Chuyên đề mặt cầu trong không gian Oxyz – Phạm Văn Long - Học Tập Trực Tuyến Cấp 1,2,3 - Hoc Online 247

I R B A

Giáo viên: PHẠM VĂN LONG

Lớp Toán thầy Long_Thành phố Cần Thơ Số điện thoại: 0913.518.110

CHUYÊN ĐỀ :

MẶT CẦU TRONG KHÔNG GIAN OXYZ

I- LÝ THUYẾT:

1/ Định nghĩa

2/ C{c dạng phương trình mặt cầu

Dạng 1 : Phương trình chính tắc

Mặt cầu (S) có tâm ^{I a b c}



^{; ;}



, bán kính R0.

  

^{S : x a}

 

^{2 y b}

 

^{2 z c}



^{2 R2}

Dạng 2 : Phương trình tổng qu{t

2 2 2

( ) : S x y z 2ax2by2cz d 0 (2)  Điều kiện để phương trình (2) là phương trình mặt cầu: a²    b² c² d 0



 

^{S có tâm I a b c}



^{; ;}



^.



 

^S có bán kính: R a²  b² c² d. 3/ Vị trí tương đối giữa mặt cầu v| mặt phẳng

Cho mặt cầu ^{S I R}

 

^; và mặt phẳng

 

^P . Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên

 

^{P  d IH là}

khoảng cách từ I đến mặt phẳng

 

^P . Khi đó : + Nếu dR: Mặt cầu và mặt

phẳng không có điểm chung.

+ Nếu dR: Mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu. Khi đó (P) là mặt phẳng tiếp diện của mặt cầu và H là

+ Nếu d R : Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu theo thiết diện là đường tròn có tâm I' và bán Cho điểm I cố định và một số thực dương R. Tập hợp tất cả

những điểm M trong không gian cách I một khoảng R được gọi là mặt cầu tâm I, bán kính R.

Kí hiệu: ^{S I R}

 

^{; S I R}

  

^{;  M IM/ R}



tiếp điểm. kính r R²IH²

P

M2

M1

H R I

R I

P H

d r I' α

R I

Lưu ý: Khi mặt phẳng

 

^P đi qua tâm I thì mặt phẳng

 

^P được gọi là mặt phẳng kính và thiết diện lúc đó được gọi là đường tròn lớn có diện tích lớn nhất.

4/ Vị trí tương đối giữa mặt cầu v| đường thẳng

Cho mặt cầu ^{S I R}

 

^; và đường thẳng . Gọi H là hình chiếu của I lên . Khi đó : + IHR:  không cắt mặt

cầu.

+ IHR:  tiếp xúc với mặt cầu.  là tiếp tuyến của (S) và H là tiếp điểm.

+ IHR:  cắt mặt cầu tại hai điểm phân biệt.

R

I



H H



I R

H B A

I R

Δ

* Lưu ý: Trong trường hợp  cắt

 

^S tại 2 điểm A, B thì bán kính R của (S) được tính như sau:

+ Xác định: ^{d I}

 

^{; IH.}

+ Lúc đó:

2

2 2 2

2 R IH AH  IH  AB

  5/ Đường tròn trong không gian Oxyz

* Đường tròn

 

^C trong không gian Oxyz, được xem là giao tuyến của

 

^S và mặt phẳng

 

^{P .}

 

^{2 2 2}

S : x y z 2ax2by2cz d 0

 

^{P : Ax By Cz D   0}

* Xác định tâm I’ và bán kính r của (C).

+ Tâm ^{I' d}

 

^{ .}

Trong đó d là đường thẳng đi qua I và vuông góc với mp

 

^P

d r I' α

R I P

P

+ Bán kính ^{r R2}

 

^{II' 2  R2}_{ }^{d I P}



^;

  

^_²

5/ Điều kiện tiếp xúc : Cho mặt cầu (S) tâm I, bán kính R.

+ Đường thẳng  là tiếp tuyến của (S) ^{d I}

 

^{; R.}

+ Mặt phẳng

 

^P là tiếp diện của (S)  ^{d I P}



^;

  

^R.

* Lưu ý: Tìm tiếp điểm M x y z0



0; 0; 0



.

Sử dụng tính chất : ⁰0

 

⁰0 d P

IM d IM a

IM P IM n

   

    

 

 

 

II. VÍ DỤ MINH HỌA :

Dạng 1: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU Phương pháp:

* Thuật to{n 1: Bước 1: Xác định tâm ^{I a b c}



^{; ;}



^.

Bước 2: Xác định bán kính R của (S).

Bước 3: Mặt cầu (S) có tâm ^{I a b c}



^{; ;}



và bán kínhR. ( ) : S



x a

 

²  y b

 

² z c



² R²

* Thuật to{n 2: Gọi phương trình ( ) : S x²y²z²2ax2by2cz d 0

Phương trình (S) hoàn toàn xác định nếu biết được , , , .a b c d (a²   b² c² d 0) B|i tập 1 : Viết phương trình mặt cầu (S), trong các trường hợp sau:

a)

 

^{S có tâm I}



^{2; 2; 3}



và bán kính R3. b)

 

^{S có tâm I}



^{1; 2; 0}



và (S) qua ^P



^{2; 2;1}



^.

c)

 

^S có đường kính AB với ^A



^{1; 3;1 ,}

 

^{B 2; 0;1}



^.

Bài giải:

a) Mặt cầu tâm ^I



^{2; 2; 3}



và bán kính R3, có phương trình:

(S):



^x2

 

^{2 y2}

 

^{2 z 3}



^{2 9}

b) Ta có: ^{IP}



^{1; 4;1}



^{IP3 2.}

Mặt cầu tâm ^I



^{1; 2; 0}



và bán kính R IP 3 2, có phương trình:

(S):



^x1

 

^{2 y2}



^{2z2 18}

c) Ta có: ^{AB  }



^{3; 3; 0}



^{AB3 2.}

Gọi I là trung điểm AB 1 3 2 2; ;1

I 

  

 . Mặt cầu tâm 1 3

2 2; ;1 I 

  và bán kính 3 2

2 2

R AB , có phương trình:

(S): ^{1 2 3 2}



¹



^{2 9}

2 2 2

x y z

        

   

    .

B|i tập 2 : Viết phương trình mặt cầu (S) , trong các trường hợp sau:

a) (S) qua ^A



^{3;1; 0 ,}

 

^{B 5; 5; 0}



và tâm I thuộc trục Ox.

b) (S) có tâm O và tiếp xúc mặt phẳng

 

^{ : 16x15y12z75 0 .}

c) (S) có tâm ^I



^{1; 2; 0}



và có một tiếp tuyến là đường thẳng : ^{1 1} .

1 1 3

y

x  z

  

 

Bài giải:

a) Gọi ^{I a}



^{; 0; 0}



^{Ox. Ta có : IA}



^{3a;1; 0 ,}



^{IB}



^{5a; 5; 0}



^.

Do (S) đi qua A, B^{IA IB }



^3a



^{2 1}



^5a



^{2254a40 a 10}



^{10; 0; 0}



I và IA5 2.

Mặt cầu tâm ^I



^{10; 0; 0}



và bán kính R5 2, có phương trình (S) :



^x10



^{2 y2 z2 50}

b) Do (S) tiếp xúc với

 

^{ d}



^,

  

^{75 3.}

O  R R 25

    

Mặt cầu tâm ^O



^{0; 0; 0}



và bán kính R3, có phương trình (S) : x² y²z² 9 c) Chọn ^A



^{1;1; 0}



^{ IA}



^{0; 1; 0}



^.

Đường thẳng  có một vectơ chỉ phương là ^u 



^{1;1; 3}



. Ta có: ^{IA u} ^,  



^{3; 0; 1}



.

Do (S) tiếp xúc với ^{d ,}

 

^{, 10}

11 IA u

I R R

u





 

 

      

 

 .

Mặt cầu tâm ^I



^{1; 2; 0}



và bán kính 10

R 11 , có phương trình (S) :



¹

 

^{2 2}



^{2 2 10 .}

x  y z 121 B|i tập 3 : Viết phương trình mặt cầu (S) biết :

a) (S) qua bốn điểm A



1; 2; 4 , 

 

B 1; 3;1 , 

 

C 2; 2; 3 ,

 

D 1; 0; 4



.

b) (S) qua A



0; 8; 0 ,

 

B 4; 6; 2 ,

 

C 0;12; 4



và có tâm I thuộc mặt phẳng (Oyz).

Bài giải:

a) Cách 1: Gọi ^{I x y z}



^{; ;}



là tâm mặt cầu (S) cần tìm.

Theo giả thiết:

2 2

2 2

2 2

1 2

7 2 1

4 1 0

IA IB

IA IB y z x

IA IC IA IC x z y

IA ID IA ID y z z

 

        

         

   

        

   

.

Do đó: ^I



^{2;1; 0}



^{và R IA  26}. Vậy (S) :



^x2

 

^{2 y1}



^{2 z2 26.}

Cách 2: Gọi phương trình mặt cầu (S) : x²y²z²2ax2by2cz d 0,



^{a2   b2 c2 d 0}



^.

Do ^A



^{1; 2; 4 }

  

^{S  2a 4b8c d  21 (1)}

Tương tự: ^B



^{1; 3;1}

  

^{ S   2a 6b2c d  11 (2)}

^C



^{2; 2; 3}

  

^{ S   4a 4b6c d  17 (3)}

^D



^{1; 0; 4}

  

^{ S   2a 8c d  17 (4)}

Giải hệ (1), (2), (3), (4) ta có , , , a b c d, suy ra phương trình mặt cầu (S) :



^x2

 

^{2  y1}



^{2z2 26.}

b) Do tâm I của mặt cầu nằm trên mặt phẳng (Oyz)^I



^{0; ;b c}



^.

Ta có:

2 2

2 2

7 5

IA IB b

IA IB IC

IA IC c

   

      .

Vậy ^I



^{0; 7; 5}



^{và R 26}. Vậy (S): ^x2



^y7

 

^{2  z 5}



^{2 26.}

B|i tập 4: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc đường thẳng : 1 x t y z t

 

   

  



và (S) tiếp xúc

với hai mặt phẳng

 

^{ : x2y2z 3 0 và}

 

^{ : x2y2z 7 0.}

Bài giải:

Gọi ^{I t}



^{; 1;  t}



là tâm mặt cầu (S) cần tìm.

Theo giả thiết: ^{d I}



^,

 

^



^{d I}



^,

 

^



^{ 1}₃^{t  5}₃^{t    }_{   }¹₁ ^t_{t t}⁵ ₅^{t t 3}

 .

Suy ra: ^I



^{3; 1; 3 }



^{và d ,}

   

²

R I   3. Vậy (S) :



³

 

^{2 1}

 

^{2 3}



^{2 4}

x  y  z 9.

B|i tập 5: Lập phương trình mặt cầu (S) qua 2 điểm A



2; 6; 0 ,

 

B 4; 0; 8



và có tâm thuộc d :

1 5

1 2 1

x  y z

 .

Bài giải:

Ta có

1

: 2

5

x t

d y t

z t

  

 

   



. Gọi ^I



^{1t t; 2 ; 5  t}



^d là tâm của mặt cầu (S) cần tìm.

Ta có: ^{IA }



^{1 t; 6 2 ; 5 t t}



^{, IB}



^{3 t; 2 ;13t t}



^.

Theo giả thiết, do (S) đi qua A, BAIBI

  

^{1 t 2 6 2t}

 

^{2 5 t}



²



^{3 t}



^{2 4t2}



^{13 t}



²

          

62 32 178 20 12 116 29

t t t t 3

         

32 58 44

; ;

3 3 3

I 

    

  và R IA 2 233. Vậy (S):

2 2 2

32 58 44

3 3 3 932

x y z

         

     

      .

B|i tập 6: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm ^I



^{2; 3; 1}



và cắt đường thẳng : ^{1 1}

1 4 1

x y z

  

 tại hai điểm A, B với AB16.

Bài giải:

Chọn ^A



^{1;1; 0}



^{ IA  }



^{3; 2;1}



. Đường thẳng  có một vectơ chỉ phương là ^u 



^{1; 4;1}



.

Ta có: ^{IA u,}



^{2; 4;14}



^{d ,}

 

^{I IA u, 2 3}

u







 

 

      

 

 

 

 .

Gọi R là bán kính mặt cầu (S). Theo giả thiết : ^{d ,}

 

^{2 2 2 19.}

4 R  I    AB 

Vậy (S):



^x2

 

^{2 y3}

 

^{2 z 1}



^{2 76.}

B|i tập 7: Cho hai mặt phẳng

 

^{P : 5x4y z  6 0,}

 

^{Q : 2x y z   7 0} và đường thẳng

1 1

: 7 3 2

x y z

  

 . Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I là giao điểm của (P) và  sao cho (Q) cắt (S) theo một hình tròn có diện tích là 20 .

Bài giải:

Ta có

1 7

: 3

1 2

x t

y t

z t

  

  

  



. Tọa độ I là nghiệm của hệ phương trình:

1 7 (1) 3 (2) 1 2 (3)

5 4 6 0 (4)

x t

y t

z t

x y z

  

 

  

    



Thay (1), (2), (3) vào (4) ta có: ^{5 1 7}



^{ t}

   

^{4 3t  1 2t}



^{    6 0 t 0 I}



^{1; 0;1}



^.

Ta có :



^,

  

^{5 6}

d I Q  3 .

Gọi r là bán kính đường tròn giao tuyến của (S) và mặt phẳng (Q). Ta có: 20  r²  r 2 5.

R là bán kính mặt cầu (S) cần tìm.

Theo giả thiết:



^,

  

^{2 2 330.}

R d I Q  r  3 Vậy (S) :



¹



^{2 2}



¹



^{2 110}

x y  z  3 . B|i tập 8: Cho mặt phẳng ( ) : 2P x y 2z 2 0 và đường thẳng : 2 1

2 x t

d y t

z t

  

  

  



.

Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc d và I cách (P) một khoảng bằng 2 và (S) cắt (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 3.

Bài giải:

Gọi ^I



^{t t; 2 1;t 2}



^d: là tâm của mặt cầu (S) và R là bán kính của (S).

Theo giả thiết : ^{R }_^{d I P}



^;

  

^_^{2 r2  4 9  13.}

Mặt khác:

   

1

2 2 1 2 4 2 6

; 2 2 6 5 6

4 1 4 11

6 t t t t

d I P t

t

 

      

       

    



* Với ¹

t6: Tâm ₁ 1 2 13

; ;

6 3 6

I  

 

 

 , suy ra

 

1 ^{2 2 2}

1 2 13

: 13

6 3 6

S x  y  z 

     

     

      .

* Với ¹¹

t  6 : Tâm ₂ 11 2 1

; ;

6 3 6

I   

 , suy ra

 

2 ^{2 2 2}

11 2 1

: 13

6 3 6

S x  y  z  

      .

B|i tập 9: Cho điểm ^I



^{1; 0; 3}



và đường thẳng : ^{1 1 1}

2 1 2

y

x z

d   

  . Viết phương trình mặt cầu (S) tâm I và cắt d tại hai điểm A, B sao cho IAB vuông tại I.

Bài giải :

Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương ^u



^{2;1; 2}



^{và P}



^{1; 1;1}



^d.

Ta có: ^{IP}



^{0; 1; 2 }



^_^{u IP,}_^



^{0; 4; 2 }



^{. Suy ra: d ;}

 

^{, 20}

3 u IP

I d u

 

 

 

 

 .

Gọi R là bán kính của (S). Theo giả thiết, IAB vuông tại I

2 2 2 2

 

1 1 1 2 40

2 2d ,

R IH I d 3

IH IA IB R

       

Vậy (S) :



¹



^{2 2}



³



^{2 40}

x y  z  9 .

B|i tập 10: (Khối A- 2011) Cho mặt cầu (S): x² y² z²4x4y4z0 và điểm ^A



^{4; 4; 0}



^{. Viết}

phương trình mặt phẳng (OAB), biết điểm B thuộc (S) và tam giác OAB đều.

Bài giải :

(S) có tâm ^I



^{2; 2; 2 ,}



^{bán kính R2 3}. Nhận xét: điểm O và A cùng thuộc (S).

Tam giác OAB đều, có bán kính đường tròn ngoại tiếp ^/ 4 2

3 3

R OA .

Khoảng cách :



^;

  

²

 

^{/ 2 2}

d I P  R  R  3 .

Mặt phẳng (P) đi qua O có phương trình dạng : ^{ax by cz  0}



^{a2 b2 c2 0 *}

  

Do (P) đi qua A, suy ra: 4a4b   0 b a.

Lúc đó: ^{d ;}

   

²



_{2 2}



₂ ²_{2 2} ²_{2 2} ²

2 2 3

a b c c c

I P

a b c a c a c

     

   

2 2 2

2 3

1 c a

a c c

c

        . Theo (*), suy ra

 

^{P x y z:   0 hoặc x y z  0.}

Chú ý: Kỹ năng xác định tâm và bán kính của đường tròn trong không gian.

Cho mặt cầu (S) tâm I bán kính R. Mặt phẳng (P) cắt (S) theo một đường tròn (C).

Bước 1: Lập phương trình đường thẳng d qua I và vuông góc với mặt phẳng (P).

Bước 2: Tâm H của đường tròn (C) là giao điểm của d và mặt phẳng (P).

Bước 3: Gọi r là bán kính của (C): ^{r R2}_{ }^{d I P}



^;

  

^_²

B|i tập 11: Chứng minh rằng: Mặt cầu ( ) : S x²y²z²2x 3 0 cắt mặt phẳng (P): x 2 0 theo giao tuyến là một đường tròn (C). Xác định tâm và bán kính của (C).

Bài giải :

* Mặt cầu (S) có tâm ^I



^{1; 0; 0}



và bán kính R2.

Ta có : ^{d ,}



^{I P}

  

^{   1 2 R} mặt phẳng (P) cắt (S) theo giao tuyến là 1 đường tròn. (đ.p.c.m)

* Đường thẳng d qua ^I



^{1; 0; 0}



và vuông góc với (P) nên nhận ^n_P^



^{1; 0; 0}



làm 1 vectơ chỉ phương, có phương trình

1

: 0

0

x t

d y z

  

 

  .

+ Tọa độ tâm H đường tròn là nghiệm của hệ :

 

1 2

0 0 2; 0; 0

0 0

2 0

x t

y x

y H

z z

x

  

   

   

  

  

  



.

+ Ta có: ^{d I P}



^,

  

^1. Gọi r là bán kính của (C), ta có : ^{r R2}_^{d I P}



^,

  

^_^{2  3.}

Dạng 2 : SỰ TƯƠNG GIAO V\ SỰ TIẾP XÚC

* C{c điều kiện tiếp xúc:

+ Đường thẳng là tiếp tuyến của (S) ^{d I}

 

^{; R.}

+ Mặt phẳng( ) là tiếp diện của (S)  ^{d I}



^;

 

^



^R.

* Lưu ý các dạng toán liên quan như tìm tiếp điểm, tương giao.

B|i tập 1: Cho đường thẳng

 

^{: 1 2}

2 1 1

y

x  z

  

 và và mặt cầu

 

^{S : x2y2z22x4z 1 0.}

Số điểm chung của

 

^{ và}

 

^{S là :}

A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.

Bài giải:

Đường thẳng

 

^{ đi qua M}



^{0;1; 2}



và có một vectơ chỉ phương là ^u



^{2;1; 1}



Mặt cầu

 

^{S có tâm I}



^{1; 0; 2}



và bán kính R2.

Ta có ^{MI}



^{1; 1; 4 }



^{và }_^{u MI ,   }_



^{5;7; 3}

  

^{, , 498}

6 u MI

d I

u

 

 

   

 



Vì ^{d I}

 

^{, R nên}

 

^ không cắt mặt cầu

 

^{S .}

Lựa chọn đáp án A.

B|i tập 2: Cho điểm ^I



^{1; 2; 3}



. Phương trình mặt cầu tâm I và tiếp xúc với trục Oy là:

A.



^x1

 

^{2 y2}

 

^{2 z3}



^{2  10. B.}



^x1

 

^{2 y2}

 

^{2 z3}



^{2 10.}

C.



^x1

 

^{2 y2}

 

^{2 z3}



^{2 10. D.}



^x1

 

^{2 y2}

 

^{2 z3}



^{2 9.}

Bài giải:

Gọi M là hình chiếu của ^I



^{1; 2; 3}



lên Oy, ta có : ^M



^{0; 2; 0}



^.



^{1; 0; 3}

 

^,



¹⁰

IM    R d I Oy IM



là bán kính mặt cầu cần tìm.

Phương trình mặt cầu là :



^x1

 

^{2  y2}

 

^{2 z3}



^{2 10.}

Lựa chọn đáp án B.

B|i tập 3: Cho điểm ^I



^{1; 2; 3}



và đường thẳng d có phương trình ^{1 2 3}

2 1 1

y

x    z

 . Phương trình mặt cầu tâm A, tiếp xúc với d là:

A.



^x1

 

^{2 y2}

 

^{2 z 3}



^{2 50. B.}



^x1

 

^{2  y2}

 

^{2  z 3}



^{2 5 2.}

C.



^x1

 

^{2 y2}

 

^{2  z 3}



^{2 5 2. D.}



^x1

 

^{2 y2}

 

^{2 z 3}



^{2 50.}

Bài giải:

Đường thẳng

 

^{d đi qua I}



^{1; 2; 3}



và có VTCP ^u



^{2;1; 1}



^{d A d}

 

^{, u AM, 5 2}

u

 

 

  

 



Phương trình mặt cầu là :



^x1

 

^{2  y2}

 

^{2 z3}



^{2 50.}

Lựa chọn đáp án D.

B|i tập 4: Mặt cầu

 

^{S tâm I}



^{2; 3; 1}



cắt đường thẳng : ^{11 25}

2 1 2

y

x z

d    

 tại 2 điểm A, B sao cho AB16 có phương trình là:

A.



^x2

 

^{2 y3}

 

^{2 z 1}



^{2 17. B.}



^x2

 

^{2 y3}

 

^{2 z 1}



^{2 289.}

C.



^x2

 

^{2  y3}

 

^{2 z 1}



^{2 289. D.}



^x2

 

^{2 y3}

 

^{2 z 1}



^{2 280.}

Bài giải:

Đường thẳng

 

^{d đi qua M}



^{11; 0; 25}



và có vectơ chỉ phương



^{2;1; 2}



u  .

Gọi H là hình chiếu của I trên (d). Ta có:



^,



^{u MI, 15}

IH d I AB

u

 

 

  

 



2

2 17

2 R IH AB

    

  . Vậy

 

^{S :}



^x2

 

^{2 y3}

 

^{2 z 1}



^{2 289.}

Lựa chọn đáp án C.

I

A B d

R

H

B|i tập 5: Cho đường thẳng : ^{5 7}

2 2 1

x y z

d    

 và điểm I(4;1; 6). Đường thẳng d cắt mặt cầu

 

^S có tâm I, tại hai điểm A, B sao cho AB6. Phương trình của mặt cầu

 

^{S là:}

A.



^x4

 

^{2 y1}

 

^{2 z 6}



^{2 18. B.}



^x4

 

^{2 y1}

 

^{2 z 6}



^{2 18.}

C.



^x4

 

^{2  y1}

 

^{2 z 6}



^{2 9. D.}



^x4

 

^{2 y1}

 

^{2 z 6}



^{2 16.}

Bài giải :

Đường thẳngd đi qua M( 5;7; 0) và có vectơ chỉ phương (2; 2;1)

u 

. Gọi H là hình chiếu của I trên (d). Ta có :



^,



^{u MI, 3}

IH d I AB

u

 

 

  

 



2

2 18

2 R IH AB

    

  Vậy

 

^{S :}



^x4

 

^{2 y1}

 

^{2 z 6}



^{2 18.}

Lựa chọn đáp án A.

B|i tập 8: Cho điểm ^I



^{1; 0; 0}



và đường thẳng : ^{1 1 2}

1 2 1

x y z

d      . Phương trình mặt cầu

 

^{S có}

tâm I và cắt đường thẳng d tại hai điểm A, B sao cho tam giác IAB đều là:

A.



¹



^{2 2 2 20.}

x y z  3 B.



¹



^{2 2 2 20.}

x y z  3 C.



¹



^{2 2 2 16.}

x y z  4 D.



¹



^{2 2 2 5.}

x y z  3 Bài giải:

Đường thẳng

 

^{ đi qua M}



^{1;1; 2}



và có vectơ chỉ phương



^{1; 2;1}



u

Ta có ^{MI}



^{0; 1; 2}



^{và }_^{u MI ,  }_



^{5; 2; 1 }



Gọi H là hình chiếu của I trên (d). Ta có :



^,



^{u MI, 5}

IH d I AB

u

 

 

  

 

 .

Xét tam giác IAB, có 3 2 2 15

. 2 3 3

IHR  R IH  Vậy phương trình mặt cầu là:



¹



^{2 2 2 20.}

x y z  3

I

B

A d

R

H

I

B

A d

R

H

Lựa chọn đáp án A.

B|i tập 9: Cho mặt cầu( ) :S x²y²z²4x2y6z 5 0. Viết phương trình tiếp tuyến của mặt cầu (S) tại ^A



^{0; 0; 5}



^biết:

a) Tiếp tuyến có một vectơ chỉ phương ^u



^{1; 2; 2}



^.

b) Vuông góc với mặt phẳng (P) : 3x2y2z 3 0.

Bài giải:

a) Đường thẳng d qua ^A



^{0; 0; 5}



và có một vectơ chỉ phương ^u



^{1; 2; 2}



, có phương trình d:

2 5 2 x t y t

z t

  

  



.

b) Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là nP 



^{3; 2; 2}



.

Đường thẳng d qua ^A



^{0; 0; 5}



và vuông góc với mặt phẳng (P) nên có một vectơ chỉ phương



^{3; 2; 2}



nP  

, có phương trình d:

3 2

2 5

x t

y t

z t

   

  



.

B|i tập 10: Cho mặt cầu ( ) : S x² y² z²6x6y2z 3 0 và hai đường thẳng ₁

1 3

: 1 2

1 2

x t

y t

z t

   

    

  



2

1 2

:2 2 1

y

x  z

   . Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với ₁ và ₂ đồng thời tiếp xúc với (S).

Bài giải:

Mặt cầu (S) có tâm I



3; 3; 1 , 



R4.

Ta có: ₁ có một vectơ chỉ phương là u1 



3; 2; 2



. ₂ có một vectơ chỉ phương là u2 



2; 2;1



. Gọi n

là một vectơ pháp của mặt phẳng (P).

Do: ^{1 1}

2 2

( ) / / ( ) / /

P n u

P n u

   

 

   

 

 

  chọn

Lúc đó, mặt phẳng (P) có dạng : 2  x y 2z m 0.

Để mặt phẳng (P) tiếp xúc với (S)



^{;( )}



^{5 4}

3 d I P R m

   

5 12 7

17 m m

m

        .

Kết luận: Vậy tồn tại 2 mặt phẳng (P) là :   2x y 2z  7 0; 2x y 2z17 0 .

B|i tập 11: Viết phương trình tiếp diện của mặt cầu

 

^{S x: 2y2z22x4y6z 5 0, biết:}

a) qua ^M



^1;1;1



^.

b) song song với mặt phẳng (P) : x2y2z 1 0. b) vuông góc với đường thẳng : ^{3 1 2}

2 1 2

y

x z

d   

 

 . Bài giải:

Mặt cầu (S) có tâm ^I



^{1; 2; 3}



, bán kính R3.

a) Để ý rằng, ^M

 

^S . Tiếp diện tại M có một vectơ pháp tuyến là ^{IM}



^{2; 1; 2 }



, có phương trình :

  

^{ : 2 x 1}

 

^{y 1}

 

^{2 z  1}



^{0 2x y 2z 1 0.}

b) Do mặt phẳng

   

^{ / / P} nên có dạng : x2y2z m 0.

Do

 

^ tiếp xúc với (S) ^{d ,}

   

^{3 3 3 9 6}

12 3

m m

I R m

 ^{   }m

          .

* Với m 6 suy ra mặt phẳng có phương trình : x2y2z 6 0.

* Với suy ra mặt phẳng có phương trình : x2y2z12 0. c) Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là .

Do mặt phẳng

 

^{ d nên}

 

^{ nhận} ud 



^{2;1; 2}



làm một vectơ pháp tuyến.

Suy ra mặt phẳng

 

^ có dạng : 2x y 2z m 0.

Do

 

^ tiếp xúc với (S)^{d I}



^,

 

^



^{ R m}₃^{6  3 m   6 9   m}_m15³

 .

* Với m 3 suy ra mặt phẳng có phương trình : x2y2z 3 0.

* Với m15 suy ra mặt phẳng có phương trình : x2y2z15 0.

III. B\I TẬP TRẮC NGHIỆM :

NHẬN BIẾT_THÔNG HIỂU Câu 1. Phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu ?

A. x² y²  z² 2x y  1 0. B. x² y² z²2x0.

C. ^{2x22y2 }



^{x y}



^{2z22x1. D.}



^{x y}



^{2 2xy z 21.}

Câu 2. Phương trình nào sau đây không phải là phương trình mặt cầu ? A. ^{2x22y2 }



^{x y}



^{2z22x1. B. x2 y2 z22x0.}

C. x²y²z²2x2y 1 0. D.



^{x y}



^{2 2xy z 2 1 4 .x}

Câu 3. Phương trình nào sau đây không phải là phương trình mặt cầu ?

A.



^{x y}



^{2 2xy z 2 3 6 .x B.}



^x1

 

^{2 y1}

 

^{2 z 1}



^{2 6.}

C.



^2x1

 

^{2  2y1}

 

^{2 2z1}



^{2 6. D.}



^x1

 

^{2 2y1}

 

^{2 z 1}



^{2 6.}

Câu 4. Cho các phương trình sau:



^x1



^{2y2z2 1 x2 }



^2y1



^{2z2 4}

2 2 2

1 0

x y z  



^2x1

 

^{2 2y1}



^{2 4z2 16.}

Số phương trình là phương trình mặt cầu là:

A. 2. B. 3. C. 4. D. 1.

Câu 5. Mặt cầu

  

^{S : x1}

 

^{2 y2}



^{2z2 9} có tâm là:

A. ^I



^{1; 2; 0 .}



^{B. I}



^{1; 2; 0 .}



^{C. I}



^{1; 2; 0 .}



^{D. I}



^{ 1; 2; 0 .}



Câu 6. Mặt cầu

 

^{S x: 2y2z28x2y 1 0} có tâm là:

A. ^I



^{4;1; 0 .}



^{B. I}



^{4; 1; 0 .}



^{C. I}



^{8; 2; 0 .}



^{D. I}



^{8; 2; 0 .}



Câu 7. Mặt cầu

 

^{S x: 2y2z24x 1 0} có tọa độ tâm và bán kính R là:

A. I



2; 0; 0 ,



R 3. B. I



2; 0; 0 ,



R3.

C. I



0; 2; 0 ,



R 3. D. I



2; 0; 0 ,



R 3.

Câu 8. Phương trình mặt cầu có tâm ^I



^{1; 2; 3}



, bán kính R3 là:

A.



^x1

 

^{2 y2}

 

^{2 z 3}



^{2 3.} B.



^x1

 

^{2  y2}

 

^{2 z 3}



^{2 9.}

C.



^x1

 

^{2 y2}

 

^{2 z 3}



^{2 9. D.}



^x1

 

^{2  y2}

 

^{2 z 3}



^{2 9.}

Câu 9. Mặt cầu

  

^{S : x y}



^{2 2xy z 2 1 4x} có tâm là:

A. ^I



^{2; 0; 0 .}



^{B. I}



^{4; 0; 0 .}



^{C. I}



^{4; 0; 0 .}



^{D. I}



^{2; 0; 0 .}



Câu 10. Đường kính của mặt cầu

 

^{S x: 2y2 }



^{z 1}



^{2 4 bằng:}

A. 4. B. 2. D. 8. D. 16.

Câu 11. Mặt cầu có phương trình nào sau đây có tâm là ^I



^{1;1;0 ?}



A.



^{x y}



^{2 2xy z 2 1 4 .x B. x2 y2 z22x2y0.}

C. x²y²z²2x2y 1 0. D. ^{2x22y2 }



^{x y}



^{2z22x 1 2xy.}

Câu 12. Mặt cầu

 

^{S : 3x2 3y23z2 6x12y 2 0} có bán kính bằng:

A. ^{2 7}

3 . B. 13

3 . C. ²¹

3 . D. 7

3 .

Câu 13. Gọi I là tâm mặt cầu

 

^{S x: 2y2 }



^{z 2}



^{2 4. Độ dài OI (O} là gốc tọa độ ) bằng:

A. 2. B. 4. C. 1. D. 2.

Câu 14. Phương trình mặt cầu có bán kính bằng 3 và tâm là giao điểm của ba trục toạ độ ? A. x²y²z²6x0. B. x² y² z²6y0.

C. x²y²z²6z0. D. x² y² z² 9.

Câu 15. Mặt cầu

 

^{S : x2y2z2 2x10y3z 1 0} đi qua điểm có tọa độ nào sau đây ? A.



^{2;1;9 .}



B.



^{3; 2; 4 . }



^C.



^{4; 1;0 .}



^D.



^{1;3; 1 .}



Câu 16. Mặt cầu tâm ^I



^{1; 2; 3}



và đi qua điểm ^A



^{2; 0; 0}



có phương trình:

A.



^x1

 

^{2 y2}

 

^{2 z 3}



^{2 11. B.}



^x1

 

^{2  y2}

 

^{2 z 3}



^{2 22.}

C.



^x1

 

^{2 y2}

 

^{2 z 3}



^{2 22. D.}



^x1

 

^{2 y2}

 

^{2 z 3}



^{2 22.}

Câu 17. Cho hai điểm ^A



^{1; 0; 3}



^{và B}



^{3; 2;1}



. Phương trình mặt cầu đường kính AB là:

A. x² y² z²2x y z   6 0. B. x² y² z²4x2y2z0.

C. x²y²z²4x2y2z0. D. x²y²z²4x2y2z 6 0.

Câu 18. Nếu mặt cầu

 

^S đi qua bốn điểm M



2; 2; 2 ,

 

N 4;0; 2 ,

 

P 4; 2;0



và ^Q



^{4; 2; 2}



^{thì tâm I}

của

 

^S có toạ độ là:

A.



^{ 1; 1; 0 .}



^B.



^{3;1;1 .}



^C.



^{1;1;1 .}



^D.



^{1; 2;1 .}



Câu 19. Bán kính mặt cầu đi qua bốn điểm M



^{1; 0;1 ,}

 

N 1; 0; 0 ,

 

P 2;1; 0



và ^Q



^1;1;1



^bằng:

A. 3. B. 3

2 . C. 1. D. ³.

2

Câu 20. Cho mặt cầu

 

^S <