Giới hạn dãy số, giới hạn hàm số và hàm số liên tục - Diệp Tuân - TOANMATH.com

(1)

1

Lớp Toán Thầy–Diệp Tuân Tel: 0935.660.880

4 GIỚI HẠN

A. L TH T

I. DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN 0.

1. Định nghĩa. Ta nói rằng dãy số

 

un có giới hạn 0 nếu với mọi số dương nhỏ bao nhiêu tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ số hạng nào đó trở đi, đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn số dương đó.

Bằng cách sử dụng các kí hiệu toán học, định nghĩa trên có thể viết như sau:

limu_n     0



 0, n0:nn0  u_n 



. Kí hiệu: ^lim

 

un ⁰ hoặc limu_n 0 hoặc u_n 0

Ví dụ 1. Chứng minh dãy số

 

¹

4 5

n

un

n

 

 sau đây có giới hạn là 0.

Lời giải

...

2. Nhận xét

limu_n  0 limu_n 0.

Nếu

 

un có u_n 0,  n ^* thì limu_n lim 00.

Cho hai dãy số

 

un và

 

vn . Nếu

 

lim 0

n n

n

u v

v

 



  thì limu_n 0.

Đây là một nhận xét quan trọng để chứng minh giới hạn bằng 0bằng định nghĩa.(giới hạn kẹp).

3. Các dãy số có giới hạn 0 thường gặp.

lim1 0

n  1

lim 0

n^ 



^^⁰



^lim^C ⁰

n  với Clà hằng số

lim 1_k 0

n^n 



^k^ ^



^limk¹ ⁰

n 



^k^^2,^k^



^lim^qⁿ ^⁰



^q ^^{1 .}



4. Ví dụ minh họa.

Ví dụ 2. Chứng minh rằng các dãy số với số hạng tổng quát sau đây có giới hạn 0 a).

 

¹

3 2

n

un

n

 

 . b). sin 2₃

n 2

n n

u  n

 . c).

 

^{1 cos}ⁿ

n

u n

n

  . d.) 3sin ₂ 4 cos

2 1

n

n n

u n

 

 . Lời giải

...

BÀI 1.

GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

(2)

2

... ...

...

II. DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN HỮU HẠN.

1. Định nghĩa. Ta nói dãy số

 

un có giới hạn là số thực L nếu ^lim



unL



⁰ .

Khi đó ta viết ^lim

 

n

n u L

  , viết tắt là ^lim

 

un L hoặc limu_n L.

Nhận xét:

Để chứng minh dãy số

 

un có giới hạn là số thực L ta chuyển về việc đi chứng minh

^lim



un L



⁰ .

limu_n  a u_na nhỏ bao nhiêu cũng được với n đủ lớn.

Không phải mọi dãy số đều có giới hạn hữu hạn.

 Ví dụ 2. Chứng minh rằng a).

3

lim 3 1

1 n n

   

  

  . b).

2 2

3 2 1

lim 2 2

n n

   

  

  .

Lời giải

...

Ví dụ 3. Chứng minh rằng

a). 3.3 s in3

lim 3

3

n n

  n

 

  . b).^lim



ⁿ²^{ }ⁿ ⁿ



^¹₂^.

Lời giải

... ...

(3)

3

... ...

...

2. Một số định lý.

Định lý 1. ( tìm giới hạn của hàm trị tuyệt đối hoặc căn thức) Giả sử limu_n L. Khi đó limu_n  L và lim³u_n  ³ L.

Nếu u_n 0 với mọi n thì L0 và lim u_n  L.

Định lý 2. Giả sử limu_n L, limv_n M và C là một hằng số. Khi đó

 

lim u_nv_n  L M. ^lim



u vn^. n



L M^. ^lim



Cun



CL. lim ⁿ

n

u L

v M

 

 

  với M 0. limcc (c là hằng số).

Nhận xét.

Cho ba dãy số

   

un ^, vn và

 

wn . Nếu un vn wn^,

 

n và ^limun ^limwn a a^,







thì

limv_n a (gọi định lí kẹp).

Điều kiện để một dãy số tăng hoặc dãy số giảm có giới hạn hữu hạn:

 Một dãy số tăng và bị chặn trên thì có giới hạn hữu hạn.

 Một dãy số giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn hữu hạn.

3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

Cho cấp số nhân

 

un có công bội q và thỏa q 1.

Khi đó tổng S  u₁ u₂   u₃ u_n  được gọi là tổng vô hạn của cấp số nhân và

1



1



1

lim lim

1 1

n n

u q u

S S

q q

   

  .

Vậy cấp số nhân

 

un có công bội q thỏa mãn q 1 thì ₁ ₂ ... ¹

1 S u u u

    q

 .

Ví dụ 4. Tính các tổng sau

a). 1 1₂ 1

... ...

3 3 3ⁿ

S     b). ¹ ¹ ¹

 

^{1 .} ¹

2 4 2

n

S       n  c). S 16 8 4 2 ...    Lời giải

(4)

4

Lớp Toán Thầy–Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 ...

...

Ví dụ 5. Hãy biểu diễn các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau dưới dạng phân số a). A0,353535.... b). B5, 231231....

Lời giải

...

III. DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN VÔ CỰC 1. Dãy số có giới hạn 

Định nghĩa. Ta nói rằng dãy số

 

un có giới hạn là  nếu với mỗi số dương tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ số hạng nào đó trở đi, đều lớn hơn số dương đó.

Khi đó ta viết

 

lim u_n   hoặc limu_n   .

Từ định nghĩa, ta có các kết quả

limn ; lim n  ; lim3n   . 2. Dãy số có giới hạn 

Định nghĩa. Ta nói rằng dãy số

 

un có giới hạn là  nếu với mỗi số âm tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ số hạng nào đó trở đi, đều nhỏ hơn số âm đó.

Khi đó ta viết

 

lim u_n   hoặc limu_n   .

Nhận xét.

Nếu ^lim

 

un   thì ^lim



un



 .

(5)

5

Các dãy số có giới hạn hoặc được gọi chung là các dãy số có giới hạn vô cực hay dần

đến vô cực.

Nếu limu_n   thì lim ¹ 0

un  . 3. Các quy tắc tìm giới hạn vô cực

• Quy tắc nhân:

limu_n limv_n ^lim



u vn^. n



limu_n limv_n  L 0 ^lim



u vn^. n



     

     

     

     

• Quy tắc chia

limu_n  L 0 có dấu limv_n 0,v_n 0 có dấu ^lim ⁿ

n

u v

  

  

  

  

4. Các ví dụ minh họa.

Ví dụ 6. Tìm giới hạn của dãy

 

un biết:

a). u_n 3n³2n²2 b). u_n  2n⁴3n³n c).

4 3

2

4 2 1

n 1

n n

u n

 

 

d). un ⁴ⁿ^2.

 

³ ⁿ^¹ e).

2

cos 4 2 n 10

u _n n  _ n

f).

4 2 2

3

4 1 2

3 2

n

n n n

u

n n n

  

   .

Lời giải

...

... ...

(6)

6

... ...

...

B. PHÂN DẠNG VÀ BÀI TẬP MINH HỌA.

Dạng 1. Chứng minh dãy số có giới hạn là 0.

1. Phương pháp.

 Cách 1: Áp dụng định nghĩa.

 Cách 2: Sử dụng các định lí sau:

Nếu k là số thực dương thì 1

lim _k 0 n  .

Với hai dãy số

 

un và

 

vn , nếu u_n v_n với mọi n và limv_n 0 thì limu_n 0.

Nếu q 1 thì limqⁿ 0.

2. Bài tập minh họa.

Bài tập 1. Chứng minh các dãy số

 

un sau đây có giới hạn là 0.

a). cos 4

n 3 u n

 n

 b).

1 cos 3

2 3

n

u n

n

 

 c).

 

1 1

2 3

n

n n n

u _ _

 

Lời giải

...

(7)

7

Bài tập 2. Chứng minh rằng các dãy số với số hạng tổng quát sau đây có giới hạn 0

a). u_n  n³ 2 n³1. b). 3 sin 2 4

2 4.5

n n

n n n

u  n

 .

c). ₂sin 2

n

n n

u 

  . d).

cos 5

n

n n u

n n n

 

  .

Lời giải

...

(8)

8

Bài tập 3. Cho dãy số

 

un với

n 3n

u  n . a). Chứng minh rằng ¹ ²

3

n n

u u

  với mọi n ^*.

b). Bằng phương pháp quy nạp chứng minh rằng 2

0 3

n

un  

     với mọi n *. c). Dãy

 

un có giới hạn 0.

Lời giải

...

3. Câu hỏi trắc nghiệm.

Câu 1. Kết quả của giới hạn lim ^{sin 5} 2 3

n n

  

 

  bằng:

A. 2. B. 3. C. 0. D. 5

3. Lời giải.

...

(9)

9

Lớp Toán Thầy–Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Câu 2. Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn k để

2 cos1

lim 1.

2 2

n nk

n n

 

A. 0. B. 1. C. 4. D. Vô số.

Lời giải.

...

Câu 3. Kết quả của giới hạn 3sin 4 cos

lim 1

n n

n



 bằng:

A. 1. B. 0. C. 2. D. 3.

Lời giải.

...

Câu 4. Kết quả của giới hạn lim 5 ^{cos 2}₂ 1

n n

n

  

  

  bằng:

A. 4. B. 1

4. C. 5. D. 4.

Lời giải.

...

Câu 5. Kết quả của giới hạn lim ²sin 2 ³ 5

n n n

  

 

  là:

A. . B. 2. C. 0. D. .

Lời giải.

...

Câu 6. Giá trị của giới hạn

 

¹

lim 4

1

n

  



 

  

 

bằng:

A. 1. B. 3. C. 4. D. 2.

(10)

10

Lớp Toán Thầy–Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Lời giải.

...

Câu 7. Cho hai dãy số

 

un và

 

vn có

 

2

1 1

n

un

n

 

 và ₂1

2. vn

n

 Khi đó ^lim



unvn



có giá trị

bằng:

A. 3. B. 0. C. 2. D. 1.

Lời giải.

...

Dạng 2. Dùng định nghĩa chứng minh dãy số

 

un có giới hạn hữu hạn L. 1. Phương pháp.

Ta biến đổi limu_n Lvề dạng tìm lim có giới hạn bằng 0 tức là chứng minh limu_n  L 0.

Kết luận limu_n L.

Bài tập 4. Chứng minh:

a). 2 3 1

lim4 5 2 n

n

 

 b). 4.3 5.2 2

lim6.3 3.2 3

n n

 

 c). ^lim



ⁿ²^²ⁿ^ⁿ



^¹^.

Lời giải

...

... ...

(11)

11

...

Dạng 3. Tìm giới hạn của dãy

 

un có giới hạn hữu hạn bằng quy tắc, định lý.

Bài toán 1. Dãy

 

un là một phân thức hữu tỉ dạng

 

n

u P n

Q n (với ^{P n Q n}

   

^, là hai đa thức).

1. Phương pháp:

Chia cả tử và mẫu cho n^k với n^k là lũy thừa có số mũ lớn nhất của ^{P n}

 

^và^{Q n}

 

^{(hoặc rút}

nk là lũy thừa có số mũ lớn nhất của ^{P n}

 

^và^{Q n}

 

ra làm nhân tử) sau đó áp dụng các định

lý về giới hạn.

Nếu klà số thực dương thì 1

lim _k 0 n  .

Nếu q 1 thì limqⁿ 0.

Bài tập 5. Tìm giới hạn của dãy

 

un biết:

a).

2 2

2 3 1

5 3

n

n n

u n

 

  b).

3 2

4 3

2 3 4

n 4

n n

u n n n

  

   c).

    

4 2

2

2 3

2 1 1 3 2 1

n

n n n

u n n n

 

   

d). ₂ 1 ₂1

2 2 3

un

n n n

 

  e).

   

2 3

3 2

2 1 3 4

4 2 2

n

n n

u

n n

 

   f).

2

2 1

2 3

n

u n n

n n

 

  Lời giải

...

... ...

(12)

12

...

(13)

13

... ...

 Bài tập 6. Tìm các giới hạn sau a).

2 2

4 2

lim 2 1

n n n n

  

  . b). ^{lim 2}



¹



² ₂ ³ ₂ ¹

2 3 1

n n n n n

 

      . Lời giải

...

Câu 8. Giá trị của giới hạn ₂ 3 lim4n 2n 1



  là:

A. 3 4.

 B. . C. 0. D. 1.

Lời giải.

... ...

...

2 3

lim 2

3 1

n n



  bằng:

A. 2. B. 1. C. 2

3. D. 0.

Lời giải.

... ...

...

(14)

14

Lớp Toán Thầy–Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Câu 10. Giá trị của giới hạn

3 4

3 2 1

lim4 2 1

n n

 

  là:

A. . B. 0. C. 2

7. D. 3

4. Lời giải.

... ...

...

Câu 11. Giá trị của giới hạn lim ¹ 2 n n

n^



 bằng:

A. 3

2. B. 2. C. 1. D. 0.

Lời giải.

... ...

...

Câu 12. Cho hai dãy số

 

un và

 

vn có 1

n 1 u n

 và 2 2. vn

n

 Khi đó lim ⁿ

n

v

u có giá trị bằng:

A. 1. B. 2. C. 0. D. 3.

Lời giải.

... ...

...

Câu 13. Cho dãy số

 

un với 4

5 3

n

u an n

 

 trong đó a là tham số thực. Để dãy số

 

un có giới hạn

bằng 2, giá trị của a là:

A. a10. B. a8. C. a6. D. a4.

Lời giải.

... ...

...

 

un với 2

5 3

n

u n b n

 

 trong đó b là tham số thực. Để dãy số

 

un có giới hạn

hữu hạn, giá trị của b là:

A. b là một số thực tùy ý. B. b2.

C. không tồn tại b. D. b5.

Lời giải.

... ...

(15)

15

...

Câu 15. Tính giới hạn

2 2

lim 5.

2 1

n n

L n

  



A. 3

2.

L B. 1

2.

L C. L2. D. L1.

Lời giải.

... ...

...

 

un với

2 2

4 2

5 .

n

n n

u an

  

 Để dãy số đã cho có giới hạn bằng 2, giá trị của a là:

A. a 4. B. a4. C. a3. D. a2.

Lời giải.

... ...

...

2 3

3

lim 3 .

2 5 2

n n

L n n

 

 

A. 3

2.

L  B. 1

5.

L C. 1

2.

L D. L0.

Lời giải.

... ...

...

Câu 18. Tìm tất cả các giá trị của tham số a để

 

2 4

4

5 3

lim 0.

1 2 1

n an

L a n n

  

  

A. a0;a1. B. 0 a 1. C. a0;a1. D. 0 a 1.

Lời giải.

... ...

...

  

   

3 2

4

2 3 1

lim .

2 1 7

n n n

L

n n

 

  

(16)

16

A. 3

2.

L  B. L1. C. L3. D. L .

Lời giải.

... ...

...

... ...

...

    

  

2 3

4 2

2 2 1 4 5

lim .

3 1 3 7

n n n n

L

n n n

  

   

A. L0. B. L1. C. 8

3.

L D. L .

Lời giải.

... ...

...

... ...

...

3 3

lim 1. 8 L n

n

 



A. 1

2.

L B. L1. C. 1

8.

L D. L .

Lời giải.

... ...

...

Bài Toán 2. Dãy u_n là một phân thức dạng

 

n

u P n

Q n (với ^{P n Q n}

   

^, là các biểu thức chứa căn của n).

1. Phương pháp.

 Bước 1. Chia cả tử và mẫu cho n^k với n^k là lũy thừa có số mũ lớn nhất của ^{P n}

 

^và^{Q n}

 

(hoặc rút n^k là lũy thừa có số mũ lớn nhất của ^{P n}

 

^và^{Q n}

 

ra làm nhân tử) sau đó áp dụng

các định lý về giới hạn.

(17)

17

 Bước 2. Khi đó ta có các kết quả sau

Nếu

 

lim _n limP n

 

u C

 Q n  giới hạn của dãy số là C.

Nếu

 

0 lim _n limP n

u Q n

 

   





thì ta nói giới hạn đó có dạng vô định.

Khi đó để tính tiếp giới hạn ta phải khử dạng vô định bằng các kỹ thuật sau:

 Đối với căn thức: nhân lượng liên hợp của bậc hai và bậc ba( thêm đuôi)



  

   

a b a b a b2

a b

a b a b

  

  

 



  

   

a b a b a b2

a b

a b a b

  

  

 



   

2 2

3 3 3

3 3

2 2

3 3 3 3

.

. .

a b a a b b

a b a b

a a b b a a b b

 

     

  

    .



   

2 2

3 3 3

3 3

2 2

3 3 3 3

.

. .

a b a a b b

a b a b

a a b b a a b b

 

     

  

   



   

2 2

3 3 3

3 3

2 2

2 3 3 2 3 3

.

. .

a b a a b b

a b

a a b b a a b b

 

     

  

   



   

2 2

3 3 3

3 3

2 2

2 3 3 2 3 3

.

. .

a b a a b b

a b

a a b b a a b b

 

     

  

   



     

       

2 2

3 3 3 3 3 3

3 3

2 2 2 2

3 3 3 3 3 3 3 3

.

. .

a b a a b b

a b a b

a a b b a a b b

 

     

  

    .



     

       

2 2

3 3 3 3 3 3

3 3

2 2 2 2

3 3 3 3 3 3 3 3

.

. .

a b a a b b

a b a b

a a b b a a b b

 

     

  

   

 Đối với hàm đa thức: ta đặt nhân tử chung bằng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử.

 Thừa số chung.

 Hằng đẳng thức đáng nhớ.

.  Nhóm, tách và thêm bớt hạng tử.

 Nhớ:

 Nếu ax²bx c có hai nghiệm x x₁, ₂ thì ax²bx c a x



x1



xx2



 Nếu bậc ba ax³bx² cx d thì ta đoán nghiêm xx₀ rồi chia đa thức để đưa về

   

3 2

ax bx   cx d xx0 f x , với ^{f x}

 

là hàm bậc hai.

 Bài tập 7. Tìm giới hạn của dãy

 

un biết:

(18)

18

Lớp Toán Thầy–Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 a).

2 2

4 1

9 3

n

n n n

u

n n

  

  b). 2 1 3

4 5

n

n n

u

n

  

 

c).

3

2 3 2

2 4 4

4 1 8 2 3

16 4 1

n

n n n

u

n n n

   

    d).

3

2 3

4 4

3

16 1

n

n n n n

u

n

  

 

Lời giải

... ...

...

... ...

...

... ...

...

... ...

...

... ...

...

... ...

...

 

un biết:

a).u_n  n²3n 5 n b).u_n  9n²3n 4 3n2 c).u_n  ³n³3n² n d).u_n  ³8n³4n² 2 2n3 e).u_n  4n²3n 7 ³8n³5n² 1 f).^uⁿ ^



ⁿ⁴^ⁿ²^{ }¹ ³ ⁿ⁶^¹



Lời giải

... ...

...

(19)

19

... ...

...

... ...

...

... ...

...

... ...

...

... ...

...

... ...

...

... ...

...

... ...

...

... ...

...

(20)

20

... ...

...

... ...

...

... ...

...

 Bài tập 9. Tìm các giới hạn sau:

a).

2

lim 2

4 3 2

n n n

 

  b).

2

3 2 3

2 4

n 4

n n n

u

n n n

 

  

c). ^{lim 2}



ⁿ^ ⁹ⁿ²^{ }ⁿ ⁿ²^²ⁿ



^d).^lim



ⁿ²^²ⁿ^²³ⁿ²^⁸ⁿ³ ^³ ⁿ²^ⁿ



Lời giải

... ...

...

... ...

...

... ...

...

... ...

...

... ...

...

(21)

21

... ...

...

... ...

...

... ...

...

... ...

...

... ...

...

... ...

...

... ...

...

... ...

...

... ...

...

(22)

22

... ...

...

 Bài tập 10. Tìm các giới hạn sau a).

9 2 2 3

lim 4 3

n n n

n

 

 . b).

5 4

3 4 2

lim

2 3

n n

 

 . c). ^lim



⁴ⁿ²^²ⁿ^²ⁿ



^.

d). ^lim



³ ²^{n n}^ ³ ^{ }ⁿ ^{1 .}



^e).^limⁿ²_n^⁴_{ }³¹₁^ⁿ_n⁶² ^f).^lim



ⁿ² ^²ⁿ^{ }³ ³ ⁿ²^ⁿ³



Lời giải

... ...

...

... ...

...

... ...

...

... ...

...

... ...

...

... ...

...

... ...

(23)

23

...

... ...

...

... ...

...

... ...

...

... ...

...

... ...

...

Câu 22. Kết quả của giới hạn

9 2 1

lim 4 2

n n n

 

 bằng:

A. 2

3. B. 3

4. C. 0. D. 3.

Lời giải.

... ...

...

2 4

2 1

lim

3 2

n n

n

  

 bằng:

A. 2 3.

 B. 1

2. C. ³.

 3 D. 1

2.

 Lời giải.

... ...

(24)

24

...

Câu 24. Kết quả của giới hạn 2 3 lim

2 5

n n



 là:

A. 5

2. B. 5

7. C. . D. 1.

Lời giải.

... ...

...

Câu 25. Kết quả của giới hạn 1 4 lim

1 n

n n

 

  bằng:

A. 1. B. 0. C. 1. D. 1

2. Lời giải.

... ...

...

Câu 26. Biết rằng

2 2

lim 1 sin .

2 4

n n

a b

n n



   

  Tính S a³b³.

A. S 1. B. S8. C. S0. D. S 1.

Lời giải.

... ...

...

4 2

lim 10

1

n n  là:

A. . B. 10. C. 0. D. .

Lời giải.

... ...

...

 

4 2

2 2

lim 1

1 n n

n n

 

  là:

A. . B. 1. C. 0. D. .

(25)

25

Lớp Toán Thầy–Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Lời giải.

... ...

...

Câu 29. Biết rằng

3 3 2

2

5 7

lim 3

3 2

an n

b c

n n

 

 

  với a b c, , là các tham số. Tính giá trị của biểu thức

3 . P a c

b

 

A. P3. B. 1

3.

P C. P2. D. 1

2. P Lời giải.

... ...

...

Câu 30. Kết quả của giới hạn lim 200 3⁵  n⁵2n² là:

A. . B. 1. C. 0. D. .

Lời giải.

... ...

...

... ...

...

Câu 31. Giá trị của giới hạn ^lim



ⁿ^{ }⁵ ⁿ^¹



^bằng:

A. 0. B. 1. C. 3. D. 5.

Lời giải.

... ...

...



ⁿ²^{  }ⁿ ¹ ⁿ



^là:

A. 1 2.

 B. 0. C. 1. D. .

Lời giải.

... ...

(26)

26

...



ⁿ²^{ }¹ ³ⁿ²^²



^là:

A. 2. B. 0. C. . D. .

Lời giải.

... ...

...



ⁿ²^²ⁿ^ ⁿ²^²ⁿ



^là:

A. 1. B. 2. C. 4. D. .

Lời giải.

... ...

...

... ...

...

Câu 35. Có bao nhiêu giá trị của a để ^lim



ⁿ²^^{a n}² ^ ⁿ²^



^a^²



ⁿ^{ }¹



^0.

A. 0. B. 2. C. 1. D. 3.

Lời giải.

... ...

...

... ...

...



²ⁿ²^{  }ⁿ ¹ ²ⁿ²^³ⁿ^²



^là:

A. 0. B. ².

2 C. . D. .

Lời giải.

... ...

(27)

27

...

... ...

...



ⁿ²^²ⁿ^{ }¹ ²ⁿ²^ⁿ



^là:

A. 1. B. 1 2. C. . D. .

Lời giải.

... ...

...

... ...

...

Câu 38. Có bao nhiêu giá trị nguyên của a thỏa ^lim



ⁿ²^⁸ⁿ^{ }ⁿ ^a²



^⁰^.

A. 0. B. 2. C. 1. D. Vô số.

Lời giải.

... ...

...

... ...

...



ⁿ²^²ⁿ^{ }³ ⁿ



^là:

A. 1. B. 0. C. 1. D. .

Lời giải.

... ...

...

... ...

...

(28)

28

Lớp Toán Thầy–Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Câu 40. Cho dãy số

 

un với u_n  n²an 5 n²1, trong đó a là tham số thực. Tìm a để

limu_n  1.

A. 3. B. 2. C. 2. D. 3.

Lời giải.

... ...

...

... ...

...



³ⁿ³^{ }¹ ³ⁿ³^²



^bằng:

A. 3. B. 2. C. 0. D. 1.

Lời giải.

... ...

...



³ ⁿ²^ⁿ³ ^ⁿ



^là:

A. 1

3. B. . C. 0. D. 1.

Lời giải.

... ...

...



³ ⁿ³^²ⁿ² ^ⁿ



^bằng:

A. 1

3. B. 2

3.

 C. 0. D. 1.

Lời giải.

... ...

...

... ...

(29)

29

Lớp Toán Thầy–Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Câu 44. Giá trị của giới hạn ^lim^_ ⁿ



ⁿ^{ }¹ ⁿ^¹



^_^là:

A. 1. B. . C. 0. D. 1.

Lời giải.

... ...

...

Câu 45. Giá trị của giới hạn ^lim^_ ⁿ



ⁿ^{ }¹ ⁿ



^_^bằng:

A. 0. B. 1

2. C. 1

3. D. 1

4. Lời giải.

... ...

...

Câu 46. Giá trị của giới hạn ^lim^ⁿ



ⁿ²^{ }¹ ⁿ²^³



^ bằng:

A. 1. B. 2. C. 4. D. .

Lời giải.

... ...

...

Câu 47. Giá trị của giới hạn ^lim^ⁿ



ⁿ² ^{  }ⁿ ¹ ⁿ²^{ }ⁿ ⁶



^ là:

A. 7 1. B. 3. C. 7

2. D. . Lời giải.

... ...

...

... ...

...

(30)

30

... ...

2

lim 1

2 4

n^  n  là:

A. 1. B. 0. C. . D. .

Lời giải.

... ...

...

... ...

...

9 2 2

lim 3 2

n n n

n

  

 là:

A. 1. B. 0. C. 3. D. .

Lời giải.

... ...

...

... ...

...

3 3

lim 1

1

n  n là:

A. 2. B. 0. C. . D. .

Lời giải.

... ...

...

(31)

31

Lớp Toán Thầy–Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Bài Toán 3. Dãy

 

un là một phân thức hữu tỉ dạng

 

n

u P n

Q n ( trong đó ^{P n Q n}

   

^, là các biểu thức chứa hàm mũ a b cⁿ, ⁿ, ⁿ,…

1. Phương pháp.

Chia cả tử và mẫu cho aⁿ với a là cơ số lớn nhất .

Rồi áp dụng kết quả của giới hạn limqⁿ 0



^q ^^{1 .}



 

un biết:

a). 2 4

4 3

n n

n n n

u  

 b). 3.2 5 5.4 6.5

n n

n n n

u  

 c).

2 1

1 3

4 6

5 2.6

n n

n n n

u

 

 

 

 d).

2

2 1

3 2

n

n n

u

 





e).

 

³ ^4.5 ¹

2.4 3.5

n n

n n n

u

  

  f).

2

1 2 1

2 3 4.5

2 3 5

n n n

n n n n

u



  

  

 

g). 2 3₁ 4 ₁

lim2 3 4

n n n

n n n

 

  h).

2 2

1 2 2 ... 2 lim1 3 3 ... 3

n