Các Dạng Toán Về Giới Hạn Dãy Số 11 Có Lời Giải Chi Tiết

(1)

Chứng minh dãy số có giới hạn là 0

 Phương pháp:

Cách 1: Áp dụng định nghĩa.

Cách 2: Sử dụng các định lí sau:

 Nếu k là số thực dương thì lim ¹_k 0 n  .

 Với hai dãy số

 

un và

 

vn , nếu u_n v_n với mọi n và limv_n 0 thì limu_n 0.

 Nếu q 1 thì limqⁿ 0.

. Ví dụ minh họa:

Chứng minh các dãy số

 

un sau đây có giới hạn là 0.

a).

 

¹

4 5

n

un

n

 

 b). ^{cos 4}

n 3 u n

 n

 c).

1 cos 3

2 3

n

u n

n

 

 d).

 

1 1

2 3

n

n n n

u _ _

 

 Lời giải

a). Với mỗi số dương  tùy ý, cho trước, ta có

 

¹ 1 1 1 1

4 5 5

4 5 4 5 4

n

un n n

n n 

 

  

            .

Suy ra với mỗi số dương cho trước, thì với mọi số tự nhiên ^{1 1} 5 n 4



 

    ta đều có u_n  . Vậy limu_n 0 .

b). Ta có  n *thì cos 4 1 ^{cos 4} ¹ ¹ ¹

3 3

n

n u n

n n n n

     

  .Áp dụng định lí “Nếu k là một số thực dương cho trước thì 1

lim _k 0

n  ” ta được 1

lim 0

n . Từ đó suy ra limu_n 0. c). Ta có  n *thì

3

3 1 cos 2 2 1

cos 1

2 3 2 3 2

n

n u n

n n n n

      

  .Áp dụng định lí “Nếu k là một số

thực dương cho trước thì lim ¹_k 0

n  ” ta được lim¹ 0

n  . Từ đó suy ra limu_n 0. d). Ta có

 

1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1

2 3 2 3 2 2 2 ,

n

n n n n n n n n

u _ _ _ _ _ _ n

         . Vì 1 1

lim lim 0

2 2

n n

      . Từ đó suy ra limu_n 0.

CÁC DẠNG TOÁN VỀ GIỚI HẠN DÃY SỐ LỚP 11

 Dạng ➀



Ví dụ ➊

(2)

Dùng định nghĩa chứng minh dãy số

 

un có giới hạn L.

 Phương pháp:

Chứng minh limu_n L 0. . Ví dụ minh họa:

Chứng minh:

a). ² ³ ¹

4 5 2

n

u n n

  

 b). 4.3 5.2 2 lim6.3 3.2 3

n n

 

 c). ^lim



ⁿ²^²ⁿ^ⁿ



^¹

.

 Lời giải a). gọi 2 3

4 5

n

u n n

 

 .  n * ta có ¹ ² ³ ¹ ¹ ¹

2 4 5 2 8 10

n

u n

n n n

     

  .

Vì 1

lim 0

n  nên lim ¹ 0,

n 2

u  

 

  suy ra 1

limuⁿ  2.

b). Gọi 4.3 5.2 6.3 3.2

n n

n n n

u 

  .  n * ta có 2 4.3 5.2 2

3 6.3 3.2 3

n n

n n n

u 

  



12.3 15.2 12.3 6.2 3(6.3 3.2 )

n n n n

n n

  

 

7.2 7.2 7.2 7 2

6.3 3.2 6.3 3.2 6.3 6 3

n n n n

n n n n n

  

         .

Vì 2

lim 0

3

  n

   nên lim ² 0

n 3

u  

 

  . Do đó 2

limuⁿ  3.

c). Gọi ^uⁿ ^



ⁿ²^²ⁿ^ⁿ



^.^{ }ⁿ ^*^{ta có}^uⁿ ^{ }¹ ⁿ²^²ⁿ^{ }⁽ⁿ ¹⁾

2 2

2

2 ( 1) 2 ( 1)

2 ( 1)

n n n n n n

n n n

         

   

   



²



² ²

2

2 ( 1)

n n n

  

   

2 2

1 1 1

2 ( 1) 2 ( 1) n

n n n n n n

   

      . Vì lim¹ 0

n nên ^lim



un ¹



⁰. Do đó limu_n 1. Tìm giới hạn của dãy

 

un có giới hạn hữu hạn:

 Phương pháp:

DẠNG 1: u_n là một phân thức hữu tỉ dạng

 

n

u P n

Q n ( trong đó ^{P n Q n}

   

^, là hai đa thức của n).

Phương pháp: Chia cả tử và mẫu cho n^k với n^k là lũy thừa có số mũ lớn nhất của ^{P n}

 

^và^{Q n}

 

⁽

 Dạng ➁

 Dạng ➂



Ví dụ ➊

(3)

 

n

u P n

Q n ( trong đó ^{P n Q n}

   

^, là các biểu thức chứa căn của n).

 

n

u P n

Q n ( trong đó ^{P n Q n}

   

^, là các biểu thức chứa hàm mũ a b cⁿ, ⁿ, ⁿ,…. Chia cả tử và mẫu cho aⁿ với a là cơ số lớn nhất ).

DẠNG 4 : Nhân lượng liên hợp:

PHƯƠNG PHÁP : Sử dụng các công thức nhân lượng liên hợp sau:



  

2 2

a b a b a b

a b a b a b

a b a b a b

   

 

    



  

 



 ₂a³ b³ ₂ a b a ab b

  

   ₂a³ b³ ₂ a b a ab b

  

  .



   

2 2

3 3 3

3 3

2 2

3 3 3 3

.

. .

a b a a b b

a b a b

a a b b a a b b

 

     

  

    .



   

2 2

3 3 3

3 3

2 2

3 3 3 3

.

. .

a b a a b b

a b a b

a a b b a a b b

 

     

  

   



   

2 2

3 3 3

3 3

2 2

2 3 3 2 3 3

.

. .

a b a a b b

a b a b

a a b b a a b b

 

     

  

   



   

2 2

3 3 3

3 3

2 2

2 3 3 2 3 3

.

. .

a b a a b b

a b a b

a a b b a a b b

 

     

  

   



     

       

2 2

3 3 3 3 3 3

3 3

2 2 2 2

3 3 3 3 3 3 3 3

.

. .

a b a a b b

a b a b

a a b b a a b b

 

     

  

    .



     

       

2 2

3 3 3 3 3 3

3 3

2 2 2 2

3 3 3 3 3 3 3 3

.

. .

a b a a b b

a b a b

a a b b a a b b

 

     

  

   

DẠNG 5 : TÍNH GIỚI HẠN DỰA VÀO ĐỊNH LÍ KẸP:

PHƯƠNG PHÁP: Dựa vào định lí: Cho ba dãy số

   

un ^, vn và

 

wn . Nếu un vn wn^,

 

n và

 

limu_n limw_n a a,  thì limv_n a.

DẠNG 6: u_n được xác định bởi một công thức truy hồi.

Phương pháp:

Tìm công thức tổng quát của u_n theo n, sau đó tìm limu_n.

Chứng minh dãy số có giới hạn hữu hạn (có nghĩa chứng minh dãy số tăng và bị chặn trên hoặc dãy số giảm và bị chặn dưới) sau đó dựa vào hệ thức truy hồi để tìm giới hạn.

DẠNG 7: DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN VÔ CỰC:

(4)

Tìm giới hạn của dãy

 

un biết:

a).

2 2

2 3 1

5 3

n

n n

u n

 

  b).

3 2

4 3

2 3 4

n 4

n n

u n n n

  

   c).

    

4 2

2

2 3

2 1 1 3 2 1

n

n n n

u n n n

 

   

d). ₂ ¹ ₂¹

2 2 3

un

n n n

 

  e).

   

2 3

3 2

2 1 3 4

4 2 2

n

n n

u

n n

 

   f).

2

2 1

2 3

n

u n n

n n

 

 

 Lời giải

a). Ta thấy n²là lũy thừa cao nhất của tử và mẫu, nên chia cả tử và mẫu của u_n cho n² được:

2

2 2 2

2 2

2 3 1 3 1

2 3 1 2

5 3 3

5 3

5

n

n n

n n n n n

u n n

n n

   

 

  



 

. Ta có lim³ 0, lim ¹₂ 0

n  n  và lim ³₂ 0 n  nên 2 0 0 2

limuⁿ  5 0 5

 

 .

b). Dễ dàng thấy n⁴là lũy thừa cao nhất của tử và mẫu, nên chia cả tử và mẫu của u_n cho n⁴ được:

3 2

3 2 4 2 4

4 3

2 3 4 2 3 4

2 3 4

4 1

4

4 1

n

n n

n n n n n n

u n n n n n n

n n n

  

  

 

   

. Ta có lim² 0,

n 3₂ lim 0,

n  4₄

lim 0

n  , lim⁴ 0 n  và

3

lim 1 0

n  . Do đó lim ^{0 0 0} 0 1 0 0 un    

  . c). Có

4 2

4 2 4 4

4 3

2 3 3 1

2 3 n n n 2

n n n n n

n n n

     

        , 2 1 ²n ¹ 2 ¹

n n n

n n

    

      ,

1 3 1

1 3 n 3

n n n

n n

    

       và

2

2 2 2

2 2

2 1 1

2 1 n 2

n n n

n n

    

       . Từ đó .

4

3 2

2

3 1

2

1 1 1

2 3 2

n

n n n

u

n n n

   

 

 

             .

4

3 3

4

2 2

3 1 3 1

2 2

1 1 1 1 1 1

2 3 2 2 3 2

n n n n n

n n n n n n n

     

 

 

 

             

       

       

. Vì lim³ 0 n 

, lim ¹₃ 0

n  , lim¹ 0

n và lim ¹₂ 0

n  . Nên 2 0 0 1

limuⁿ (2 0)(0 3)(2 0)   6

   .

d). Bước đầu tiên qui đồng mẫu

  

2

2 2 2 2

1 1 2 3

2 2 3 2 2 3

n

n n

u n n n n n n

 

  

    .



Ví dụ ➊

(5)

Ta có

2

2 2 2

2 2

2 3 2 3

2 3 n n 1

n n n n

n n n

     

        

 

  ,

2

2 2 2

2

2 2

2 n n 1

n n n n

n n

    

      

 

  và

2

2 2 2

2 2

2 3 3

2 3 n 2

n n n

n n

    

      

 

  . Từ đó

2

2 2

2

2 3

1

2 3

1 2

n

n n n

u

n n

   

 

 

        

2 2

2

2 3

1 1

2 3

1 2

n n n

n n

   

    

  

  

. Vì lim2 0,

n 3₂ lim 0,

n  3₂

lim 0

n  và lim ¹₂ 0

n  . Do đó 1 0 0

lim 0. 0

(1 0)(2 0)

un  

 

  .

e).

   

2 3

3 2

2 1 3 4

4 2 2

n

n n

u

n n

 

   . Ta có , 3 4n ³ ³ 3 4n₃ ³

n n

  

  

 

3 3

3 4 n n

 

   

 ,



⁴ⁿ ²



³ ⁿ ⁴ⁿ ² ³ ⁿ³ ⁴ ² ³

n n

     

        và



² ⁿ



² ⁿ ² ⁿ ² ⁿ² ² ¹ ²

n n

     

        .

Từ đó

2 2

2 3

3 3

3 2 3 2

3 2

1 3 1 3

2 4 2 4

2 2 2 2

4 1 4 1

n

n n

n n n n

u

n n

n n n n

           

       

       

 

           

       

       

, mà lim¹ 0,

n 3₃

lim 0

n  , lim² 0

n  . Do đó

   

2

3 2

2 0 0 4 1

lim ⁿ 4 0 0 2 16

u  

  

  .

f).

2 2

2 1

2 3

2 3 2 3 1

n

n n

n n n n n

u

n n n n

n n n n

 

   

     

. Mà 2

lim 0,

n  1₂

lim 0

n  , 2

lim 0,

n n  3₂

lim 0

n  .

 

un biết:

a).

2 2

4 1

9 3

n

n n n

u

n n

  

  b). 2 1 3

4 5

n

n n

u n

  

 

c).

2 3 3 2

2 4 4

4 1 8 2 3

16 4 1

n

n n n

u

n n n

   

    d).

3 3 3

4 4

3

16 1

n

n n n n

u

n

  

 

 Lời giải

a).

2 2

2 2 2 2

2 2

2

4 1 1 1 1 1

4 4 1

4 1

3 3

9 3 9 3 9 9

n

n n

n n n n n

n n n n n n n

u

n n n n n n

n n

n

   

       

    

   

     

 

. Vì có lim¹ 0, n 

2

lim 1 0,

n  và lim³ 0

n  . Nên 4 0 0 1 1

limuⁿ    9 0 3

 .



Ví dụ ➋

(6)

b).

2 1 3 1 3

. 2 . 1

2 1 3

4 5 4 5 5

. 4

n

n n

n n n n

n n

n n n n

u

n n

n n n n

 

      

   

      

  

    

1 3

2 1

4 5

n n

n

  





. Vì có

lim1 0,

n 3

lim 0

n  và lim⁵ 0 n .

Từ đó có 2 0 1 0 2 1

limuⁿ  4 0  2

 

 .

c). Ta có

2 3 2

2 3

2 3 3

2 3 3 2

2 4 4 2 4

2 4

2 4 4

4 1 8 2 3

16 4 1 16 4 1

n

n n n

n n

n n n

u

n n n n n n

n n

      

   

       

 

        

   

3 3

2 3 2 3

4 4

1 2 3 1 2 3

. 4 . 8 4 8

4 1 4 1

. 16 . 1 16 1

n n

n n n n n n

n n

n n n n

       

 

     

. Vì có lim ¹₂ 0,

n  2

lim 0,

n  3₃ lim 0,

n  4

lim 0 n  và

4

lim 1 0

n  . Từ đó suy ra

4 0 38 0 0 4 limuⁿ 16 0   1 0 5

 

   .

d). Ta có

2 3

2 3 3

4

4 4

4

3 3

16 1 16 1

n

n n n n

n n

n n n n

u

n n

     

   

      

 

   

 

 

3 2

4 4

1 3

. 1 . 1

. 16 1

n n

  





3 2

4 4

1 3

1 1

16 1

n n

n

  





. Vì có lim¹ 0,

n  3₂ lim 0,

n  và lim ¹₄ 0 n  . Nên

3 4

1 0 1 0 1

limuⁿ  16 0 2

 

 .

 

un biết:

a). 2 4

4 3

n n

n n n

u  

 b). 3.2 5 5.4 6.5

n n

n n n

u  

 c).

2 1

1 3

4 6

5 2.6

n n

n n n

u

 

 

 

 d).

2

2 1

3 2

n

n n

u

 





e).

 

³ ^4.5 ¹

2.4 3.5

n n

n n n

u

  

  f).

2

1 2 1

2 3 4.5

2 3 5

n n n

n n n n

u



  

  

 

 Lời giải



Ví dụ ➌

(7)

a).Ta có

2 4 2 4 2 1

2 4 4 4 4 4

4 3 4 3

4 3 3

4 4 4 1 4

n n n n n

n n n n n n n n

n n n

u

     

  

   



      

. Ta có 2

lim 0

4

  n

   và 3

lim 0

4

  n

   . Nên

lim 0 1 1

n 1 0

u 

 

 .

b). Ta có

3.2 5 3.2 5 3 2 1

3.2 5 5 5 5 5

5.4 6.5 5.4 6.5

5.4 6.5 4

5 6

5 5 5 5

n n n n n

n n n n n n n n

n n n

u

     

  

   



      

. Ta có 2

lim 0

5

  n

   và 4

lim 0

5

  n

   .

Do đó lim ^{3.0 1} ¹

5.0 6 6 un    

 .

c). Ta có

2 2

2 1 2

1 3 1 3

4 .4 6 .6 4 .4 6 .6

4 6 4 .4 6 .6 6 6 6

5 .5 2.6 .6 5 .5 2.6 .6

5 2.6 5 .5 2.6 .6

6 6 6

n n n n

n n n n n n n

n n n n n n n n n

n n n

u

 

 

  

 

   



  

2

1 3

4 4 6

6

5 5 2.6

6

n



  

  

     

. Ta có 4

lim 0

6

  n

   và 5

lim 0

6

  n

   .

Do đó

2

1 3

4 .0 6 1

limuⁿ 5 .0 2.6_  72

 

 .

d). Ta có

2 2

1

2 2 2 2 2

2 2 2 2

2 2

2.2 1 2 1

2. 3

2 1 2 1 2.2 1 3 3

1 2

3 2 3 2 3 2 3 2

3 3

n n

n n n n

n

n n n n n

n n

u



     

  

    

    

. Vì 2 2 ²

1 lim 0

3 3

 n

      ,

2

lim 1 0 3

n  và

2

lim 2 0 3

n  . Do đó 2.0 0

lim 0

n 1 0

u   

 .

e). Ta có :

     

1

3 20.5 ( 3) 20.5 3 20

3 4.5 3 20.5 5 5 5 5

2.4 3.5 4 5

2.4 3.5 2.4 3.5 2. 3. 2. 4 3

5 5 5 5

n n n n n

n n n n

n n n

n n n n n n n n n n

n n n

u

       

     

    

        

, mà

lim 3 0

5

 n 

 

  và 4

lim 0

5

  n

   . Do đó lim ^{0 20} ²⁰ 2.0 3 3 un 

  

 .

(8)

f). Ta có

2

1 2 1

2 3 100.5

2 3 4.5 2 3 100.5 5

2.2 9.3 5.5

2 3 5 2.2 9.3 5.5

5

n n n

n n n n n n n

n n n n n n n n n n

n

u



  

     

  

 

   

2 3

2 3 100.5 100

5 5

5 5 5

2 3 5 2 3

2. 9. 5. 2. 9. 5

5 5 5 5 5

n n

n n n

n n n n n

n n n

    

       

 

   

         

. Vì 2

lim 0

5

  n

   và 3

lim 0

5

  n

   nên

0 0 100

lim 20

2.0 9.0 5 un    

  .

 

un biết:

a). u_n  n²3n 5 n b). u_n  9n²3n 4 3n2

c). u_n  ³n³3n² n d). u_n  ³8n³4n² 2 2n3 e). .u_n  4n²3n 7 ³8n³5n²1

. f).^lim



ⁿ⁴^ⁿ²^{ }¹ ³ ⁿ⁶^¹



 Lời giải

a). Ta có 2



²



²



2 2

3 5 3 5 3 5

3 5

3 5 3 5

n

n n n n n n n

u n n n

n n n n n n

      

     

      . Và có

3 5 5

3 5 n 3

n n n

n n

    

       và

2

2 2

3 5 3 5

3 5 n n 1

n n n n

n n n

   

      

  .

Do đó

2 2

5 5

3 3

3 5 3 5

1 1 1

n

n n n

u

n n

n n n n

   

 

 

 

     

, vì lim⁵ 0,

n  3

lim 0

n  và lim ⁵₂ 0

n  . Nên lim ³

n 2 u  .

b). 2



²



²



2

9 3 4 3 9 3 4 3

9 3 4 3 2 2

9 3 4 3

n

n n n n n n

u n n n

n n n

     

      

   ²

3 4

2

9 3 4 3

n

n n n

  

   . Ta

có 3 2 2

3 2 n 3

n n n

n n

    

      

    và

2

2 2

9 3 4 3 4

9 3 4 n n 9

n n n n

n n n

   

       

  . Từ đó suy ra

2 2

3 3

2 2

3 4 3 4

9 3 9 3

n

n n n

u

n n

n n n n

   

 

 

   

     

, vì 2 lim 0,

n  3

lim 0

n  và 4₂

lim 0

n  . Nên

3 0 1

limuⁿ 9 0 0 3 2

 

   .



Ví dụ 

(9)

c).

   

 

2

3 2 3 2 3 2 2

3 3 3

3 2

3

2

3 2 3 2 2

3 3

3 3 . 3

3

3 . 3

n

n n n n n n n n n

u n n n

n n n n n n

 

       

   

   

 

2 2

3 2 3 2 2

3 3

3

3 . 3

n

n n n n n n



   

.

Ta có

3 2

3 2 3

3 3 3

3

3 3

3 n n . 1

n n n n

n n

  

    

  . Do đó

2

2 2

2 3 2 3 2 3 3

3 3

3 3 3 3

1 . 1 1 1 1

n

u n

n n n

n n n n

 

   

       

   

   

, ta có 3

lim 0

n  . Nên limu_n 1

d). u_n ³8n³4n² 2 2n3

   

 

2

3 2 3 2 3 2 2

3 3 3

2

3 2 3 2 2

3 3

8 4 2 2 8 4 2 2 . 8 4 2 4

3

8 4 2 2 . 8 4 2 4

n n n n n n n n n

n n n n n n

 

          

 

     

 

2 2

3 2 3 2 2

3 3

4 2

3

8 4 2 2 . 8 4 2 4

n

n n n n n n

  

     

.

Ta có

3 2

3 2 3

3 3 3

3 3

8 4 2 4 2

8 4 2 n n 8

n n n n

n n n

   

       

  . Do đó

2

2 2

2 3 2 3 2 3 3

3 3 3 3

2 2

4 4

4 2 4 2 4 2 4 2

8 2 . 8 4 8 2. 8 4

n

n n n

u

n n n

n n n n n n n n

   

 

 

 

   

           

   

   

. Vì lim ²₂ 0, n 

lim4 0

n và lim ²₃ 0

n  . Nên lim ¹

n 3 u  .

e). ^uⁿ ^ ⁴ⁿ²^³ⁿ^{ }⁷ ³⁸ⁿ³^⁵ⁿ²^{ }¹



⁴ⁿ²^³ⁿ^{ }⁷ ²ⁿ

 

^ ²ⁿ^³⁸ⁿ³^⁵ⁿ²^¹



 Tính



²



²

2

3 7

3 7 3

lim 4 3 7 2 lim lim

3 7 4

4 3 7 2

4 2

n n

n n n

n n

 

     

     

 Tính ^{lim 2}



ⁿ^³⁸ⁿ³^⁵ⁿ²^¹



   

 

2

3 2 2 3 2 3 2

3 3 3

2

2 3 3 2 3 3 2

2 8 5 1 4 2 . 8 5 1 8 5 1

lim

4 2 . 8 5 1 8 5 1

n n n n n n n n n

n n n n n n

 

          



     

 

2

2 3 3 2 3 3 2

5 1

lim

4 2 . 8 5 1 8 5 1

n

n n n n n n

 



     

(1)

(10)

Có

3 2

3 2 3

3 3 3

3 3

8 5 1 5 1

8 5 1 n n . 8

n n n n

n n n

   

      

 

Nên

 

2

2 2 3 2 3

3 3

5 1

1 lim

5 1 5 1

4 2 . 8 . 8

n n

n n n

n n n n

  

 

 

  

       

 

2

3 3

5 1 lim 5

5 1 5 1 12

4 2. 8 8

n

n n n n

    

 

      

 

.

Từ đó suy ra lim ³ ⁵ ¹ 4 12 3 un    .

f). ^lim



ⁿ⁴^ⁿ²^{ }¹ ³ⁿ⁶^{ }¹



^lim^



ⁿ⁴^ⁿ²^{ }¹ ⁿ²

 

^ ³ⁿ⁶^{ }¹ ⁿ²



^

 Tính ^lim



ⁿ⁴^ⁿ²^{ }¹ ⁿ²



4 ²2 2 ²

2 4

1 1

lim lim

1 1 2

1 1 1

n n

n n n

n n

 

  

    

   

 

  

      

.

 Tính ³ ⁶ ²

6 2 2 6 4

3 3

lim( 1 ) lim 1 0

( 1) ( 1)

n n

n n n n

   

   

Do đó ^lim



ⁿ⁴^ⁿ²^{ }¹ ³ ⁿ⁶^{ }¹



¹₂^.

Tìm các giới hạn sau:

a).

2

lim 2

4 3 2

n n n

 

  b).

2

2 3

3

2 4

n 4

n n n

u

n n n

 

  

c). ^{lim 2}



ⁿ^ ⁹ⁿ²^{ }ⁿ ⁿ²^²ⁿ



^d).^lim



ⁿ²^²ⁿ^²³ ⁿ²^⁸ⁿ³ ^³ ⁿ²^ⁿ



 Lời giải

a). Ta có 2



²



²



2

1

1 1

1 1 1

n n n n n n n

n n n

n n

   

    

     

và



²



²



2

4 3 2 4 3 2 3 3

4 3 2

3 3

4 3 2 4 2 4 2

n n n n n n n

n n n

n n n n n

   

    

     

.



Ví dụ 

(11)

Do đó

4 3 2

lim lim 2

1 3

3 1 1

n

u n

n

 

 

 

   

 

.

b).

2 3 3

2 4

lim

4

n n n

n n n

 

 

Ta có 2n 4n²n



²



²



2 2

2 4 2 4 1

2 4 2 4 2 4 1

n n n n n n n

n n n n n n

n

     

  

     

và n³4n²n³

   

 

2

2 3 2 2 3 2 3

3 3 3

2

2 3 2 3 3 2 3

4 . 4 4

. 4 4

n n n n n n n n n

n n n n n n

 

       



   

2 2

2 3 2 3

2 2 2

2 3 3 3 3 3 3

3 3

4 4

4 4 . 1 1

.

n n

n n n n n n n

n n n n

n n

 

   

            

      

2

2 2

2 3 3 3 3

4 4

1 1 1

n

n n n n n

 

     

           

     

 

.

Do đó

2

3 4 3 4

1 1 1

lim lim 3

1 16

4 2 4

n

n n

u

n

 

    

 

   

 

 

 

 

.

c). ^uⁿ ^²ⁿ^ ⁹ⁿ²^{ }ⁿ ⁿ²^²ⁿ ^



³ⁿ^ ⁹ⁿ²^ⁿ

 

^ ⁿ²^²ⁿ^ⁿ



^.

Tính

    

 

2 2

2

3 9 3 9

lim 3 9 lim

3 9

n n n n n n

n n n

   

  

 

lim 2

3 9

n

n n n

 

  ₂ ²

2

lim 3 9

n n n n n

n

 

  

  

 

1 1

lim lim lim

1 1 1 6

3 9 3 9 3 9

n n

n n n

n n n

  

    

 

       

 

(12)

Và



2

 

²



²



2 2

2 2 2

lim 2 lim lim

2 2

n n n n n n n

n n n

n n n n n n

   

   

   

2 2

2

2 2 2 2

lim lim lim lim 1

2 2 2

2 1 1 1 1 1

n n n

n n n n n

n n

n n n

n

    

 

          

 

 

.

Do đó lim ¹ 1 ⁵

6 6

un     .

d). ^uⁿ ^ ⁿ²^²ⁿ^²³ ⁿ²^⁸ⁿ³ ^³ ⁿ²^{ }ⁿ



ⁿ²^²ⁿ^{ }ⁿ

 

²³ ⁿ²^⁸ⁿ³ ^⁴ⁿ





³ ⁿ² ⁿ ³ⁿ



   ^



ⁿ²^²ⁿ^{ }ⁿ

 

² ³ ⁿ²^⁸ⁿ³ ^²ⁿ

 

^³ ⁿ²^{ }ⁿ ⁿ



 Tính



2

 

²



²



2 2

2 2 2

lim 2 lim lim

2 2

n n n n n n n

n n n

n n n n n n

    

   

   

2 2

2

2 2 2 2

lim lim lim lim 1

2 2 2

2 1 1 1 1 1

n n n

n n n n n

n n

n n n

n

   

     

 

          

 

 

.

Tính ^lim



³ⁿ²^⁸ⁿ³ ^²ⁿ



   

 

2

2 3 2 3 2 3 2

3 3 3

2

2 3 2 3 2

3 3

8 2 8 2 . 8 4

lim

8 2 . 8 4

n n n n n n n n n

n n n n n n

 

       



   

 

2 2

2 3 2 3 2

3 3

lim

8 2 . 8 4

n

n n n n n n



   

(1)

Có ³ ⁿ²^⁸ⁿ³ ^ ³ⁿ³^^ⁿ²^_n³⁸ⁿ³^^^ⁿ^.³ ¹_n^{ }⁸



³ ⁿ²^⁸ⁿ³



² ^ⁿ²^^³ ¹_n^⁸^^²

Do đó

 

2 ² 2

2 3 2 3 2 3 3

1 1

1 lim lim

1 1 1 1 12

8 2 . 8 4 8 8 4

n

n n n

n n n n

  

   

       

   

   

.

 Tính



2

 

²



²



2 2

lim lim lim

n n n n n n n

n n n

n n n n n n

   

   

   

2 2

2

lim n

n n

n

   

 

1 1

lim lim lim

1 1 1 2

1 1 1 1 1

n n

n n n

   

 

       

 

.

(13)

 

un biết:

a). 1 1 1

1.2 2.3 ( 1)

un