Chuyên đề giới hạn - Nguyễn Hoàng Việt - TOANMATH.com

(1)

(2)

Chương 1. GIỚI HẠN 1

§1 – Giới hạn của dãy số 1

A

A Tóm tắt lí thuyết. . . .1

B B Các dạng toán. . . .2

| Dạng 1. Dùng định nghĩa chứng minh giới hạn. . . .2

| Dạng 2. Tính giới hạn dãy số dạng phân thức. . . .5

| Dạng 3. Tính giới hạn dãy số dạng phân thức chứaaⁿ. . . .5

| Dạng 4. Dãy số dạng Lũy thừa - Mũ. . . .11

| Dạng 5. Giới hạn dãy số chứa căn thức. . . .13

§2 – Giới hạn hàm số 24 A A Tóm tắt lý thuyết. . . .24

| Dạng 1. Giới hạn của hàm số dạng vô định 0 0. . . .27

| Dạng 2. Giới hạn dạng vô định ∞ ∞;∞−∞; 0·∞. . . .45

| Dạng 3. Tính giới hạn hàm đa thức, hàm phân thức và giới hạn một bên.. . . .50

§3 – Hàm số liên tục 57 A A Tóm tắt lí thuyết. . . .57

| Dạng 1. Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm. . . .58

| Dạng 2. Hàm số liên tục trên một tập hợp. . . .64

| Dạng 3. Dạng tìm tham số để hàm số liên tục - gián đoạn. . . .68

| Dạng 4. Chứng minh phương trình có nghiệm. . . .71

§4 – Đề Kiểm tra Chương IV 77 A A Đề số 1a. . . .77

B B Đề số 1b. . . .79

C C Đề số 2a. . . .80

D D Đề số 2b. . . .82

E E Đề số 3a. . . .84

F F Đề số 3b. . . .87

G G Đề số 4a. . . .90

H H Đề số 4b. . . .92

II Đề số 5a. . . .94

p Th.S Nguyễn Hoàng Việt – Ô0905.193.688

(3)

JJ Đề số 5b. . . .96 K

K Đề số 6a. . . .97 L

L Đề số 6b. . . .99

(4)

GIỚI HẠN ^h ^C ^ư 1 GIỚI HẠN GIỚI HẠN GIỚI HẠN GIỚI HẠN GIỚI HẠN GIỚI HẠN GIỚI HẠN GIỚI HẠN GIỚI HẠN GIỚI HẠN GIỚI HẠN GIỚI HẠN ^{GIỚI HẠN} ^{GIỚI HẠN} ^{GIỚI HẠN} ^{GIỚI HẠN} ^{GIỚI HẠN} ^{GIỚI HẠN} ^{GIỚI HẠN} ^{GIỚI HẠN} ^{GIỚI HẠN} ^{GIỚI HẠN} ^{GIỚI HẠN} ^{GIỚI HẠN} ^{GIỚI HẠN} ^{GIỚI HẠN} ^{GIỚI HẠN}

B ^ÀI 1 . GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

A – TÓM TẮT LÍ THUYẾT 1. Giới hạn của dãy số

cĐịnh nghĩa 1.1. Dãy số(u_n)có giới hạn là0khindần tới dương vô cực nếu|u_n|có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Kí hiệu: lim

n→+∞u_n=0haylimu_n=0.

c Ví dụ 1. lim

n→+∞

1 n² =0.

cĐịnh nghĩa 1.2. Dãy số(u_n)có giới hạn làanếu|u_n−a|có giới hạn bằng0.

Nghĩa là: lim

n→+∞u_n=a⇔ lim

n→+∞(u_n−a) =0.

c Ví dụ 2. lim

n→+∞

2n+1 n+3 =2.

2. Các định lý về giới hạn hữu hạn c Định lí 1.1.

○ lim1

n =0; lim 1

n^k =0vớiklà số nguyên dương.

○ limqⁿ=0nếu|q|<1.

c Định lí 1.2.

○ Nếulimu_n=avàlimv_n=bthìlim(u_n±v_n) =a±b,lim(u_n.v_n) =a.b,lim Åu_n

v_n ã

= a

b (nếub6=0).

○ Nếuu_n≥0với mọinvàlimu_n=athìa≥0vàlim√

u_n=√ a.

3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

cĐịnh nghĩa 1.3. Cấp số nhân vô hạn (u_n) có công bộiq thoả mãn|q|<1được gọi làcấp số nhân lùi vô hạn.

(5)

c Định lí 1.3. Cho cấp số nhân lùi vô hạn(u_n), ta có tổng của cấp số nhân lùi vô hạn đó là S=u₁+u₂+u₃+...+u_n+...= u₁

1−q,(|q|<1)

4. Giới hạn vô cực cĐịnh nghĩa 1.4.

○ Ta nói dãy số(u_n)có giới hạn+∞khin→+∞, nếuu_n có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Kí hiệu:limu_n= +∞.

○ Ta nói dãy số(u_n)có giới hạn−∞khin→+∞, nếulim(−u_n) = +∞.

Kí hiệu:limun=−∞.

c Định lí 1.4.

a) Nếulimu_n=avàlimv_n=±∞thìlimu_n v_n =0.

b) Nếulimu_n=a>0,limv_n=0vàv_n>0với mọinthìlimu_n

v_n = +∞.

c) Nếulimu_n= +∞vàlimv_n=a>0thìlimu_nv_n= +∞.

B – CÁC DẠNG TOÁN

| Dạng 1. Dùng định nghĩa chứng minh giới hạn

Để chứng minhlimu_n=Lta chứng minhlim(u_n−L) =0.

c Ví dụ 3. Chứng minh rằng a. lim

Ç −n³ n³+1

å

=−1 b. lim

Çn²+3n+2 2n²+n

å

= 1 2. ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(6)

c Ví dụ 4. Chứng minh rằng a. lim

Å3.3ⁿ−sin 3n 3ⁿ

ã

=3 b. limÄ√

n²+n−nä

= 1 2. ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BÀI TẬP TỰ LUYỆN

cBài 1. Chứng minh rằng a. lim2n²+n

n²+4 =2 b. lim6n+2

n+5 =6

c. lim7ⁿ−2.8ⁿ 8ⁿ+3ⁿ =−2 d. lim2.3ⁿ+5ⁿ

5ⁿ+3ⁿ =1.

ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(7)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

cBài 2. Chứng minh rằng a. limÄ√

4n²+4n−2nä

=1

b. lim

√n+sinⁿn

√n+1 =1

c. lim

√

n²+2n−n

n =0

d. limÄ√₃

n³+2n−nä

=0.

ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(8)

cBài 3. Chứng minh rằng a. lim6ⁿcos 3n+5ⁿ

2ⁿ+2.7ⁿ =0 b. lim4nsinⁿ2n+cosⁿ2n 4n²+8n =0 ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

| Dạng 2. Tính giới hạn dãy số dạng phân thức Tính giới hạnlim f(n)

g(n) trong đó f(n)vàg(n)là các đa thức bậcn.

○ Bước 1: Đặtn^k,nⁱvớiklà số mũ cao nhất của đa thức f(n)vàilà số mũ cao nhất của đa thứcg(n) ra làm nhân tử chung.

○ Đơn giản. Sau đó áp dụng kết quảlim 1 n^k =0.

| Dạng 3. Tính giới hạn dãy số dạng phân thức chứa aⁿ

○ Bước 1: Đưa biểu thức về cùng một số mũn.

○ Bước 2: Chia tử và mẫu số choaⁿtrong đóalà số có trị tuyệt đối lớn nhất.

○ Bước 3: Áp dụng kết quả "Nếu|q|<1thìlimqⁿ=1".

c Ví dụ 5. Tínhlim n²−4n³ 2n³+5n−2.

ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . .

c Ví dụ 6. Tínhlimn³−7n 1−2n².

ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . .

(9)

. . . . . . . . . . . .

c Ví dụ 7. Tínhlim n+2 n²+n+1

ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . .

c Ví dụ 8. Tínhlim5ⁿ⁺¹−4ⁿ+1 2.5ⁿ−6ⁿ .

ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . BÀI TẬP TỰ LUYỆN (Cho mỗi dạng)

cBài 4. Tính các giới hạn a) lim3n+2

2n+3. b) lim4n²−1

2n²+n. ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

cBài 5. Tính các giới hạn a) lim

√

n²+2n−3

n+2 . b) lim

√

n²+2n−n−1

√

n²+n+n . ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . .

(10)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

cBài 6. Tính giới hạnlim

√

4n⁴+2n−3n²

√

n³+2n−n .

ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

cBài 7. Tính các giới hạn a) lim7.5ⁿ−2.7ⁿ

5ⁿ−5.7ⁿ . b) lim4.3ⁿ+7ⁿ⁺¹

2.5ⁿ+7ⁿ .

c) lim4ⁿ⁺¹+6ⁿ⁺² 5ⁿ+8ⁿ .

ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(11)

. . . .

cBài 8. Tính giới hạn của a) limsin 10n+cos 10n

n²+1 . b) lim1−sinnπ

n+1 . ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

cBài 9. Tính giới hạn của a) A=lim

ï 1 1.3+ 1

3.5+...+ 1

(2n−1)(2n+1) ò

. b) B=lim

ï 1

2√

1+1√

2+ 1

3√

2+2√

3+...+ 1

(n+1)√

n+n√ n+1

ò .

ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

cBài 10. Cho dãy số(u_n)xác định bởi







u₁= 2 3

u_n+1= u_n

2(2n+1)u_n+1,∀n≥1 Tìm số hạng tổng quátu_ncủa dãy. Tínhlimu_n.

ÊLời giải.

(12)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

cBài 11. Cho dãy số(a_n)thỏa mãn:







a₁=4 3 (n+2)²

a_n+1 = n²

a_n−(n+1)

;∀n≥1, n∈N

. Tìmlima_n.

ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

cBài 12. Cho dãy số(u_n)xác định như sau:





 u₁=1

3 u_n+1= u²_n

2 −1

. Tìmlimu_n.

ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(13)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

cBài 13. Cho dãy số(u_n)xác định như sau:

®u₁=1

u_n+1=u_n+n . Tìmlim u_n u_n+1.

ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

cBài 14. Cho dãy số(x_n)xác định bởi







x₁=2017 x_n+1= x⁴_n+3

4 với mọi n≥1 Với mỗi số nguyên dươngnđặty_n= ∑ⁿ

i=1

Ç 1

x_i+1+ 2 x²_i +1

å .

Chứng minh dãy số(y_n)có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.

ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(14)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

| Dạng 4. Dãy số dạng Lũy thừa - Mũ

○ limn^k= +∞,k>0.

○ lim 1

n^k =0,k>0.

○ limaⁿ=0,−1<a<1.

○ limaⁿ= +∞,a>1.

○ Nếu(u_n)là CSN lùi vô hạn với công bộiq, ta có S=u₁+u₂+· · ·+u_n= u₁

1−q.

o

^○ ^lim^un= +∞,limv_n=a>0⇒limu_nv_n= +∞;

○ limu_n= +∞,limv_n=a<0⇒limu_nv_n=−∞;

○ limu_n=−∞,limv_n=a>0⇒limu_nv_n=−∞;

○ limu_n=−∞,limv_n=a<0⇒limu_nv_n= +∞.

c Ví dụ 9. Tìm các giới hạn sau

a) lim(2ⁿ+3ⁿ); b) lim[−4ⁿ+ (−2)ⁿ].

ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Ví dụ 10. Tìm các giới hạn sau a) lim

Å 1+3ⁿ 3·3ⁿ+2ⁿ

ã

; b) lim

Å4·3ⁿ−2ⁿ 2·5ⁿ+4ⁿ

ã

; c) lim

Å 7ⁿ+1

−2·3ⁿ−3·6ⁿ ã

. ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . .

(15)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BÀI TẬP TỰ LUYỆN (Cho mỗi dạng)

cBài 15. Tìm các giới hạn sau a) lim2³ⁿ+3²ⁿ⁺¹

2·9ⁿ+4ⁿ ; b) lim(2·3ⁿ−4ⁿ⁺¹+7).

ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

cBài 16. Tính giới hạn saulim(2·3ⁿ−n+1).

ÊLời giải.

. . . . . . . .

cBài 17. Tìm giới hạn saulim 1+1

3+ Å1

3 ã2

+· · ·+ Å1

3 ãn

1+2 5+

Å2 5

ã2

+· · ·+ Å2

5 ãn

ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(16)

. . . . . . . .

cBài 18. Tìm giới hạn saulim1+3+3²+· · ·+3ⁿ 2·3ⁿ⁺¹+2ⁿ

ÊLời giải.

. . . . . . . .

cBài 19. Cho dãy số(u_n)xác định bởiu₁=1,u_n+1=u_n−4

u_n+6,∀n≥1. Tính giới hạnlimu_n+1 u_n+4. ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . .

cBài 20. Cho dãy số(u_n)xác định bởiu₁=3,u_n+1=u_n+1

2 ,∀n≥1. Tính giới hạnlimu_n. ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . .

| Dạng 5. Giới hạn dãy số chứa căn thức Ta thường gặp hai dạng sau:

Dạng 1. Sử dụng các tính chất giới hạn để tính.

Dạng 2. Dạng vô định, cần nhân lượng liên hợp hoặc thêm bớt hạng tử.

c Ví dụ 11. Tìm giới hạn

lim

8n+2 2n−1 ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . .

c Ví dụ 12. Tính giới hạn của dãy số sau:u_n=

…2n+9

n+2 ,n∈N^∗. ÊLời giải.

(17)

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . c Ví dụ 13. Tính giới hạn:

limÄp

4n²+3n+1−2nä

ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Ví dụ 14. Tính các giới hạn sau a) lim

√

4n²+1+2n−1

√

n²+4n+1+n . b) limn²+√³

1−n⁶

√

n⁴+1+n².

ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(18)

c Ví dụ 15. Tính giới hạn:

lim

√

4n²+1−√

9n²+2

2−n .

ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c Ví dụ 16. Tính giới hạn:

limÄ√

n+3−√ n−5ä

n

ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BÀI TẬP TỰ LUYỆN (Cho mỗi dạng)

(19)

cBài 21. Tính giới hạn của các dãy số sau:

a) u_n=√

n²+1,n∈N^∗; b) v_n=

n²+2n+4

2n−3 ,n≥2.

ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

cBài 22. Tính giới hạn:

limÄ√

3n−p

3n²−2n−1ä

ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(20)

cBài 23. Tìm giới hạn

limÄp

n²+2n−nä

ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . cBài 24. Tìm giới hạn

limÄp

n³+2n−n²ä

ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

cBài 25.

lim(p

n²+3n+2−n+1)

ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

cBài 26.

lim(p

n²+2n+3−n) ÊLời giải.

(21)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

cBài 27.

lim 1

√n+1−√ n+3 ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . .

cBài 28.

lim(p

n²+3n−1−√ n+1)

ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

cBài 29. Tìm giới hạn của dãy(u_n), với

(u₁=1 u_n+1=»

u³_n+2

ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(22)

cBài 30. Tínhlim

√

n²+2−√ n+5 3n+3 .

ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

cBài 31. Tính giới hạn của dãy số sauu_n=

√

n²+1−√

2n²+4n−4

3n+15 ,n∈N^∗. ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

cBài 32. Tính giới hạn của dãy số(u_n)vớiu_n= (√

n²−n+2−n).

ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(23)

cBài 33. Tínhlim

√

n³+3n²−2n+1

n−1 .

ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

cBài 34. Tính các giới hạn sau a) limÄ√

n²+2n−n−1ä . b) lim

√

4n²+1−2n−1

√

n²+4n+1−n .

ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

cBài 35. Tính giới hạnlim(√

n²+2n+3−1+n).

ÊLời giải.

(24)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . cBài 36. Tính giới hạnlim√ⁿ

avớia>0.

ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . cBài 37. Tính giới hạn

lim(p³

n³−3−p

n²+n−2) .

ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

cBài 38. Tìmlimu_nbiếtu_n= 1 2√

1+1√

2+ 1

3√

2+2√

3+. . .+ 1

(n+1)√

n+n√ n+1. ÊLời giải.

(25)

. . . . . . . . . . . . . . . .

cBài 39. Tính giới hạnlim Å 1

√

n²+n+ 1

√

n²+n+1+. . .+ 1

√

n²+2n ã

.

ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . .

cBài 40. Cho dãy sốu_nthỏa:

®u₁=3,u₂=6

2u_n=u_n−1+u_n+1−2; ∀n∈N^∗,n≥3.

Biết rằngu_ncó duy nhất một công thức, tính: lim

n→+∞

n+2−√ u_n n+1−√

u_n+3n−2. ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(26)

cBài 41. Tính giới hạnL= lim

n→∞

Å 1−2n

√n²+1 ã

.

ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

cBài 42. Tính giới hạn củaB=lim

√1+2+...+n−n

√3

1²+2²+...+n²+2n. ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(27)

B ^ÀI 2 . GIỚI HẠN HÀM SỐ

A – TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm

1.1. Định nghĩa

cĐịnh nghĩa 2.1. Cho khoảngK chứa điểmx₀ và hàm sốy= f(x)xác định trênK hoặc trênK \ {x₀}.

Ta nói hàm sốy= f(x) có giới hạn là sốLkhi xdần tới x₀ nếu với dãy số(x_n)bất kỳ,x_n∈K\ {x₀}và x_n→x₀, ta cólimf(x_n) =L.

Kí hiệu lim

x→x0

f(x) =Lhay f(x)→Lkhix→x₀.

c Ví dụ 1. Cho hàm số f(x) = x²−4

x+2. Chứng minh rằng lim

x→−2f(x) =−4.

ÊLời giải.

Tập xác định:D=R\ {−2}.

Giả sử(x_n)là một dãy số bất kỳ, thõa mãnx_n6=−2vàx_n→ −2khin→+∞.

Ta cólimf(x_n) =limx²_n−4

x_n+2 =lim(x_n+2)·(x_n−2)

(x_n+2) =lim(x_n−2) =−4.

Do đó lim

x→−2f(x) =−4.

o

^lim

x→x0

x=x₀; lim

x→x0

c=c, vớiclà hằng số.

1.2. Định lí về giới hạn hữu hạn c Định lí 2.1. a)Giả sử lim

x→x0

f(x) =Lvà lim

x→x0

g(x) =M. Khi đó

○ lim

x→x0

[f(x) +g(x)] =L+M.

○ lim

x→x0

[f(x)−g(x)] =L−M.

○ lim

x→x0

[f(x)·g(x)] =L·M.

○ lim

x→x0

f(x) g(x) = L

M (nếuM6=0).

b)Nếu f(x)≥0và lim

x→x0

f(x) =L, thì

L≥0và lim

x→x0

»

f(x) =√ L.

( Dấu của f(x)được xét trên khoảng đang tìm giới hạn, vớix6=x₀).

c Ví dụ 2. Tínhlim

x→1

x²+x−2 x−1 .

ÊLời giải.

(28)

x→1lim

x²+x−2 x−1 =lim

x→1

(x−1)·(x+2) x−1 =lim

x→1(x+2) =3.

1.3. Giới hạn một bên cĐịnh nghĩa 2.2.

○ Cho hàm sốy= f(x)xác định trên khoảng(x₀;b).

Số L được gọi là giới hạn bên phải của hàm số y= f(x) khi x→x₀ nếu với dãy số (x_n) bất kì, x₀<x_n<bvàx_n→x₀, ta có f(x_n)→L.

Kí hiêu: lim

x→x⁺₀

f(x) =L.

○ Cho hàm sốy= f(x)xác định trên khoảng(a;x₀).

Số L được gọi là giới hạn bên trái của hàm số y= f(x) khi x →x₀ nếu với dãy số (x_n) bất kì, a<x_n<x₀vàx_n→x₀, ta có f(x_n)→L.

Kí hiêu: lim

x→x⁻₀

f(x) =L.

c Định lí 2.2. lim

x→x₀f(x) =Lkhi và chỉ khi lim

x→x⁻₀

f(x) = lim

x→x⁺₀

f(x) =L.

c Ví dụ 3. Cho hàm số f(x) =

®5x+2nếux6=1 x²−3nếux<1. Tìm lim

x→1⁻f(x), lim

x→1⁺f(x), và lim

x→1f(x)(nếu có).

ÊLời giải.

Ta có: lim

x→1⁻ f(x) = lim

x→1⁻

Äx²−3ä

=1²−3=−2;

x→1lim⁺ f(x) = lim

x→1⁺(5x+2) =5·1+2=7.

Theo đinh lí2, lim

x→1f(x)không tồn tại.

2. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực

cĐịnh nghĩa 2.3. a)Cho hàm sốy= f(x)xác định trên khoảng(a;+∞).

Ta nói hàm sốy= f(x)có giới hạn là sốLkhix→+∞nếu với dãy số(x_n)bất kì,x_n>avàx_n→+∞, ta có f(x_n)→L.

Kí hiệu: lim

x→+∞=Lhay f(x)→Lkhix→+∞.

b)Cho hàm sốy= f(x)xác định trên khoảng(−∞;a).

Ta nói hàm sốy= f(x)có giới hạn là sốLkhix→ −∞nếu với dãy số(x_n)bất kì,x_n<avàx_n→ −∞, ta có f(x_n)→L.

Kí hiệu: lim

x→−∞=Lhay f(x)→Lkhix→ −∞.

c Ví dụ 4. Cho hàm sốy= f(x) =2x+3

x−1 . Tìm lim

x→−∞f(x)và lim

x→+∞f(x).

ÊLời giải.

Hàm số đã cho xác định trên(−∞; 1)và trên(1;+∞).

Giả sử(x_n)là một dãy số bất kì, thỏa mãnx_n<1vàx_n→ −∞.

(29)

Ta cólimf(x_n) =lim2x_n+3 x_n−1 =lim

2+ 3 x_n 1− 1

x_n

=2.

Vậy lim

x→−∞= lim

x→−∞

2x+3 x−1 =2.

Giả sử(x_n)là một dãy số bất kì, thỏa mãnx_n>1vàx_n→+∞.

Ta cólimf(x_n) =lim2x_n+3 x_n−1 =lim

2+ 3 x_n 1− 1

x_n

=2.

Vậy lim

x→+∞= lim

x→+∞

2x+3

x−1 =2.

o

^○ ^Với^c,^klà các hằng số vàknguyên dương, ta luôn có:

x→+∞lim c=c; lim

x→−∞c=c; lim

x→+∞

c

x^k =0; lim

x→−∞

c x^k =0.

○ Định lí1về giới hạn hữu hạn của hàm số khix→x₀còn đúng khix→+∞hoặcx→ −∞.

c Ví dụ 5. Tìm lim

x→+∞

3x²−2x x²+1 .

ÊLời giải.

x→+∞lim

3x²−2x

x²+1 = lim

x→+∞

3−2 x 1+ 1 x²

=3−0

1+0 =3.

3. Giới hạn vô cực của hàm số

3.1. Giới hạn vô cực

cĐịnh nghĩa 2.4. Cho hàm sốy= f(x)xác định trên khoảng(a;+∞).

Ta nói hàm sốy= f(x)có giới hạn là−∞khix→+∞nếu với dãy số(x_n)bất kì,x_n>avàx_n→+∞, ta có f(x_n)→ −∞.

Kí hiệu: lim

x→+∞f(x) =−∞hay f(x)→ −∞khix→+∞.

Nhận xét: lim

x→+∞f(x) = +∞⇔ lim

x→+∞(−f(x)) =−∞.

3.2. Một vài giới hạn đặc biệt a) lim

x→+∞x^k= +∞vớiknguyên dương.

b) lim

x→−∞x^k=−∞nếuklà số lẻ.

c) lim

x→+∞x^k= +∞nếuklà số chẵn.

3.3. Một vài quy tắc về giới hạn vô cực a) Quy tắc tìm giới hạn của tích f(x).g(x)

(30)

x→xlim₀f(x) lim

x→x₀g(x) lim

x→x₀ f(x)g(x)

Ł>0 +∞ +∞

−∞ −∞

Ł<0 +∞ −∞

−∞ +∞

b) Quy tắc tìm giới hạn của thương f(x) g(x)

x→xlim0

f(x) lim

x→x0

g(x) Dấu củag(x) lim

x→x0

f(x) g(x)

α ±∞ Tùy ý 0

Ł>0 0 + +∞

− −∞

Ł<0 0 + −∞

− +∞

Các quy tắc trên vẫn đúng cho các trường hợpx→x⁺₀,x→x⁻₀,x→+∞, vàx→ −∞.

c Ví dụ 6. Tìm lim

x→−∞

Äx³−2xä .

ÊLời giải.

Ta có: lim

x→−∞

Äx³−2xä

= lim

x→−∞x³ Å

1− 2 x²

ã

=−∞, vì

x→−∞lim x³=−∞và lim

x→−∞

Å 1− 2

x² ã

=1>0.

c Ví dụ 7. Tính lim

x→1⁻1

2x−3 x−1 .

ÊLời giải.

Ta có:lim

x→1⁻

2x−3

x−1 = +∞, vì

x→1lim⁻(2x−3) =2·1−3=−1<0, và lim

x→1⁻(x−1) =0,x−1<0∀x<1.

B – CÁC DẠNG TOÁN

| Dạng 1. Giới hạn của hàm số dạng vô định 0 0

* Biểu thức có dạng lim

x→x0

f(x)

g(x) trong đó f(x),g(x)là các đa thức và f(x₀) =g(x₀) =0.

Khử dạng vô định bằng cách phân tích cả tử và mẫu thành nhân tử với nhân tử chung làx−x₀. Giả sử f(x) = (x−x₀)· f₁(x)vàg(x) = (x−x₀)·g₁(x). Khi đó:

x→xlim0

f(x)

g(x) = lim

x→x0

f₁(x) g₁(x)

(31)

Nếu giới hạn lim

x→x0

f₁(x)

g₁(x) vẫn ở dạng vô định 0

0 thì ta lặp lại quá trình khử đến khi không còn dạng vô định.

Việc phân tích thành nhân tử ở trên được thực hiện bằng phương pháp chia Horner.

* Biểu thức có dạng lim

x→x0

f(x)

g(x) trong đó f(x),g(x)là các biểu thức có chứa căn thức và f(x₀) =g(x₀) =0.

Khử dạng vô định bằng cách nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp tương ứng của biểu thức chứa căn thức để trục các nhân tửx−x₀ra khỏi các căn thức, nhằm khử các thành phần có giới hạn bằng 0. Lưu ý có thể nhân liên hợp một hay nhiều lần để khử dạng vô định.

Chú ý:Các hằng đẳng thức A²−B²= (A−B)(A+B).

A³−B³= (A−B)(A²+AB+B²).

A³+B³= (A+B)(A²−AB+B²).

c Ví dụ 8. Tính các giới hạn sau:

a) lim

x→−4

x²+2x−8 x²+4x . b) lim

x→¹₂

2x²−5x+2 1−2x .

c) lim

x→2

2x²−5x+2 x²+x−6 . d) lim

x→−1

1+x³ 1−x². ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Ví dụ 9. Tính giới hạn lim

x→−1

x²−1 2x+√

3x²+1.

ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . .

x→5

2x−5√ x−1 3−√

x+4 .

ÊLời giải.

(32)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

x→0

1−√³

12x+1

4x .

ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . .

x→−4

√2x+9−x−5

√3

x+5+√³ x+3. ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Ví dụ 13. Tính giới hạnI=lim

x→0

(1+x)ⁿ−1

x vớinlà số nguyên dương.

ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . .

x→0

√1+ax−1

x vớia6=0.

ÊLời giải.

(33)

. . . . . . . .

x→0

√3

1+ax−1

x vớia6=0.

ÊLời giải.

. . . . . . . .

c Ví dụ 16. Tính giới hạnJ=lim

x→0

√n

1+ax−1

x vớia6=0,nlà số nguyên vàn≥2.

ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

o

Chú ý: Các giới hạnI= lim

x→0

(1+x)ⁿ−1

x =nvới n∈N; vàJ =lim

x→0

√n

1+ax−1

x = a

n vớia6=0, nlà số nguyên vàn≥2được gọi là các “giới hạn cơ bản”.

x→1

√5−x³−√³ x²+7 x²−1 .

ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Ví dụ 18. Tính các giới hạn sau:

a) lim

x→3

x³−4x²+4x−3 x²−3x . b) lim

x→¹₂

8x³−1 6x²−5x+1.

c) lim

x→0

(1+x)³−(1+3x) x²+x³ . d) lim

x→−1

x²⁰¹⁷+1 x²⁰¹⁸+1. ÊLời giải.

(34)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

x→1

2x−√ 3x+1 x²−1 .

ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

x→2

√

x²−x−√ 2x−2 x²−2x .

ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

x→1

√3

2x−1−√³

√ x

x−1 .

ÊLời giải.

(35)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

x→−2

√3

x²−2x−√ 2−x x²+5x+6 .

ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

x→1

(1−√

x) (1−√³

x)· · ·(1−√ⁿ x) (1−x)ⁿ⁻¹ .

ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(36)

. . . .

x→0

(x²+1998)√⁷

1−2x−1998

x .

ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BÀI TẬP TỰ LUYỆN

cBài 1. Tính các giới hạn sau:

a) lim

x→−1

4x²−x−5 7x²+5x−2. b) lim

x→−2

4−x² x+2 .

c) lim

x→3

x²+2x−15 x−3 . d) lim

x→2

2x²−5x+2 x²−4 . ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

cBài 2. Tính các giới hạn sau:

a) lim

x→1

x³−x²−x+1 x²−3x+2 . b) lim

x→1

x⁴−1 x³−2x²+1.

c) lim

x→−1

x⁵+1 x³+1. d) lim

x→3

x³−5x²+3x+9 x⁴−8x²−9 . ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . .

(37)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

cBài 3. Tính giới hạn lim

x→0

√1+2x−1 2x .

ÊLời giải.

. . . . . . . .

x→2

x−√ 3x−2 x²−4 .

ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . .

x→0

√1+x²−1 2x³−3x² .

ÊLời giải.

. . . . . . . .

x→1

√2x+7−x−2 x³−4x+3 .

ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . .

x→−1

x²−8x−9

√

4−3x²−2x−3.

ÊLời giải.

(38)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

x→0

1−√³ x+1 3x .

ÊLời giải.

. . . . . . . .

x→1

√3

x−2+√³

1−x+x² x²−1 .

ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . .

x→1

√3

3x−2−√³

4x²−x−2 x²−3x+2 .

ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

x→2

√3

3x+2+x−4 x²−3x+2 .

ÊLời giải.

. . . . . . . .

(39)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

x→4

√3

x+4+√³ 4−3x

√

x²+9−√ x+21.

ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

x→0

√

8x³+x²+6x+9−√³

9x²+27x+27

x³ .

ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(40)

x→1

√5−x³−√³ x²+7 x²−1 .

ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

x→2

√3

8x+11−√ x+7 x²−3x+2 .

ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

x→1

√3x+1+√

x²+8−5 x²−3x+2 .

ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

x→2

4x−√

x+2−√

5x+26

x−2 .

ÊLời giải.

(41)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

x→−2

√3

x²−x+2+√

x+3−3 2x²+5x+2 .

ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BÀI TẬP TỔNG HỢP

x→2

(x²−x−2)²⁰ (x³−12x+16)¹⁰.

ÊLời giải.

. . . . . . . .

x→1

x¹⁰⁰−2x+1 x⁵⁰−2x+1.

ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . .

x→1

√ x⁵−1 1−x⁴ .

ÊLời giải.

(42)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

x→1

3√³

x²+2√ x−5 x−1 .

ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

x→−1

√3

x+x²+x+1 x+1 .

ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

x→2

√x−1+x⁴−3x³+x²+3

√2x−2 .

ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

x→0

√1+4x·√

1+6x−1

x .

ÊLời giải.

(43)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

x→0

√1+2x·√³

1+4x−1

x .

ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

cBài 27. ChoI=lim

x→0

√2x+1−1

x vàJ=lim

x→1

x²+x−2

x−1 . TínhI+J.

ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

x→0

√x+9+√

x+16−7

x .

ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . .

(44)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

cBài 29. Tìm giới hạn lim

x→7

√4

x+9−2 x−7 .

ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . .

x→0

2√

x+1−√³ 8−x

x .

ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

x→1

√5

2x−1−√⁶ 3x−2

x−1 .

ÊLời giải.

. . . . . . . .

x→0

√1+2x√³

1+3x√⁴

1+4x−1

x .

ÊLời giải.

(45)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

x→0

√2x+1−√³ 3x+1

x² .

ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

x→0

√m

1+αx·pⁿ

1+βx−1

x vớiα·β 6=0vàm,nlà các số nguyên dương.

ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

x→a

x^α−a^α

x^β−a^β vớia6=0vàα,β là các số nguyên dương.

ÊLời giải.

(46)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

x→1

x+x²+· · ·+xⁿ−n

x−1 vớinlà số nguyên dương.

ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

x→1

xⁿ⁺¹−(n+1)x+n (x−1)² .

ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

x→a

(xⁿ−aⁿ)−naⁿ⁻¹(x−a) (x−a)² .

ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(47)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

x→a

√x−√ a+√

x−a

√

x²−a² .

ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

x→0

√m

1+αx−pⁿ 1+βx

x .

ÊLời giải.

. . . . . . . .

x→0

3

… 1+x

3− ⁴

… 1+x

4 1−

… 1−x

2 .

ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Chuyên đề giới hạn - Nguyễn Hoàng Việt - TOANMATH.com

Chương 1. GIỚI HẠN 1

B ÀI 1 . GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

o

B ÀI 2 . GIỚI HẠN HÀM SỐ

o

o

o

B ^ÀI 1 . GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

B ^ÀI 2 . GIỚI HẠN HÀM SỐ