Trong mặt phẳng (Oxy), điểm biểu diễn của hai số phức z và z là đối xứng nhau qua trục hoành. Hai số phức bằng nhau: Hai số phức bằng nhau nếu phần thực và phần ảo của chúng lần lượt bằng nhau. Ngắn gọn: Phép cộng, phép trừ, phép nhân số phức có tất cả các tính chất của phép cộng, phép trừ, phép nhân số thực; trong đó chúng tôi luôn lưu ý rằng i2 = −1.
Ta thấy tổng và tích của hai số phức liên hợp là một số thực. Trong tập hợp các số phức, mọi phương trình bậc hai đều có hai nghiệm (không nhất thiết phân biệt).
Chuû ñeà i. soá phöùc vaø caùc pheùp toaùn
Ta thấy (1) là một phương trình bậc nhất của số phức z nên với mọi giá trị thực z tìm được, thay vào (1) ta luôn tìm được duy nhất một số phức z tương ứng. Cho số phức z sao cho z = 5 và z + 4 là số thuần ảo, tìm nghịch đảo phức của z biết z có phần thực dương. Ta thấy w bằng số phức liên hợp của nó nên w là số thực, tức là phần ảo của w là 0.
Khi biểu thức P luôn có thể được rút gọn thành một hằng số xác định, tức là mệnh đề. Phương pháp này chỉ phù hợp với việc giải toán trắc nghiệm, việc nhận biết khi nào cần chuẩn hóa số phức đòi hỏi kinh nghiệm giải toán ở học sinh. Phương pháp chuẩn hóa thường không dùng cho các bài toán Max-Min với số phức, vì đối với các bài toán này kết quả thường rơi vào trường hợp đặc biệt của các số phức z, w, .
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM THỰC HÀNH CHỦ ĐỀ 1
Nhận xét: Vấn đề này dường như thuộc loại phương pháp chuẩn hóa. Tuy nhiên, khi đọc kỹ đề bài, ta thấy dữ liệu bài toán quá chặt chẽ nên kết quả cuối cùng là trường hợp cụ thể của z= +x0 y i0 nên không thể dùng phương pháp chuẩn hóa được.
Chuû ñeà ii. Phöông trình soá phöùc
Phương trình số phức bậc hai
Nhớ cách tìm căn bậc hai của một số phức (không phải là số thực). Nghĩa là 0 là số phức duy nhất chỉ có một căn bậc hai và căn bậc hai đó cũng chính nó. Chú ý: Ta có thể dùng sơ đồ Horner để tìm nhanh các hệ số của căn thức bậc hai.
Nếu phương trình (*) với các hệ số thực A, B, C, D có duy nhất một nghiệm thực thì hai nghiệm phức còn lại là hai số phức liên hợp. b) Định lý Việt Nam về phương trình bậc ba.
Phương trình số phức bậc bốn
Biết A, B là điểm biểu diễn hai nghiệm phức của phương trình (1) trên hệ trục Oxy, tính diện tích tam giác OAB. Một số máy tính cầm tay mới hơn giúp chúng ta giải phương trình bậc hai một cách dễ dàng. Nhận xét: Phương trình đã cho có nghiệm z=1, ta sử dụng giản đồ Horner như sau: .
Trường hợp 1: Phương trình có nghiệm thực thì có nghiệm tại z0 = 7. Các phương trình này luôn có hai nghiệm thực trái dấu nên không thỏa mãn bài toán. Nếu m là số thực thì phương trình đã cho luôn có hai nghiệm là số phức liên hợp.
Nhập các hệ số của đa thức bậc hai Nhấn phím = để hiển thị nghiệm của phương trình. Ta biết rằng tích của hai nghiệm là 13+i và tổng của hai nghiệm còn lại là 3 4i−. Số giá trị của tham số m sao cho phương trình 3 có nghiệm phức khác nhau sao cho các điểm biểu diễn của các nghiệm trên mặt phẳng phức tạo thành tam giác cân.
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM THỰC HÀNH CHỦ ĐỀ 2
Tập hợp điểm biểu diễn số phức liên quan đến đường thẳng
Tập hợp điểm biểu diễn số phức liên quan đến đường tròn
Tập hợp điểm biểu diễn là một đường cong khác
ĐẲNG THỨC VÀ BẤT ĐẲNG THỨC MÔ-ĐUN
- Bất đẳng thức vectơ (bất đẳng thức tam giác)
- Bất đẳng thức AM-GM
- Tập hợp điểm biểu diễn của z là đường thẳng d
- Điểm và đường tròn đối với đường thẳng d
- Biểu diễn miền nghiệm có biên là đường tròn
- Dấu hiệu để sử dụng kĩ thuật 4
- Nhận xét
- Công thức tâm tỉ cự là trung điểm
- Công thức tổng quát về tâm tỉ cự
- Bất đẳng thức Minkowski
- Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối
- Nhân, chia số phức dạng lượng giác
- Nâng lũy thừa số phức dạng lượng giác (công thức Moa-vrơ)
- Căn bậc hai số phức dạng lượng giác
Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của z1−z2. Khi M N P, , là ba đỉnh của một tam giác thì giá trị nhỏ nhất của chu vi tam giác MNP bằng. Do đó, T đạt đến mức tối thiểu khi -2MI2 là nhỏ nhất, mang lại MI lớn nhất.
Dấu bằng xảy ra khi B, M, C thẳng hàng theo thứ tự đó (M trùng với M0 như hình vẽ). Dấu bằng xảy ra khi B, M, K thẳng hàng theo thứ tự đó (hoặc M trùng với M0 như hình vẽ). Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của 2z i.
Như vậy, ta có thể giải bất đẳng thức giá trị tuyệt đối theo kỹ thuật sau:
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM THỰC HÀNH CHỦ ĐỀ 3
Dấu bằng xuất hiện khi I, M, N thẳng hàng theo thứ tự đó và N là hình chiếu của I lên d. Biết M N lần lượt là các điểm biểu diễn các số phức z z1, 2 trong mặt phẳng tọa độ ngoại tiếp tam giác MON có diện tích 32 thì giá trị nhỏ nhất của z1+z2 bằng. Dấu bằng xuất hiện khi và chỉ khi I, O và M thẳng hàng theo thứ tự đó.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ,I M P, thẳng hàng theo thứ tự này. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi M I K, , được căn chỉnh theo thứ tự này.
20 KĨ THUẬT VẬN DỤNG CAO SỐ PHỨC
