Chuyên đề giới hạn của dãy số - Huỳnh Ái Hằng

(1)

CHUYÊN ĐỀ: GIỚI HẠN

Chủ đề 1:

I- LÝ THUYẾT:

1.ĐỊNH LÍ 1: Cho hai dãy số

   

un ^, vn . Nếu ; ^*

lim 0

n n

n

u v n

v

   



 

 thì limu_n0.

2.CÁC PHÉP TOÁN: Giả sử limu_n  L , limv_nM và c là một hằng số. Khi đó:

   

*

* ;

* lim lim . .

* lim . . lim 0

n n n n

n n

n

u v L M u v L M

u L

c u c L M

v M

   

  

Định lý 1:NGUYÊN LÝ WEIERSTRASS

Một dãy số tăng và bị chặn trên ( hoặc giảm và bị chặn dưới ) thì có giới hạn.

Định lý 2: (ĐỊNH LÝ KẸP GIỮA)

Cho 3 dãy số ( ), ( ),u_n v_n (w_n) với: v_n u_nw_n ^; n ^*. Lúc đó: lim

lim lim

n

n n

v A

u A

w A

  

 

  





Tác giả: HUỲNH ÁI HẰNG Biên tập: Lê Bá Bảo

(2)

*CÁC KẾT QUẢ QUAN TRỌNG:

* ^lim^{c c}^ ^,



^c^^



^* ₃

3

lim lim

lim

n n

n

u L

 

  

 

* lim vµ

0 lim 0

n

n n

u L

L u L

u n

 

  

  



* Tổng cấp số nhân lùi vô hạn



^q ^¹



^: 1 1 1 ² ... ¹ 1 S u u q u q u

     q



* 1

lim _n lim 0

n

u    u 

*

3

1 1 1

lim 0; lim 0; lim 0;

n  n  n 

* limqⁿ 0 nếu q 1

*^lim ¹k ⁰



k ^*



n   Mở rộng: lim c_k 0 n 

* limn ; lim n ; lim³n 

* limqⁿ  nếu q1

* ^limⁿ^k ^{ }^,



^k^^^*



3. MỘT VÀ QUY TẮC TÌM GIỚI HẠN DÃY SỐ:

limu_n  , limv_n   limu_n  , limv_n  L 0 limu_n L 0, limv_n0 limu_n limv_n limu v_n. _n limu_n Dấu L limu v_n. _n Dấu L Dấu v_n

lim ⁿ

n

u v





















































II – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM MINH HỌA:

Câu 1. Với k là số nguyên dương thì 1 lim _k

n bằng

A. ^. B. ^. C. 0 . D. 1.

Hướng dẫn:



^*



lim 1_k 0, k

n   . Lựa chọn đáp án C.

(3)

Câu 2. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A. ^lim¹ ^lim ¹_k ^;



^k



n n  . B. limqⁿ0 nếu q1. C. limcc (c là hằng số). D. lim³u_n ³ limu_n . Hướng dẫn:

limqⁿ0 nếu q 1. Lựa chọn đáp án B.

Câu 3. Cho dãy số

 

un thỏa mãn 1₂

n 2

u  n với mọi n. Khi đó, limu_n có giá trị bằng

A. 2. B. 2. C. 0 . D. 1.

Hướng dẫn:

Vì 1₂

n 2

u  n và 1₂

lim 0

n  nên ^lim



un ²



⁰. Vậy limu_n2. Lựa chọn đáp án A.

Câu 4. Dãy số nào sau đây có giới hạn khác 0?

A. 1 1

n . B. 1

n. C. 1

n . n

 D. cosn n . Hướng dẫn:

1 1

limn lim 1 1 0

n n

 

      . Lựa chọn đáp án C.

Câu 5. Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0?

A. 3 2

 n

  

   . B. 5 4

 n

  

 

  . C. 2 3

 n

  

   . D. 4 3

 n

  

 

  . Hướng dẫn:

Vì 2

1 1

  3 nên 2

lim 0

3

 n

  

  

  . Lựa chọn đáp án C.

Câu 6. Dãy nào sau đây không có giới hạn?

A. 2 3

 n

  

   . B. 2 3

 n

  

 

  . C.



0,99



ⁿ. D.

 

1ⁿ. Hướng dẫn:

Nếu n chẵn thì

 

^¹ ⁿ^¹^,ⁿ^{lẻ thì}

 

^¹ ⁿ^{ }¹. Do đó dãy số

 

^¹ⁿ không có giới hạn.

(4)

Câu 7.

 

1

lim 2

n



 có giá trị bằng A. 1

2. B. 0 . C. 1. D. 1

2. Hướng dẫn:

 

¹ ₁ ₁

 

¹

. Do lim 0 lim 0

2 2

n n

n n n n

 

   

  .

Lựa chọn đáp án B.

Câu 8. Dãy số nào sau đây có giới hạn khác 0?

A. 1

3n. B.

 

¹

.

n

 C. 5

4 .

 n

  

   D. 2₂ n . Hướng dẫn:

Vì 5

41 nên 5

lim .

4

 n

   

  

  Lựa chọn đáp án C.

Câu 9. 1 2 lim 4

n n

 có giá trị bằng

A. 1

4. B. 1

4. C. 1

2. D. 1

2. Hướng dẫn:

1 2

1 2 1

lim lim

4 4 2

n n

n

     . Lựa chọn đáp án D.

Câu 10. 3 5 lim 5

n n

n

 có giá trị bằng

A. 1. B. 0 . C. 3

5. D. 8

5. Hướng dẫn:

3 1

5

3 5

lim lim 1

1 5

n

n n

n

   

 

  

  .

Lựa chọn đáp án A.

(5)

Câu 11.

7 1 5 1

lim 3.4 7

n n

  

A. 7. B. 0 . C. 1. D. 1

1

5 1

7 7 7

7 5 1 7.7 5 1

lim lim lim 7

3.4 7 3.4 7 4

3. 1

7

n n

n n n n

n n n n n



   

 

   

           

      

.

Câu 12.

2

2 2

3 2

lim3 3 2

n n n

π

π ^

 

  có giá trị bằng A. 1

3. B. 1

4. C. ^. D. 1.

Hướng dẫn:

2

2 2

3 1

4 4

3 2 3 4 1

lim lim lim

4

3 3 2 3 3 4.4 3

3 4

4 4

n n

n n n n n n

n n n n n n n n

π

π π

π ^ π π

   

    

   

 

          

          

.

Câu 13.

3 4

2 5

lim 2 2

n n

  

  có giá trị bằng

A. . B. 2. C. 0 . D. 6.

Hướng dẫn:

3 3 4

4

3 4

2 1 5

2 5

lim lim 0

2 2

2 2 1

n n n n n

n n

  

    

   

. Lựa chọn đáp án C.

Câu 14. Gọi sin 3

lim 4 n

L  n thì L bằng số nào sau đây?

A. 0. B. 2. C. 2. D. 4.

Hướng dẫn:

(6)

Ta có sin 3n 1

n n sin 3

lim n 0

 n  sin 3

lim 4 n 4 2

L n

     .

Lựa chọn đáp án C.

Câu 15.

4 4

2 1

lim 3 2 n n

n n

 

A. 0 . B. 2

3. C. ^. D. 2

4 3 4

4

3

1 1

2 1 2 2

lim lim

2 3

3 2 3

n n n n

n n

n

 

   

 

. Lựa chọn đáp án B.

Câu 16.

3 2

2

2 4

lim 2 3

n n

 

  có giá trị bằng

A. 2. B. 0 . C. ^. D. 2.

Hướng dẫn:

3

3 2 3 3

2

2 2

1 4 1 4

2 2

2 4

lim lim lim

2 3

1 1

n n

n n n n n n

n n

n n n n n

   

     

     

 

       

         

.

Lựa chọn đáp án C.

Câu 17.

   

2 2

2 3

lim 1 2 5

n n

 

  có giá trị bằng

A. 0 . B. 1

2. C. 1. D. .

Hướng dẫn:

   

2 2

2 3 2 3

1 1 1 1

2 3 1

lim lim lim

2

1 5 1 5

1 2 5 1 2 1 2

n n

n n n n n n

n n n n

      

          

      

                .

Câu 18. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn 1 1₂ 1 ... ...

5 5 5ⁿ

S     có giá trị bằng A. 1

5. B. 1

4. C. 2

5. D. 5

4.

(7)

Hướng dẫn:

2

1 1 1

... ...

5 5 5ⁿ

S     là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với ₁ 1

u  5 và 1 q5. Khi đó,

1 5 1

1 4

1 5

S 



. Lựa chọn đáp án B.

Câu 19. Cho các dãy số

       

un ^, vn ^, wn ^, αn với ³ ₂¹, ² ₂

1 1 2

n

n n n

u n v

n

  

  , 2017

n 4n

w  ,

4 1

2017 2

n

n n

α 

  . Có bao nhiêu dãy số có giới hạn bằng 0 trong các dãy số trên?

A. 1. B. 2. C. 3 . D. 4.

Hướng dẫn:

Có 3 dãy có giới hạn bằng 0 gồm

     

u_n , v_n , w_n . Lựa chọn đáp án C.

Câu 20. Biết 4 1 lim 2

n a

n

 

 . Hỏi a là nghiệm của phương trình nào sau đây?

A. x² 4 0. B. x²5x 4 0. C. x²5x 4 0. D.

2

4 0

5 4

x

x x

 

  . Hướng dẫn:

4 1

lim 4

2

n a a

n

   

 . Lần lượt thế a4 vào các phương trình ở các phương án.

Lựa chọn đáp ánB.

Câu 21. ^{lim 3}



ⁿ³^ⁿ²^¹



có giá trị bằng

A.2. B. 1. C. . D. .

Hướng dẫn:



³ ²



³ ¹ ¹₃

lim 3n n 1 limn 3

n n

 

       . Lựa chọn đáp án C.

Câu 22. ^lim



ⁿ²^{ }ⁿ ⁿ²^²



A. 0 . B. 1. C. ^. D. 1

(8)



² ²

 

²₂

 

²₂ ²



₂ ² ₂

lim 2 lim lim

2 2

n n n n

n n n

n n n n n n

   

    

     

2

1 2 1

lim 1 2 2

1 1

n

n n



 

  

.

Lựa chọn đáp án D.

Câu 23. ^lim



ⁿ²^{ }ⁿ ⁿ²^²



A. 1 2. B. ^. C. 1. D. ^.

Hướng dẫn:



² ²



¹ ²²

lim n n n 2 lim n 1 1

n n

  

  

          

. Lựa chọn đáp án D.

Câu 24.

2 2

lim 2

4 2

n n n n n n

 

  có giá trị bằng

A. 4. B. 2. C. 1

2. D. 1 2. Hướng dẫn:

   

2 2 2

2 2

2 4 2

lim

4 4 2

lim 2

4 2

n n n n n n

n n n n n n

n n n n n n

   

 

    



1 1

2 4 2 2 4 2

=

2 2

1 1 1 1

lim lim =4.

n n n

   

   

       

   

 

   

        

Câu 25. ^lim



³ⁿ^¹^³ⁿ



A. 0 . B. 1. C. ^. D. ^.

Hướng dẫn:

 

²

 

²

 

²

 

²

3 3

3 3 3 3

1 1

lim lim 0

lim 1

1 ( 1) 1 ( 1)

n n

n n n n n n n n

    

 

 

     

(9)

Câu 26. 1 3 5 ... (2₂ 1)

lim 3 2

n n

    

A. 0 . B. 1. C. 1

3. D. ^.

Hướng dẫn:

1 3   5 ... (2n1) là tổng n số hạng đầu của cấp số cộng có u₁1, u_n2n1 và công sai d2.

Do đó ^{1 3} ^{5 ... (2} ¹⁾ ¹



² ¹



²

2

n n n  n

          . Suy ra

2

2 2

2

1 3 5 ... (2 1) 1 1

lim lim lim

2 3

3 2 3 2

3

n n

n

       

  

. Lựa chọn đáp án C.

Câu 27.

 

1 1 1 1

lim ...

1.2 2.3 3.4 n n 1

 

 

     

 

  

  có giá trị bằng

A. 0 . B. 2. C. 1. D. 1.

Hướng dẫn:

Ta có:

   



¹



1 1 1

1.

1 1

k k

k k k k

    



 

Do đó

 

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

... ... 1

1.2 2.3 3.4 n n 1 1 2 2 3 3 4 n n 1 n 1

       

   

                    .

Suy ra

 

1 1 1 1 1

lim ... lim 1 1.

1.2 2.3 3.4 n n 1 n 1

   

   

        

   

     

 

Lựa chọn đáp án D.

Câu 28. Cho dãy

 

¹

1

1 :

1

n n

u

u u

u ^ u

 

 

 



. Lúc đó, limu_n bằng

A. 0 . B. 2. C. 1. D. 1.

Hướng dẫn:

Dùng phương pháp quy nạp toán học, ta chứng minh được u_n ¹ limu_n 0.

 n  Lựa chọn đáp án A.

(10)

III – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TỰ LUYỆN:

Câu 1. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là đúng?

A. Nếu limu_n0 thì limu_n 0. B. Nếu limu_n   thì limu_n. C. Nếu limu_n   thì limu_n . D. Nếu limu_n a thì limu_n a. Câu 2. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?

A. Một dãy số có giới hạn thì luôn luôn tăng hoặc luôn luôn giảm.

B. Nếu

 

un là dãy số tăng thì limu_n .

C. Nếu limu_n  và limv_n  thì ^lim



unvn



⁰. D. Nếu u_naⁿ và   1 a 0 thì limu_n0.

Câu 3. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

A. lim³ f x

 

g x

 

 ³limf x

 

g x

 

 . B. lim³ f x

 

g x

 

³ limf x

 

³ limg x

 

. C. ^lim³ ^{f x}

 

^^{g x}

 

^^lim³ ^{f x}

 

^^lim³ ^{g x}

 

^.

D. ^lim³ ^{f x}

 

^^{g x}

 

^^lim^__³ ^{f x}

 

^³ ^{g x}

 

^__^.

Câu 4. Với a là một số thực, trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A. Nếu limu_na và limv_n  thì lim ⁿ 0

n

u v  . B. Nếu limu_na và limv_n thì lim ⁿ 0

n

u v  .

C. Nếu limu_na và limv_n  thì lim



u v_{n n}



 .

D. Nếu limu_n a 0 và limv_n0 và v_n0 với mọi n thì lim ⁿ

n

u

v  . Câu 5. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. Mọi dãy dương đều có giới hạn.

B. Mọi dãy tăng đều có giới hạn.

C. Mọi dãy giảm đều có giới hạn.

D. Mọi dãy là dãy không đổi đều có giới hạn.

Câu 6. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. Mọi dãy bị chặn đều có giới hạn.

B. Mọi dãy tăng và bị chặn trên đều có giới hạn.

C. Mọi dãy giảm và bị chặn trên có giới hạn.

D. Mọi dãy tăng và bị chặn dưới đều có giới hạn.

Câu 7. Cho

 

u_n là một cấp số nhân lùi vô hạn với công bội q. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. q 1.

(11)

B. ₁ ₂ ... ¹

n 1

u u u u

    q

 .

C. ₁ ₁ ₂ ² ... ₁ ... ¹

1

n u

u u q u q u q

      q

 .

D. lim ¹

n 1 S u

 q

 .

Câu 8. Để tính 2.4 5 ₁3

lim 2 5

n n n

n n

 

 ta tiến hành

A. Chia cả tử và mẫu cho 2ⁿ. B. Chia cả tử và mẫu cho 3ⁿ. C. Chia cả tử và mẫu cho 4ⁿ. D. Chia cả tử và mẫu cho 5ⁿ.

Câu 9.

 

1 1

5 2 1

lim

5.2 5 3

n n



 

 

A. 1

3. B. 1

5 . C. 2

5. D. 1

5. Câu 10.

2 3

3 2

2 3

lim2 4 1

n n



  có giá trị bằng A. 3

2. B. 0 . C. 1. D. 3 2. Câu 11.



²



³



lim 1

n n

n

 

A. 0 . B. 1

3. C. 1 . D. .

Câu 12.

    

  

2 3

4 2

2 2 1 4 5

lim 3 1 3 7

n n n n

n n n

  

   có giá trị bằng

A. 0 . B. 8

3. C. 1 . D. ^.

Câu 13.

  

   

3 2

4

2 3 1

lim 2 1 7

n n n

n n

 

A. 1. B. 3 . C. 3

2. D. ^. Câu 14.

  

3

2

3 1

lim

1 1 2

n n

 

A. 0 . B. 1. C. 1

2. D. 1 4.

(12)

Câu 15. Tổng 1 1 1

1 ... ...

2 4 2ⁿ

S      bằng

A. 1. B. 2. C. 4. D. 6 .

Câu 16. Tổng 1 1 1

 

¹ ¹

+...+ ...

2 4 8 2

n

S n

 

 

     bằng A. 1. B. 1

3. C. 3

4. D. 2

3. Câu 17. Với k là số nguyên dương thì limn^k bằng

A. . B. . C. 0 . D. n.

Câu 18. ^lim



^²ⁿ³^²ⁿ²^³



A.2. B. 1. C. ^. D. ^.

Câu 19. ^{lim 3}



ⁿ⁴^⁴ⁿ²^{ }ⁿ ¹



A.^. B. ^. C. 3 . D. 7.

Câu 20. ^lim



ⁿ²^{ }⁴ ⁿ²^¹



A. 3 . B. 1. C. 0 . D. ^.

Câu 21. ^lim



ⁿ²^²ⁿ^{ }¹ ²ⁿ²^ⁿ



A. 1 2. B. . C. 1. D. .

Câu 22. ^lim



ⁿ²^²ⁿ^{ }³ ⁿ



A.1. B. 0 . C. . D. 1.

Câu 23.

9 2 2

lim 3 2

n n n

n

  

A. 1. B. 3 . C. 0 . D. ^.

Câu 24. 1 1₂ 1₃ 1

lim ..

3 3 3 3ⁿ

     

 

  có giá trị bằng

A. ¹.

2 B. 1

24. C. . D. 1.

Câu 25. ^lim



²ⁿ²^{  }ⁿ ¹ ²ⁿ²^³ⁿ^²



có giá trị bằng A. 1

2 . B. 0 . C. . D.  .

Câu 26. lim ¹ ¹

1 2

n n

 

  

 

    có giá trị bằng

A. 1. B. 0 . C. 1

2. D. ^.

(13)

Câu 27.

2017 2016

2017 2015

lim3

n n



A. 1. B. 1. C. 1

3. D. .

Câu 28.

  

1 1 1 1

lim ...

1.3 3.5 5.7 2n 1 2n 3

 

   

 

   

A. ¹

2. B. 1. C. 1

3. D. ^.

Câu 29. ^lim^^_ ⁿ



ⁿ^{ }² ⁿ^³



^^_ có giá trị bằng

A. 1. B. 0 . C. 5

2. D. ^.

Câu 30. Nếu limu_nL thì lim³ u_n8 có giá trị bằng

A. L2. B. ³ L8. C. ³ L2. D. L8. Câu 31. Nếu dãy

 

un với u_n 0,  n và limu_nL thì 1

lim u_n9 có giá trị bằng A. 1

3

L . B. 1 9

L . C. 1 3

L . D. 1 9 L . Câu 32. Cho dãy số

 

un với limu_n3. Khi đó, lim² ⁴

1

n n

u u



A.4. B. 2. C. 5 . D. 1

2. Câu 33. Cho dãy số

 

un với limu_n . Khi đó, lim ₂ ²

1

n n

u u



A. 1. B. . C. 0 . D. 2.

 

u_n với un ²

 

² ² ^...

 

² ⁿ. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

A. ^lim ²

 

² ² ^...

 

² ^... ²

1 2

n

un     

 . B. limu_n.

C. limu_n .

D. Dãy số

 

un không có giới hạn khi n . Câu 35.

3 3

lim 1

8 n n



A. 1. B. 1

2. C. 1

8 . D. ^.

(14)

Câu 36.

3 2

3

2

8 2 1

lim

2 1

n n

n

 

A. 2. B. 2. C. 1. D. .

Câu 37. ^lim ^1.4¹ ^4.7¹ ^7.10¹ ^...



³ⁿ ^{2 3}



¹ ⁿ ¹



 

   

 

   

A. ¹

2. B. 1. C. 1

3. D. ^.

Câu 38.

 

3

1.2 2.3 3.4 ... 1

lim 2016 2017

n n n

    

 có giá trị bằng A. ¹

2017. B. 1

2016. C. . D. .

Câu 39. 3 ( 1) cos 3

lim 1

n n n

n

   

 

  

A. 3

2 . B. 3. C. 5 . D. 1.

Câu 40. lim 3 ⁿ 5ⁿ

  

 

  có giá trị bằng

A. 3 . B. ^. C. ^. D.  5.

Câu 41.

2 2

lim 1

2

n n

 

A. 1. B. 2. C. 0 . D. 1.

Câu 42. ^lim



³ⁿ³^²ⁿ^ⁿ



3. B. 1

3. C. 1. D. 0 .

Câu 43. ^lim



³ⁿ²^ⁿ³^ⁿ



3. B. ^. C. 1. D. 0 .

A.

2 2

1 .

n 3 u n

n n

 

 B. 1 3 ₂

3 .

n

u n

n n

 

 C.

1 2 2

5 .

n

u n n

 

 D. 1 2

5 .

n

u n n

 



Câu 45.

 

2

2 5 8 ... 3 1

lim n

n

    

có giá trị bằng A. ¹.

3 B. 0. C. . D. 3.

(15)

Câu 46. Dãy số nào sau đây có giới hạn là ? A.

2 2

2 .

3 3

n

n n

u n n

 

 B. 1 2

3 3.

n

u n n

 

 C.

2 2

3 3.

n

u n n

 

 D.

2 3

2 .

n 5 u n

n n

 

 Câu 47. Dãy số nào sau đây có giới hạn là ?

A.

2 2

3 .

n 2

n n

u n n

 

 B. 2018 2017

1 .

n

u n

n

 

 C. u_n2017n2016 .n² D. u_nn²1.

Câu 48. Trong các giới hạn sau đây, giới hạn nào bằng 1?

A.

2 3

3 1

lim .

3 2

n n



  B.

3 3

2 3

lim .

2 1

n n



  C.

2

3 2

3 1

lim .

3 3

n

n n



  D.

3 2

lim 3 .

1 n

n



  Câu 49. Trong các giới hạn sau đây, giới hạn nào bằng 0?

A.

2 3

5 2

lim .

5 4

n n



  B.

3 2

2 5

lim .

2 1

n n n



  C.

2 4

3 2

lim 2 .

2 n n

n n



  D.

3 2

3 5

lim .

1 n n



 Câu 50. Trong các giới hạn sau đây, giới hạn nào bằng 1?

A.

2 3

lim 2 .

4 n

n



  B.

3 2

lim2 .

2 1

n n n



 C.

2 3

3 2

lim .

2 4

n n



  D.

4 2

3 2

lim .

2 1

n n



 Câu 51. Dãy số nào sau đây khôngcó giới hạn?

A. lim

 

1 sin 2

n π

  nπ

    

  

 . B. ^{lim sin}

 

^nπ ^.

C. lim cos 2 π nπ

 

  

 

 . D. ^{lim cos}

 

^nπ ^.

A. lim sin

 

nπ . B. ^{lim cos}

 

^nπ ^.

C. 2

lim sin

2 1

n π

n

  

 

  

 . D. cos₂ 2

limn n n

 .

Câu 53. Biết 4 1 lim1 2

n M

n

 

 và 4 3₁ lim2 4

n n

n_ m

 

 . Tích M m. bằng

A. 2. B. 2. C. 1

2. D. 1

2.

(16)

Câu 54. Biết 2017₂₀₁₇

lim 0

n  và 2017₂₀₁₇

lim 0

n

  . Khi đó,

 

2017

2017 sin 2017

lim n

n bằng

A. 2017 . B. 2017 . C. 1 . D. 0.

Câu 55. Để tính 1 2 3 ...₂

lim n

n

   

, một học sinh làm như sau:

Bước 1: Ta có 1 2 3 ...₂ 1₂ 2₂ 3₂ ₂

n ... n

n n n n n

   

    .

Bước 2: Suy ra 1 2 3 ...₂ 1₂ 2₂ 3₂ ₂

lim n lim ... n

n n n n n

 

         

Bước 3: Suy ra 1 2 3 ...₂ 1₂ 2₂ 3₂ ₂

lim n lim lim lim ... lim n

n n n n n

   

    

Bước 4: Suy ra 1 2 3 ...₂

lim n 0 0 0 ... 0 0

n

          . Bạn học sinh đã giải đúng hay sai? Nếu sai thìsai thì bước nào?

A. Bước 1. B. Bước 2. C. Bước 3. D. Bài giải đúng.

Câu 56. 1 3 5 ... (2₂ 1)

lim 5 4

n n

    

A. 0 . B. 1

4. C. 1

5. D. ^.

Câu 57. 1 2 3 ...₂

lim 2

n n

   

A.1. B. . C. 1. D. 1

2. Câu 58.

 

2 2 2

lim ...

1.2 2.3 n n 1

 

 

    

 

  

  có giá trị bằng

A. 1

2. B. 2. C. 0 . D. ^.

   

1

* 1

2

: 1

n 2

n

u

u u n

 u

 

   

  . Lúc đó, limu_n bằng

A. 0 . B. 2. C. 1. D. 1.

 

1

* 1

1 : 2

3

n

n n

u u

u _ u n

 



  

 

. Lúc đó, limu_n bằng

A. . B. 2. C. . D. 1.

Câu 61.

2 2 2 2

3

1 2 3 ...

lim 4 2017

n n

   

 có giá trị bằng A. ¹.

3 B. 1

24. C. . D. 3.

(17)

Câu 62. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Một dãy số có giới hạn thì luôn tăng hoặc luôn giảm.

B. Nếu u_n aⁿ và a1 thì limu_n0.

C. Nếu limu_n 0 và limv_n   thì lim( . ) 0u v_n _n  . D. Nếu limu_n   thì 2017

lim 0

un  . Câu 63. Khẳng định nào sau đây là sai?

A. Một dãy số tăng và bị chặn trên thì có giới hạn.

B. Một dãy số giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn.

C. Nếu limu_n   và limv_n   thì lim ⁿ 1

n

u v  . D. Nếu u_n aⁿvà ² a 1

   thì limaⁿ 0. Câu 64. Khẳng định nào sau đây là sai?

A. Nếu limu_n a và limv_n b thì lim(u_nv_n) a b. B. Nếu limu_n   và limv_n   thì lim(u_nv_n) 0 . C. Nếu u_n0 với mọi n và limv_n a thì a0.

D. Nếu limu_n  2 và limv_n2018 thì lim ⁿ 1009

n

v

u   . Câu 65. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Nếu limu_n a và limv_n b thì lim ⁿ

n

u a v b. B. Nếu limu_n a thì lim u_n  a.

C. Nếu limu_n 5 và limv_n 0 thì lim ⁿ

n

u

v  . D. Nếu u_n aⁿ và a 2 thì limuⁿ  . Câu 66. Cho dãy số

 

un với 2 4 6 ... 2₃

3 1

n

u n

n n

   

   . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. limu_n 0. B. limu_n 2. C. limu_n 3. D. limu_n  . Câu 67. Cho dãy số

 

un với

2 1

1 2 2 ... 2

2 3

n

n n

u    _  

 . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. 1

limuⁿ 2. B. limu_n 1. C. limu_n  . D. limu_n  . Câu 68. Cho dãy số

 

^u ^với^u ^²⁰¹⁶ ^ ⁵ . Khẳng định nào sau đây đúng?

(18)

A. limu_n 0. B. limu_n 5. C. limu_n 7. D. limu_n 2016. Câu 69. Cho 1 ¹ ¹ ... ¹ ...

2 4 2ⁿ

S      . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. S0. B. S1. C. 1

limuⁿ 2. D. limu_n  . Câu 70. Cho S  1 2 2² ... 2ⁿ.... Khẳng định nào sau đây sai?

A. S .

B. Slim(1 2 2  ² ... 2 )ⁿ .

C. S là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn.

D. S là tổng vô hạn các phần tử của một cấp số nhân.

 

un có limu_n . Khẳng định nào sau đây sai?

A. 2 1

lim 2 2

n n

u u

  . B.

 

²

2

1 1

lim 2 1 2

n n

u u

 

 . C. ^lim



³un⁶



 . D.

2 1 1

lim2 3 2

n n

u u

   

 .

--- HẾT ---

(19)

ĐÁP ÁN CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM TỰ LUYỆN

Câu 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Đáp án A D A C D B C D B A

Câu 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Đáp án D B C D B B A D B C

Câu 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

Đáp án D A A A A B C A C B

Câu 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

Đáp án D C C C A A C B B C

Câu 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

Đáp án B A D B D C D B A C

Câu 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

Đáp án D C C D C C D B D A

Câu 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

Đáp án B D C B D A B D A C

Câu 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 Đáp án D