Đáp án và thang điểm

Bài Ý Đáp án Điểm

I (2đ)

1 (1đ)

3x² – 14x + 8 = 0

∆’ = (-7)² – 3.8 = 49 – 24 = 25 > 0 ⇒ ∆ =' 25=5 0,5 Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt:

1 2

7 5 12 7 5 2

3 3 4; 3 3

x = + = = x = − = 0,5

2 (1đ)

1 1

1 1

3 2

1 7

x y

x y

 + = −

 −

 − =

 −

ĐK: x ≠ 1; y ≠ 0

Đặt 1 1

1;

a b

x y

= =

−

Khi đó, ta có hệ phương trình:

1 2 2 2 5 5 1

3 2 7 3 2 7 1 1

a b a b a a

a b a b a b a b

+ = − + = − = =

   

 − =  − =  + = −  + = −

 ⇔ ⇔ ⇔

1 1

1 1 2

a a

b b

= =

 

 + = −  = −

 

⇔ ⇔

0,5

Suy ra

1 1 1 1 2( )

1 1 1

1 2 2 2 ( )

x x TM

x

y y TM

y

 =  − =  =

 −  

  −  −

= =

 = −  



⇔ ⇔ 0,25

Vậy hệ phương trình có một nghiệm duy nhất ( , ) 2; ¹ x y  −2 

=   0,25

Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC

II (2đ)

Gọi vận tốc của ca nô khi nước yên lặng là x (km/h) (x > 4) 0,25 Vận tốc của ca nô khi đi xuôi dòng là: x + 4 (km/h)

0,25 Vận tốc của ca nô khi đi ngược dòng là: x – 4 (km/h)

Thời gian ca nô đi xuôi dòng khúc sông dài 132km là: ¹³² 4

x+ (h) 0,25 Thời gian ca nô đi ngược dòng khúc sông dài 104km là: ¹⁰⁴

4 x− (h)

0,25 Vì thời gian ca nô chạy xuôi dòng ít hơn thời gian chạy ngược

dòng là 1 giờ nên ta có phương trình:

132 104

4 1 4

x + = x

+ −

0,25

132( 4) ( 4)( 4) 104( 4)

( 4)( 4) ( 4)( 4)

x x x x

x x x x

− + + − = +

+ − + −

⇔

⇒ 132x – 528 + x² – 16 = 104x + 416

⇔ x² + 28x – 960 = 0

⇔ (x – 20)(x + 48) = 0

⇔ 20 0 20( )

48 0 48( )

x x TM

x x KTM

− = =

 

 + =  = −

 ⇔

0,5

Vậy vận tốc của ca nô khi nước yên lặng là 20 (km/h) 0,25

III 2đ)

1 (1đ)

Phương trình: x² – 2mx – 4 = 0 có hệ số a = 1 ≠ 0 => (1) là

phương trình bậc hai 0,25

Xét ∆ = (2m)² – 4.1.(-4) = 4m² + 16 0,25 Vì 4m² ≥ 0, ∀m => 4m² + 16 > 0, ∀m => ∆ > 0, ∀m 0,25 Vậy phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

(đpcm) 0,25

2 (1đ)

Do phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m (cmt)

Áp dụng hệ thức Vi – et ta được: ^{1 2}

1 2

2 4

x x m

x x + =

 = −

 (2)

0,25

Theo bài ra, ta có: x¹² + x²² + 3x¹x² = 0 ⇔ (x¹ + x²)² + x¹x² = 0 0,25 Thay x¹ + x² = 2m và x¹x² = - 4 vào (2) ta được:

(2m)² – 4 = 0 0,25

2 2

4m =4 m =1 m= ±1

⇔ ⇔ ⇔ 0,25

Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC

Vậy m = ±1

IV (3,5đ)

1 (1đ)

Vẽ hình đúng đến câu a

0,25

Xét (O) có: AKB=90⁰ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) 0,25 Ta có AB ⊥ MN tại E (gt) ⇒ AEM =BEM =90⁰ 0,25 Xét tứ giác AKCE có:  AKC+AEC=90⁰+90⁰ =180⁰

 Tứ giác AKCE nội tiếp được một đường tròn (dhnb) 0,25

2 (1đ)

+) Xét (O) có:

( )

AB là đ/kính MN là dây AB⊥MN gt







=> B là điểm chính giữa MN=> BM =BN

 MKB =NMB (2 góc nội tiếp cùng chắn hai cung bằng nhau)

0,25

+) Xét ∆BMC và ∆BKM có:



 

: ( . )

( ) B chung

BMC BKM g g MKB CMB cmt

=> ∆ ∆

=  ∽ 0,25

BM BC BK BM

=> = 0,25

=> BM² = BK.BC (T/c TLT) (đpcm) 0,25

E O

C N

B M

K

A

Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC

3a (0,5đ)

Xét ∆AIB có BK, IE là hai đường cao

Mà BK ∩ IE = {C} => C là trực tâm của ∆AIB

 AC là đường cao của ∆AIB

0,25

=> AC ⊥ IB hay AD ⊥ IB => ADB=90⁰

=> D thuộc đường tròn đường kính AB Hay D thuộc (O;R)

0,25

3b (0,5đ)

+) Chứng minh tứ giác BDCE nội tiếp

=> CBE =CDE (2 góc nội tiếp cùng chắn CE )

+) Chứng minh KDA^{ }=KBA (2 góc nội tiếp cùng chắn ^AK của (O))

=>  KDC=CDE=> DC là tia phân giác của ^KDE

0,25

+ Chứng minh tương tự: KC là phân giác của ^DKE (HS ghi chứng minh tương tự GV không trừ điểm)

+ Chứng minh C là tâm đường tròn nội tiếp ∆DKE Suy ra điểm C cách đều 3 cạnh của tam giác ∆DKE

0,25

4 (0,5đ)

+) Chứng minh được MB là tiếp tuyến của ∆MCK 0,25 D

I

E O

C N

B M

K

A

O' H

D I

E O

C N

B M

K

A

Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC

+) Gọi O’ là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆MCK

 MB ⊥ MO’ (1)

+) Xét (O) có AMB=90⁰ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) Từ (1) và (2) => O’ ∈ AM

Vì B, A, M cố định => O’ luôn thuộc đường thẳng cố định AM +) Kẻ EH ⊥ AM => H cố định (vì E cố định, AM cố định) +) Xét ∆O’EH có O HE' =90⁰

 O’E ≥ HE (qhệ đường vuông góc, đường xiên)

 MinO’E = HE ⇔ O’ ≡ H

Mà ta luôn có O’ luôn thuộc đường trung trực của MC

 O’C = O’M

Vậy khoảng cách O’E nhỏ nhất khi O’ ≡ H => C là giao điểm thứ hai của (H;HM) với dây MN trong đó H là chân đường vuông góc của E trên AM

0,25

V (0,5đ)

Ta có ^{1 0}

1 0

y x

x y

 = − >



= − >



 ^{P 1 y 1 x 1 1}

(

^{x y}

)

y x x y

 

− −

= + = + − +

 

Lại có

2 1 1 1

4( , 0) 2

2 4

x y

xy x y

xy xy

 + 

≤  = ≥ ≥ > ⇒ ≥

1 1 1

2 2 2

x y xy

 

⇒ + ≥ ≥

0,25

Mặt khác

(

^{1 x+1 y}

)

^{2 ≤ +(1 1)(x+y)}

Nên x+ y ≤ 2

Dấu “=” xảy ra khi x = y = 0,5 Vậy MinP = 2⇔x= =y 0, 5

0,25

Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC

PHÒNG GD&ĐT QUẬN BA ĐÌNH

(Đề thi gồm 01 trang) Đề số 8

ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ II MÔN TOÁN 9 Năm học 2017 - 2018 Thời gian làm bài: 120 phút

Bài I (2,0 điểm). Cho biểu thức 2 1 3

9 3 : 3

A x

x x x

 

= − + −  − với x≥0; x≠9 1) Rút gọn biểu thức A

2) Tìm x để ⁵ A=6

3) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A

Bài II (2,0 điểm). Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:

Hai đội công nhân cùng làm một công việc thì làm xong trong 8 giờ. Nếu mỗi đội làm một mình xong công việc đó, đội thứ nhất cần ít thời gian hơn so với đội thứ hai là 12 giờ. Hỏi mỗi đội làm một mình xong công việc đó trong bao lâu?

Bài III (2,0 điểm).

1) Giải hệ phương trình

x 5 2 4

y 2

x 5 1 3

y 2

 + − =

 −



 + + =

 −



2) Cho phương trình ^x2−2

(

^m+1

)

^{x+m2 =0}

a) Giải phương trình khi m = 4

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x¹; x² sao cho x1²+x2² =4 x x1. 2

Bài IV (3,5điểm). Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R và AH là đường cao của tam giác ABC. Gọi M, N thứ tự là hình chiếu của H trên AB, AC

1) Chứng minh tứ giác AMHN là tứ giác nội tiếp 2) Chứng minh ABC� = ANM�

3) Chứng minh OA vuông góc với MN

4) Cho biết AH =R 2. Chứng minh M, O, N thẳng hàng.

Bài V (0,5điểm). Cho a, b > 0 thỏa mãn a+ ≤b 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

(

¹

) (

¹

)

P= a b+ + b a+ --- Hết--- ĐỀ CHÍNH THỨC

Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC

PHÒNG GD&ĐT QUẬN BA ĐÌNH HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI HỌC KỲ II MÔN TOÁN 9

Năm học 2017 - 2018

Thứ tự Đáp án Điểm

Bài I (2 điểm)

1) Rút gọn: 𝐴 với 𝑥 ≥0;𝑥 ≠9 0,75

𝐴 =�2√𝑥 𝑥 −9 +

1

√𝑥 −3�: 3

√𝑥 −3

=� 2√𝑥

�√𝑥 −3��√𝑥+ 3�+ √𝑥+ 3

�√𝑥 −3��√𝑥+ 3��.√𝑥 −3 3

= 2√𝑥+√𝑥+ 3

�√𝑥 −3��√𝑥+ 3�.√𝑥 −3 3

=√𝑥 + 1

√𝑥 + 3

0,25 0,25

0,25

2) Tìm x để 𝐴= ⁵₆ 0,75

√𝑥+ 1

√𝑥+ 3= 5 6

⇔6�√𝑥+ 1�= 5�√𝑥+ 3�

⇔ √𝑥 = 9

⇔ 𝑥 = 81 (𝑡𝑚đ𝑘)

0,25 0,25 0,25

3) Tìm GTNN của A 0,5

𝐴 =√𝑥+ 1

√𝑥+ 3= 1− 2

√𝑥+ 3

Do 𝑥 ≥0⇔ 𝐴 ≥¹₃ 𝑣ớ𝑖 𝑚ọ𝑖 𝑥 𝑡ℎỏ𝑎 𝑚ã𝑛 đ𝑘𝑥đ Dấu “=” xảy ra ⇔ x= 0 𝑡𝑚 đ𝑘

Vậy GTNN của A: minA= ¹₃ ⇔ x= 0

0,25

0,25

Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC

Bài II (2 điểm)

Gọi thời gian đội thứ nhất làm một mình xong việc là x ( đv: giờ, x >8) Vậy thời gian đội thứ hai làm một mình xong việc là x+12 (giờ)

Mỗi giờ đội thứ nhất làm được ¹_𝑥 (công việc) Mỗi giờ đội thứ hai làm được _𝑥+12¹ (công việc)

Theo bài ra, mỗi giờ cả hai đội làm được ¹₈ công việc nên ta có phương trình : 1

𝑥+ 1 𝑥+ 12 =

1 8

Giải phương trình ta được x=-8(ktmđk); x=12 (TMĐK)

Vậy thời gian đội thứ nhất làm một mình xong việc là 12 giờ;

thời gian đội thứ hai làm một mình xong việc là 24 giờ.

0,25

0,75

0,25 0,5

0,25 Bài III

(2điểm)

1) 1 điểm

Giải Hệ PT

x 5 2 4

y 2

x 5 1 3

y 2

 + − =

 −



 + + =

 −

 Đk: 𝑦 ≥0;𝑦 ≠4

Đặt a=|𝑥+ 5|;𝑏= _√𝑦−2¹ , Đk: 𝑎 ≥0

0,25

Giải HPT: �𝑎 −2𝑏= 4

𝑎+𝑏= 3 được 𝑎= ¹⁰₃ ;𝑏= ⁻¹₃ 0,5

Giải được 𝑥 ∈ �⁻⁵₃ ;⁻²⁵₃ � ; và do �𝑦 =−1 nên không có y thỏa mãn KL: Hệ phương trình vô nghiệm

(Nếu HS nhận thấy không có y t/m nên HPT vô nghiệm mà không cần tìm x vẫn cho 0,25)

0,25

2) 1 điểm Cho phương trình ^x2−2

(

^m+1

)

^{x+m2 =0}

a) Giải PT khi m=4

Với m=4, giải PT: 𝑥²−10𝑥+ 16 được 𝑥 ∈{2; 8} 0,5

b) PT đã cho có 2 nghiệm phân biệt ⇔ ∆^′> 0⇔ 𝑚> ⁻¹₂ Theo Vi-et có 𝑥₁+𝑥₂ = 2(𝑚+ 1) ; 𝑥₁.𝑥₂ = 𝑚²

0,25

Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC

Xét 𝑥12+𝑥22 = 4√𝑥¹.𝑥2 ⇔(𝑥₁+𝑥2)²−2𝑥1.𝑥2 = 4√𝑥¹.𝑥2

4(𝑚+ 1)²−2𝑚² =4√𝑚² ⇔2𝑚²+ 8𝑚+ 4−4|𝑚| = 0 TH1: ⁻¹₂ <𝑚 < 0⇒ 𝑚²+ 6𝑚+ 2 = 0

⇔ 𝑚1 =−3− √7(𝑙𝑜ạ𝑖 𝑑𝑜 𝑘𝑡𝑚đ𝑘); 𝑚2 =−3 +√7(𝑡𝑚đ𝑘) TH2: 𝑚 > 0⇒ 𝑚²+ 2𝑚+ 2 = 0⇔ 𝑘ℎô𝑛𝑔 𝑐ó 𝑚 𝑡ℎỏ𝑎 𝑚ã𝑛

Vậy 𝑚=−3 +√7 thỏa mãn yêu cầu đề bài. 0,25

Bài IV (3,5 điểm)

0,25

1) - Giải thích 𝐴𝑀𝐻� = 𝐴𝑁𝐻� = 90⁰ -Tính tổng 𝐴𝑀𝐻� +𝐴𝑁𝐻� = 180⁰ - KL : AMHN là tứ giác nội tiếp

0,25 0,25 0,25 2) Cách 1:

cm 𝐴𝑁𝑀� =𝑀𝐻𝐴� ( do tg AMHN nội tiếp)

⇒ 𝐴𝐵𝐶� = 𝐴𝐻𝑀� (cùng phụ với 𝑀𝐻𝐵�)

⇒ 𝐴𝐵𝐶� = 𝐴𝑁𝑀�

0,5 0,25 0,25 Cách 2: Cm AM.AB = AN.AC (= AH²)

⇒ ∆𝐴𝑁𝑀 ∼ ∆𝐴𝐵𝐶 (𝑐𝑔𝑐)

⇒ 𝐴𝐵𝐶� = 𝐴𝑁𝑀�

(cho điểm tương ứng như cách 1)

y

x

D N M

H O

B C

A

Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC

3) Cách 1: Kẻ đường kính AD

𝐷𝐴𝐶� = 𝐷𝐵𝐶� (góc nt chắn cung DC) 𝐴𝐵𝐶� =𝐴𝑁𝑀�(cmt)

Có 𝐷𝐵𝐶� +𝐴𝐵𝐶� = 90⁰ (góc nt chắn nửa đtr)

⇒ 𝐴𝑁𝑀� +𝐷𝐴𝐶� = 90⁰ ⇒ 𝐴𝑂 ⊥ 𝑀𝑁

0,5 0,25 0,25 Cách 2: Kẻ tiếp tuyến xAy của (O)

c/m: 𝑥𝐴𝐶� = 𝐴𝐵𝐶� (góc nt, góc tạo bởi tt và dây cùng chắn cung AC) 𝐴𝐵𝐶� =𝐴𝑁𝑀�(cmt)

Vậy 𝑥𝐴𝐶� = 𝐴𝑁𝑀�, ở vị trí slt

⇒ 𝑀𝑁 // xy mà AO⊥xy (do xAy là TT của (O)) ⇒ 𝐴𝑂 ⊥ 𝑀𝑁 (cho điểm tương ứng như cách 1)

4) (0,5 điểm)

Có 𝐴𝑁.𝐴𝐶 =𝐴𝐻² = 2𝑅² = 𝐴𝑂.𝐴𝐶

⇒ 𝐴𝑁.𝐴𝐶 = 𝐴𝑂.𝐴𝐶

⇒ ∆𝐴𝑂𝑁 ∼ ∆𝐴𝐷𝐶 (𝑐𝑔𝑐)

⇒ 𝐴𝑂𝑁� =𝐴𝐷𝐶� = 90⁰ CMTT : 𝐴𝑂𝑀� =𝐴𝐷𝐵� = 90⁰

Vậy 𝐴𝑂𝑀� +𝐴𝑂𝑁� = 180⁰ ⇒ O, M, N thẳng hàng.

0,25 0,25 Bài V

(0,5 điểm)

Có √2𝑃 =�2𝑎(𝑏+ 1) +�2𝑏(𝑎+ 1) Áp dụng BĐT Cô si cho hai số không âm

�2𝑎(𝑏+ 1)≤ 2𝑎+𝑏+ 1

2 ; �2𝑏(𝑎+ 1)≤ 2𝑏+𝑎+ 1 2

⇒ √2𝑃 ≤3(𝑎+𝑏) + 2

2 ≤3.2 + 2 2 = 4

⇒ 𝑃 ≤2√2

Dấu “=” xảy ra ⇔ �2𝑎 =𝑏+ 1

2𝑏 =𝑎+ 1 ⇔ 𝑎=𝑏 = 1 Vậy P có GTLN là 2√2 khi 𝑎= 𝑏= 1

0,25

0,25

Chú ý: Học sinh làm theo cách khác mà đúng hoặc có hướng đúng thì giáo viên dựa vào hướng dẫn chấm chia biểu điểm tương ứng!

---Hết---

Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC

PHÒNG GD-ĐT QUẬN HOÀN KIẾM TRƯỜNG THCS TRƯNG VƯƠNG

Đề số 9

ĐỀ KIỂM TRA KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG Môn Toán: Lớp 9 – LẦN II

Năm học 2017 – 2018 Ngày kiểm tra: 17/3/2018 Thời gian làm bài: 120 phút

(Không kể thời gian phát đề)

Bài I (2,0 điểm) Cho hai biểu thức 2 1

= + + A x

x và 2

6 3 : 3

 

= − − + −  −

x x x

B x x x x

với x>0,x≠9.

1) Tính giá trị biểu thức A khi x=36.

2) Rút gọn biểu thức B.

3) Với x∈Z, tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P=AB. Bài II (2,0 điểm). Giải bài toán sau bằng cách lập hệ phương trình:

Theo kế hoạch, hai xí nghiệp A và B phải làm tổng cộng 720 dụng cụ cùng loại.

Trên thực tế do cải tiến kĩ thuật, xí nghiệp A hoàn thành vượt mức 12%, còn xí nghiệp B hoàn thành vượt mức 10% so với kế hoạch. Do đó thực tế cả hai xí nghiệp làm được tổng cộng 800 dụng cụ. Tính số dụng cụ mỗi xí nghiệp phải làm theo kế hoạch?

Bài III (2,0 điểm)

1) Giải phương trình : 3x⁴−2x²−40=0

2) Cho phương trình ^x2+

(

^m−1

)

^{x m− 2− =2 0 (1), với m} là tham số thực.

a) Chứng minh: phương trình (1) luôn có hai nghiệm trái dấu x x1, 2 với mọi giá trị của m.

b) Tìm m để biểu thức

3 3

1 2

2 1

   

=  + 

   

x x

T x x đạt giá trị lớn nhất.

Bài IV (3,5 điểm). Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp đường tròn

( )

^{O .} Ba đường cao , ,

AD BE CF của tam giác ABC cùng đi qua trực tâm H. 1) Chứng minh: Tứ giác BFEC nội tiếp.

2) Kẻ đường kính AK của đường tròn

( )

^{O .}

Chứng minh: tam giác ABD đồng dạng với tam giác AKC và AB AC. =2AD R. . 3) Gọi M là hình chiếu vuông góc của C trên AK. Chứng minh: MD song song với .

BK

4) Giả sử BC là dây cố định của đường tròn

( )

^O còn A di động trên cung lớn BC. Tìm vị trí của điểm A để diện tích tam giác AEH lớn nhất.

Bài V (0,5 điểm). Cho a b c, , là các số thực dương thỏa mãn: abbcac3abc.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

     

2 2 2

2a 2 2b 2 2c 2 .

Kc c a a a b b b c

  

ĐỀ CHÍNH THỨC

Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC

ĐỀ KIỂM TRA KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG Môn Toán; Lớp 9; Năm học 2015 – 2016

ĐÁP ÁN - HƯỚNG DẪN CHẤM

Bài Ý Đáp án Điểm

Bài I

Trong tài liệu Tổng hợp đề thi học kỳ 2 Toán 9 các quận Hà Nội | Hocthattot.vn (Trang 34-45)