Viết phương trình mặt cầu - Học Tập Trực Tuyến Cấp 1,2,3 - Hoc Online 247

 Phương trình mặt cầu (S) dạng 1:

Để viết phương trình mặt cầu ( ),S ta cần tìm tâm I a b c( ; ; ) và bán kính R.

Khi đó: Tâm: ( ; ; ) ^{2 2 2 2}

( ) : ( ) : ( ) ( ) ( ) .

Bán kín : h I a b c

S S x a y b z c R

R

       







 Phương trình mặt cầu (S) dạng 2:

2 2 2

( ) :S x y z 2ax 2by2cz  d 0 .

Với a²b²c² d 0 là phương trình mặt cầu dạng 2 Tâm I a b c( ; ; ), bán kính: R a²b² c² d 0.

BÀI TẬP MẪU

Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu

 

^S có tâm là điểm ^I



^{0;0; 3}



và đi qua điểm ^M



^{4; 0;0}



^{. Phương}

trình của

 

^{S là}

A. ^x2y2



^z3



^{2 25. B. x2y2}



^z3



^{2 5.}

C. ^x2y2



^z3



^{225. D. x2y2}



^z3



^25.

Phân tích hướng dẫn giải

1. DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán viết phương trình của mặt cầu.

2. HƯỚNG GIẢI:

B1: Tâm: ( ; ; ) ^{2 2 2 2}

( ) : ( ) : ( ) ( ) ( ) .

Bán kín : h I a b c

S S x a y b z c R

R

       







B2: ^{RIM }



^{4 0}



^2



^{0 0}



^2



^{0 3}



^{2 5}

Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:

Lời giải

Chọn A

Theo bài ta có bán kính của mặt cầu

 

^{S là RIM }



^{4 0}



^2



^{0 0}



^2



^{0 3}



^{2 5.}

Từ đó ta có phương trình mặt cầu

 

^{S :x2 y2}



^z3



^{2 25.}

VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU

Trang 356 Bài tập tương tự và phát triển:

Câu 33.1: Viết phương trình mặt cầu có tâm^I



^{1; 2;3}



và đi qua giao điểm của đường thẳng 1

: 2

3

x t

d y t

z t

  

  



  



với mặt phẳng



^Oxy



^.

A. (x1)²(y2)²(z3)² 27 B. (x1)²(y2)²(z3)² 27

C. (x1)²(y2)²(z3)² 3 3 D. (x1)²(y2)²(z3)² 3 3 Lời giải

Chọn B

Mặt phẳng Oxyzlà : z0

Gọi Ad(Oxyz)   t 3 A( 2;5; 0)

Vì điểm A nằm trên mặt cầu nên bán kính của mặt cầu là RIA ( 3) ²3² ( 3)² 3 3. Phương trình mặt cầu

 

^{S tâm I}



^{1; 2;3}



và bán kính R

3 3

là

 

²

2 2

(x1) (y2)  z3 27.

Câu 33.2: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu

 

^S có tâm là điểm ^I



^{1;2; 3}



và tiếp xúc với trục Ox. Phương trình của

 

^{S là:}

A.



^x1

 

^{2  y2}

 

^{2 z3}



^{2 13 B.}



^x1

 

^{2 y 2}

 

^{2  z3}



^{2  13}

C.



^x1

 

^{2  y2}

 

^{2 z 3}



^{2 13 D.}



^x1

 

^{2 y2}

 

^{2 z3}



^{2  13}

Lời giải Chọn C

Gọi A là hình chiếu của I lên trục OxA(-1;0;0).

Vì điểm A nằm trên mặt cầu nên bán kính của mặt cầu là RIA 0² ( 2)² ( 3)²  13. Phương trình mặt cầu

 

^{S tâm I}



^{1;2; 3}



và bán kính R 13 là

 

²

2 2

(x1) (y2)  z3 13.

Câu 33.3: Mặt cầu

 

^{S tâm I}



^{1; 2; 3}



và tiếp xúc với mặt phẳng

 

^{P :x2y2z 1 0} có phương trình:

A.



¹



²



²



²



³



^{2 4.}

      9

x y z B.



¹



²



²



²



³



^{2 4.}

     9

x y z

C.



¹



²



²



²



³



^{2 2.}

      3

x y z D.



¹



²



²



²



³



^{2 2.}

      3

x y z

Lời giải Chọn B

 Bán kính mặt cầu là :

   

1 2.2 2.( 3) 1_{2 2 2} 2

, 1 2 2 3

    

  

 

R d I P .

 Phương trình mặt cầu là: ^{2 2 2} 4

( 1) ( 2) ( 3)

     9

x y z .

Câu 33.4: Mặt cầu

 

^{S tâm I}



^2;1;5



và tiếp xúc với mặt cầu

 

S1 : (x1)²y²z²3 có phương trình:

A.

2 2 2

2 2 2

( 2) ( 1) ( 5) 12

( 2) ( 1) ( 5) 48

      

      



x y z

x y z B.

2 2 2

2 2 2

( 2) ( 1) ( 5) 2 3

( 2) ( 1) ( 5) 4 3

      



     



x y z

x y z

C.

2 2 2

2 2 2

( 2) ( 1) ( 5) 12

( 2) ( 1) ( 5) 48

      

      



x y z

x y z D.

2 2 2

2 2 2

( 2) ( 1) ( 5) 2 3

( 2) ( 1) ( 5) 4 3

      



     



x y z

x y z

Lời giải Chọn A

Từ

 

S1 : (x1)²y²z²  3 Tâm I₁(1; 0; 0)và bán kính r₁ 3

Do II₁ 27 3r₁ vậy điểm I(2;1;5) nằm ngoài mặt cầu

 

S1 : (x1)²y²z² 3

Ta có pt đường thẳng II₁ là 1

5

x t

y t

z t

  

  



  



Gọi AII₁( )S₁ A(1  t; t; 5 )t . Do A( )S₁ nên

2 2 2 2

2 1 5

; ; 4 3

3 3 3

1 1

25 3

9 3 4 1 5

; ; 2 3

3 3 3

A AI

t t t t t

A AI

  

   

 

  

        

  

 

  

 



 Bán kính mặt cầu là : R2 3.

 Phương trình mặt cầu là: (x2)²(y1)²(z5)²12.

 Bán kính mặt cầu là : R4 3^.

 Phương trình mặt cầu là: (x2)²(y1)²(z5)² 48.

Câu 33.5: Mặt cầu

 

^{S tâm I}



^{1; 2; 4}



và tiếp xúc với mặt phẳng

 

S1 : (x1)²y²(z2)²27 có phương trình:

A.



^x1



^2



^y2



^2



^z4



^{23. B.}



^x1



^2



^y2



^2



^z4



^{2  3.}

C.



^x1



^2



^y2



^2



^z4



^{23. D.}



^x1



^2



^y2



^2



^z4



^{2  3.}

Trang 358 Lời giải

Chọn C

Từ

 

S1 : (x1)²y²(z2)² 27 Tâm I₁( 1;0; 2) và bán kính R₁3 3. Do II₁2 33 3R₁ vậy điểm ^I



^{1; 2; 4}



nằm trong mặt cầu

 

S1 .

 

^{S và}

 

S1 tiếp xúc _{1 1} 5 3

3 3 2 3

3 R R II R R

R

 

       

 

 Bán kính mặt cầu là : R 3.

 Phương trình mặt cầu là: (x1)²(y2)²(z4)² 3.

Câu 33.6: Mặt cầu

 

^{S tâm I}



^

1; 2;3 

và tiếp xúc với mặt phẳng tọa độ (Oyz) có phương trình:

A.



^x

1 

^2



^y

2 

^2



^z

3 

^{2 }

1

^B.



^x

1 

^2



^y

2 

^2



^z

3 

^{2 }

14

C.



^x

1 

^2



^y

2 

^2



^z

3 

^{2 }

1

^D.



^x

1 

^2



^y

2 

^2



^z

3 

^{2 }

14

Lời giải ChọnC

 PT mp

( Oyz x ) :  0

Bán kính mặt cầu là :



^,

  

₂ ¹ _{2 2} ¹

( 1) 0 0

R d I Oyz 

  

  

.

 Phương trình mặt cầu là: (x1)²(y2)²(z3)²1.

Câu 33.7: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm ^A



^{1;3; 2 ,}



^B



^3;5;0



. Phương trình mặt cầu đường kính AB là:

A. (x2)²(y4)²(z1)²3. B. (x2)²(y4)²(z1)²12.

C. (x2)²(y4)²(z1)² 12. D. (x2)²(y4)²(z1)² 3.

Lời giải Chọn A

Trung điểm của đoạn thẳng AB là ^I



^{2; 4;1}



^{, AB 2222 ( 2)2 2 3}

Mặt cầu đường kính AB có tâm ^I



^{2; 4;1}



^{, bán kính 3}

 AB2  R

Vậy phương trình của mặt cầu là: (x2)²(y4)²(z1)²3.

Câu 33.8: Trong không gian Oxyz, Viết phương trình mặt cầu (S) biết (S) có bán kính R=3 và tiếp xúc với mặt phẳng (Oxy) tại điểm M(1;2;0)

A. x²y²z²4x2y6z 5 0 B. x²y²z²4x2y6z 5 0 C. x²y²z²4x2y6z110 D. x²y²z²4x2y6z110

Lời giải Chọn A

Giả sử mặt cầu (S) có tâm ^{I a b c}



^{; ;}



^,

Do mặt cầu (S) tiếp xúc với mặt phẳng (Oxy) tại điểm M(1;2;0) nên M là hình chiếu của ^{I a b c}



^{; ;}



lên mp (Oxy) suy ra ^I



^2;1;c



Ta có mp(Oxy) có pt là z 0

Ta có ( , (Ox )) 3

1

d I y  c   c .

 Với c3

Mặt cầu ^I



^2;1;3



, bán kính R3 có phương trình là:

2 2 2 2 2 2

(x2) (y1) (z3)  9 x y z 4x2y6z 5 0.

 Với c 3

Mặt cầu ^I



^{2;1; 3}



, bán kính R3 có phương trình là:

2 2 2 2 2 2

(x2) (y1) (z3)  9 x y z 4x2y6z 5 0.

Câu 33.9: Phương trình mặt cầu ( )S đi qua A(1; 2;3), B(4; 6; 2) và có tâm I thuộc trục Ox là A. ( ) : (S x7)²y²z² 6. B. ( ) : (S x7)²y²z²36.

C. ( ) : (S x7)²y²z² 6. D. ( ) : (S x7)²y²z²49.

Lời giải Chọn D

Vì IOx nên gọi I x( ; 0; 0).

Do ( )S đi qua A B; nên IAIB  (1x)² 4 9 (4x)²36 4 x7.

Suy ra I(7;0; 0)RIA7.

Do đó ( ) : (S x7)²y²z²49.

Câu 33.10: Phương trình mặt cầu ( )S đi qua A(2;0; 2), ( 1;1; 2) B  và có tâm I thuộc trục Oy là A. ( ) :S x²y²z²2y 8 0. B. ( ) :S x²y²z²2y 8 0.

C. ( ) :S x²y²z²2y 8 0. D. ( ) :S x²y²z²2y 8 0.

Trang 360 Lời giải

Chọn A

Vì IOy nên gọi I(0; ; 0).y

Do ( )S đi qua A B; nên IAIB  4 ( y)²4 1 (1 y)²4 y 1.

Suy ra I(0; 1; 0) RIA3.

Do đó ^{( ) :S x2}



^y1



^{2z29 x2y2z22y 8 0.}

Câu 33.11: Phương trình mặt cầu ( )S đi qua A(1; 2; 4), (1; 3;1), (2; 2;3) B  C và tâm I(Oxy) là.

A. (x2)² (y1)² z² 26. B.(x 2)²(y1)²z² 9.

C. (x2)² (y1)² z² 26. D.(x2)²(y1)²z² 9.

Lời giải Chọn A

Vì I (Oxy) nên gọi I x y( ; ;0). Ta có: IA IB IA IC

 

 



2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

( 1) ( 2) 4 ( 1) ( 3) 1

( 1) ( 2) 4 ( 2) ( 2) 3

x y x y

x y x y

         

          

10 10 2

( 2;1;0) 26.

2 4 1

y x

I R IA

x y

 

    

 

         

2 2 2

(x 2) (y 1) z 26.

     

Câu 33.12: Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với cả ba mặt phẳng tọa độ và đi qua điểm M(2;1;1)

A.       

      



2 2 2

2 2 2

( 1) ( 1) ( 1) 1

( 3) ( 3) ( 3) 9

x y z

x y z . B.       

      



2 2 2

2 2 2

( 1) ( 1) ( 1) 1

( 3) ( 3) ( 3) 9

x y z

x y z .

C.

2 2 2

2 2 2

( 1) ( 1) ( 1) 3

( 3) ( 3) ( 3) 1

x y z

x y z

      

      



. D.

2 2 2

2 2 2

( 1) ( 1) ( 1) 3

( 3) ( 3) ( 3) 1

x y z

x y z

      

      



.

Lời giải Chọn B

Gỉa sử ^{I a b c}



^{; ;}



là tâm mặt cầu ( )S tiếp xúc với cả ba mặt phẳng tọa độ và đi qua điểm (2;1;1).

M

Vì mặt cầu ( )S tiếp xúc với cả ba mặt phẳng tọa độ và đi qua điểm M(2;1;1) có các thành phần tọa độ đều dương nên abcr.

Phương trình mặt cầu ( )S là (xa)² (y a)²  (z a)² a²

Vì mặt cầu ( )S đi qua điểm M(2;1;1) nên

2 2 2 2 2

(2a)  (1 a)  (1 a) a 2a 8a 6 0

        

         

2 2 2

2 2 2

1 ( ) : ( 1) ( 1) ( 1) 1

3 ( ) : ( 3) ( 3) ( 3) 9

a S x y z

a S x y z

Câu 33.13: Cho mặt cầu

 

^{S có tâm I}



^{1; 2; 4}



và thể tích bằng 36 . Phương trình của

 

^{S là}

A.



^x1



^2



^y2



^2



^z4



^{29. B.}



^x1



^2



^y2



^2



^z4



^{2 9.}

C.



^x1



^2



^y2



^2



^z4



^{29. D.}



^x1



^2



^y2



^2



^z4



^23.

Lời giải Chọn A

Ta có: 4 ³ 4 ³

36 3

3 3

V  R  R   R .

Khi đó

 

Tâm: (1; 2; 4) : Bán kính: 3 S I

R

 

 







  

^{S : x 1}



²



^{y 2}



²



^{z 4}



^{2 9.}

      

Câu 33.14: Cho mặt cầu

 

^{S có tâm I}



^{1; 2;3}



và diện tích bằng 32 . Phương trình của

 

^{S là}

A.



^x1



^2



^y2



^2



^z3



^{2 16. B.}



^x1



^2



^y2



^2



^z3



^216.

C.



^x1



^2



^y2



^2



^z3



^{28. D.}



^x1



^2



^y2



^2



^z3



^28.

Lời giải Chọn C

Ta có: S4R²4R²32 R 8. Khi đó

 

Tâm: 1; 2;3

 

:

Bán kính: 8

S I

R



 







  

^{S : x 1}



²



^{y 2}



²



^{z 3}



^{2 8.}

      

Câu 33.15: Cho mặt cầu

 

^{S có tâm I(1; 2;0).} Một mặt phẳng ( )P cắt

 

^S theo giao tuyến là một đường tròn

 

^C Biết diện tích lớn nhất của

 

^{C bằng 3 .} Phương trình của

 

^{S là}

A. ^x2



^y2



^{2z2 3. B.}



^x1



^2



^y2



^2z23.

C.



^x1



^2



^y2



^2



^z1



^{2 9. D.}



^x1



^2



^y2



^{2z2 9.}

Lời giải Chọn B

Nhận xét : Mặt phẳng ( )P cắt

 

^S theo giao tuyến là một đường tròn

 

^C và diện tích của

 

^C lớn nhất khi ( )P qua tâm I của ( ).S Ta có: SR² 3R 3.

Khi đó Tâm: 1; 2; 0

 

( ) :

Bán kính: 3 I

S

R



 







  

^{S : x 1}



²



^{y 2}



^{2 z2 3.}

     

Câu 33.16: Cho mặt cầu

 

^{S có tâm I}



^1;1;1



. Một mặt phẳng ( )P cắt

 

^S theo giao tuyến là một đường tròn

 

^C . Biết chu vi lớn nhất của

 

^{C bằng 2 2.} Phương trình của

 

^{S là}

A.



^x1



^2



^y1



^2



^z1



^{24. B.}



^x1



^2



^y1



^2



^z1



^22.

C.



^x1



^2



^y1



^2



^z1



^{2 4. D.}



^x1



^2



^y1



^2



^z1



^{2 2.}

Lời giải Chọn D

Đường tròn

 

^C đạt chu vi lớn nhất khi

 

^C đi qua tâm I của mặt cầu

 

^{S .}

Ta có: C2R2 2R 2. Khi đó Tâm: 1;1;1

 

( ) :

Bán kính: 2 I

S

R



 







  

^{S : x 1}



²



^{y 1}



²



^{z 1}



^{2 2.}

      

Câu 33.17: Cho ^I



^{1; 2;3}



. Viết phương trình mặt cầu tâm I, cắt trục Ox tại hai điểm A và B sao cho 2 3

AB .

A.

(

x

1) 2



(

y

2) 2



(

z

3) 2



16

. B.

(

x

1 ) 2



(

y

2 ) 2



(

z

3 ) 2



20

.

C.

(

x

1 ) 2



(

y

2 ) 2



(

z

3 ) 2



25

. D.

(

x

1 ) 2



(

y

2 ) 2



(

z

3 ) 2



9

. Lời giải

Chọn A

Gọi M là hình chiếu vuông góc của I (1; -2;3) trên trục Ox

 M (1;0;0) và M là trung điểm của AB

Ta có:



^{1 1}



²



^{0 2}



²



^{0 3}



^{2 13, 3}

2

IM        AM  AB .

IMA

 vuông tại M IA IM²AM²  13 3 4R4 . Phương trình mặt cầu cần tìm là:



^x1



^2



^y2



^2



^z3



^{2 16.}

Câu 33.18: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, Viết phương trình mặt cầu đi qua



2 ;3 ; 3 ,

 

2; 2 ; 2 ,

 

3 ;3 ; 4



A  B  C và có tâm nằm trên mặt phẳng



^Oxy



^.

A. (x6)²(y1)²z² 29. B. (x6)² (y1)²z² 29. C. (x6)²  (y 1)²z²  29. D.(x 6)²(y1)²z²  29.

Lời giải Chọn A

Giả sử ^{I a b}



^{; ;0}



^{(Oxy) và r} là tâm và bán kính của mặt cầu ( )S và đi qua



2 ;3 ; 3 ,

 

2; 2 ; 2 ,

 

3 ;3 ; 4



A  B  C

Phương trình mặt cầu ( )S là (xa)²(y b )² z² r² Vì mặt cầu ñi qua A



2 ;3 ; 3 , 



B



2; 2 ; 2 , 



C



3 ;3 ; 4



nên

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

(2 ) (3 ) ( 3) 10 10 0 1

(2 ) ( 2 ) 2 2 12 0 6

(3 ) (3 ) 4 (3 ) (3 ) 4 29

a b r b b

a b r a a

a b r a b r r

           

  

          

  

  

            



Vậy phương trình mặt cầu ( )S là (x6)²  (y 1)²z² 29_.

Câu 33.19: Trong không gian O xyz cho 4 điểm A



1; 2; 4 , 



B



1; 3;1 , 



C



2; 2;3 ,



D



1; 0; 4



. Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD

A.



^x2



^2



^y1



^{2z226. B.}



^x2



^2



^y1



^2z226.

Trang 364 C.



^x2



^2



^y1



^{2z2  26. D.}



^x2



^2



^y1



^{2z2  26.}

Lời giải

Chọn A

Giả sử

 

^{S :x2y2z22ax2by2czd0}



^{a2b2c2d0}



là phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD. Thay lần lượt tọa độ của A B C D, , , vào phương trình ta được

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

1 2 4 2 4 8 0 2

1 3 1 2 6 2 0 1

2 2 3 4 4 6 0 0

1 0 4 2 0 8 0 21

a b c d a

a b c d b

a b c d c

a c d d

          

         

 

 

       

 

          



Do đó: ^I



^{2;1; 0}



và bán kính R a²b²c²d  26. Vậy (S) :



^x2



^2



^y1



^{2z2 26.}

Câu 33.20:

Viết phương trình mặt cầu   S có tâm I 1; 0;3   và cắt

: ^{1 1 1}

2 1 2

  

 

x y z

d

tại hai

điểm A, B sao cho tam giác

IAB

vuông tại

I A.



¹



^{2 2}



³



^{2 40}

     9

x y z . B.



¹



^{2 2}



³



^{2 40}

     9

x y z .

C.



¹



^{2 2}



³



^{2 2 10}

     3

x y z . D.



¹



^{2 2}



³



^{2 2 10}

     3

x y z .

Lời giải

Chọn A

Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương ^u



^{2;1; 2}



^{và P}



^{1; 1;1}



^{d .}

Ta có: ^{IP}



^{0; 1; 2 }



^_^{u IP,}_^



^{0; 4; 2}



^{. Suy ra: d}



^;



^{, 20}

3

 

 

 

 

 u IP

I d u .

IAB vuông tại I IAB vuông cân tại I ^2d



^,



^40.

IA I d  3 Vậy (S) :



¹



^{2 2}



³



^{2 40}

     9

x y z .