Chuyên đề giới hạn – Nguyễn Bảo Vương - Học Tập Trực Tuyến Cấp 1,2,3 - Hoc Online 247

GIỚI HẠN HÀM SỐ

TẬP 1

220 BÀI TẬP TRẮC GIỚI HẠN HÀM SỐ CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT

https://web.facebook.com/phong.baovuong

GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT MUA

CHƯƠNG IV: GIỚI HẠN

TẬP I. GIỚI HẠN DÃY SỐ VÀ GIỚI HẠN HÀM SỐ

GIỚI HẠN DÃY SỐ

1. Giới hạn hữu hạn của dãy số 1.1. Định nghĩa:

 Dãy số ( )u_n được gọi là có giới hạn bằng 0 khi n tiến ra dương vô cực nếu với mỗi số dương nhỏ tuỳ ý cho trước, mọi số hạng của dãy số , kể từ một số hạng n|o đó trở đi, đều có giá tri tuyệt dối nhỏ hơn số dương đó. Kí hiệu: lim _n 0

x u

  .Hay là:

lim0 _n 0

x u

  khi và chỉ khi với mọi  0 nhỏ tùy ý, luôn tồn tại số tự nhiên n₀ sao cho: u_n ,  n n₀.

x^limun a x^lim





      , tức là: Với mọi  0 nhỏ tùy ý, luôn tồn tại số tự nhiên n₀ sao cho , 0

un a   n n .

Dãy số (uⁿ) có giới hạn là số thực gọi là dãy số có giới hạn hữu hạn.

1.2. Một số giới hạn đặc biệt

 lim ¹_k 0

n  với k *

 Nếu q 1thì lim ⁿ 0

n q

 

 Nếu u_nc (với c là hằng số) thì lim _n lim

n u n c c

    Chú ý: Ta viết limu_na thay cho cách viết lim _n

n u a

  . 2. Một số định lí về giới hạn

Định lí 1. Nếu dãy số (un) thỏa u_n v_n kể từ số hạng n|o đó trở đi v| limv_n 0 thì limu_n0. Định lí 2. Cho limu_n a, limv_nb_{. Ta có:}

lim(u_nv_n) a b

 lim(u_nv_n) a b

 lim( . )u v_{n n} a b. 

lim ⁿ ( 0)

n

u a v b b

 Nếu u_n 0 n thì lim u_n  a 3. Tổng của CSN lùi vô hạn

Cho CSN ( )u_n có công bội q thỏa q 1. Khi đó tổng

1 2 ... _n ....

S u u  u  gọi là tổng vô hạn của CSN và

1(1 ) 1

lim lim

1 1

n n

u q u

S S

q q

   

  . 4. Giới hạn vô cực

4.1. Định nghĩa:

 lim _n

n u

    với mỗi số dương tuỳ ý cho trước , mọi số hạng của dãy số , kể từ một số hạng n|o đó trở đi, đều lớn hơn số dương đó .

n^limun n^lim

 

       . 4.2. Một số kết quả đặc biệt

limn^k   với mọi k0

 limqⁿ  _{với mọi q}₁.

4.3.Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cựC.

Quy tắc 1: Nếu limu_n , limv_n  thì lim( . )u v_{n n} được cho như sau;

limu_n limv_n lim(u v_{n n})

























Quy tắc 2: Nếu limu_n , limv_nl thì lim( . )u v_{n n} được cho như sau;

limu_n Dấu của l lim(u v_{n n})

























Quy tắc 3: Nếu limu_nl,limv_n 0 và v_n0 hoặc v_n0 kể từ một số hạng nào dó trở đi thì lim ⁿ

n

u v được coi như sau;

Dấu của l Dấu của v_n

lim ⁿ

n

u v

























Vấn đề 1. Tìm giới hạn bằng định nghĩa Phương pháp:

 Để chứng minh limu_n0 ta chứng minh với mọi số a0 nhỏ tùy ý luôn tồn tại một số n_a sao cho

n a

u   a n n _.

 Để chứng minh limu_nl ta chứng minh lim(u_n l) 0.

GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT MUA

 Để chứng minh limu_n  ta chứng minh với mọi số M0 lớn tùy ý, luôn tồn tại số tự nhiên n_M sao cho u_n M  n n_M.

 Để chứng minh limu_n  ta chứng minh lim(u_n) .

 Một dãy số nếu có giới hạn thì giới hạn đó l| duy nhất.

Các ví dụ

Ví dụ 1. Chứng minh rằng:

1. 2

lim 1

1 n n

 

 2.

2 2

1 1

lim2 1 2 n

n

 

 ^{3. 2}

lim 1 2 2

1 n n

  

 Lời giải.

1. Với a0 nhỏ tùy ý, ta chọn 1

a 1

n  a , ta có:

2 1 1

1 1 1 _a 1

n a

n n n

    

   ^với  n n^a

Suy ra 2 2

lim 1 0 lim 1

1 1

n n

n n

     

  ^.

2. Với a0 nhỏ tùy ý, ta chọn 3

a 1

n  a , ta có:

2

2 2 2

1 1 3 3

2 1 2 1 _a 1

n a

n n n

    

   ^với  n n^a

Suy ra

2 2

2 2

1 1 1 1

lim 0 lim

2 2

2 1 2 1

n n

n n

     

  ^.

3. Với a0 nhỏ tùy ý, ta chọn 9₂

a 1

n  a  _{, ta có:}

2

2 2 2 2

1 2 1 2 2 1 1 2 2( 1) 3

2

1 1 1 1

n n n n n

n n n n

          

    ²

3

a 1 a n

 

 ^với  n n^a. Suy ra

2 2

1 2 1 2

lim 2 0 lim 2

1 1

n n

n n

      

  ^.

Ví dụ 2. Chứng minh rằng dãy số ( ) :u_n u_n ( 1)ⁿ không có giới hạn.

Lời giải.

Ta có: u_2n  1 limu_2n1; u_2n1  1 limu_2n1 1

Vì giới hạn của dãy số nếu có là duy nhất nên ta suy ra dãy (uⁿ) không có giới hạn.

Ví dụ 3. Chứng minh các giới hạn sau:

1.

2 1

limn n

   2. 2

lim n n

  

Lời giải.

1. Với mọi số thực dương M lớn tùy ý, ta có:

2 2

1 2 4

1 0 2

n M M

M n Mn n

n

  

      

Ta chọn

2 0

4 2

M M

n

   

  

 

 

thì ta có:

2

0

1 ,

n M n n

n

   

Do đó:

2 1

limn n

  .

2. Với mọi M0 lớn tùy ý, ta có:

2 2

2 8

2 0

2

n M M

M n M n n

n

 

          

 

 

Ta chọn

2 2

0

8 2

M M

n

    

  

  

thì ta có: 2 ₀

n ,

M n n

n

   

Do đó: 2 lim n

n

  .

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1. Giá trị của 1

limn1^bằng:

A.0 B.1 C.2 D.3

Lời giải. Với a0 nhỏ tùy ý, ta chọn 1

a 1

n  a ta có 1 1

1 _a 1 a n n^a

n n   

  ^{nên có}

lim 1 0

1 n 

 . Bài 2. Giá trị của 1

lim _k

n (k *) bằng:

A.0 B.2 C.4 D.5

Lời giải. Với a0 nhỏ tùy ý, ta chọn _k 1 na

 a ta có 1 1

_a

k k

a

a n n

n n    nên có 1 lim _k 0

n  . Bài 3. Giá trị của

sin2

lim 2

n

n ^bằng:

A.0 B.3 C.5 D.8

Lời giải. Với a0 nhỏ tùy ý, ta chọn 1

a 2

n  a ta có

sin2 1 1

2 2 _a 2 ^a

n a n n

n n n   

   ^{nên có}

sin2

lim 0

2 n

n 

 ^.

Bài 4. Giá trị của lim(2n1) bằng:

A.  B. C.0 D. 1

Lời giải. Với mọi số dương M lớn tùy ý ta chọn 1

M 2 n  M Ta có: 2n 1 2n_M 1 M  n n_Mlim(2n  1) _.

GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT MUA Bài 5. Giá trị của

1 2

lim n n

 bằng:

A.  B. C.0 D. 1

Lời giải. Với mọi số dương M lớn tùy ý ta chọn n_M thỏa

2 1

M M

n M

n

 

2 4

M 2

M M

n  

  .

Ta có:

2 1 2 1

_M lim

n n

M n n

n n

 

     

Vậy 1 2

lim n n

  .

Bài 6. Giá trị của 2

limn1 bằng:

A.  B. C.0 D. 1

Lời giải. Với mọi a0 nhỏ tùy ý, ta chọn 2 1 1 na

a

 

  

 

Suy ra 2 2

lim 0

1 a n n^a 1

n     n 

  .

Bài 7. Giá trị của cos ₂ sin

lim 1

n n

n



 bằng:

A.  B. C.0 D. 1

Lời giải. Ta có cosn ₂sinn 2₂

n n

  mà 1₂ cos ₂ sin

lim 0 lim 0

1

n n

n n

   

 Bài 8. Giá trị của 1

lim 2

n n



 ^bằng:

A.  B. C.0 D. 1

Lời giải. Với mọi số thực a0 nhỏ tùy ý, ta chọn 1₂

1 1 na

a

 

  

 

Ta có: 1 1 1

lim 0

2 1 ^a 2

n n

a n n

n n n

       

   .

Bài 9. Giá trị của

3 2

lim3n n n

 bằng:

A.  B. C.0 D. 1

Lời giải. Với mọi M0 lớn tùy ý, ta chọn 1

M 3 n M

 

 

Ta có:

3 2

3 1

3 _M

n n

n M n n

n n

     

Vậy

3 2

lim3n n n

  .

Bài 10. Giá trị của 2 lim

1 n n



 ^bằng:

A.  B. C.0 D. 1

Lời giải. Với mọi M0 lớn tùy ý , ta chọn

1 2

3 1

nM

a

 

   

 

Ta có: 2 3

1 1 3

1 1 ^M

n n n M n n

n n

         

 

Suy ra 2 lim

1 n n

  

 ^.

Bài 11. Giá trị của 2 1

lim 2

A n

n

 

 ^bằng:

A.  B. C.2 D. 1

Lời giải. Với số thực a0 nhỏ tùy ý, ta chọn 5 2 2 na

  a

Ta có: 2 1 5 5

2

2 2 _a 2 ^a

n a n n

n n n

      

  

Vậy A2.

Bài 12. Giá trị của 2₂ 3

lim 1

B n

n

 

 bằng:

A.  B. C.0 D. 1

Lời giải Với số thực a0 nhỏ tùy ý, ta chọn n_a thỏa 2₂ 3 1

a a

n a

n

 



1 2 4 13

a

a a

n a

  

 

Ta có: 2₂ 3

0

1 ^a

n a n n B

n

     

 .

Bài 13. Giá trị của

2 1

lim 1

C n

n

 

 ^bằng:

A.  B. _{C.0 D.} 1

Lời giải. Với số thực a0 nhỏ tùy ý, ta chọn 1

a 1 n  a

Ta có:

2 1 2 1

1 1

1 1 _a 1 ^a

n n

a n n

n n n

 

      

  

Vậy C1.

GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT MUA Bài 14. Giá trị của 2

lim 2

n n

A n

  bằng:

A.  B. C.1

2 ^D. 1

Đáp án 1 A2 Bài 15. Giá trị của

2 2

sin 3 limn n n

B n

  bằng:

A.  B. C.3 _D. 1

Lời giải B 3 Bài 16. Giá trị của

2

lim 1

2 7

C n n

  ^bằng:

A.  B. C.0 D. 1

Lời giải C0 Bài 17. Giá trị của

2

4 1 lim

3 2

D n

n n

 

  ^bằng:

A.  B. C.0 D.4

Lời giải D4

Bài 18. Giá trị của lim 0

! an

n  bằng:

A.  B. C.0 D. 1

Lời giải. Gọi m là số tự nhiên thỏa: m 1 a. Khi đó với mọi n m 1

Ta có: 0 . ... . ... .

! 1 2 1 ! 1

m n m

n a a

a a a a a a

n m m n m m

  

      

Mà lim 0

1 a n m

m

  

  

  

  . Từ đó suy ra: lim 0

! an

n  . Bài 19.Giá trị của limⁿa với a0 bằng:

A.  B. C.0 D. 1

Lời giải. Nếu a1 thì ta có đpcm

 Giả sử a1. Khi đó: ^a^1









Suy ra: 0 ⁿ 1 a 0

a n

    nên limⁿa1

 Với 0 a 1 _thì 1 1

1 limⁿ 1 limⁿa 1

a  a    .

Tóm lại ta luôn có: limⁿa1 với a0.

Vấn đề 2. Tìm giới hạn của dãy số dựa vào các định lý và các giới hạn cơ bản

Phương pháp:

Sử dụng c{c định lí về giới hạn, biến đổi đưa về các giới hạn cơ bản.

 Khi tìm ( ) lim ( ) f n

g n ta thường chia cả tử và mẫu cho n^k, trong đó k là bậc lớn nhất của tử và mẫu.

 Khi tìm lim^k f n( )^mg n( ) ^{trong đó} lim ( ) lim ( )f n  g n   ta thường tách và sử dụng phương ph{p nh}n lượng liên hơn.

Các ví dụ

Ví dụ 1. Tìm các giới hạn sau : 1. 1 3 5 ... (2₂ 1)

lim 2 1

n n

A n

    

  ^{2. 3 2 2 2}

1 2 ...

lim

1 2 ... 2

B n n

n n

   

    

Lời giải.

1.Ta có: 1 3 5 ... 2    n 1 n² Suy ra

2 2

2

1 1

lim lim

1 2

2 1 2

A n

n

n

  

 

.

2.Ta có: ( 1)

1 2 ...

2 n n n

    ;

^{2 2 2} ( 1)(2 1)

1 2 ...

6

n n n

n  

   

Suy ra :

2

3 3 3

3

1 1

( 1) 1

2 2 2 1

lim lim

( 1)(2 1) 2 1 1 2 1 1 2

6 3

6 2

n n

n n n n

B

n n n

n n

n n

n

  

 

    

  

        

   

.

Ví dụ 2. Tìm các giới hạn sau :

1. 1₂ 1₂ 1₂

lim 1 1 ... 1

2 3

C n

    

        

    

  ^2.

1 1 1 1

lim ...

1.2 2.3 3.4 ( 1)

D n n

 

        Lời giải.

1.Ta có: 1₂ ( 1)(₂ 1)

1 k k

k k

 

  nên suy ra

2 2 2 2 2 2

1 1 1 1.3 2.4 ( 1)( 1) 1

1 1 ... 1 . ...

2 3 2 3 2

n n n

n n n

           

    

    

Do vậy 1 1

lim 2 2

C n

n

   .

GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT MUA

2.Ta có 1 1 1

( 1) 1

k k  k k

  nên suy ra

1 1 1 1 1

... 1

1.22.33.4 n n( 1) n 1

 

Vậy 1

lim 1 1

D 1

n

 

     ^. Ví dụ 3. Tìm các giới hạn sau : 1.

1 1

4 5

lim 4 5

n n

n n

A

  

  ^2.

2 1

1

4.3 2.7 lim 4 7

n n

n n

B

 



 

 Lời giải.

1.Chia cả tử và mẫu cho 5ⁿ ta có:

4 4 5

lim 5 5

4 1

5

n

A n

  

  

  

  

  

( do 4

lim 0

5

 n

  

  ^).

2.Ta có:

4 2

36 7 7 2

lim 4 49

7 7

n

B n

  

  

  

  

  

.

Ví dụ 4. Tìm giới hạn sau : 1₂ 1₂ 1₂

lim 1 1 ... 1

2 3

C n

    

        

    

 

Lời giải.

Ta có: 1₂ ( 1)(₂ 1)

1 k k

k k

 

  nên suy ra

2 2 2 2 2 2

1 1 1 1.3 2.4 ( 1)( 1) 1

1 1 ... 1 . ...

2 3 2 3 2

n n n

n n n

           

    

    

Do vậy 1 1

lim 2 2

C n

n

   .

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1. Giá trị của

2 2

2 3 1

lim 3 2

n n

A n n

 

   ^bằng:

A.  B. C.2

3 D. 1

Lời giải. Ta có: ²

2

3 1

2 2

lim 1 2 3

3 n n A

n n

 

 

 

.

Bài 2. Giá trị của

2 2

lim 2

3 1

n n

B

n n

 

  bằng:

A.  B. C.0 D. 1 1 3

Lời giải. Ta có:

2

2

2

1 1

lim lim 1

1 1 3

3 1 1 3

n n n n B

n n

n n

 

  

    

Bài 3. Giá trị của





 

17

2 1 2

lim 1

n n

C n

 

  ^bằng:

A.  B. C.16 D. 1

Lời giải. Ta có:

8 4 9 9 4 9

2 2

17

17 17

1 2 1 2

(2 ) . (1 ) (2 ) .(1 )

lim lim

1 1

(1 ) 1

n n

n n

n n

C

n n n

   

 

 

Suy ra C16.

Bài 4. Giá trị của

2 3 3

4 4

1 3 2

lim

2 2

n n

D

n n n

  

    bằng:

A.  B. C.

3 4

1 3

2 1



 D. 1

Lời giải. Ta có:

2 3 3 3

4

4 3 4

1 2

1 3

1 3

lim 1 2 2 1

2 1

n n n

D

n n n

 

  

 

  

 

 

  

  

 

 

 

.

Bài 5. Giá trị của ^Alim





A.  B. C.3 D. 1

Lời giải. Ta có





lim 6 lim 6

6 n n n

A n n n

n n n

 

   

 

2

6 6

lim lim 3

6 1 6 1

n n n n

n

  

   

Bài 6. Giá trị của ^Blim





A.  B. C.0 D.3

Lời giải. Ta có: ^Blim





 

2

2 3

3 2 3 2 2

3

lim 9

9 9

n

n n n n n n



   

GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT MUA

2

3

lim 9 3

9 9

1 1 1

n n

 

     

 

 

.

Bài 7. Giá trị của 3.2₁ 3₁ lim2 3

n n

n n

C _  _

  ^bằng:

A.  B. C. 1

3 D. 1

Lời giải. Ta có: _{1 1}

3. 2 1 3

3.2 3 1

lim lim

3

2 3 2

2. 3

3

n

n n

n n n

C _{ }

  

   

   

    

 

Bài 8. Giá trị của ^Dlim





A.  B. C.1

3 ^D. 1

Lời giải. Ta có: ^Dlim



 



2

2 3 3 2 2 3 3 2 2

2 2

lim lim

2 ( 2 ) 2

n n

n n n n n n n n n

 

     

3 2 3

2 2 1

lim lim

2 2 2 3

1 1 (1 ) 1 1

n n n

  

     

.

Bài 9. Giá trị của ^Alim





A.  B. C.2 D. 1

Lời giải. Ta có 2 2₂

lim 1 1

A n

n n

 

      

Do 2 2₂

limn ; lim 1 1 2

n n

 

       ^.

Bài 10. Giá trị của ^Blim





A.  B. C.0 D. 1

Lời giải Ta có: 1

lim 2 1

B n

n

 

     

Bài 11. Giá trị của

4 3

4

3 1

lim

2 3 1

n n

C

n n n

  

   bằng:

A.  B. C.0 D. 1

3.Chia cả tử và mẫu cho n² ta có được

4 5 8

3 4

3 1 1

lim 0

3 1 1

2 n n n C

n n n

 

 

   .

Bài 12. Giá trị của ^{1 0}

1 0

lim ...

...

k k

p p

a n a n a

D b n b n b

  

    ^{(Trong đó} k p, là các số nguyên dương; a b_{k p}0) . bằng:

A.  B. C.Đ{p {n kh{c D. 1

Lời giải Ta xét ba trường hợp sau

 kp. Chia cả tử và mẫu cho n^k ta có:

1 0

0

... if 0

lim if 0

...

k

k k k p

p k p

p k k

a a

a n n a b

D b b a b

n n





    

     

.

 kp. Chia cả tử và mẫu cho n^k ta có:

1 0

0

...

lim

...

k

k k

k k

k k

a a

a n n a

D b b

b n

   

 

 

.

 kp. Chia cả tử và mẫu cho n^p :

0

0

...

lim 0

...

k

p k p

p p

a a

n n

D b

b n

  

 

 

.

Bài 13. Giá trị củA. ^Alim





bằng:

A.  B. C.0 D. 1

Lời giải.Ta có: 1 19

( 2) 95 0, ( 1) 1 0, 0

2 32

f f f 

          

  Bài 14. Giá trị củA.

0 3

lim 1 1 2 (0)

1 1 1

x f

x x



 

    

   

 

bằng:

A.  B. C.0 D. 1

Lời giải.f(0) 1 0, (2)  f  470, (10) 7921 0f   Bài 15. Giá trị củA. x0 với 

bằng:

A.  B. C.Đ{p {n kh{c D. 1

Lời giải.f x( ) 0

Bài 16. Giá trị củA. ⁰

0

( ) khi khi f x x x

y k x x

 

   ^bằng:

GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT MUA

A.  B. C.0 D. 1

Lời giải.





   

2 2

   

      

   

Bài 17. Giá trị củA. xx_{0 bằng:}

A.  B. C.3

2 ^D. 1

Lời giải.Ta có: ^{2 3} ₂

1 1

3 3

lim 1 3 2

2 1

n n E

n n

 

 

  

 

  

  

Bài 18. Giá trị củA.

7 3

2 5

( 2) (2 1)

lim ( 2)

n n

F n

 

  ^bằng:

A.  B. C.8 D. 1

Lời giải. Ta có:

7 3

5 2

2 1

1 2

lim 8

1 5

n n

F

n

   

 

   

   

 

 

  

 

Bài 19. Giá trị củA. ^Hlim





A.  B. _C.1

2 ^D. 1

Lời giải. Ta có:

2

2

1 1

1 1

lim lim

1 1 2

1 1 1

n n

H

n n n

n n

 

  

     

Bài 20. Giá trị củA. ^Mlim





A. 1

12 B. C.0 D. 1

Lời giải. Ta có:

2 3

2 3 2 2 3 2

3

1 1

lim (1 8 ) 2 1 8 4 12

M n

n n n n n n

   

     

Bài 21. Giá trị củA. ^Nlim





A.  B. _{C.0 D.} 1

Lời giải. Ta có: ^Nlim



 



Mà:





lim 4 1 2 lim 1 0

4 1 2

n n

n n

   

 





lim 8 2 lim 0

(8 ) 2 8 4

n n n n

n n n n n n

   

   

Vậy N0.

Bài 22. Giá trị củA. ^Klim





A.  B. C. 5

12 _D. 1

Lời giải. Ta có: ^Klim









Mà: ^lim









Do đó: 1 3 5

3 4 12

K   

Bài 23. Giá trị củA. 2 1 lim1 3 A n

n

 

 bằng:

A.  B. C. 2

3 D. 1

Lời giải 2 A 3 Bài 24. Giá trị củA.

2 2

4 3 1

lim (3 1)

n n

B n

 

  ^bằng:

A.  B. C.4

9 D. 1

Lời giải 4 B9 Bài 25. Giá trị củA.

3 2

lim 1

(2 1) C n

n n

 

 ^bằng:

A.  B. C.1

4 ^D. 1

Lời giải 1 C4 Bài 26. Giá trị củA.

3 2

4 3

3 2

lim 4 1

n n

D n n

 

   ^bằng:

A.  B. C.0 D. 1

Lời giải D0 Bài 27. Giá trị củA.

3 2 1

lim 2

n n

E n

 

  ^bằng:

A.  B. _{C.0 D.} 1

Lời giải E 

Bài 28. Giá trị củA.

4 4

3 3

2 1 2

lim 3

n n n

F

n n n

  

   bằng:

GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT MUA

A.  B. C.

3

3

3 1 ^D. 1

Lời giải

3

3 F 3 1



Bài 29. Giá trị củA. ^Mlim





A.  B. C.3 D. 1

Lời giải

2

lim 6 3

6 M n

n n n

 

 

Bài 30.Giá trị củA. ^Nlim





A.  B. C.0 D. 1

Lời giải

2

3 2 2 3 3 2 2

3

3 1

lim 1

( 3 1) . 3 1

N n

n n n n n n

  

     

Bài 31. Giá trị củA. ^Hlimn





A.  B. C. 2

3 D. 1

Lời giải ^Hlimn









Bài 32. Giá trị củA. 3.2₁ 3₁ lim2 3

n n

n n

K _  _

  ^bằng:

A. 1

3 B. C.2 D. 1

Lời giải

3 2 1

3 1

lim 2 3

2 3

3

n

K n

  

  

  

  

   Bài 33. Giá trị củA.

3 3

2 sin 2 1

lim 1

n n

A n

 

  bằng:

A.  B. _{C.2 D.} 1

Lời giải ³

3

sin 2 1 2

lim 2

1 1 n A n

n

 

 



Bài 34. Giá trị củA.

n 3

lim !

2 B n

n n

  ^bằng:

A.  B. C.0 D. 1

Lời giải. Ta có:

n n

3 3 3

! 0 0

2 2 2

n nn n

B

n n n n n n

    

  

Bài 35. Giá trị củA. 3.3₁ 4₁

lim 3 4

n n

n n

C _  _

 bằng:

A.  B.1

2 ^{C.0 D.} 1

Lời giải 1 C2 Bài 36. Giá trị củA.

2 2 2

lim 1

( 3 2 3 1)

D n

n n n

 

   bằng:

A.  B. C. 2

3 ^D. 1

Lời giải 2 3 D 3

Bài 37.Giá trị củA. Elim( n²  n 1 2 )n bằng:

A.  B. C.0 D. 1

Lời giải E 

Bài 38. Giá trị củA. ^Flim





A.  B. _{C.0 D.} 1

Lời giải F 

Bài 39. Giá trị củA. Hlim(^kn² 1 ^pn²1) bằng:

A.  B. C.Đ{p {n kh{c D. 1

Lời giải. Xét các trường hợp TH1: k p H 

TH 2: k p H 

TH 3: k p H0.

Bài 40. Giá trị của ^Klimn





A.  B. _C.1

2 ^D. 1

Lời giải 1 K 2

Bài 41. Tính giới hạn của dãy số 1 1 1

...

2 1 2 3 2 2 3 ( 1) 1

un

n n n n

   

     ^:

A.  B. C.0 D. 1

Lời giải. Ta có: 1 1 1

(k 1) k k k 1 k k 1

 

   

Suy ra 1

1 lim 1

n 1 n

u u

n

   



GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT MUA Bài 42. Tính giới hạn của dãy số

3 3 3

3

( 1) 1 2 ...

3 2

n

n n

u n n

   

   ^:

A.  B. C.1

9 ^D. 1

Lời giải Ta có:

2

3 3 3 ( 1)

1 2 ...

3 n n n 

     

 

Suy ra

2 3

( 1) 1

lim 9

3(3 2)

n n

u n n u

n n

   

  ^.

Bài 43. Tính giới hạn của dãy số

1 2

1 1 1

(1 )(1 )...(1 )

n

n

u  T T T trong đó ( 1)

n 2 T n n

 . :

A.  B. C.1

3 ^D. 1

Lời giải. Ta có: 1 2 ( 1)( 2)

1 1

( 1) ( 1)

k

k k

T k k k k

 

   

 

Suy ra 1 2 1

. lim

3 3

n n

u n u

n

    .

Bài 44. Tính giới hạn của dãy số

3 3 3

3 3 3

2 1 3 1 1

. ....

2 1 3 1 1

n

u n

n

  

    ^{. :}

A.  B. C.2

3 D. 1

Lời giải. Ta có

3 2

3 2

1 ( 1)( 1)

1 ( 1)[( 1) ( 1) 1]

k k k k

k k k k

   

      

Suy ra

2 2 1 2

. lim

3 ( 1) 3

n n

n n

u u

n n

     



Bài 45. Tính giới hạn của dãy số

1

2 1 2

n

n k

k

u k







A.  B. C.3 D. 1

Lời giải. Ta có: 1 1 1 1₂ 1₁ 2 ₁1

2 2 2 2 ... 2 2

n n n n

u  u      _  n_

 

1

1 3 2 1

lim 3

2 ⁿ 2 2^{n n}

u n_ u

     .

Bài 46. Tính giới hạn của dãy số u_n q 2q² ... nqⁿ với q 1 . :

A.  B. C.





q

q ^D.





q

q Lời giải. Ta có: u_nqu_n q q²q³ ... qⁿnq^n1

1 1

(1 )

1

n n n

q u q q nq q

 

   

 . Suy ra

 

lim

n 1 u q

q

  ^.

Bài 47. Tính giới hạn của dãy số ₂

1 n n

k

u n

n k







A.  B. C.3 D. 1

Lời giải. Ta có: _{2 2 2 2}1

1 1 1 1

n n

n n n

n u n u

n n n n n

 

     

   

1 2 0 lim 1

n 1 n

u n u

  n   

 .

Bài 48. Tính giới hạn của dãy số

1

1 1 0

1

1 1 0

. ...

lim . ...

k k

k k

p p

p p

a n a n a n a

A b n b n b n b









   

     ^với a b_{k p} 0 . :

A.  B. C.Đ{p {n kh{c D. 1

Lời giải. Ta chia l|m c{c trường hợp sau

TH 1: nk, chia cả tử và mẫu cho n^k, ta được

1 0

1 0

...

lim

...

k

k k

k

p p

p k

a a

a n n a

A b b b

b n n





  

 

  

.

TH 2: kp, chia cả tử và mẫu cho n^k, ta được

1 0

1 0

1

... khi 0

lim khi 0

...

k

k k k p

p p k p

k p k p k

a a

a n n a b

A b b b a b

n n n





  

    

      

TH 3: kp, chia cả tử và mẫu cho n^p, ta được

1 0

1

1 0

...

lim 0

...

k k

p k p k p

p

p p

a a a

n n n

A b b

b n n



  



  

 

  

.

Bài 49. Tính giới hạn của dãy số

3 6 4

2

1 4 2 1

lim (2 3)

n n n n

B n

    

  ^{. :}

A.  B. C.3 D. 3

4



Lời giải. Chia cả tử và mẫu cho n² ta có được:

3 5 6 3 4

2

1 1 2 1

1 4 1

1 4 3

lim 3 4 4

2

n n n n

B

n

    

    

  

 

 

.

Bài 50. Tính giới hạn của dãy số ^Clim





A.  B. C.3 D. 1

4

Lời giải. Ta có:

2

2

1 1

1 1

lim lim

1 1 4

4 1 2 4 2

n n

C

n n n

n n

 

  

     

GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT MUA Bài 51. Tính giới hạn của dãy số ^Dlim





A.  B. C. 1

6 D. 1

Lời giải. Ta có: ^Dlim









Mà:





lim 1 lim 1

1 n n n n

n n n

    

  

2

1 1 lim 1

1 1 2

1 1

n n n



 

  





lim 1 lim 1

( 1) . 1

n n n n

n n n n n n

    

     

2 2

3 3

4 6 3

1 1 lim 1

1 1 1 1 3

1 1 1

n

n n n n



 

       

 

 

Vậy 1 2 1

2 3 6

D    .

Bài 52 . Cho các số thực a,b thỏa a 1;b 1. Tìm giới hạn

2 2

1 ...

lim1 ...

n n

a a a

I b b b

   

     ^.

A.  B. C.1

1 b a



 D. 1

Lời giải. Ta có 1, ,a a²,...,aⁿ là một cấp số nhân công bội a

1

2 1

1 ...

1

n

n a

a a a

a

 

    

 Tương tự

1

2 1

1 ...

1

n

n b

b b b

b

 

    



Suy ra lim

1

1

1 1 1

lim1 1

1

n

n

a a b

I b a

b





 

 







( Vì a 1,b1 lima^n1limb^n10).

Bài 53. Cho dãy số ( )x_n x{c định bởi ₁ 1 ₁ ²

, , 1

2 ^{n n n}

x  x_ x x  n Đặt

1 2

1 1 1

1 1