Trong không gian tọa độ Oxyz, phương trình mặt phẳng đi qua điểm M

(1)

ÔN TẬP OXYZ – 7-6-2022

Câu 1. Trong không gian với hệ tọa độ

Oxyz

, cho mặt cầu

  S x :

²

 y

²

 z

²

 2 x  2 y  4 z   2 0

. Tính bán kính

r

của mặt cầu.

A.

r  2 2

. B.

r  26

. C.

r  4

. D.

r  2

.

Câu 2. Trong không gian tọa độ

Oxyz

, phương trình mặt phẳng đi qua điểm

M   1 2 1 ; ; 

và nhận véc tơ

n    2 ;   1 1 ; 

^{làm véc}

tơ pháp tuyến là

A.

2 x y z     5 0

. B.

2 x y z     5 0

. C.

  x 2 y z    5 0

. D.

  x 2 y z    5 0

. Câu 3. Trong không gian

Oxyz

, cho

u    1;2;3 ,  v    0; 1;1  

. Tích có hướng của hai véc tơ

u v   ,

có tọa độ là A.

 5;1; 1  

^B.

 5; 1; 1   

^C.

   1; 1;5 

^D.

    1; 1; 1 

Câu 4. Cho hai mặt phẳng

   :3 x  2 y    2 z 7 0,    :5 x  4 y    3 z 1 0

. Phương trình mặt phẳng đi qua gốc tọa độ

O

đồng thời vuông góc với cả

  

^và

  

^là:

A.

2

x y

2

z 

0.

B.

2

x y

2

z 

0.

C.

2

x y

2

z 

0.

D.

2

x y

2

z 

1 0.

Câu 5. Trong hệ tọa độ

O xyz ,

cho hai mặt phẳng

  P : x 3  2  y 2  1  z   6 4  1

^và

  Q x :  2 y  3 z   7 0

. Tính tang góc tạo bởi hai mặt phẳng đã cho.

A.

3

19

^. ^B.

3 .

5 19

^C.

5

3 19

^. ^D.

3 19 5

^.

Oxyz

, cho ba điểm

A  1; 2; 1  

^,

B  2; 1;3  

^,

C   4;7;5 

. Tọa độ chân đường phân giác trong góc

B

của tam giác

ABC

là

A.

  2;11;1 

^. ^B.

2 11 ; ;1

3 3

  

 

 

^. ^C.

2 11 1

; ; 3 3 3

 

 

 

^. ^D.

11 ; 2;1 3

  

 

 

^.

Câu 7. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi

d

đi qua

A  3; 1;1  

, nằm trong mặt phẳng

  P x y z :     5 0

, đồng thời

tạo với

2

: 1 2 2

 x  y   z

một góc

45

⁰. Phương trình đường thẳng

d

là:

A.

3 7 1 8 . 1 15

  

   

    



x t

y t

z t

B.

3 1 . 1

  

   

  



x t

y t

z

C.

3 7 1 8 . 1 15

  

   

   



x t

y t

z t

D.

3 1 1

  

   

  



x t

y t

z

và

3 7 1 8 . 1 15

  

   

   



x t

y t

z t

Oxyz ,

gọi

d

đi qua điểm

A  1; 1; 2  

, song song với

  P : 2 x y z     3 0

, đồng thời

tạo với đường thẳng

1 1

: 1 2 2

 

  



x y z

một góc lớn nhất. Phương trình đường thẳng

d

là:

A.

1 1 2

1 5 7 .

    



x y z

B.

1 1 2

4 5 3 .

    

x y z

C.

1 1 2

4 5 7 .

    

x y z

D.

1 1 2

1 5 7 .

    

 

x y z

Câu 9. Trong không gian

Oxyz

, cho ba điểm

A (1;2;0), (1;1;2) B

và

C (2;3;1)

. Đường thẳng đi qua

A

và song song với

BC

có phương trình là

A.

1 2

1 2 1 .

x   y   z



^B.

1 2

3 4 3 .

x   y   z

C.

1 2

3 4 3 .

x   y   z

D.

1 2

1 2 1 .

x   y   z



(2)

Oxyz

, cho hai đường thẳng ₁

3 3 2

: 1 2 1

x y z

d     

 

^; ²

5 1 2

: 3 2 1

x y z

d     



và mặt phẳng

  P x :  2 y    3 z 5 0

. Đường thẳng vuông góc với

  P

^{, cắt}

d

1 và

d

₂ có phương trình là

A.

1 1

3 2 1

x   y   z

B.

2 3 1

1 2 3

x   y   z 

C.

3 3 2

1 2 3

x   y   z 

D.

1 1

1 2 3

x   y   z

Câu 11. Trong không gian với hệ trục tọa độ

Oxyz

, cho điểm

A (10; 2; 1) 

và đường thẳng

1 1

: 2 1 3

x y z

d    

. Gọi

( ) P

là mặt phẳng đi qua điểm

A

, song song với đường thẳng

d

sao cho khoảng cách giữa

d

và

( ) P

lớn nhất. Khoảng cách từ điểm

M ( 1; 2;3) 

đến mặt phẳng

( ) P

là

A.

97 3

15

^. ^B.

76 790

790

^. ^C.

2 13

13

^. ^D.

3 29 29

^.

Câu 12. Phương trình mặt phẳng

( )

 ^{đi qua}M

(2; 4; 5)

và cắt ba tia O x O y O z

, ,

lần lượt tại ba điểm sao cho thể tích tứ diện

OABC

nhỏ nhất là ax by cz  

60



0

. Tính

a b c  

.

A. 19. B. 32. C. 30. D. 51.

Oxyz

, gọi

  P

là mặt phẳng đi qua hai điểm

A  0;1; 2  

^,

B  2;1;0 

sao cho khoảng cách từ gốc tọa độ

O

đến

  P

lớn nhất. Phương trình của mặt phẳng

  P

^là

A.

x y z     3 0

. B.

x y z     3 0

. C.

x  2 y z    3 0

. D.

2 x y z     3 0

.

Câu 14. Trong không gian với hệ trục toạ độ cho 3 điểm

A  1;2;3 ,   B 0;1;1 ,   C 1;0; 2  

^{. Điểm}

  : 2 0

M  P x y z    

sao cho giá trị của biểu thức

T  MA

²

 2 MB

²

 3 MC

² nhỏ nhất. Khi đó, điểm

M

cách

  Q : 2 x y   2 z   3 0

một khoảng bằng

A.

121

54

^. ^B.

24

. C.

2 5

3

^. ^D.

91 54

^.

Oxyz

cho mặt cầu

   S : x  1  

²

 y  2  

²

  z 3 

²

 27

^{. Gọi}

  

là mặt phẳng đi qua

2

điểm

 0; 0; 4 ,   2; 0; 0 

A  B

và cắt

  S

theo giao tuyến là đường tròn

  C

sao cho khối nón có đỉnh là tâm

  S

, là hình tròn

  C

có thể tích lớn nhất. Biết mặt phẳng

  

có phương trình dạng

ax by z c     0

, khi đó

a  2 b  3 c

bằng

A.

10

. B.

 8

. C.

0

. D.

 14

.

Câu 16. Cho điểm

A (0;8; 2)

và mặt cầu

( ) S

có phương trình

( ) : ( S x  5)

²

 ( y  3)

²

  ( z 7)

²

 72

và điểm

B (9; 7; 23) 

. Viết phương trình mặt phẳng

( ) P

qua

A

tiếp xúc với

( ) S

sao cho khoảng cách từ

B

đến

( ) P

là lớn nhất. Giả sử

n   (1; ; ) m n

là một vectơ pháp tuyến của

( ) P

. Lúc đó

A.

m n .  2.

B.

m n .   2.

C.

m n .  4.

D.

m n .   4.

Oxyz

, cho mặt cầu

  

^S

:

^x^

2  

²^ ^y^

3  

²^{ }^z

1 

²^

1.

Có bao nhiêu điểm

M

^thuộc

 

^S sao cho tiếp diện của mặt cầu

 

^S ^{tại điểm}

M

cắt các trục

Ox Oy ,

lần lượt tại các điểm ^{A a}

 ;0;0 ,  

^B

0; ;0

^b



^mà

a b ,

là các số nguyên dương và AMB 90 ?

A.

4

^. ^B.

1

^. ^C.

3

^. ^D.

2

^.

HẾT.

,

Oxyz

(3)

HƯỚNG DẪN GIẢI ÔN TẬP OXYZ – 7-6-2022

Oxyz

, cho mặt cầu

  S x :

²

 y

²

 z

²

 2 x  2 y  4 z   2 0

. Tính bán kính

r

của mặt cầu.

A.

r  2 2

. B.

r  26

. C.

r  4

. D.

r  2

.

Lời giải Chọn A

Mặt cầu

  S

^{có tâm}

I  1; 1;2  

và bán kính

r  1

²

    1

²

 2

²

    2  2 2

^.

Câu 2. Trong không gian tọa độ

Oxyz

, phương trình mặt phẳng đi qua điểm

M   1 2 1 ; ; 

và nhận véc tơ

n    2 ;   1 1 ; 

^{làm véc}

tơ pháp tuyến là

A.

2 x     y z 5 0

. B.

2 x y z     5 0

. C.

  x 2 y z    5 0

. D.

  x 2 y z    5 0

.

Phương trình mặt phẳng đi qua điểm

M   1 2 1 ; ; 

và nhận véc tơ

n    2 ;   1 1 ; 

làm véc tơ pháp tuyến là:

     

2 x   1 1 y   2 1 z   1 0  2 x y z     5 0

.

Oxyz

, cho

u    1;2;3 ,  v    0; 1;1  

. Tích có hướng của hai véc tơ

u v   ,

có tọa độ là A.

 5;1; 1  

^B.

 5; 1; 1   

^C.

   1; 1;5 

^D.

    1; 1; 1 

Lời giải Chọn B

Ta có

u    1;2;3 ,  v    0; 1;1      u v   ,     5; 1; 1   

^.

Câu 4. Cho hai mặt phẳng

   :3 x  2 y    2 z 7 0,    :5 x  4 y    3 z 1 0

. Phương trình mặt phẳng đi qua gốc tọa độ

O

đồng thời vuông góc với cả

  

^và

  

^là:

A.

2

x y

2

z 

0.

B.

2

x y

2

z 

0.

C.

2

x y

2

z 

0.

D.

2

x y

2

z 

1 0.

Lời giải Chọn C

Véc tơ pháp tuyến của hai mặt phẳng lần lượt là

n 



  3; 2; 2  

,

n 



  5; 4;3  

.

 

; 2;1; 2

n n_ _

 

   

Phương trình mặt phẳng đi qua gốc tọa độ

O

,VTPT

n    2;1; 2  

^:

2

^x ^y

2

^z 

0.

Câu 5. Trong hệ tọa độ

O xyz ,

cho hai mặt phẳng

  P : x 3  2  y 2  1  z   6 4  1

^và

  Q x :  2 y  3 z   7 0

. Tính tang góc

(4)

tạo bởi hai mặt phẳng đã cho.

A.

3

19

^. ^B.

3 .

5 19

^C.

5

3 19

^. ^D.

3 19 5

^.

Lời giải Chọn D

  P : x  3 2  y 2  1  z   6 4   1   P : 2 x  3 y z    9 0



Mặt phẳng

  P

có một vectơ pháp tuyến là:

n 

_{ }P

  2;3; 1  

  Q x :  2 y  3 z    7 0 n   

_Q

  1;2; 3 

Gọi



là góc giữa hai mặt phẳng

  P

^và

  Q

^.

0 0

0  90

  

Ta có:

   

 

²

2 2 2 2 2

. 2.1 3.2 1 .3 5

cos . 2 3 1 . 1 2 3 14

P Q

n n

      

    

 

2

1 171 3 19

tan 1 tan

25 5

 cos 

     

.

Oxyz

, cho ba điểm

A  1; 2; 1  

^,

B  2; 1;3  

^,

C   4;7;5 

. Tọa độ chân đường phân giác trong góc

B

của tam giác

ABC

là

A.

  2;11;1 

^. ^B.

2 11 ; ;1

3 3

  

 

 

^. ^C.

2 11 1

; ; 3 3 3

 

 

 

^. ^D.

11 ; 2;1 3

  

 

 

^.

Ta có

BA  26; BC  2 26

.

Gọi

D

là chân đường phân giác trong góc

B

ta có

1 2 2 DA BA

DC DA

DC  BC   

.

Vì

D

là chân đường phân giác trong nên

2 2

3 3

2 11

2 0

3 3

2 1

3

A C

D

A C

D

A C

D

x x x

y y

DA DC y

z z z

    

 

 

     

 

  



  

.

Vậy

2 11

; ;1 D     3 3   

^.

Câu 7. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi

d

đi qua

A  3; 1;1  

, nằm trong mặt phẳng

  P x y z :     5 0

, đồng thời

tạo với

2

: 1 2 2

 x  y   z

một góc

45

⁰. Phương trình đường thẳng

d

là:

A.

3 7 1 8 . 1 15

  

   

    



x t

y t

z t

B.

3 1 . 1

  

   

  



x t

y t

z

(5)

C.

3 7 1 8 . 1 15

  

   

   



x t

y t

z t

D.

3 1 1

  

   

  



x t

y t

z

và

3 7 1 8 . 1 15

  

   

   



x t

y t

z t

Lời giải Chọn C

Gọi

 u

d

  a b c ; ; 

là vtcp của

d a 

²

 b

²

 c

²

 0 . 

  P x y z :     5 0

^{có vtpt}



_{ }

  1; 1;1 .  

n

P

: 2

1 2 2

 x  y   z

có vtcp





  1; 2; 2 . 

u

Vì

d    P

^nên

  .

_{ }

    0 . *  

d P

u n a b c

Ta có

 

0

2 2 2

2

. 2 2 2

cos 45

. 2 3

8 15 0

0 1;1;0

15 7 .

8 15 7; 8; 15

8 8 8



 

  

 

  

     

             



 



d d

d

u u a b c

c bc

c a b u a

c b c b a b u b

Vậy

3 3 7

: 1 , hay : 1 8 , .

1 1 15

   

 

         

 

    

 

 

x t x t

d y t t d y t t

z z t

Oxyz ,

gọi

d

đi qua điểm

A  1; 1; 2  

, song song với

  P : 2 x y z     3 0

, đồng thời

tạo với đường thẳng

1 1

: 1 2 2

 

  



x y z

một góc lớn nhất. Phương trình đường thẳng

d

là:

A.

1 1 2

1 5 7 .

    



x y z

B.

1 1 2

4 5 3 .

    

x y z

C.

1 1 2

4 5 7 .

    

x y z

D.

1 1 2

1 5 7 .

    

 

x y z

  P : 2 x y z     3 0

^{có vtpt}

n 

_{ }P

  2; 1; 1 .   

1 1

: 1 2 2

 

  



x y z

có vtcp





  1; 2; 2 .  

u

(6)

  d  ;  max    d .

Khi đó

 

   

qua 1; 1; 2

vtcp ;

_

4; 5; 3 4;5;3 .

 

         

  



  

d P

d A

u n u

Vậy

1 1 2

: .

4 5 3

    

x y z

d

Oxyz

, cho ba điểm

A (1;2;0), (1;1;2) B

và

C (2;3;1)

. Đường thẳng đi qua

A

và song song với

BC

có phương trình là

A.

1 2

1 2 1 .

x  y  z

 



^B.

1 2

3 4 3 .

x  y  z

 

C.

1 2

3 4 3 .

x  y  z

 

D.

1 2

1 2 1 .

x  y  z

 



Gọi

d

là phương trình đường thẳng qua

A  1; 2;0 

và song song với

BC

. Ta có

BC    1; 2; 1   : 1 2

1 2 1

x y z

d  

  



^.

Oxyz

, cho hai đường thẳng ₁

: 3 3 2

1 2 1

x y z

d     

 

^; ²

5 1 2

: 3 2 1

x y z

d     



và mặt phẳng

  P x :  2 y    3 z 5 0

. Đường thẳng vuông góc với

  P

^{, cắt}

d

1 và

d

₂ có phương trình là

A.

1 1

3 2 1

x   y   z

B.

2 3 1

1 2 3

x   y   z 

C.

3 3 2

1 2 3

x   y   z 

D.

1 1

1 2 3

x   y   z

Phương trình

1

1 1

1

3

: 3 2

2

x t

d y t

z t

  

  

    



và

2

2 2

2

5 3

: 1 2

2

x t

d y t

z t

  

   

   



.

Gọi đường thẳng cần tìm là



.

Giả sử đường thẳng



cắt đường thẳng

d

₁ và

d

₂ lần lượt tại

A

,

B

. Gọi

A  3  t

1

;3 2 ; 2  t

1

  t

1



,

B  5 3 ; 1 2 ;2  t

2

  t

2

 t

2



.

 2 3

2 1

; 4 2

2

2 ; 4

1 2 1



AB   t    t t  t   t t



.

Vectơ pháp tuyến của

  P

^là

n    1;2;3 

^.

Do

 AB

và n cùng phương nên

2 3

² ¹

4 2

²

2

¹

4

² ¹

1 2 3

t t t t t t

        

.

2 1 2 1

2 3 4 2 2

1 2

4 2 2 4

2 3

t t t t

    

 

         



1 2

2 1 t t

 

   

^{. Do đó}

A  1; 1;0  

^,

B  2; 1;3  

^.

(7)

Phương trình đường thẳng



đi qua

A  1; 1;0  

và có vectơ chỉ phương

n    1;2;3 

^là

1 1

1 2 3

x   y   z

.

Câu 11. Trong không gian với hệ trục tọa độ

Oxyz

, cho điểm

A (10; 2; 1) 

và đường thẳng

1 1

: 2 1 3

x y z

d    

. Gọi

( ) P

là mặt phẳng đi qua điểm

A

d

sao cho khoảng cách giữa

d

và

( ) P

lớn nhất. Khoảng cách từ điểm

M ( 1; 2;3) 

( ) P

là

A.

97 3

15

^. ^B.

76 790

790

^. ^C.

2 13

13

^. ^D.

3 29 29

^.

Lời giải

Gọi

H

là hình chiếu của

A

trên

d

, gọi

I

H

trên

( ) P

.

Mặt phẳng

( ) P

đi qua điểm

A

d

nên

d d P ( , ( ))  d H P ( ,( ))  IH

. Ta có

AH  IH

nên

IH

lớn nhất

 AH  IH   A I

.

Vậy mặt phẳng

( ) P

thỏa mãn yêu cầu bài toán là mặt phẳng đi qua điểm

A

và nhận vectơ

 AH

làm VTPT.

Ta có

H   d H (1 2 ; ;1 3 )  t t  t   AH  (2 t  9; t  2;3 t  2)

1 1

: (2;1;3)

2 1 3

^d

x y z

d      u  

Vì

H

A

trên

d

nên

AH   d   AH u .

_d

  0 2(2 t     9) ( t 2) 3(3 t     2) 0 t 1

Do đó

H (3;1;4)   AH    ( 7; 1;5)

Mặt phẳng

( ) P

đi qua điểm

A (10; 2; 1) 

và có VTPT là

 AH    ( 7; 1;5)

nên

( ) P

có phương trình là:

7( x 10) ( y 2) 5( z 1) 0 7 x y 5 z 77 0

           

Vậy 2 2

7 2 5.3 77 97 3 ( ; ( ))

7 1 ( 5) 15 d M P    

 

  

^.

Câu 12. Phương trình mặt phẳng

( )

 đi qua M

(2; 4; 5)

và cắt ba tia O x O y O z

, ,

lần lượt tại ba điểm sao cho thể tích tứ diện

OABC

nhỏ nhất là ax by cz  

60



0

. Tính

a b c  

.

A. 19. B. 32. C. 30. D. 51.

(8)

60 0

ax by cz 

   

 

60 60

;0;0 , 0; ;0

60 60 60 1 60

0;0;

Ox A Oy B

a b

x y z

a b c Oz C c

 



            

    

     

 

    

  



,

 a  0, b  0, c  0 

^.

Thể tích khối tứ diện là

1 60 60 60 36000 . .

V

6

a b c abc

  (1)

Do mặt phẳng

( )

 đi qua M

(2; 4; 5)

ta có

2 a  4 b   5 c 60 0 

. Theo bất đẳng thức Cô si ta có:

2

3

20 1 1

60 2 4 5 3 40

2 200

a b c abc abc

       abc 

(2).

Từ (1) và (2) ta được

36000 180

V  abc  ^.

Dấu “ = ’’ xảy ra khi

2 4 5 60 0 6 60 0 10

2 4 5 2 4 5 5, 4 19

a b c a a

a b c

a b c a b c b c

      

  

     

        

  

^.

Oxyz

, gọi

  P

là mặt phẳng đi qua hai điểm

A  0;1; 2  

^,

B  2;1;0 

sao cho khoảng cách từ gốc tọa độ

O

đến

  P

lớn nhất. Phương trình của mặt phẳng

  P

^là

A.

x y z     3 0

. B.

x y z     3 0

. C.

x  2 y z    3 0

. D.

2 x y z     3 0

. Lời giải

Chọn B

Gọi

H K ,

lần lượt là hình chiếu của

O

trên

  P

^,

AB

^.

Ta có:

d O P  ,     OH OK d O AB    ,  =const

; Đẳng thức xảy ra khi

H  K

.

Vậy

d O P  ,   

lớn nhất khi

  P

^chứa

AB

và vuông góc với

OK

, hay

  P

^chứa

AB

 OAB 

^.

Ta có:

 AB   2;0; 2 

^,

n 

^^OAB^

   OA OB   ,     2; 4; 2   

^{. Chọn}

n 

^{ }^P

     AB n ,

^^OAB^

    8;8; 8  

^.

Mặt khác,

  P

^{đi qua}

A  0;1; 2  

^nên

  P x y z :     3 0

^.

Câu 14. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz

,

cho 3 điểm

A  1;2;3 ,   B 0;1;1 ,   C 1;0; 2  

^.

(9)

Điểm

M    P x y z :     2 0

sao cho giá trị của biểu thức

T  MA

²

 2 MB

²

 3 MC

² nhỏ nhất. Khi đó, điểm

M

cách

  Q : 2 x y   2 z   3 0

một khoảng bằng B.

121

54

^. ^B.

24

. C.

2 5

3

^. ^D.

91 54

^.

Gọi

I

là điểm thỏa mãn

4 4 1

2 3 0 ; ;

6 6 6 IA  IB  IC   I     

 

   

.

 

2

3

2

6

2

2 2 3

2

3

2

6

2

T  IA  IB  IC  IM  IM IA      IB  IC  IA  IB  IC  IM

.

T

nhỏ nhất

 IM

ngắn nhất

 M

I

trên

  P

^.

4 6 : 4

6 1 6

x t

d y t t R

z t

  

 

   

 

   



là đường thẳng đi qua

I

  P

^.

  7 ; 7 ; 22  ,    91

18 18 18 54

M   d P  M         d M Q 

 

^.

Oxyz

cho mặt cầu

   S : x  1  

²

 y  2  

²

  z 3 

²

 27

^{. Gọi}

  

là mặt phẳng đi qua

2

điểm

 0; 0; 4 ,   2; 0; 0 

A  B

và cắt

  S

theo giao tuyến là đường tròn

  C

sao cho khối nón có đỉnh là tâm

  S

, là hình tròn

  C

có thể tích lớn nhất. Biết mặt phẳng

  

có phương trình dạng

ax by z c     0

, khi đó

a  2 b  3 c

bằng

A.

10

. B.

 8

. C.

0

. D.

 14

.

(10)

Mặt cầu

  S

^{có tâm}

I  1; 2;3  

, bán kính

R  3 3

Gọi

h

là khoảng cách từ điểm

I

  

^và

r

là bán kính của đường tròn

  C



Thể tích khối nón là

V  1 3  r h

²

 1 3   R

²

 h h

²

 .  1 3   R h h

²



³



Xét

f h    R h h

²



³

 f h     R

²

 3 h

²

  0

3 f h     h R

Từ BBT suy ra thể tích khối nón lớn nhất khi

3  ,    3

3

h  R   d I  

Theo giả thiết mặt phẳng

  

đi qua hai điểm

4 4

, 2 0 2

c c

A B a c a

   

 

        

   : 2 x by z 4 0

    

Mà

 ,    3 4 5

₃

3 2

5

d I b b

    b   

  a  2 b  3 c   14

Câu 16. Cho điểm

A (0;8; 2)

và mặt cầu

( ) S

có phương trình

( ) : ( S x  5)

²

 ( y  3)

²

  ( z 7)

²

 72

và điểm

B (9; 7; 23) 

. Viết phương trình mặt phẳng

( ) P

qua

A

tiếp xúc với

( ) S

sao cho khoảng cách từ

B

đến

( ) P

là lớn nhất. Giả sử

n   (1; ; ) m n

là một vectơ pháp tuyến của

( ) P

. Lúc đó

A.

m n .  2.

B.

m n .   2.

C.

m n .  4.

D.

m n .   4.

Chọn D Gọi phương trình mặt phẳng (P) là:

x my nz d     0

Vì

A    P

_{nên ta}

8 m  2 n d      0 d 8 m  2 n    P x my nz :     8 m  2 n   0

_.

Do

  P

tiếp xúc với mặt cầu

  S

_nên

 ;    5 11

₂

5

₂

6 2

1

m n d I P R

m n

 

  

 

_.

Ta có:

 ;    9 7 23

₂

8

₂

2  5 11 5  

₂

4 1

₂

4 

1 1

m n m n

d B P

m n m n

    

   

 

   

 ;    5 11

₂

5

₂

4 1

₂

4

₂

1 1

m n m n

d B P

m n m n

   

  

     ;    6 2 4 1

₂

4

₂

1

m n d B P

m n

    

 

      

² ²



2 2

1 1 16 1

; 6 2 4

1

Cosi Svac

m n

d B P

m n



   

  

   d B P  ;     18 2

^.

(11)

Dấu “=” xảy ra khi ² ²

1 1

4 4

5 11 5

6 2 0

1

m n m

m n n m n d

      

   

   

    

  



_.

Oxyz

, cho mặt cầu

  

^S

:

^x^

2  

²^ ^y^

3  

²^{ }^z

1 

²^

1.

Có bao nhiêu điểm

M

^thuộc

 

^S sao cho tiếp diện của mặt cầu

 

^S ^{tại điểm}

M

cắt các trục

Ox Oy ,

lần lượt tại các điểm ^{A a}

 ;0;0 ,  

^B

0; ;0

^b



^mà

a b ,

là các số nguyên dương và AMB 90 ?

A.

4

^. ^B.

1

^. ^C.

3

^. ^D.

2

^.

Lời giải Gọi

K

là tâm mặt cầu và

I

là trung điểm

AB

Ta có tam giác

AMB

vuông tại

M

^và

I

là trung điểm

AB

^{suy ra}

1

MI  2 AB OI 

⁽

O

là gốc tọa độ )

       

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 3 1 1 6 4 2 13

6

^I_I

4

_I

13 (

^I _I

0) 3

_A ^I

2

_B^I

13

^I

3 2

^I

13

^I ^I

OI MI OI KI MK KI OI MK

x y z x y z x y z

x y do z x y a b

      

             

         

Mà

a b ,

nguyên dương suy ra chỉ có hai cặp thỏa

    1;5 ; 3;2

. Ứng với mỗi cặp điểm

A

,

B

thì có duy nhất một điểm

M

thỏa yêu cầu bài toán.