Chuyên đề giới hạn dãy số, giới hạn hàm số và hàm số liên tục

(1)

Chuyên đề giới hạn và liên tục Hội toán Bắc Nam GIỚI HẠN DÃY SỐ

A. LÝ THUYẾT

I. DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN 0. 1. Định nghĩa

Ta nói rằng dãy số

 

un có giới hạn 0 ( hay có giới hạn là 0 ) nếu với mỗi số dương nhỏ tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn số dương đó.

Kí hiệu: limu_n 0.

Nói một cách ngắn gọn, limu_n 0nếu u_n có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ số hạng nào đó trở đi.

Từ định nghĩa suy ra rằng:

a) limu_n 0 limu_n 0.

b) Dãy số không đổi

 

un , với u_n 0, có giới hạn là 0 .

c) Dãy số

 

un có giới hạn là 0 nếu u_n có thể gần 0 bao nhiêu cũng được, miễn là n đủ lớn.

2. Một số dãy số có giới hạn 0 Định lí 4.1

Cho hai dãy số

 

un và

 

vn .

Nếu u_n v_n với mọi nvà limv_n 0 thì limu_n 0. Định lí 4.2

Nếu q 1 thì limqⁿ 0. Người ta chứng mình được rằng

a) 1

lim 0

n  .

b) 3

lim 1 0 n 

c) 1

lim _k 0

n  với mọi số nguyên dương kcho trước.

Trường hợp đặc biệt : 1

lim 0

n  . d) lim 0

k n

n

a  với mọi k * và mọi a1cho trước.

II. DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN HỮU HẠN.

1. Định nghĩa

 

un có giới hạn là số thực L nếu ^lim



unL



⁰. Kí hiệu: limu_n L.

Dãy số có giới hạn là một số thực gọi là dãy số có giới hạn hữu hạn.

a) Dãy số không đổi

 

un với u_n c, có giới hạn là c.

b) limu_n L khi và chỉ khi khoảng cách u_nLtrên trục số thực từ điểm u_n đến L trở nên nhỏ bao nhiêu cũng được miễn là n đủ lớn; nói một cách hình ảnh, khi n tăng thì các điểm u_n “ chụm lại” quanh điểm L.

(2)

Chuyên đề giới hạn và liên tục Hội toán Bắc Nam c) Không phải mọi dãy số đều có giới hạn hữu hạn.

2. Một số định lí Định lí 4.3

Giả sử limu_n L. Khi đó a)limu_n  Lvà lim³u_n ³L.

b) Nếu u_n 0 với mọi n thì L0 và lim u_n  L. Định lí 4.4

Giả sử limu_n L,limv_n M và clà một hằng số. Khi đó

a) ^lim



unvn



 L M. b)^lim



unvn



 L M. c)^lim



u vn n



LM. D)^lim

 

cun cL. e)lim ⁿ

n

u L

v  M (nếu M 0).

3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn Định nghĩa

Cấp số nhân lùi vô hạn là cấp số nhân có công bội q thỏa q 1. Công thức tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn:

2 1

1 1 1 ...

1 S u u q u q u

     q

 III. DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN VÔ CỰC.

1. Dãy số có giới hạn 

 

un có giới hạn  nếu với mỗi số dương tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều lớn hơn số dương đó.

Kí hiệu: limu_n  .

Nói một cách ngắn gọn, limu_n  nếu u_n có thể lớn hơn một số dương lớn tùy ý, kể từ số hạng nào đó trở đi.

Người ta chứng minh được rằng:

a) lim u_n  . b) lim³u_n  

c)limn^k  với một số nguyên dương kcho trước.

Trường hợp đặc biệt : limn . d)limqⁿ   nếu q1.

2. Dãy số có giới hạn 

 

un có giới hạn  nếu với mỗi số âm tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều nhỏ hơn số âm đó.

Kí hiệu: limu_n  .

Nói một cách ngắn gọn, limu_n  nếu u_n có thể nhỏ hơn một số âm nhỏ tùy ý, kể từ số hạng nào đó trở đi.

Nhận xét:

a)^limun  ^lim

 

un  .

(3)

Chuyên đề giới hạn và liên tục Hội toán Bắc Nam b) Nếu limu_n  thì u_n trở nên lớn bao nhiêu cũng được miễn n đủ lớn. Đo đó 1 1

n n

u  u trở nên nhỏ bao nhiêu cũng được, miễn n đủ lớn. Nói cách khác, nếu limu_n  thì lim ¹ 0

un  . Định lí 4.5

Nếu limu_n  thì lim ¹ 0 un  . 3. Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực Quy tắc 1

Nếu limu_n   và limv_n   thì ^lim



u vn n



được cho trong bảng sau:

limu_n limv_n ^lim



u vn n



  

  

  

  

Quy tắc 2

Nếu limu_n   và limv_n  L 0 thì ^lim



u vn n



được cho trong bảng sau:

limu_n Dấu của L ^lim



u vn n



  

  

  

  

Quy tắc 3

Nếu limu_n  L 0 và limv_n 0 và v_n 0 hoặc v_n 0 kể từ một số hạng nào đó trở đi thì lim ⁿ

n

u

v được cho trong bảng sau:

Dấu của L Dấu củav_n

lim ⁿ

n

u v

  

  

  

  

B. CÁC DẠNG TOÁN VỀ GIỚI HẠN DÃY SỐ

DẠNG 1. TÍNH GIỚI HẠN DÃY SỐ CHO BỞI CÔNG THỨC Câu 1: ^lim



ⁿ³^²ⁿ^¹



^bằng

A. 0 . B. 1. C. . D. .

Đáp án D.

Lời giải

(4)

Chuyên đề giới hạn và liên tục Hội toán Bắc Nam Ta có:n³ 2n 1 n³ 1 ²₂ ¹₃

n n

 

      

 .

Vì limn³   vàlim 1 ²₂ ¹₃ 1 0

n n

    

 

  nên theo quy tắc 2, ^lim



ⁿ³^²ⁿ^{  }¹



Câu 2: ^{lim 5}



^{n n}^ ²^¹



^bằng

A. . B. . C. 5. D. 1.

Hướng dẫn giải Chọn B.

Ta có 5n n² 1 n² 1 ⁵ ¹₂ . n n

 

      

Vì limn²   và lim 1 ⁵ ¹₂ 1 0 n n

     

 

  nên ^{lim 5}



^{n n}^ ²^{  }¹



(theo quy tắc 2).

Câu 3: limu_n, với

2 2

5 3 7

n

n n

u n

 

 bằng:

A. 0. B. 5. C. 3. D. 7.

Ta có:

2

2 2 2 2

5 3 7 3 7

lim _n lim n n lim 5 5

u n n n n n

   

         .

Câu 4: limu_n, với

3 2

2 3 5

n 7

n n n

u n n

  

   bằng

A. 3. B. 1. C. 2. D. 0.

Hướng dẫn giải Chọn C.

Chia cả tử và mẫu của phân thức cho n³ (n³ là lũy thừa bậc cao nhất của n trong phân thức), ta

được: ² ³

3

3 1 5

2

1 7

1

n

n n n

u

n n

  



 

. Vì lim 2 ³ ¹₂ ⁵₃ 2

n n n

    

 

  và lim 1 ¹ ⁷₃ 1

n n

   

 

  0 nên

3 2

2 3 5 2

lim 2

7 1

n n n

n n

    

  .

Ví dụ 5: Giới hạn của dãy số

 

un ^, với

3

4 3 2

2 1

3 5 6

n

n n

u n n n

 

    bằng

A. 1. B. 0. C. . D. 1

3. Hướng dẫn giải

Chọn B.

Chia cả tử và mẫu của phân thức cho n⁴ (n⁴ là bậc cao nhất của n trong phân thức), ta được

3 3 4

4 3 2

2 3

1 2 1

2 1 0

lim lim lim 0

3 5 6

3 5 6 1

1

n

n n n n n

u n n n

n n n

 

   

     

.

Ví dụ 6: Giới hạn của dãy số

 

un với

3 2

3 2 1

n 2

n n

u n n

 

  , bằng

(5)

Chuyên đề giới hạn và liên tục Hội toán Bắc Nam A. 3

2. B. 0. C. . D. 1.

Chia cả tử và mẫu cho n² (n² là lũy thừa bậc cao nhất của n trong mẫu thức), ta được

3 2

2

2 1

3 2 1 3

1 .

2 2

n

n n n n n

u n n

n

   

 

 

Vậy lim lim ³

n 2

u   n .

Ví dụ 7:

 

2

sin !

lim 1

n

n  bằng

A. 0. B. 1. C. . D. 2.

Hướng dẫn giải Chọn A.

Ta có

 

2 2

sin ! 1

1 1

n

n  n

  mà ₂1

lim 0

1

n 

 nên chọn đáp án A.

Ví dụ 8:

 



¹



lim 1

n

n n



 bằng

A. 1. B. 1. C. . D. 0.

Hướng dẫn giải Chọn D.

Ta có

 



¹ ¹

 

¹ ¹



¹^. ¹²

n

n n n n n n n

   

  mà 1₂

lim 0

n  nên suy ra

 

lim 1 0

1

n

n n

 

 Ví dụ 9: Tính giới hạn ^I ^^lim



ⁿ²^²ⁿ^{ }³ ⁿ



A. I1. B. I 1. C. I0. D. I . Hướng dẫn giải

Chọn B.

Ta có ^I ^^lim



ⁿ²^²ⁿ^{ }³ ⁿ

 

²



²



2

2 3 2 3

lim

2 3

n n n n n n

n n n

     

   



²



²

2

2 3

lim

2 3

n n n

  

    ²

2 3

lim

2 3

n

n n n

  

  

2

2 3

lim 2 1.

2 3 1 1

1 1

n n n

  

   

   

Ví dụ 10: ^lim



ⁿ^³⁸ⁿ³^³ⁿ^²



^bằng:

A. . B. . C. 1. D. 0.

Ta có ^lim



ⁿ^³⁸ⁿ³^³ⁿ^²



^^limⁿ^^¹^³⁸^_n³² ^_n²³ ^^^.

Vì ³ 3₂ 2₃ ³

limn , lim 1 8 1 8 1 0

n n

 

           nên ^lim



ⁿ^³⁸ⁿ³^³ⁿ^²



^{ }^.

(6)

Chuyên đề giới hạn và liên tục Hội toán Bắc Nam Ví dụ 11: ^lim



ⁿ²^ⁿ ⁴ⁿ^¹



^bằng:

A. 1. B. 3. C. . D. .

Ta có ² ² 4 1₂

4 1 1 .

n n n n

n n

 

      

Vì limn²   và 4 1₂

lim 1 1 0

n n

 

   

 

  nên theo quy tắc 2, ^lim



ⁿ²^ⁿ ⁴ⁿ^{  }¹



^.

Ví dụ 12. ^lim



ⁿ^³ ⁿ³^³ⁿ²^¹



^{bằng :}

A. 1. B. 1. C. . D. .

Ta tiến hành nhân chia với biểu thức liên hợp (bậc ba) của n³n³3n²1

   

 

3 3 2

3 2

2 3 2 3 3 2

3 1

lim 3 1 lim

3 1 3 1

n n n

n n n n n n

  

   

       

 

 

2

2 3

3

3 3

3 1

lim 1

3 1 3 1

1 1 1

n

n n n n

    

 

       

.

Ví dụ 13. ^lim



ⁿ²^{  }ⁿ ¹ ³ⁿ³^³ⁿ^²



^{bằng :}

A. 1

2. B. 0. C. . D. .



² ³ ³

 

²

 

³ ³



¹

lim 1 3 2 lim 1 3 2

n   n n  n   n     n n n n  n 2 Ví dụ 14. ^{lim 5}



ⁿ^²ⁿ



^{bằng :}

A. . B. 3. C. . D. 5

Chọn C.

Ta có 2

5 2 5 1

5

n n n  n     

Vì lim5ⁿ   và 2

lim 1 1 0

5

  n 

   

   

  nên theo quy tắc 2, ^{lim 5}



ⁿ^²ⁿ



^{ }

Ví dụ 15. ^{lim 3.2}



ⁿ^¹^^5.3ⁿ^⁷ⁿ



^{bằng :}

A. . B. . C. 3. D. 5.



¹



²

lim 3.2 5.3 7 3 5 6 7

3 3

n

n n n

n

n n

            

(7)

Chuyên đề giới hạn và liên tục Hội toán Bắc Nam Ví dụ 16.

4.3 7 1

lim 2.5 7

n n

 

 bằng :

A. 1. B. 7. C. 3

5. D. 7

Chọn B.

1

4. 3 7

4.3 7 7 7

lim lim 7

2.5 7 5 1

2. 1

7

n

n n

n

n n

    

     

     

.

Ví dụ 17.

1 2

4 6

lim 5 8

n n

  

 bằng :

A. 0. B. 6

8. C. 36. D. 4

Chọn A.

1 2

4 6

4. 36.

4 6 8 8

lim lim 0

5 8 5

8 1

n n

n

n n

             

    

 

.

Ví dụ 18. 2 3 lim 2 1

n n

n



 bằng : A. 3

2. B. 0. C. . D. . Hướng dẫn giải

Chọn C.

Chia cả tử và mẫu cho 3ⁿ ta được

2 1

2 3 3

2 1 2 1

3 3

n

n n

n

  

    

        

Mà 2 2 1

lim 1 1 0, lim 0

3 3 3

n n n

          

       

       

    và 2 1

3 3 0

n n

    

   

    với mọi n nên theo quy tắc 3, 2 3

lim 2 1

n n

n

  

 .

Dạng 2. Tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi.

Ví dụ 19. Cho dãy số

 

un được xác định bởi

 

1 1

2 2 1

1, 3

n n

n

u u u

 u

  

 với mọi n1. Biết dãy số

 

un có giới hạn hữu hạn, limu_n bằng:

A. 1. B. 2 . C. 4 . D. 2

Chọn B.

Bằng phương pháp quy nạp, dễ dàng chứng minh được u_n 0 với mọi n

Đặt limu_n  L 0. Ta có

 

1

2 2 1

lim lim

3

n n

n

u u

 u

 

 hay ^{2 2}



¹



3 L L

L

 



(8)

Chuyên đề giới hạn và liên tục Hội toán Bắc Nam ² 2 ( )

2 0

1 ( )

L n

L L

L l

 

        Vậy limu_n 2.

Ví dụ 20. Cho dãy số

 

un được xác định bởi ₁ ₁ 1 2 1, ⁿ 2 ⁿ _n

u u u

 u

 

    

  với mọi n1. Tìm giới hạn của

 

un .

A. limu_n 1. B. limu_n  1. C. limu_n 2. D. limu_n  2. Hướng dẫn giải

Chọn C.

Bằng phương pháp quy nạp, dễ dàng chứng minh được un ⁰ với mọi n

Đề bài không cho biết dãy số

 

un có giới hạn hữu hạn hay không, tuy nhiên các đáp án đề bài cho đều là các giới hạn hữu hạn. Do đó có thể khẳng định được dãy số

 

un có giới hạn hữu hạn. Đặt limu_n  L 0

1

1 2

lim lim

n 2 n

n

u u

 u

 

   

 

Hay ¹ ² ² ² 2 2

L 2 L L L L

L L

 

         Vậy limu_n 2

( loại trường hợp L  2). Vậy limu_n  2. Ví dụ 21. Cho dãy số

 

un xác định bởi u₁1 và ₁ 1

2 2

n n

u _  u  với mọi n1. Khi nó limu_n bằng:

A. 0. B. 1

2. C. 1

2 . D. 1 2. Đáp án C.

Giả sử dãy có giới hạn hữu hạn là L.

Ta có: ₁ 1 1 1

lim 2lim 2

2 2 2

n n

u _  u   L L   L . Đến đây có thể kết luận là 1

limuⁿ  2 được không? Câu trả lời là không?

Vì không khó để chứng minh được rằng u_n 0 với mọi n. Do đó nếu dãy số có giới hạn L thì 0

L . Từ đó suy ra dãy không có giới hạn, mà trong bốn đáp án trên chỉ có đáp án C là vô cực.

Vậy ta chọn đáp án C.

Ta xét hai cách giải sau:

Đặt 1

n n 2

v u  . Ta có: ₁ ₁ 1 1 1 1

2 2 2

2 2 2 2

n n n n n

v_ u _   u    u   v

Vậy

 

vn là cấp số nhân có ₁ 3

v  2 và q2. Vậy 3 ¹ ² .2 3.2 2

n n

vn  ^  ^ .

(9)

Chuyên đề giới hạn và liên tục Hội toán Bắc Nam Do đó ^lim^vⁿ^^{lim 3.2}



ⁿ^²



^{ }. Suy ra limu_n  .

Ví dụ 22. Cho dãy số

 

un xác định u₁0, u₂ 1, u_n_₁ 2u_nu_n_₁2 với mọi n2. Tìm giới hạn của dãy số

 

un .

A. 0. B. 1 . C. . D. .

Đáp án D.

Giả sử dãy có giới hạn hữu hạn là L.

Ta có: limu_n_₁2 limu_nlimu_n_₁  2 L 2L L   2 0 2(Vô lý)

Vậy có thể dự đoán dãy có giới hạn vô cực. Tuy nhiên có hai đáp án vô cực ( và ), vậy chưa thể đoán là đáp án nào. Ta xem hai cách giải sau.

Ta có u₁0, u₂ 1, u₃4, u₄ 9. Vậy ta có thể dự đoán un 



n¹



² với mọi n1. Khi đó

  

²



² ²

 

²

1 2 1 2 2 1 2 2 1 1

n n n

u _  u u _   n  n  n  n   . Vậy un 



n¹



² với mọi n1. Do đó ^limun^lim



n¹



² . Dạng 3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn.

Ví dụ 23. Cho số thập phân vô hạn tuần hoàn a2,151515... (chu kỳ 15), a được biểu diễn dưới dạng phân số tối giản, trong đó m n, là các số nguyên dương. Tìm tổng m n .

A.m n 104. B.m n 312. C.m n 38. D.m n 114. Đáp án A.

Ta có 15 15₂ 15₃

2,151515... 2 ...

100 100 100

a     

Vì 15 15₂ 15₃

100100 100 ... là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu ₁ 15

u 100, công

bội 1

q100 nên

15 100 71

2 1 1 33

100

a  



.

Vậy m71,n33 nên m n 104.

Ví dụ 24. Số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,32111... được biểu diễn dưới dạng phân số tối giản a

b , trong đó ,a b là các số nguyên dương. Tính a b .

A.a b 611. B.a b  611. C.a b 27901. D.a b  27901 . Đáp án B.

Lời giải Ta có:

3

3 4 5

1

32 1 1 1 32 10 289

0,32111... ...

100 10 10 10 100 1 900

1 10

       



.

(10)

Chuyên đề giới hạn và liên tục Hội toán Bắc Nam Vậy a289,b900. Do đó a b 289 900  611.

Dạng 4. Tìm giới hạn của dãy số mà tổng là n số hạng đầu tiên của một dãy số khác.

Ví dụ 25. Tổng 1 1 1

1 ...

2 4 8

S      bằng:

A.1 . B. 2. C. 2

3. D. 3

2. Đáp án B.

Lời giải S là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có u₁1 và 1

q2.

Do đó 1

1 2 1 2

S  



.

Ví dụ 26. Cho dãy số

 

un với 1 1 1

 

¹ ¹

2 4 8 ... 2

n

n n

u

 

     . Khi đó limu_n bằng:

A. 1

3. B. 1^. ^C.²

3. D. 3

4. Đáp án A.

Lời giải

un là tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân có ₁ 1

u  2 và 1 q 2.

Do đó

1 1

1 2 1 1

. 1

2 1 3 2

1 2

n

un

        

        

. Suy ra 1 1 1

lim lim 1

3 2 3

n

un        .

Ví dụ 27. Tính

  

1 1 1

lim ...

1.3 3.5 2n 1 2n 1

 

  

   

  bằng:

A. 0. B. 1. C. 1

2. D. 1

3. Đáp án C.

Lời giải Ta có:

  

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

... 1 ... 1

1.3 3.5 2n 1 2n 1 2 3 3 5 2n 1 2n 1 2 2n 1

   

                   

Vậy ^lim ^1.3¹ ^3.5¹ ^...



²ⁿ ^{1 2}



¹ ⁿ ¹



^lim²¹ ¹ ²ⁿ¹ ¹ ²¹

       

      

  .

(11)

Chuyên đề giới hạn và liên tục Hội toán Bắc Nam Ví dụ 28. Cho dãy số

 

un với 1 2 ...₂

n 1 u n

n

  

  . Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?

A. limu_n 0. B. 1

limuⁿ 2. C.limu_n 1. D. Dãy số

 

un không có giới hạn khi n.

Đáp án B.

Lời giải

Ta có:



¹



1 2 ...

2 n n n

    . Suy ra

 

2 2

1 2 ... 1

1 2 1

n n n

n n

   

   .

Do đó

 



² ¹



¹

lim lim

2 1 2

n

u n n

n

  

 . Ví dụ 1: 1 5 9 ... 4 3

lim2 7 12 ... 5 3 n

n

    

     bằng:

A. 4

5. B. 3

4. C. 2

3. D. 5

Chọn A

Tử thức là tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng

 

un với n1, u_n 4n3 và công bội 4

d .

Do đó



^{1 4} ³

 

⁴ ²



1 5 9 ... 4 3

2 2

n n n n

n   

       .

Tương tự ta có:



^{2 5} ³

 

⁵ ¹



2 7 12 ... 5 n 3

2 2

n  n n n

       .

Vậy

 



⁴ ²



1 5 9 ... 4 3 4

lim lim

2 7 12 ... 5 3 5 1 5

n n n

     

 

      .

Ví dụ 2:

2 3

2

3 3 3 ... 3 lim1 2 2 ... 2

n n

   

    bằng:

A. . B. 3. C. 3

2. D. 2

Chọn A

Ta có tử thức là tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số nhân

 

un với u₁ 3 và q3. Do đó ^{3 3}² ³³ ^{... 3} ^3.³ ¹ ³



³ ¹



3 1 2

n

n  n

      

 .

Mẫu thức là tổng của n+1 số hạng đầu tiên của cấp số nhân

 

vn với v_n 1 và q2. Do đó

 

1

2 2 1 1

1 2 2 ... 2 2. 2. 2 1 .

2 1

n

n n

  

      



(12)

Chuyên đề giới hạn và liên tục Hội toán Bắc Nam

Vậy

2 3

2 1

3 1

3 3 3 ... 3 3 3 1 3 2 3

lim lim . lim .

1 2 2 ... 2 4 2 1 4 1

2 3

n n

n

n n

   

   

            

         

Ví dụ 3: lim ₂¹ ₂² ... ₂

1 2

n

n n n n

    

    

  bằng

A. 0. B. 1

2. C. 1

3. D. .

Hướng dẫn giải Chọn B

Ta có 1 2 ...₂ ₂1 ₂2 ₂ 1 2 ...₂

... .

1 2 1

n n n

n n n n n n n

          

    

Mà

   

2 2 2 2

1 1

1 2 ... 2 1 1 2 ... 2 1

lim lim ; lim lim .

2 1 1 2

n n n n

n n

n n n n n n

 

         

   

Vậy lim ₂¹ ₂² ... ₂ ¹.

1 2 2

n

n n n n

    

    

 

C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG DẠNG 1: BÀI TẬP LÝ THUYẾT Câu 1: Chọn khẳng định đúng.

A. limu_n 0 nếu u_n có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

B. limu_n 0 nếu u_n có thể lớn hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

C. limu_n 0 nếu u_n có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

D. limu_n 0 nếu u_n có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Câu 2: Chọn khẳng định đúng.

A. limu_n   nếu u_n có thể bé hơn một số dương lớn tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

B. limu_n   nếu u_n có thể lớn hơn một số dương lớn tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

C. limu_n   nếu u_n có thể bé hơn một số dương lớn tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

D. limu_n   nếu u_n có thể lớn hơn một số dương lớn tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

A. limu_n a nếu u_na có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

B. limu_n a nếu u_na có thể lớn hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

C. limu_n a nếu u_na có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

D. limu_n a nếu u_na có thể lớn hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

A. limqⁿ 0nếu q1. B. limqⁿ 0nếu q1. C. limqⁿ 0nếu q 1. D. limqⁿ 0nếu q 1.

(13)

Chuyên đề giới hạn và liên tục Hội toán Bắc Nam Câu 5: Chọn khẳng định đúng.

A. limqⁿ  nếu q1. C. limqⁿ  nếu q1. B. limqⁿ  nếu q 1. D. limqⁿ  nếu q 1 Câu 6: Trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào sai?

A. Nếu q 1 thì limqⁿ 0.

B. Nếu limu_n a, limv_n b thì lim(u v_{n n})ab. C. Với k là số nguyên dương thì 1

lim _k 0 n  .

D. Nếu limu_n  a 0, limv_n  thì lim(u v_{n n}) . Câu 7: Biết limu_n 3. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.

A. lim³ ¹ 3 1

n n

u u

 

 . C. lim³ ¹ 2 1

n n

u u

 

 . B. lim³ ¹ 1 1

n n

u u

  

 . D. lim³ ¹ 1 1

n n

u u

 

 . Câu 8: Biết limu_n  . Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.

A. lim ₂ ¹ ¹

3 5 3

n n

u u

 

 . C. lim ₂ ¹ 0

3 5

n n

u u

 

 . B. lim ₂ ¹ ¹

3 5 5

n n

u u

 

 . D. lim ₂ ¹

3 5

n n

u u

  

 .

Câu 9: Cho dãy số u_n với 1 1 1

1.3 3.5 ... 2 1 2 1

un

n n . Ta có limu_n bằng:

A. 1

2^. ^B.

1

4^. ^C.1. D. 2.

Câu 10:

3 4.2 1 3 lim 3.2 4

n n

n n bằng

A. . B. 1. C. 0. D.

Câu 11:

3 2

lim 2 1 3

n n

n bằng A. 1

3^. ^B. ^. ^C. ^. ^D.

2 3^. Câu 12: Trong các giới hạn sau đây, giới hạn nào bằng 1?

A.

2 3

lim 2 4

n

n . B.

2 2

2 3

lim 2 1

n

n . C.

2

3 2

2 3

lim 2 2

n

n n . D.

3 2

2 3

lim 2 1

n

n . Câu 13: Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

A. Nếu limu_n thì limu_n . B. Nếu limu_n a thì limu_n a. C. Nếu limu_n 0 thì limu_n 0. D. Nếu limu_n thì limu_n . Câu 14: Cho dãy số u_n với ₄2 ₂2

1 .

n 1 u n n

n n Chọn kết quả đúng của limu_n

A. . B. 1. C. . D. 0 .

Câu 15: Nếu limu_n L thì

3

lim 1

n 8

u bằng bao nhiêu?

(14)

Chuyên đề giới hạn và liên tục Hội toán Bắc Nam A. 3

1 2

L ^. ^B.

1 8

L ^C.³

1 8

L ^. ^D.

1 8 L Câu 16: lim n 1 n là:

A. 1. B. . C. . D. 0 .

Câu 17: ^L^^{lim 5}



^{n n}^ ³



^là:

A. 4. B. . C. . D. 6^.

Câu 18: Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng

¹

5

?

A.

1 2 2

5 5

n

u n

n ^. ^B.

2 2

2

5 5

n

n n

u n n ^. ^C. ²

1 2

5 5

n

u n

n n ^. ^D.

1 2

5 5

n

u n

n ^. Câu 19: ^lim ⁿ



ⁿ^{ }¹ ⁿ



^bằng

A. 0^. ^B.1

2^. ^C.

1

3^. ^D.

1 4^. Câu 20: Cho dãy số

 

un xác định bởi

 

¹ ₂ ¹

1

n n

u n

n n

  

  . Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau?

A. limu_n 0^. ^B.limu_n 0 không tồn tại.

C. limu_n 2^. ^D.limu_n1^. Câu 21: ^lim



ⁿ²^²ⁿ^ ⁿ²^²ⁿ



có kết quả là

A. 4. B. 2. C. 1. D. .

Câu 22: ^{lim 3 .2}



⁴ ⁿ^¹^^5.3ⁿ



^bằng

A. 2

3 ^. ^B.1. C. . D. 1

3^. Câu 23: ^lim^{n n}



²^{ }¹ ⁿ²^²



^bằng:

A. 1

2. B. 1

2^. ^C.

3

2^. ^D.1.

Câu 24: Cho dãy số

 

un với

2 2

4 2

n 5

n n

u an

  

 ^{. Để}

 

un có giới hạn bằng 2, giá trị của a là:

A. 4. B. 3. C. 4. D. 2.

Câu 25: ^lim



³ⁿ³^{ }¹ ³ⁿ³^²



^bằng:

A. 0^. ^B.3^. ^C.1. D.2^.

Câu 26: Dãy số

 

un với u_n  ³n³ 1 n có giới hạn bằng:

A. 1. B. 2. C. 1. D. 0.

(15)

Chuyên đề giới hạn và liên tục Hội toán Bắc Nam Câu 27: Nếu ^L^^lim^ⁿ



ⁿ²^{  }ⁿ ¹ ⁿ²^{ }ⁿ ⁶



^ thì L bằng

A. 3. B. . C. 7

2. D. 7 1 .

DẠNG 2: BÀI TẬP TÍNH GIỚI HẠN DÃY SỐ CHO BỞI CÔNG THỨC Câu 28: Trong các dãy số sau đây, dãy số nào có giới hạn?

A. (sin )n . B. (cos )n . C. (( 1) ) ⁿ . D. 1 ( )2 . Câu 29: Trong các dãy số sau đây, dãy số nào có giới hạn khác 0?

A. ((0,98) )ⁿ . C. (( 0,99) ) ⁿ . B. ((0,99) )ⁿ . D. ((1, 02) )ⁿ . Câu 30: Biết dãy số (u_n) thỏa mãn 1₃

n 1

u   n . Tính limu_n. A. limu_n 1. B. limu_n 0.

C. limu_n  1. D. Không đủ cơ sở để kết luận về giới hạn của dãy số (u_n). Câu 31: Giới hạn nào dưới đây bằng ?

A. lim(3n²n³). C. lim(3n²n). B. lim(n²4n³). D. lim(3n³n⁴). Câu 32:

2 2

(2 1) ( 1) lim( 1)(2 1)

n n

 

  bằng bao nhiêu?

A. 1. B. 2. C. 0. D. .

Câu 33: Trong bốn giới hạn sau đây, giới hạn nào là ? A.

2 3

2

3 2

limn n n n

 

 . C.

2 3

lim 3

n n



 . B.

3 3

2 1

lim 2

n n

 

 . D.

2 1

lim 1 2 n n n

 

 . Câu 34: Trong các giới hạn hữu hạn sau, giới hạn nào có giá trị khác với các giới hạn còn lại

A.

2 3

sin 3

lim(1 )

1

n n

 n

 . C.

2 2

2

sin 3

lim 5

n n

n



 . B. 2 cos 5

lim 5

n n

 n

. D. 3 cos₁ lim 3

n n

n



 .

Câu 35: Để tính lim( n² 1 n²n), bạn Nam đã tiến hành các bước như sau:

Bước 1: ² ² 1 1

lim( n n n 1) lim(n 1 n 1 )

n n

       .

Bước 2: 1 1 1 1

lim(n 1 n 1 ) lim ( 1n 1 )

n n n n

       .

Bước 3: Ta có limn ; 1 1

lim( 1 1 ) 0

n n

    . Bước 4: Vậy lim( n² 1 n²n)0.

Hỏi bạn Nam đã làm sai từ bước nào?

A. Bước 1. B. Bước 2. C. Bước 3. D. Bước 4.

Câu 36: lim( 3n 1 2n1)bằng?

A. 1. B. 0. C. . D. .

(16)

Chuyên đề giới hạn và liên tục Hội toán Bắc Nam Câu 37:

2 1 1

lim 3 2

n n

n

  

 bằng?

A. 0. B. 1

3. C. . D. .

Câu 38: ₃ 3

lim(1 2 )

1 n n

n n

 

  bằng?

A. 0. B. -2. C. . D. .

Câu 39: Trong các giới hạn sau, giới hạn nào là hữu hạn?

A. lim( n 1 n n) . C. lim( n²  n 2 n1).

B. 1

lim

2 1

n  n . D. lim( n²  n 1 n). Câu 40: Trong các giới hạn sau, giới hạn nào là không hữu hạn?

A.

3

3 3

lim 1

n

n  n . C.

2 3 3

lim n 1 n

n n n

 

  . B. lim( 1³ n³n). D. lim(³n²n³n). Câu 41: Biết

2 2

2

4 4 1 6 3

lim 3 1 2

n n n m

n n n

     

  , trong đó m

n là phân số tối giản, mvà n là các số nguyên dương. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

A. m n. 10. C. m n. 15. B. m n. 14. D. m n. 21. Câu 42: Tìm 1 2.3₁ 6

lim 2 (3 5)

n n

n n

 

 :

A. . B. 1

2. C. 1. D. 1

3. DẠNG 2: TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN

Câu 43: Cấp số nhân lùi vô hạn 1 1 1 1 ¹ 1, , , ,..., ( ) ,...

2 4 8 2

   n có tổng là một phân số tối giản m

n . Tính 2

m n.

A. m2n8. C. m2n7. B. m2n4. D. m2n5. Câu 44: Số thập phân vô hạn tuần hoàn 0, 27323232... được biểu diễn bởi phân số tối giản m

n (m,n là các số nguyên dương). Hỏi mgần với số nào nhất trong các số dưới đây?

A. 542. B. 543. C. 544. D. 545.

Câu 45: Tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn là 2, tổng của 3 số hạn đầu tiên của nó là 9

4. Số hạn đầu của cấp số nhân đó là?

A. 4. B. 5. C. 3. D. 9

4.

Câu 46: Phương trình ² ³ ⁴ ⁵ 5

2 1 ...

x x  x x   x 4, trong đó x 1, có tập nghiệm là:

(17)

Chuyên đề giới hạn và liên tục Hội toán Bắc Nam

A. 7 97

S   24 

 

 . C. 3 41

S   16 

 

 . B. 7 97 S   24 

 

 . D. 3 41 S   16 

 

 . Câu 47: Cho tam giác đều A B C₁ ₁ ₁ cạnh a. Người ta dựng tam giác đều A B C₂ ₂ ₂có cạnh bằng đường cao

của tam giác A B C₁ ₁ ₁; dựng tam giác đều A B C₃ ₃ ₃ có cạnh bằng đường cao của tam giác A B C₂ ₂ ₂ và cứ tiếp tục như vậy. Tính tổng diện tích S của tất cả các tam giác đều A B C₁ ₁ ₁, A B C₂ ₂ ₂,

3 3 3

A B C ,…

A.

3 2 3 4

a . B.

3 2 3 2

a . C. a² 3. D. 2a² 3. DẠNG 4: TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ CHO BỞI HỆ THỨC TRUY HỒI Câu 48: Cho số thực a và dãy số (u_n) xác định bởi: u₁�