Lý thuyết và bài tập giới hạn của dãy số - Nguyễn Quốc Tuấn

(1)

CHƯƠNG IV: GIỚI HẠN

CHỦ ĐỀ 1 : GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

Dạng 1: Tìm giới hạn của dãy số

I. Dãy số có giới hạn hữu hạn

1. Định nghĩa: Ta nói dãy số (un) có giới hạn là L hay (un) dần tới L khi n dần tới vô cực (n ), nếu n^lim



un L



^0.

   Kí hiệu:

 

n

lim _n hay u khi n + .

n u L L

    

 Chú ý: n^lim

 

un ^lim

 

un

  .

2. Một số định lý:

 Định lí 1: Giả sử limu_n L, khi đó:

 limu_n  L, lim³u_n ³ L

 Nếu u_n 0, n L0 và lim u_n  L

 Định lí 2: Giả sử limu_n L, limv_n M c, const

 lim(u_nv_n)L M

 lim(u_nv_n)L M

 lim( . )u v_n _n L M. , lim .c u_n c L.

 lim ⁿ ( 0)

n

u L

v M M 

 Định lí 3: Cho 3 dãy số ( ), ( ), (u_n v_n w_n). Nếu u_n v_n w_n,n và limu_n limw_n Llimv_n L

 Định lí 4: Dãy số tăng và bị chặn trên thì có giới hạn. Dãy số giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn.

3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn:

S = u1 + u1q + u1q² + … = ¹ 1

u

q



^q ^¹



II. DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN VÔ CỰC

1. Dãy số có giới hạn ^: limu_n    mọi số hạng của dãy số đều lớn hơn một số dương tùy ý cho trước kể từ số hạng nào đó trở đi.

2. Dãy số có giới hạn : limu_n    mọi số hạng của dãy số đều nhỏ hơn một số âm tùy ý cho trước kể từ số hạng nào đó trở đi.

(2)

Chú ý: limu_n   lim(u_n) 

3. Một vài qui tắc tìm giới hạn vô cực:

o Qui tắc 1:

limu_n limv_n limu v_n. _n

  

  

o Qui tắc 2:

limu_n Dấu của limv_n L

limu v_n. _n

  

  

o Qui tắc 3:

limu_n L0 Dấu của L

limv_n 0,v_n 0

Dấu của limv_n lim ⁿ

n

u v

+ _ _

-  

(3)

Loại 1: Giới hạn của dãy số hữu tỉ

Phương pháp: Xem xét bậc cao nhất của tư và mẫu. Sau đó, chia tử và

mẫu cho bậc cao nhất của tử và mẫu. Hoặc cũng có thể đặt nhân tử cao nhất của từ và mẫu để được những giới hạn cơ bản. Tính giới hạn này.

Hướng dẫn giải

a. Ta có biến đổi:

3

3 2 3

2 3

3

2

3 6 5 3 6 5

lim lim

4 7

4 3 7

3

n n n n n

n n n

 

 

 

    

   

   

 

3

2

3 6

5 5

lim4 7 3

3 n n

n n

 

  

 

Vì khi n  thì

3

2

lim3 0 lim 6 0 lim4 0 lim 7 0

n n n n

 



 





 



 

 b. Ta có biến đổi:

4 2

2 4

6 2 1

lim1 5 3

n n

 

  ⁼

4

4 2 2 4

2 4

4

4 2

2 1

6 2 1 6

lim lim

1 5

1 5 3

3

n n n n n

n n

n n n

 

 

 

   

    

 

 

 

2 4

4 2

2 1

6 lim 1 5

3 n n n n

 



 

=-2 Bài tập mẫu 1: Tính các giới hạn sau:

a.

3 2

2 3

5 3 6

lim4 3 7

n n

n n n

 

c.

2 2

2 3

lim 3 2 1 n n

n n

 

 

b.

4 2

2 4

6 2 1

lim1 5 3

n n

 

  d.

2 2

2 3 1

lim 1

n n

n

  



e. 2

4 2017 lim

4 1

n

n n



  f.  



n n

n

2 1 4

lim 3 2

(4)

2

4

2

lim 2 0 lim 1 0 lim 5 0

n n n

 





 



 

 c. Ta có biến đổi:

2 2

2 3

lim

3 2 1

n n

 

 

 

 

 

    

 

     

 

2

2 2

2

1 3

2 3 2

lim lim

2 1

3 2 1 3

n n

n n n

n n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

1 3

2 2

lim 2 1 3

3

n n n n

2

lim1 0 lim 3 0 lim2 0 lim 1 0

n n n n

 



 





 



 

 d. Ta có biến đổi:

2 2

2 3 1

lim 1

n n

n

  



2

2 2

2

3 1 2

lim 1

1

n n n

n n

 

  

 

 

  

  

 

²

2

3 1

2

lim 1

1 n n

n

  





2

 

2

lim3 0 lim 1 0

n n

 





 

 e. Ta có biến đổi:

2

2 2

2

4 2017

4 2017 4 2017 4 2017 4

lim lim lim lim

1 1 3

4 1 1

4 4 1

4

n n n n

n n

n

   

   

   

   

 

 

 

(5)

2

lim2017 0 lim 1 0

n n

 





 

 f. Ta có biến đổi:

2

2 2

1 4 1 1 4

1 4 1 4 5

lim lim lim

3 2 2

3 2 3 3 3

n n

n n n n

n n

   

  

   

  

2

lim 1 0 lim2 0

n n

 





 



Hướng dẫn giải a. Ta có biến đổi:

4 2

3

3 2

lim 2

n n

n

 



4

2 4

3

2

3 2

1

lim 2

1

n n n

n n

 

 

 

 

  

  

 

=

2 4

2

3 2

1

lim 2

1

n n n

n

 

 

 

  



Vì limn .và

2 4

2

3 2

1

lim 1

1 2 n n

n

 

 

 

  



b) Ta có biến đổi:

Bài tập mẫu 2: Tính các giới hạn sau:

a.

4 2

3

3 2

lim 2

n n

n

 

 c. ^ ^

 

4 2

3 2

2 3

lim3 2 1

n n

b)

4 2

2

8 3 2 1

lim 3 4 2

n n n

n n

  

 

d.

4 3

3n 2n 5

lim 2n 4

  



(6)

4 2 2

8 3 2 1

lim 3 4 2

n n n

n n

  

 

4 2

4

4 4 4 4

2 2

2 2 2

8 3 2 1

lim 3 4 2

n n n

n n n n n

n n

n n n n

 

  

 

 

  

 

 

 

2 3 4

2

3 2 1

8 lim

3 4 2

n n n

n

n n

 

  

 

  

   

 

 

Do lim n²   và ² ³ ⁴

2

3 2 1

8 n n n 8 0 0 0

lim 4 0

3 4 0 0 2

n n 2

 

  

    

   

 

     

 

c. Ta có biến đổi:

 

 

4 2

3 2

2 3

lim3 2 1

n n

 

 

 

   

 

 

 

 

 

4 2 4 2 4

3 2

3

1 3

2 3 2

lim lim

2 1

3 2 1 3

n n n n n

n n n

n n

 

 

 

 

  

 

 

 

2 4

3

1 3

2

lim 2 1

3

n n n

n n

Vì

2 4

3

lim

1 3

2 2

lim 0

2 1 3

3 n

n n n n

  

  

    

    

  

 

  

 



. Nên

 

 

 

   

 

 

 

 

2 4

3

1 3

2

lim 2 1

3

n n n

n n d. Ta có biến đổi:

4 3

3n 2n 5

lim 2n 4

  



4

3 4 3 4

3

3 3

2 5 2 5

n 3 3

n n n n

lim lim n.

4 4 n 2 2

n n

       

   

 

    

     

   

 

Do lim n và ³ ⁴

3

2 5

3 n n 3 0 0 3

lim 0

4 2 0 2

2 n

 

  

    

   

 

   

 

(7)

2 2 2

2 2

2 2 2 2

2 1 2 1

2 1 0

lim lim lim 0

2 4

2 4 1 1

n

n n n n n

n n

n n n

 

    

     

Vì khi n  thì ₂

2

lim2 0 lim 1 0 lim 4 0

n n n

 





 



 

 b. Ta có biến đổi:

3 3 2 3

3 3

3 3 3

5 1 5

5 0

lim lim lim 0

3 1 1

3 1 3 3

n

n n n n n

n n

n n n

 

    

  

Do : Vì khi n  thì

2

3

lim 1 0 lim 5 0 lim 1 0

n n n

 





 



 



Trích dẫn: Qua 3 bài toán ở trên dạng dãy số dạng hữu tỉ ta rút ra nhận xét như sau.

+ Nếu bậc của tử lớn hơn bậc của mẫu thì giới hạn đó bằng 

+ Nếu bậc của tử bằng bậc của mẫu thì giới hạn đó bằng hệ số bậc cao nhất của tử trên hệ số bậc cao nhất của mẫu

Bài tập mẫu 3: Tính các giới hạn sau:

a. lim ₂² ¹

2 4

n

n n



  b. lim ₃ ⁵

3 1

n n



(8)

+ Nếu bậc của tử bé hơn bậc của mẫu thì giới hạn đó bằng 0.

Điều này rất cần thiết cho tất cả chúng ta giải bài toán giới hạn dạng hữu tỉ khi giải trắc nghiệm. Bởi vì một giới hạn hữu tỉ khi nhìn vào ta hoàn toàn có thể biết được kết quả ngay lập tức. Thật vậy những bài toán sau các em hoàn toàn biết được kết quả một cách nhanh chóng và chính xác.

Thật vậy, sử dụng nhận xét đó ta thực hiện nhanh các bài tập trắc nghiệm sau:

Bài tập trắc nghiệm tự luyện

Bài tập 1: Giới hạn

3 2

2 3 1

lim 3 2

n n n

n

  

 bằng:

a. 2 3

b. 0 c.  d. 3

Đáp án: C

Vì bậc cao nhất của tử là bậc 3 có hệ số dương và bậc cao nhất của mẫu là bậc 1 nên giới hạn này bằng 

3 2

3 1

lim 4 2

n n n

n

   

 bằng:

a. 

b. 1

4 ^c. d. 0

Đáp án: A

Vì bậc cao nhất của tử là bậc 3 có hệ số âm và bậc cao nhất của mẫu là

bậc 1 nên giới hạn này bằng 

2 3

3 1

lim 2 1

n n n

 

 bằng:

a. 3

2 ^b.

1

4 ^c. d. 0

Đáp án: D

(9)

Vì bậc cao nhất của tử là bậc hai và bậc cao nhất của mẫu là bậc ba.

Nên giới hạn này có giới hạn bằng 0.

2 2

3 5 1

lim 2 3

n n

  

  bằng:

a. 3

2 ^b.

3

2 ^{c. 0} ^d.

Đáp án: B

Bậc cao nhất của tử là bậc hai có hệ số bằng -3 và bậc cao nhất của mẫu cũng là bậc hai có hệ số bằng 2 . Nên giới hạn này bằng 3

2

4 2

3

lim 5

2 7

n n

 

 bằng:

a. 4

b. 1 2

c.  d. 

Đáp án: C

Ta có:

4 2

3

lim 5

2 7

n n

 



4

2 4

3

1 5

1

lim 7

2

n n n

n n

 

 

 

 

  

  

 

=

2 4

1 5

1

lim 7

2

n n n

n

 

 

 

  



Vì limn .và

2 4

1 5

1 1

lim 7 2

2 n n

n

 

 

 

  



2 2

2 3

lim 3 2 1 n n

n n

 

 

bằng:

a. 2 3

b. 3

c. 1

2 ^{d. 0}

Đáp án: A

(10)

Bậc cao nhất của tử là bậc hai có hệ số bằng 2 và bậc cao nhất của mẫu cũng là bậc hai có hệ số bằng 3 . Nên giới hạn này bằng 2

3

3 2

2 1

lim

4 3

n

n n



  ^bằng:

a.  b. 0 c. 2

d. 1 3 Đáp án: B

Bậc cao nhất của tử là bậc 1 và bậc cao nhất của mẫu là bậc ba có hệ số bằng 3 . Nên giới hạn này bằng 0.

3 2

3

3 2

lim

4

n n n

n

 



bằng:

a. 3

4 ^b.

1 3

c.  d. 3

Đáp án: D

Bậc cao nhất của tử là bậc ba có hệ số bằng 3 và bậc cao nhất của mẫu cũng là bậc ba có hệ số bằng 3 . Nên giới hạn này bằng 3.

4

lim 2

( 1)(2 )( 1) n

n n n 

bằng:

a. 4

b. 1 2

c. 1 d. 

Đáp án: C

Bậc cao nhất của tử là bậc bốn có hệ số bằng 1 và bậc cao nhất của mẫu cũng là bậc bốn có hệ số bằng 1 . Nên giới hạn này bằng 1.

2 4

lim 1

2 1

n n n



 

bằng:

(11)

a.1 2

b. 0 c.  d. 1

Đáp án: B

Bậc cao nhất của tử là bậc hai và bậc cao nhất của mẫu là bậc 4 nên giới hạn này bằng 0

4 2

3 2

2 3

lim

3 2 1

n n

 

 

bằng:

a.-3

b. 4

3 ^c.

1

2 ^d.

Vì bậc cao nhất của tử là bậc 4 và bậc cao nhất của mẫu là bậc 3 nên giới hạn này bằng 

2 2

4 1 2 1

lim

4 1

n n

n n n

  

  

bằng:

a. 2 b. 4 c.  d. 0

Đáp án: A

Sau khi biến đổi ta có bậc cao nhất của tử là bậc nhất có tổng các hệ số bằng 4 và bậc cao nhất của mẫu là bậc nhất có tổng các hệ số bằng 2. Nên giới hạn này bằng 2.

Thật vậy ta cần chứng minh :

     

  

   

        

2

2 2 2 2

2 2

2 2 2 2

4 1 2 1 1 1

4 2

4 1 2 1 4

lim lim lim 2

4 1 2

4 1 4 1 1 1

n n

n n n n n n n n

n n n n n n

Bài tập 13: Giới hạn   

 

2 2

3 4

lim

2

n n

bằng:

a. 0 b. 1 c. 2 d. 4

Đáp án: B Thực hiện tương tự câu trên

Bài tập 14: Giới hạn  

 

2 3 6

4 2

lim 1

1

n n

bằng:

(12)

a. 0 b. 1 c. 2 d. 4 Đáp án: B

Thực hiện tương tự câu trên

Bài tập 15: Giới hạn (2 1)( 3) lim ( 1)( 2)

n n n

n n

 

  ^bằng:

a. 

b. 3

2 ^c.

2 3

d. 2

Đáp án: D Ta có biến đổi:

   

    

2 2

(2 1)( 3) 2 7 3

lim lim

( 1)( 2) 3 2

n n n n n n

n n n n

Do đó: Bậc cao nhất của tử là bậc hai hệ số bằng 2. Bậc cao nhất của mẫu là

bậc hai hệ số bằng 1. Nên giới hạn này bằng 2.

Bài tập 16: Giới hạn   

 

2 2

2

4 4 1

lim

3 1

n n n

n n

bằng:

a. 3

3 1 ^b.

1

3 1 ^c.

1

3 ^d.

4 3 Đáp án: A

Thực hiện tương tự như những bài trên.

2 2

lim 2

4 2

n n





bằng:

a. 1

b. 1

4 ^c.

1 2

d. -1

Đáp án: C

Thực hiện tương tự như những bài trên.

3 8 3 1

lim 2 5 n n



 ^bằng:

(13)

a. 4 b. 

c. 1

5 ^{d. 1}

Đáp án: D

Thật vậy, bậc cao nhất của tử là bậc nhất hệ số bằng ³82 và bậc cao nhất của mẫu là bậc nhất hệ số bằng 2. Do đó, giới hạn này có giới hạn bằng 1.

4 2

4 3

lim 3 2

n n n

 

 bằng:

a. 4

3 ^b.

1 3

c.  d. 4

Đáp án: C

Bậc lớn nhất của tử là 2 hệ số bằng 4 2, bậc lớn nhất của mẫu là bậc nhất nên giới hạn này có giới hạn bằng 

4 2

3 2 3 1

lim

1

n n n

n n

   

  bằng:

a. -3 b.  c. 2 d. 1

Đáp án: B

Bậc lớn nhất của tử là bậc 4 hệ số bằng -3, bậc của mẫu là bậc 2 nên giới hạn này bằng 

2

3 1

lim

3 2 2

n

n n



  bằng:

a. 3 ^{b. 1} ^{c. 3} ^d.0

Đáp án: A

Thực hiện tương tự như những bài trên Bài tập 22: Giới hạn

2 2

3 2 1

lim

4 2

n n

 

  bằng:

(14)

a. 3

2 ^b.

3

4 ^c.

1 2

d. 

Đáp án: D

Thực hiện tương tự như những bài trên Bài tập 23: Giới hạn

2

4 1

lim

3 2 1 2

n

n n n



   bằng:

a. 4

3 ^b.

4 32

c. 0 d. 2

Đáp án: B

Thực hiện tương tự như những bài trên

4 3 2

2

3 4

lim 3 2

n n n n

n

  

 bằng:

a. 

b. 3 3

c. 

d. 1

3 Đáp án: B

Thực hiện tương tự như những bài trên Bài tập 25: Giới hạn lim n n ¹

n n

 

 bằng:

a. 1 b.  c. -1

d. 1 2 Đáp án: A

Thực hiện tương tự như những bài trên

38n34n2

(15)

a. 8 5

b. 

c. 2

5 ^d.

4 5 Đáp án: C

Thực hiện tương tự như những bài trên Bài tập 27: Giới hạn lim ² ⁴

1 n n n

n bằng:

a.2 b. 4 c.  d. 0

Đáp án: D

Thực hiện tương tự như những bài trên Bài tập 28: Giới hạn lim^{1 2 3 ...}₂

2 1

n n n

   

  bằng:

a. 0

b. 1

4 ^c.

1 2

d. 

Đáp án: B

Sử dụng phương pháp quy nạp toán học ta có:

 

2

2 2 2 2

1

1 2 3 ... 2 1

lim lim lim lim

2 1 2 1 2 2 1 4 2 2

n n

n n n n n

n n n n n n n n



     

  

       

Áp dụng các nhận xét ở giới hạn dãy hữu tỉ ta có giới hạn này bằng 1 4

(16)

Loại 2: Giới hạn của dãy có căn thức.

Phương pháp : Nếu dãy số có chứa căn thức mà không có dạng hữu tỉ để

xét bậc, thì ta tiến hành nhân thêm lượng liên hiệp để tính giới hạn.

Nhưng đồng thời các em cũng sử dụng nhận xét ở tính giới hạn hữu tỉ.

Lưu ý :

+ Biểu thức nhân lượng liên hiệp bậc hai :



^{A B}^



^{A B}^



^ ^A²^^B²

+ Biểu thức nhân lượng liên hiệp bậc ba :

   

2 2 3 3

A B A AB B A B

A B A AB B A B

    

    

Sau khi nhân thêm lượng liên hiệp ta cũng có thể sử dụng nhận xét về

giới hạn của dãy số hữu tỉ để có thể tinh giới hạn nhanh hơn.

  

^ ^

 

^ ^



  

 

 

   

     

n n n n n n

n n n

n n n n

n n n n n n

n

2 2

2

2 2

lim 2 lim

2

2 2 2

lim lim lim 1

2 2 1 2 1

b. Ta có biến đổi:

Bài tập mẫu 1: Tính các giới hạn sau:

a. lim



n²2n n



b. ^lim



ⁿ² ^²ⁿ^³^ⁿ



c. ^lim



³ ⁿ^²^ ³ ⁿ



^d.^lim ₃_n_₂¹_ ₂_n_₁

e. ^lim



ⁿ^{ }¹ ⁿ²^²ⁿ^⁵



^f.^lim



³ⁿ³^³ⁿ²^{ }¹ ⁿ²^⁴ⁿ



(17)

  

^ ^ ^



^ ^ ^



   

  

2 2

2

2 3 2 3

lim 2 3 lim

2 3

n n n n n n

n n n

   

 

     

 

   



 

  

 

 

2 2

2 3 2 3

lim lim

2 3 2 3

2 3

2 3 2

lim lim 1

2 3 1 1 2 3

1 1

n n n n

n n n n n n

n n

n n n n n

2 2 3

n  n n là biểu thức liên hợp của n² 2n3n

c. Ta có biến đổi:

     

 

2 3 2

3 3 3 3 3

3 3

2 3 3 3 2

3

2 2 2.

lim 2 lim

2 2.

n n n n n n

n n

n n n n

 

       

 

  

   

   

3 3

2 3 3 3 2 2 3 3 3 2

3 3

2 2

lim lim

2 2. 2 2.

n n n n

n n n n n n n n

   

 

       

 

² ³ ³ ³ ²

3

lim 2 0

2 2.

n n n n

 

   

d. Ta có biến đổi:

  

 

1 3 2 2 1

lim lim

3 2 2 1 3 2 2 1 3 2 2 1

3 2 2 1

lim lim 3 2 2 1

3 2 2 1

n n

n n n n n n

n n

  



        

  

      

   e. Ta có biến đổi:

(18)

    

   

2 2

2

2 2 2 2

2 2

2

1 2 5 1 2 5

lim 1 2 5 lim

1 2 5

1 2 5 2 5

lim lim

1 2 5 1 2 5

2 5

lim 1

1 2 5

n n n n n n

n n n

n n n n n n

n

n n n

       

    

   

      

 

       

 

  

   

f. Ta có biến đổi:

   

 

   

3 3 2 2 3 3 2 2

3 3 2 2

lim 3 1 4 lim 3 1 4

lim 3 1 4

lim 3 1 lim 4

n n n n n n n n n n

n n n n n n

          

      

Đặt:

 

3 3 2

1

2 2

lim 3 1

lim 4

L n n n

    



   



Với L1 ta sử dụng nhân lượng liên hiệp bậc ba.

 

   

 

3 3 2

1

2

3 3 2 3 3 2 3 3 2 2

2

3 3 2 3 3 2 2

3 2 3

2

3 3 2 3 3 2 2

2 2

3 3 2 3 3 2 2

lim 3 1

3 1 3 1 3 1

lim

3 1 3 1

3 1

lim

3 1 3 1

3 1

lim

3 1 3 1

L n n n

n n n n n n n n n

n n n n n n

n n n

n n n n n n

n

n n n n n n

   

 

          

 



     

  



     

 

     

Với L1 ta sử dụng nhân lượng liên hiệp bậc hai.

(19)



2

 

²



²



2 2

4 4

lim 4 lim

4

4 4

lim lim 2

4 4

n n n n n n

L n n n

n n n

n n n n

n n n n n n

   

   

 

  

   

   

Vậy: ^lim



³ ⁿ³^³ⁿ²^{ }¹ ⁿ²^⁴ⁿ



^^L¹^^L² ^{  }¹

 

² ^{ }¹

Hướng dẫn giải a) Ta có biến đổi:

  

^ ^

 

^ ^



 

^ ^

2 2

2

2 2

2 2 2

2 2

2

3 2 1 3 2 1

lim 3 2 1 lim

3 2 1

3 2 1 3 2 2 1

lim lim

3 2 1 3 2 1

5 1 5

lim 3 2 1 2

n n n n n n

n n n

n n n n n n n

n n n n n n

n

n n n

       

    

   

        

 

       

  

    b)Ta có biến đổi:

  

1 1 3

lim lim

1 3 1 3 1 3

1 3 1 3

lim lim

1 3 2

n n

n n n n n n

n n n n

n n

  

         

     

   

   

c) Ta có biến đổi:

Bài tập mẫu 2: Tính các giới hạn sau:

a) lim( n²3n  2 n 1) b) lim ¹

1 3

n  n c) lim( n²3n 1 n1) d)

4 2 4

lim 2 1

n n n

n

    

 

  

 

(20)



₂

 

²



²



2

2 2

3 1 1 3 1 1

lim 3 1 1 lim

3 1 1

3 1 1 3 2

lim lim

3 1 1 3 1 1

n n n n n n

n n n

n n n n n

n n n n n n

       

    

   

     

   

        d) Ta có biến đổi:

  

 

^ ^

 

2 2

2

2 2

4 4 4 4

4 4

lim lim

2 1 2 1 4 4

4 4 4 4

lim lim 1

2 1 4 4 2 1 4 4

n n n n n n

n n n

n n n n n

n n n n

n n n n n n n n

          

 

 

 

  

    

 

   

  

       

Bài tập trắc nghiệm tự luyện

Bài tập 1: Giới hạn

2 3 1

lim 1

n n n

n

  

 ^bằng:

a. 1

b. 1 2

c.  d. 0

Đáp án: D Ta có biến đổi:

  

 

^ ^

 

2 2

2

2 2

3 1 3 1

3 1

lim lim

1 1 3 1

3 1 3 1

lim lim 0

1 3 1 1 3 1

n n n n n n

n n n

n n n n n

n n n n

n n n n n n n n

     

  

     

   

  

       

Vì bậc của tử là bậc nhất và bậc lớn nhất của mẫu là bậc hai. Nên giới hạn này bằng 0.

Bài tập 2: Giới hạn

3 2 2

lim 3 2

n n n

n

 

 ^bằng:

a. ³



³²^²



^b.³



³²^¹



^c. ³³ ^d.¹²

(21)

Đáp án: B

Ta có biến đổi:

  

 

   

2 2

2

2 2

3 2 3 2

3 2

lim lim

3 2 3 2 3 2

2 2 2

lim

3 3 1

3 2 3 2

n n n n n n

n n n

n n n n n

n n

n n n n

   

  

   

  

   

Bài tập 3: Giới hạn lim( 2n² 1 2n²1) bằng:

a. 1 b. 4 c.  d. 0

Đáp án: D

Ta có biến đổi:

