calc x ? 100

 

 4065611..x10¹⁷ đọc là .

*CHÚ Ý : Gặp aⁿ nhập n = 100

Vậy 



 1 2

1 lim 3_n

n

• Ví dụ 4 :

7 3

5 lim ₃ 4₂

2





 n n

n

n máy ghi ₃

2

3n

n calc x ? nhập 10¹⁵

 

 kq :0

vậy ⁰

7 3

5 lim ₃ 4₂

2 





 n n

n n

(10)

• Ví dụ 5:

3 2

2 3 lim 2 ₂

4





 n n

n

n máy ghi ₂

4

2 2

n

n calc x ? nhập 10¹⁵

 

 kq:

2 2

Nếu gặp dạng tổng- hiệu hai căn cần chú ý lượng liên hợp rút gọn trước khi áp dụng dạng trên .

• Ví dụ 1: ^lim



ⁿ² ^ⁿ^¹^ⁿ



^{ta có}



ⁿ² ^ⁿ^¹^ⁿ



^



ⁿ² ^ⁿⁿ^^¹¹^ⁿ



^máy

ghi

n n

n



2 calc x ? nhập 10¹⁵

 

 kq:

2 1

Vậy

 

2 1 1

lim n² n n 

• Ví dụ 2:

1 2

lim 1





 n

n ta có ⁿ ⁿ ⁿ

n

n 2 1 2

1 2

1     







Mà ^lim ⁿ ^^

Vậy : 





2 1

lim 1

n n

• Ví dụ 3:

1 2 2 3 lim 1





 n

n máy ghi

n

n 2

3 1

 calc x ? nhập 10¹⁵

 



kq: 0 vậy: ⁰

1 2 2 3

lim 1 





 n

n ( các hệ số trước n lệch nhau không

cần nhân lượng liên hợp.

• Ví dụ 4:

2 3

1 lim 1

2





 n

n

n máy ghi :

n n n

3

2 

 

^ kq:

3 1

Bài tập rèn luyện : Tìm các giới hạn sau:

1. ₂

2

2 3

1 lim 4

n n n





 (KQ :2) 2. ₂

2

2 1

5 lim 3

n n n





 (KQ: 0 )

(11)

3. 



 





  1 lim ² 2

n n (KQ: ^^) 4.^lim



ⁿ² ^ⁿ^ ⁿ² ^¹



^(KQ:

2 1 )

5. ₃ ₂

3 1

3 lim 2

n n



 (KQ: -3) 6.  

 

5 3 2

4 1

1 3

lim 2

n n n





 (KQ:

4 27 )

7.

3

2 4 lim 1

2 2





 n

n n

n (KQ: -1 ) 8. _n _n

n n

2 4 . 2

1 4 lim3



 (KQ: -1)

B. GIỚI HẠN HÀM SỐ

1.GIỚI HẠN HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM:

𝑥→𝑥Lim₀𝑓(𝑥) Nếu f x xác định tại x0 viết f x calc ? x0

 

 f x₀

• Ví dụ 1: lim

𝑥→2



^x³^⁵^x²^¹⁰^x



máy viết :



^x³ ^⁵^x² ^¹⁰^x



calc X ? 2

 

 48

Q)^3$+5Q)d+10Q) Màn hình sẽ xuất hiện:

 Ta nhập tiếp: 2=

(12)

Vậy ^lim_x_2



x³ ⁵x² ¹⁰x



⁴⁸

Tương tự cho ví dụ 2

• Ví dụ 2: 2  1

2 6 lim 5

2

1 f

x x x

x  









2. CÁC DẠNG VÔ ĐỊNH:

2.1 Dạng

0

0 Khi tìm  

 x g

x f

x x ₀

lim _ mà f x₀ 0 và g x₀ 0

• Ví dụ 3 :

2 3 lim ₂ 4

2

2  



 x x

x

x máy ghi

2 3

4

2 2





 x x

x calc X ? nhập

2,000001 ( lớn hơn 2 một tí ti ) máy hiện 3,999997 làm tròn đọc là 4 hay nhập x= 1,999999999 ( nhỏ hơn 2 một tí ti )

 

 4

aQdp4RQ)dp3Q)+2 Màn hình sẽ xuất hiện:

(13)

 Ta nhập tiếp: 2.000001=

Vậy 4

2 3 lim ₂ 4

2

2 





 x x

x

Tương tự cho các ví dụ tiếp theo

• Ví dụ 4:

3 4

2 lim ₄ 3

3

1  





 x x

x x

x máy ghi

3 4

2 3

4 3







 x x

x

x calc X ?

Nhập 0,9999999

 

 2

1 Vậy

2 1 3 4

2 lim ₄ 3

3

1 









 x x

x x

x

• Ví dụ 5:

3 2 lim ₂ 72

2 4

3  



 x x

x x

x máy ghi

3 2

72

2 2 4



 x x

x

x calc X ? nhập

3,0000001 kq :25,50000069 đọc là 25,5 hoặc nhập 2,9999999 kq : 25,49999993 đọc là 25,5

Vậy 2

51 3 2 lim ₂ 72

2 4

3 



 x x

x x

x

• Ví dụ 6: 



 





 

 

1 1 1 lim ₁ ₂2

x x

x máy ghi 



 





 

 1

1 1 2

2 x

x calc X ? nhập

1,000000001

 

 KQ :

2

1

• Ví dụ 7 : 



 





 

1  3

1 3 1

lim 1

x x

x máy ghi 



 





 

 1 ³

3 1

1

x x calc X ? nhập 1,000000001

 

 -1 KQ: -1

(14)

• Ví dụ 8:

a x

a

x 





4 4

lim máy ghi

a x



 ⁴

4

calc chọn a = 0 khi đó x0 kq: 0

chọn a =1 khi đó x1 kq :4=⁴^¹³ chọn a = 2 khi đó x2 kq:32=42³

chọn a = 3 khi đó x3 kq :108 =43³

Vậy ³

4 4

4

lim a

a x

a

x 





Nhận xét bài nầy thực hiện phép chia giải tự luận nhẹ hơn ! Bảng chia Hoc ne

Hệ số của x

1 0 0 0 a⁴

a 1 a a² a³ 0

2.2 DẠNG:



 Thường gặp khi x^^ nếu dạng  

 x g

x

f không chứa căn bậc chẳn thì tính như giới hạn dãy Chỉ khác n thay bằng x, khi x^^ nhập

1010



• Ví dụ 1:

1 2 2

2 2

lim 3 ₃ ₂

3













 x x

x x

x máy ghi

1 2 2

2 2 3

2 3 3









 x x

x

x calc X ? ¹⁰²⁰ KQ:

2

3

• Ví dụ 2:

2 2

1 lim ₃ 3

2 4













 x x

x x

x máy ghi:

2 2

1 3

3 2 4









 x x

x

x calc X ? ¹⁰¹⁰ KQ:^^

• Ví dụ 3:

2 2

1 lim ₃ 3

2 4













 x x

x x

x máy ghi:

2 2

1 3

3 2 4









 x x

x

x calc X ? 10¹⁰ KQ:







1 10²⁰ (đọc là trừ vô cực )

• Ví dụ 4 :

1 3

2 lim 3

2









 x

x x x

x máy ghi

1 3

2

2 3





 x

x x

x calc X ? 10²⁰ KQ :

3 1

 



³ ² ² ³



^lim



³ ² ² ³



⁴ ³

lim x ax a x a a

a x

a x a ax x a x

a x a

x     









(15)

• Ví dụ 5:

x x x

x x

x

X

2 3 9

2 1 2 lim 4

2 2













TH1:

x x x

x x

x

X

2 3 9

2 1 2 lim 4

2 2











 CALC X ? 10²⁰ (trong căn) KQ:

5 1

TH2:

x x x

x x

x

X 9 3 2

2 1 2 lim 4

2 2











 CALC X ? 10²⁰ KQ: 3

• Ví dụ 6: ^limX__⁽ ^x² ^x¹^x⁾ dạng  Máy ghi

x x



 1 1

2 CALC X? 10²⁰ KQ

2 1

• Ví dụ 7: lim_X__( x² x1x) Khi đó không phải dạng ^^^ . nên không cần nhân lượng liên hợp

Máy ghi : ( x² x1x) CALC 10²⁰ KQ 210²⁰ đọc là .