Tác giả: HUỲNH ÁI HẰNG (Huế) Biên tập: Lê Bá Bảo (Huế)
CHUYÊN ĐỀ: GIỚI HẠN
Chủ đề 1:
I- LÝ THUYẾT:
1.ĐỊNH LÍ 1: Cho hai dãy số
un , vn . Nếu ; *lim 0
n n
n
u v n
v
thì limun0.
2.CÁC PHÉP TOÁN: Giả sử limun L , limvnM và c là một hằng số. Khi đó:
*
* ;
* lim lim . .
* lim . . lim 0
n n n n
n n
n
u v L M u v L M
u L
c u c L M
v M
Định lý 1:NGUYÊN LÝ WEIERSTRASS
Một dãy số tăng và bị chặn trên ( hoặc giảm và bị chặn dưới ) thì có giới hạn.
Định lý 2: (ĐỊNH LÝ KẸP GIỮA)
Cho 3 dãy số ( ), ( ),un vn (wn) với: vn unwn ; n *. Lúc đó: lim
lim lim
n
n n
v A
u A
w A
*CÁC KẾT QUẢ QUAN TRỌNG:
* limc c ,
c
* 33
lim lim
lim
n n
n
u L
u L
u L
* lim vµ
0 lim 0
n
n n
u L
L u L
u n
* Tổng cấp số nhân lùi vô hạn
q 1
: 1 1 1 2 ... 1 1 S u u q u q u q
* 1
lim n lim 0
n
u u
*
3
1 1 1
lim 0; lim 0; lim 0;
n n n
* limqn 0 nếu q 1
*lim 1k 0
k *
n Mở rộng: lim ck 0 n
* limn ; lim n ; lim3n
* limqn nếu q1
* limnk ,
k*
3. MỘT VÀ QUY TẮC TÌM GIỚI HẠN DÃY SỐ:
limun , limvn limun , limvn L 0 limun L 0, limvn0 limun limvn limu vn. n limun Dấu L limu vn. n Dấu L Dấu vn
lim n
n
u v
II – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM MINH HỌA:
Câu 1. Với k là số nguyên dương thì 1 lim k
n bằng
A. . B. . C. 0 . D. 1.
Hướng dẫn:
*
lim 1k 0, k
n . Lựa chọn đáp án C.
Câu 2. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A. lim1 lim 1k ;
k
n n . B. limqn0 nếu q1. C. limcc (c là hằng số). D. lim3un 3 limun . Hướng dẫn:
limqn0 nếu q 1. Lựa chọn đáp án B.
Câu 3. Cho dãy số
un thỏa mãn 12n 2
u n với mọi n. Khi đó, limun có giá trị bằng
A. 2. B. 2. C. 0 . D. 1.
Hướng dẫn:
Vì 12
n 2
u n và 12
lim 0
n nên lim
un 2
0. Vậy limun2. Lựa chọn đáp án A.Câu 4. Dãy số nào sau đây có giới hạn khác 0?
A. 1 1
n . B. 1
n. C. 1
n . n
D. cosn n . Hướng dẫn:
1 1
limn lim 1 1 0
n n
. Lựa chọn đáp án C.
Câu 5. Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0?
A. 3 2
n
. B. 5 4
n
. C. 2 3
n
. D. 4 3
n
. Hướng dẫn:
Vì 2
1 1
3 nên 2
lim 0
3
n
. Lựa chọn đáp án C.
Câu 6. Dãy nào sau đây không có giới hạn?
A. 2 3
n
. B. 2 3
n
. C.
0,99
n. D.
1n. Hướng dẫn:Nếu n chẵn thì
1 n1, n lẻ thì
1 n 1. Do đó dãy số
1n không có giới hạn.Câu 7.
1lim 2
n
n
có giá trị bằng A. 1
2. B. 0 . C. 1. D. 1
2. Hướng dẫn:
1 1 1
1. Do lim 0 lim 0
2 2
n n
n n n n
.
Lựa chọn đáp án B.
Câu 8. Dãy số nào sau đây có giới hạn khác 0?
A. 1
3n. B.
1.
n
n
C. 5
4 .
n
D. 22 n . Hướng dẫn:
Vì 5
41 nên 5
lim .
4
n
Lựa chọn đáp án C.
Câu 9. 1 2 lim 4
n n
có giá trị bằng
A. 1
4. B. 1
4. C. 1
2. D. 1
2. Hướng dẫn:
1 2
1 2 1
lim lim
4 4 2
n n
n
. Lựa chọn đáp án D.
Câu 10. 3 5 lim 5
n n
n
có giá trị bằng
A. 1. B. 0 . C. 3
5. D. 8
5. Hướng dẫn:
3 1
5
3 5
lim lim 1
1 5
n
n n
n
.
Lựa chọn đáp án A.
Câu 11.
7 1 5 1
lim 3.4 7
n n
n n
có giá trị bằng
A. 7. B. 0 . C. 1. D. 1
3. Hướng dẫn:
1
5 1
7 7 7
7 5 1 7.7 5 1
lim lim lim 7
3.4 7 3.4 7 4
3. 1
7
n n
n n n n
n n n n n
.
Lựa chọn đáp án A.
Câu 12.
2
2 2
3 2
lim3 3 2
n n n
n n n
π
π
có giá trị bằng A. 1
3. B. 1
4. C. . D. 1.
Hướng dẫn:
2
2 2
3 1
4 4
3 2 3 4 1
lim lim lim
4
3 3 2 3 3 4.4 3
3 4
4 4
n n
n n n n n n
n n n n n n n n
π
π π
π π π
.
Lựa chọn đáp án B.
Câu 13.
3 4
2 5
lim 2 2
n n
n n
có giá trị bằng
A. . B. 2. C. 0 . D. 6.
Hướng dẫn:
3 3 4
4
3 4
2 1 5
2 5
lim lim 0
2 2
2 2 1
n n n n n
n n
n n
. Lựa chọn đáp án C.
Câu 14. Gọi sin 3
lim 4 n
L n thì L bằng số nào sau đây?
A. 0. B. 2. C. 2. D. 4.
Hướng dẫn:
Ta có sin 3n 1
n n sin 3
lim n 0
n sin 3
lim 4 n 4 2
L n
.
Lựa chọn đáp án C.
Câu 15.
4 4
2 1
lim 3 2 n n
n n
có giá trị bằng
A. 0 . B. 2
3. C. . D. 2
5. Hướng dẫn:
4 3 4
4
3
1 1
2 1 2 2
lim lim
2 3
3 2 3
n n n n
n n
n
. Lựa chọn đáp án B.
Câu 16.
3 2
2
2 4
lim 2 3
n n
n n
có giá trị bằng
A. 2. B. 0 . C. . D. 2.
Hướng dẫn:
3
3 2 3 3
2
2
2 2
1 4 1 4
2 2
2 4
lim lim lim
2 3
2 3
2 3
1 1
n n
n n n n n n
n n
n n n n n
.
Lựa chọn đáp án C.
Câu 17.
2 2
2 3
lim 1 2 5
n n
n n
có giá trị bằng
A. 0 . B. 1
2. C. 1. D. .
Hướng dẫn:
2 2
2 2
2 3 2 3
1 1 1 1
2 3 1
lim lim lim
2
1 5 1 5
1 2 5 1 2 1 2
n n
n n n n n n
n n n n
n n n n
.
Lựa chọn đáp án B.
Câu 18. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn 1 12 1 ... ...
5 5 5n
S có giá trị bằng A. 1
5. B. 1
4. C. 2
5. D. 5
4.
Hướng dẫn:
2
1 1 1
... ...
5 5 5n
S là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với 1 1
u 5 và 1 q5. Khi đó,
1 5 1
1 4
1 5
S
. Lựa chọn đáp án B.
Câu 19. Cho các dãy số
un , vn , wn , αn với 3 21, 2 21 1 2
n
n n n
u n v
n
, 2017
n 4n
w ,
4 1
2017 2
n
n n
α
. Có bao nhiêu dãy số có giới hạn bằng 0 trong các dãy số trên?
A. 1. B. 2. C. 3 . D. 4.
Hướng dẫn:
Có 3 dãy có giới hạn bằng 0 gồm
un , vn , wn . Lựa chọn đáp án C.Câu 20. Biết 4 1 lim 2
n a
n
. Hỏi a là nghiệm của phương trình nào sau đây?
A. x2 4 0. B. x25x 4 0. C. x25x 4 0. D.
2
4 0
5 4
x
x x
. Hướng dẫn:
4 1
lim 4
2
n a a
n
. Lần lượt thế a4 vào các phương trình ở các phương án.
Lựa chọn đáp ánB.
Câu 21. lim 3
n3n21
có giá trị bằngA.2. B. 1. C. . D. .
Hướng dẫn:
3 2
3 1 13lim 3n n 1 limn 3
n n
. Lựa chọn đáp án C.
Câu 22. lim
n2 n n22
có giá trị bằngA. 0 . B. 1. C. . D. 1
2. Hướng dẫn:
2 2
22
22 2
2 2 2lim 2 lim lim
2 2
n n n n
n n n
n n n n n n
2
1 2 1
lim 1 2 2
1 1
n
n n
.
Lựa chọn đáp án D.
Câu 23. lim
n2 n n22
có giá trị bằngA. 1 2. B. . C. 1. D. .
Hướng dẫn:
2 2
1 22lim n n n 2 lim n 1 1
n n
. Lựa chọn đáp án D.
Câu 24.
2 2
lim 2
4 2
n n n n n n
có giá trị bằng
A. 4. B. 2. C. 1
2. D. 1 2. Hướng dẫn:
2 2 2
2 2 2
2 2
2 4 2
lim
4 4 2
lim 2
4 2
n n n n n n
n n n n n n
n n n n n n
1 1
2 4 2 2 4 2
=
2 2
1 1 1 1
lim lim =4.
n n n
n n n
Lựa chọn đáp án A.
Câu 25. lim
3n13n
có giá trị bằngA. 0 . B. 1. C. . D. .
Hướng dẫn:
2
2
2
23 3
3 3
3 3 3 3
1 1
lim lim 0
lim 1
1 ( 1) 1 ( 1)
n n
n n
n n n n n n n n
Lựa chọn đáp án A.
Câu 26. 1 3 5 ... (22 1)
lim 3 2
n n
có giá trị bằng
A. 0 . B. 1. C. 1
3. D. .
Hướng dẫn:
1 3 5 ... (2n1) là tổng n số hạng đầu của cấp số cộng có u11, un2n1 và công sai d2.
Do đó 1 3 5 ... (2 1) 1
2 1
22
n n n n
. Suy ra
2
2 2
2
1 3 5 ... (2 1) 1 1
lim lim lim
2 3
3 2 3 2
3
n n
n n
n
. Lựa chọn đáp án C.
Câu 27.
1 1 1 1
lim ...
1.2 2.3 3.4 n n 1
có giá trị bằng
A. 0 . B. 2. C. 1. D. 1.
Hướng dẫn:
Ta có:
1
1 1 1
1.
1 1
k k
k k
k k k k
Do đó
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
... ... 1
1.2 2.3 3.4 n n 1 1 2 2 3 3 4 n n 1 n 1
.
Suy ra
1 1 1 1 1
lim ... lim 1 1.
1.2 2.3 3.4 n n 1 n 1
Lựa chọn đáp án D.
Câu 28. Cho dãy
11
1 :
1
n n
n n
u
u u
u u
. Lúc đó, limun bằng
A. 0 . B. 2. C. 1. D. 1.
Hướng dẫn:
Dùng phương pháp quy nạp toán học, ta chứng minh được un 1 limun 0.
n Lựa chọn đáp án A.
III – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TỰ LUYỆN:
Câu 1. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là đúng?
A. Nếu limun0 thì limun 0. B. Nếu limun thì limun. C. Nếu limun thì limun . D. Nếu limun a thì limun a. Câu 2. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?
A. Một dãy số có giới hạn thì luôn luôn tăng hoặc luôn luôn giảm.
B. Nếu
un là dãy số tăng thì limun .C. Nếu limun và limvn thì lim
unvn
0. D. Nếu unan và 1 a 0 thì limun0.Câu 3. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A. lim3 f x
g x
3limf x
g x
. B. lim3 f x
g x
3 limf x
3 limg x
. C. lim3 f x
g x
lim3 f x
lim3 g x
.D. lim3 f x
g x
lim3 f x
3 g x
.Câu 4. Với a là một số thực, trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A. Nếu limuna và limvn thì lim n 0
n
u v . B. Nếu limuna và limvn thì lim n 0
n
u v .
C. Nếu limuna và limvn thì lim
u vn n
.D. Nếu limun a 0 và limvn0 và vn0 với mọi n thì lim n
n
u
v . Câu 5. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. Mọi dãy dương đều có giới hạn.
B. Mọi dãy tăng đều có giới hạn.
C. Mọi dãy giảm đều có giới hạn.
D. Mọi dãy là dãy không đổi đều có giới hạn.
Câu 6. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. Mọi dãy bị chặn đều có giới hạn.
B. Mọi dãy tăng và bị chặn trên đều có giới hạn.
C. Mọi dãy giảm và bị chặn trên có giới hạn.
D. Mọi dãy tăng và bị chặn dưới đều có giới hạn.
Câu 7. Cho
un là một cấp số nhân lùi vô hạn với công bội q. Khẳng định nào sau đây là đúng?A. q 1.
B. 1 2 ... 1
n 1
u u u u
q
.
C. 1 1 2 2 ... 1 ... 1
1
n u
u u q u q u q
q
.
D. lim 1
n 1 S u
q
.
Câu 8. Để tính 2.4 5 13
lim 2 5
n n n
n n
ta tiến hành
A. Chia cả tử và mẫu cho 2n. B. Chia cả tử và mẫu cho 3n. C. Chia cả tử và mẫu cho 4n. D. Chia cả tử và mẫu cho 5n.
Câu 9.
1 1
5 2 1
lim
5.2 5 3
n n
n n
có giá trị bằng
A. 1
3. B. 1
5 . C. 2
5. D. 1
5. Câu 10.
2 3
3 2
2 3
lim2 4 1
n n
n n
có giá trị bằng A. 3
2. B. 0 . C. 1. D. 3 2. Câu 11.
2
3
lim 1
n n
n
có giá trị bằng
A. 0 . B. 1
3. C. 1 . D. .
Câu 12.
2 3
4 2
2 2 1 4 5
lim 3 1 3 7
n n n n
n n n
có giá trị bằng
A. 0 . B. 8
3. C. 1 . D. .
Câu 13.
3 2
4
2 3 1
lim 2 1 7
n n n
n n
có giá trị bằng
A. 1. B. 3 . C. 3
2. D. . Câu 14.
3
2
3 1
lim
1 1 2
n n
n n
có giá trị bằng
A. 0 . B. 1. C. 1
2. D. 1 4.
Câu 15. Tổng 1 1 1
1 ... ...
2 4 2n
S bằng
A. 1. B. 2. C. 4. D. 6 .
Câu 16. Tổng 1 1 1
1 1+...+ ...
2 4 8 2
n
S n
bằng A. 1. B. 1
3. C. 3
4. D. 2
3. Câu 17. Với k là số nguyên dương thì limnk bằng
A. . B. . C. 0 . D. n.
Câu 18. lim
2n32n23
có giá trị bằngA.2. B. 1. C. . D. .
Câu 19. lim 3
n44n2 n 1
có giá trị bằngA.. B. . C. 3 . D. 7.
Câu 20. lim
n2 4 n21
có giá trị bằngA. 3 . B. 1. C. 0 . D. .
Câu 21. lim
n22n 1 2n2n
có giá trị bằngA. 1 2. B. . C. 1. D. .
Câu 22. lim
n22n 3 n
có giá trị bằngA.1. B. 0 . C. . D. 1.
Câu 23.
9 2 2
lim 3 2
n n n
n
có giá trị bằng
A. 1. B. 3 . C. 0 . D. .
Câu 24. 1 12 13 1
lim ..
3 3 3 3n
có giá trị bằng
A. 1.
2 B. 1
24. C. . D. 1.
Câu 25. lim
2n2 n 1 2n23n2
có giá trị bằng A. 12 . B. 0 . C. . D. .
Câu 26. lim 1 1
1 2
n n
có giá trị bằng
A. 1. B. 0 . C. 1
2. D. .
Câu 27.
2017 2016
2017 2015
lim3
n n
n n
có giá trị bằng
A. 1. B. 1. C. 1
3. D. .
Câu 28.
1 1 1 1
lim ...
1.3 3.5 5.7 2n 1 2n 3
có giá trị bằng
A. 1
2. B. 1. C. 1
3. D. .
Câu 29. lim n
n 2 n3
có giá trị bằngA. 1. B. 0 . C. 5
2. D. .
Câu 30. Nếu limunL thì lim3 un8 có giá trị bằng
A. L2. B. 3 L8. C. 3 L2. D. L8. Câu 31. Nếu dãy
un với un 0, n và limunL thì 1lim un9 có giá trị bằng A. 1
3
L . B. 1 9
L . C. 1 3
L . D. 1 9 L . Câu 32. Cho dãy số
un với limun3. Khi đó, lim2 41
n n
u u
có giá trị bằng
A.4. B. 2. C. 5 . D. 1
2. Câu 33. Cho dãy số
un với limun . Khi đó, lim 2 21
n n
u u
có giá trị bằng
A. 1. B. . C. 0 . D. 2.
Câu 34. Cho dãy số
un với un 2
2 2 ...
2 n. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:A. lim 2
2 2 ...
2 ... 21 2
n
un
. B. limun.
C. limun .
D. Dãy số
un không có giới hạn khi n . Câu 35.3 3
lim 1
8 n n
có giá trị bằng
A. 1. B. 1
2. C. 1
8 . D. .
Câu 36.
3 2
3
2
8 2 1
lim
2 1
n n
n
có giá trị bằng
A. 2. B. 2. C. 1. D. .
Câu 37. lim 1.41 4.71 7.101 ...
3n 2 3
1 n 1
có giá trị bằng
A. 1
2. B. 1. C. 1
3. D. .
Câu 38.
3
1.2 2.3 3.4 ... 1
lim 2016 2017
n n n
có giá trị bằng A. 1
2017. B. 1
2016. C. . D. .
Câu 39. 3 ( 1) cos 3
lim 1
n n n
n
có giá trị bằng
A. 3
2 . B. 3. C. 5 . D. 1.
Câu 40. lim 3 n 5n
có giá trị bằng
A. 3 . B. . C. . D. 5.
Câu 41.
2 2
lim 1
2
n n
n n
có giá trị bằng
A. 1. B. 2. C. 0 . D. 1.
Câu 42. lim
3n32nn
có giá trị bằng A. 23. B. 1
3. C. 1. D. 0 .
Câu 43. lim
3n2n3n
có giá trị bằng A. 13. B. . C. 1. D. 0 .
Câu 44. Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0?
A.
2 2
1 .
n 3 u n
n n
B. 1 3 2
3 .
n
u n
n n
C.
1 2 2
5 .
n
u n n
D. 1 2
5 .
n
u n n
Câu 45.
2
2 5 8 ... 3 1
lim n
n
có giá trị bằng A. 1.
3 B. 0. C. . D. 3.
Câu 46. Dãy số nào sau đây có giới hạn là ? A.
2 2
2 .
3 3
n
n n
u n n
B. 1 2
3 3.
n
u n n
C.
2 2
3 3.
n
u n n
D.
2 3
2 .
n 5 u n
n n
Câu 47. Dãy số nào sau đây có giới hạn là ?
A.
2 2
3 .
n 2
n n
u n n
B. 2018 2017
1 .
n
u n
n
C. un2017n2016 .n2 D. unn21.
Câu 48. Trong các giới hạn sau đây, giới hạn nào bằng 1?
A.
2 3
3 1
lim .
3 2
n n
B.
3 3
2 3
lim .
2 1
n n
C.
2
3 2
3 1
lim .
3 3
n
n n
D.
3 2
lim 3 .
1 n
n
Câu 49. Trong các giới hạn sau đây, giới hạn nào bằng 0?
A.
2 3
5 2
lim .
5 4
n n
B.
3 2
2 5
lim .
2 1
n n n
C.
2 4
3 2
lim 2 .
2 n n
n n
D.
3 2
3 5
lim .
1 n n
Câu 50. Trong các giới hạn sau đây, giới hạn nào bằng 1?
A.
2 3
lim 2 .
4 n
n
B.
3 2
lim2 .
2 1
n n n
C.
2 3
3 2
3 2
lim .
2 4
n n
n n
D.
4 2
3 2
lim .
2 1
n n
Câu 51. Dãy số nào sau đây khôngcó giới hạn?
A. lim
1 sin 2n π
nπ
. B. lim sin
nπ .C. lim cos 2 π nπ
. D. lim cos
nπ .Câu 52. Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 1?
A. lim sin
nπ . B. lim cos
nπ .C. 2
lim sin
2 1
n π
n
. D. cos2 2
limn n n
.
Câu 53. Biết 4 1 lim1 2
n M
n
và 4 31 lim2 4
n n
n m
. Tích M m. bằng
A. 2. B. 2. C. 1
2. D. 1
2.
Câu 54. Biết 20172017
lim 0
n và 20172017
lim 0
n
. Khi đó,
2017
2017 sin 2017
lim n
n bằng
A. 2017 . B. 2017 . C. 1 . D. 0.
Câu 55. Để tính 1 2 3 ...2
lim n
n
, một học sinh làm như sau:
Bước 1: Ta có 1 2 3 ...2 12 22 32 2
n ... n
n n n n n
.
Bước 2: Suy ra 1 2 3 ...2 12 22 32 2
lim n lim ... n
n n n n n
Bước 3: Suy ra 1 2 3 ...2 12 22 32 2
lim n lim lim lim ... lim n
n n n n n
Bước 4: Suy ra 1 2 3 ...2
lim n 0 0 0 ... 0 0
n
. Bạn học sinh đã giải đúng hay sai? Nếu sai thìsai thì bước nào?
A. Bước 1. B. Bước 2. C. Bước 3. D. Bài giải đúng.
Câu 56. 1 3 5 ... (22 1)
lim 5 4
n n
có giá trị bằng
A. 0 . B. 1
4. C. 1
5. D. .
Câu 57. 1 2 3 ...2
lim 2
n n
có giá trị bằng
A.1. B. . C. 1. D. 1
2. Câu 58.
2 2 2
lim ...
1.2 2.3 n n 1
có giá trị bằng
A. 1
2. B. 2. C. 0 . D. .
Câu 59. Cho dãy
1
* 1
2
: 1
n 2
n
n
u
u u n
u
. Lúc đó, limun bằng
A. 0 . B. 2. C. 1. D. 1.
Câu 60. Cho dãy
1
* 1
1 : 2
3
n
n n
u u
u u n
. Lúc đó, limun bằng
A. . B. 2. C. . D. 1.
Câu 61.
2 2 2 2
3
1 2 3 ...
lim 4 2017
n n
có giá trị bằng A. 1.
3 B. 1
24. C. . D. 3.
Câu 62. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Một dãy số có giới hạn thì luôn tăng hoặc luôn giảm.
B. Nếu un an và a1 thì limun0.
C. Nếu limun 0 và limvn thì lim( . ) 0u vn n . D. Nếu limun thì 2017
lim 0
un . Câu 63. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Một dãy số tăng và bị chặn trên thì có giới hạn.
B. Một dãy số giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn.
C. Nếu limun và limvn thì lim n 1
n
u v . D. Nếu un anvà 2 a 1
thì liman 0. Câu 64. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Nếu limun a và limvn b thì lim(unvn) a b. B. Nếu limun và limvn thì lim(unvn) 0 . C. Nếu un0 với mọi n và limvn a thì a0.
D. Nếu limun 2 và limvn2018 thì lim n 1009
n
v
u . Câu 65. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Nếu limun a và limvn b thì lim n
n
u a v b. B. Nếu limun a thì lim un a.
C. Nếu limun 5 và limvn 0 thì lim n
n
u
v . D. Nếu un an và a 2 thì limun . Câu 66. Cho dãy số
un với 2 4 6 ... 233 1
n
u n
n n
. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. limun 0. B. limun 2. C. limun 3. D. limun . Câu 67. Cho dãy số
un với2 1
1 2 2 ... 2
2 3
n
n n
u
. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. 1
limun 2. B. limun 1. C. limun . D. limun . Câu 68. Cho dãy số
u với u 2016 5 . Khẳng định nào sau đây đúng?A. limun 0. B. limun 5. C. limun 7. D. limun 2016. Câu 69. Cho 1 1 1 ... 1 ...
2 4 2n
S . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. S0. B. S1. C. 1
limun 2. D. limun . Câu 70. Cho S 1 2 22 ... 2n.... Khẳng định nào sau đây sai?
A. S .
B. Slim(1 2 2 2 ... 2 )n .
C. S là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn.
D. S là tổng vô hạn các phần tử của một cấp số nhân.
Câu 71. Cho dãy số
un có limun . Khẳng định nào sau đây sai?A. 2 1
lim 2 2
n n
u u
. B.
22
1 1
lim 2 1 2
n n
u u
. C. lim
3un6
. D.2 1 1
lim2 3 2
n n
u u
.
--- HẾT ---
ĐÁP ÁN CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM TỰ LUYỆN
Câu 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Đáp án A D A C D B C D B A
Câu 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Đáp án D B C D B B A D B C
Câu 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Đáp án D A A A A B C A C B
Câu 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
Đáp án D C C C A A C B B C
Câu 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
Đáp án B A D B D C D B A C
Câu 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
Đáp án D C C D C C D B D A
Câu 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
Đáp án B D C B D A B D A C
Câu 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 Đáp án D
Trong tài liệu này, tác giả có sử dụng phần lí thuyết và một số câu hỏi của Thầy Lê Bá Bảo (CLB Giáo viên trẻ TP Huế), Thầy Đặng Ngọc Hiền (TP Bà Rịa_Vũng Tàu) và sách trắc nghiệm 2007, tài nguyên Page Toán học Bắc Trung Nam. Dù biên soạn rất kỹ, song chắc chắn không tránh khỏi sai sót. Mong bạn đọc phản hồi để cùng tác giả hoàn thiện nội dung trên. Xin cảm ơn! Xin tặng các Thầy Cô và các em học sinh chuyên đề này!
Tác giả: HUỲNH ÁI HẰNG
Địa chỉ: Tản Đà_Hương Sơ, TP Huế SĐT: 0935.905.892