c Định lí 3.1.
a) Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập số thựcR.
b) Hàm số phân thức hữu tỉ (thương của hai đa thức) và các hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng của tập xác định của chúng.
c Định lí 3.2. Giả sửy= f(x)vày=g(x)là hai hàm số liên tục tại điểmx0. Khi đó a) Các hàm sốy= f(x) +g(x),y= f(x)−g(x)vày= f(x).g(x)liên tục tạix0. b) Hàm sốy= f(x)
g(x) liên tục tạix0nếug(x0)6=0.
c Định lí 3.3. Nếu hàm sốy= f(x)liên tục trên đoạn[a;b]và f(a)f(b)<0, thì tồn tại ít nhất một điểm c∈(a;b)sao cho f(c) =0.
o
Nếu hàm sốy= f(x)liên tục trên đoạn[a;b]và f(a)f(b)<0thì phương trình f(x) =0có ít nhất một nghiệm nằm trong khoảng(a;b).p Th.S Nguyễn Hoàng Việt – Ô0905.193.688
B – CÁC DẠNG TOÁN
| Dạng 1. Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm
Cho hàm sốy= f(x) xác định trên tậpD. Để xét tính liên tục của hàm số y= f(x)tại điểm x0∈D, ta thực hiện các bước sau:
Bước 1. Tính f(x0).
Bước 2. Tìm lim
x→x0 f(x).
Bước 3. So sánh và rút ra kết luận.
○ Nếu lim
x→x0f(x) = f(x0)thì hàm số f(x)liên tục tại điểmx0.
○ Nếu lim
x→x0f(x)6= f(x0)thì hàm số f(x)không liên tục (gián đoạn) tại điểmx0.
c Ví dụ 1. Cho hàm số: f(x) =
x2−1
x−1 nếu x6=1
a nếu x=1
vớialà hằng số.
Xét tính liên tục của hàm số tạix0=1.
ÊLời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c Ví dụ 2. Cho hàm số f(x) =
®x2+1 nếux>0 x nếux≤0. Xét tính liên tục của hàm số tại điểmx0=0.
ÊLời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c Ví dụ 3. Cho hàm số f(x) =
x2−6x+5
x2−1 nếux6=1
−2 nếux=1 . Xét tính liên tục của hàm số f(x)tại điểmx0=1.
ÊLời giải.
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
c Ví dụ 4. Xét tính liên tục của hàm số f(x) =
1−√
2x−3
2−x nếux6=2
1 nếux=2
tại điểmx0=2.
ÊLời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c Ví dụ 5. Cho hàm số f(x)xác định bởi: f(x) =
√x−2
√x+5−3 khix6=4
−3
2 khix=4
. Xét tính liên tục của hàm số f(x)tại điểmx0=4.
ÊLời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c Ví dụ 6. Cho hàm số f(x) =
ax+1
4 nếu x≤2
√3
3x+2−2
x−2 nếu x>2
. Tìmađể hàm số liên tục tạix0=2.
ÊLời giải.
p Th.S Nguyễn Hoàng Việt – Ô0905.193.688
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c Ví dụ 7. Cho hàm số f(x) =
x2−4
x−2 nếux6=2 m2+3m nếux=2
. Tìmmđể hàm số liên tục tạix0=2.
ÊLời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
c Ví dụ 8. Tìmmđể hàm số f(x) =
√1−x−√ 1+x
x nếux<0 m+x3−3x+1
x+2 nếux≥0
liên tục tạix0=0.
ÊLời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c Ví dụ 9. Cho hàm số f(x) =
2x3−√ 8−4x
x−1 nếux<1
14ax nếux≥1
. Tìmađể hàm số f(x)liên tục tạix0=1.
ÊLời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BÀI TẬP TỰ LUYỆN
cBài 1. Cho hàm số f(x) =
3x2−4x+1
x−1 nếux6=1 5a2−3 nếux=1
. Tìmađể hàm số liên tục tạix0=1.
ÊLời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
cBài 2. Cho hàm số f(x) =
√x+4−2
x nếux6=0 2a−5
4 nếux=0
. Tìmađể hàm số liên tục tạix0=0.
ÊLời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
cBài 3. Cho hàm số f(x) =
x3−x2+2x−2
3x+a nếux6=1 3x+a nếux=1
. Tìm các giá trị của tham sốađể f(x)liên tục tạix=1.
ÊLời giải.
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
p Th.S Nguyễn Hoàng Việt – Ô0905.193.688
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
cBài 4. Tìma,bđể hàm số f(x) =
ax2+bx+3 nếux<1
5 nếux=1
2x−3b nếux>1
liên tục tạix0=1.
ÊLời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
cBài 5. Tìmmđể hàm số f(x) =
√1+x−√3 1+x
x nếux<0 m+x3−3x+1
x+2 nếux≥0
liên tục tạix0=0.
ÊLời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
cBài 6. Cho hàm số f(x) =
x2−a2
x−a +b nếux>a
1 nếux=a
b−2x nếux<a
. Tìma,bđể hàm số liên tục tạix0=a.
ÊLời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
cBài 7. Cho hàm số f(x) =
√3
x−3+√4 2x−3
x−2 nếux6=2 a
6 nếux=2
. Tìmađể hàm số f(x)liên tục tạix0=2.
ÊLời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
cBài 8. Cho hàm số f(x) =
x+x2+· · ·+xn−n
x−1 nếux6=1
15 nếux=1
. Tìm số tự nhiênnđể hàm số liên tục tạix0=1.
ÊLời giải.
p Th.S Nguyễn Hoàng Việt – Ô0905.193.688
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
| Dạng 2. Hàm số liên tục trên một tập hợp a) Hàm đa thức liên tục trênR.
b) Hàm phân thức hữu tỉ, hàm lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng.
c Ví dụ 10. Xét tính liên tục của hàm số sau trên tập xác định của chúng.
a) f(x) =
x2−x−2
x+1 khix6=−1
−3 khix=−1 .
b) f(x) =
2x+1
(x−1)2 khix6=1
3 khix=1
.
ÊLời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
c Ví dụ 11. Xét tính liên tục của hàm số sau trên tập xác định của chúng.
a) f(x) =
®x2+3x khix≥2 6x+1 khix<2.
b) f(x) =
x2−3x+5 khix>1
3 khix=1
2x+1 khix<1.
c) f(x) =
x2+1 khix≥3 2x+4 khi0≤x<3 3x2−5 khix<0.
ÊLời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
p Th.S Nguyễn Hoàng Việt – Ô0905.193.688
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
cBài 9. Xét tính liên tục của hàm số sau trên tập xác định của chúng.
a) f(x) =
x−2
x2−4 khix6=2 1 khix=2 .
b) f(x) =
x3−1
x−1 khix6=1 3 khix=1 .
ÊLời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
cBài 10. Xét tính liên tục của hàm số sau trên tập xác định của chúng.
a) f(x) =
®x2 khix≥ −2 2−x khix<−2.
b) f(x) =
3x−2 khix>−1 1 khix=−1 x2−6 khix<−1.
c) f(x) =
x+1 khix≥3 x2 khi1≤x<3 4x2−3 khix<1.
ÊLời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
p Th.S Nguyễn Hoàng Việt – Ô0905.193.688
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
| Dạng 3. Dạng tìm tham số để hàm số liên tục - gián đoạn Hàm sốy= f(x)liên tục tại điểmx0⇔ lim
x→x0 f(x) = f(x0)
⇔ lim
x→x+0
f(x) = lim
x→x−0
f(x) = f(x0).
c Ví dụ 12. Tìm tham sốmđể hàm số f(x) =
®x2+2x−m khix6=2
x+m khix=2, liên tục tại điểmx0=2.
ÊLời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
c Ví dụ 13. Tìm tham sốmđể hàm số f(x) =
x2−2x−3
x+1 khix6=−1 m2+5m khix=−1
, liên tục tại điểmx0=−1.
ÊLời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c Ví dụ 14. Tìm tham sốmđể hàm số f(x) =
√4x+5−3
x2−1 khix>1 2m+3 khix≤1
, gián đoạn tại điểmx0=1.
ÊLời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . BÀI TẬP TỰ LUYỆN
cBài 11. Cho hàm số f(x) =
2x2−5x+2
2−x khix6=2 m2−m−5khix=2
. Tìmmđể hàm số gián đoạn tạix=2.
ÊLời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
cBài 12. Cho hàm số f(x) =
√3
x−2−1
x−3 khix6=3 a−3 khix=3
.Tìmađể hàm số liên tục tạix=3.
ÊLời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
cBài 13. Cho hàm số f(x) =
m2−m+3 khix=1 x2+mx−1−m
x−1 khix6=1
. Tìmmđể hàm số liên tục tạix=1.
ÊLời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
cBài 14. Cho hàm số f(x) =
x2+m khix=1 x3−3x2+x+1
x−1 khix6=1
. Tìmmđể hàm số liên tục tạix=1.
ÊLời giải.
p Th.S Nguyễn Hoàng Việt – Ô0905.193.688
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
cBài 15. Cho hàm số f(x) =
2 √
x+3−2
x2−1 khix>1 ax2+bx+1
4 khix<1 a−b−7
4 khix=1 .
Tìma,bđể hàm số liên tục tạix=1.
ÊLời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
cBài 16. Cho hàm số f(x) =
2x2+ (2m−3)x−m+1
2x−1 khix6= 12
2m khix= 12
. Tìmmđể hàm số liên tục tạix= 1
2·
ÊLời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
| Dạng 4. Chứng minh phương trình có nghiệm
○ Để chứng minh phương trình f(x) =0có ít nhất một nghiệm trênD, ta chứng minh hàm sốy= f(x) liên tục trênDvà có hai sốa,b∈Dsao cho f(a).f(b)<0.
○ Để chứng minh phương trình f(x) =0cóknghiệm trênD, ta chứng minh hàm sốy= f(x)liên tục trênDvà tồn tạikkhoảng rời nhau(ai;ai+1) (i=1,2, . . . ,k)nằm trongDsao cho f(ai).f(ai+1)<0.
CÁC VÍ DỤ MẪU
c Ví dụ 15. Chứng minh rằng phương trình 2x4−2x3−3=0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (−1; 0).
ÊLời giải.
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
c Ví dụ 16. Chứng minh rằng phương trình6x3+3x2−31x+10=0có đúng3nghiệm phân biệt.
ÊLời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c Ví dụ 17. Chứng minh rằng phương trìnhx−1+sinx=0có nghiệm.
ÊLời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c Ví dụ 18. Chứng minh rằng phương trình m2+m+4
x2017−2x+1= 0 luôn có ít nhất một nghiệm âm với mọi giá trị của tham sốm.
ÊLời giải.
p Th.S Nguyễn Hoàng Việt – Ô0905.193.688
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . c Ví dụ 19. Chứng minh rằng phương trìnhacos 2x+bsinx+cosx=0luôn có nghiệm với mọi tham sốa,b.
ÊLời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BÀI TẬP RÈN LUYỆN
cBài 17. Chứng minh phương trìnhx4−x3−2x2−15x−25=0có ít nhất1nghiệm dương và1nghiệm âm.
ÊLời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
cBài 18. Chứng minh phương trìnhx4−2x2+3x−1=0có ít nhất2nghiệm.
ÊLời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
cBài 19. Chứng minh rằng phương trìnhx5−3x4+5x−2=0có ít nhất ba nghiệm phân biệt.
ÊLời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
cBài 20. Chứng minh rằng phương trìnhx+1+cosx=0có nghiệm.
ÊLời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
cBài 21. Chứng minh rằng phương trình√
x5+2x3+25x2+14x+2=3x2+x+1có đúng5nghiệm phân biệt.
ÊLời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . cBài 22. Chứng minh rằng phương trình 1−m2
x5−3x−1=0có ít nhất một nghiệm với mọi giá trị củam.
ÊLời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
cBài 23. Chứng minh rằng phương trình x4−x2+mx−3m+1
x2−x−2 =m có ít nhất 2 nghiệm với mọi m>1.
ÊLời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
cBài 24. Chứng minh rằng phương trình 1
cosx− 1
sinx=mluôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m.
ÊLời giải.
p Th.S Nguyễn Hoàng Việt – Ô0905.193.688
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . cBài 25. Cho phương trình f(x) =ax2+bx+c=0, biếta.f(c)<0. Chứng minh rằng phương trình a ax2+bx+c2
+b ax2+bx+c
+c=xcó nghiệm.
ÊLời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
cBài 26. Chứng minh rằng phương trìnhx5+3x+1=0có đúng một nghiệm.
ÊLời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BÀI TẬP TỔNG HỢP
cBài 27. Xét tính liên tục của hàm số f(x) =
√3
8+x−√ 4−x
x , vớix6=0 1
3, vớix=0
tại điểmx0=0.
ÊLời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
cBài 28. Xét tính liên tục của hàm số f(x) =
(1+2017x)2018−(1+2018x)2017
x2 , vớix6=0
2017·2018, vớix=0.
trên tập số thựcR.
ÊLời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
cBài 29. Tìm giá trị củamđể hàm số f(x) =
3−√
9−x2
√
x2+4−2, vớix6=0
m, vớix=0
liên tục tại điểmx0=0.
ÊLời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
p Th.S Nguyễn Hoàng Việt – Ô0905.193.688
cBài 30. Xét tính liên tục của hàm số f(x) =
2−√
4−x2
x2 , vớix6=0 1
4, vớix=0
trên tập xác định của nó.
ÊLời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . cBài 31. Chứng minh rằng phương trìnhm(x−2)3(x−3) +2x−5=0luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham sốm.
ÊLời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .